Về một phương trình Parabolic chứa tích chập

Bài viết trình bày bài toán biên và ban đầu cho phương trình Parabolic tuyến tính. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên chuyên ngành Toán trong quá trình học tập và nghiên cứu phương trình Parabolic chứa tích chập.

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP Trần Minh Thuyết*, Nguyễn Thanh Sang† Mở đầu Trong này, trước tiên xét toán C1   C1     q1 ( x, t )C1    C1   ( x, t ) t x  x   (  C1 )( x, t ),  x  1,  t  T , (1.1)  C1  x (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0,  t  T ,   C1 (1, t )  q (1, t )C (1, t )  0,  t  T , 1  x (1.2) C1 ( x,0)  C10 ( x),  x  1, (1.3) phương trình (1.1) chứa tích chập t (  C1 )( x, t )    (t  r )C1 ( x, r )dr , (1.4) với   số cho trước q1 , C10 ,  ,  hàm cho trước giả thuyết sau Bài tốn (1.1)-(1.4) có liên quan đến toán khuếch tán hoá học (xem [1-3, 6, 7] tài liệu tham khảo đó), mà mấu chốt vấn đề mặt toán học dẫn đến toán sau Cho   (0 ,1), ta đặt QT    (0 , T ),  T   Xét tốn : Tìm (C1 , C2 ) thỏa cặp toán sau :  C1   C1   t  x  x  q1 ( x, t )C1   R1 (C1 , C2 ),  x  1,  t  T ,     C1 (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0,  t  T ,   x  C  (1, t )  q1 (1, t )C1 (1, t )  0,  t  T ,  x  C1 ( x, 0)  C10 ( x),  x  1, * † TS Trường ĐH Kinh tế Tp HCM ThS Trường CĐ Cộng đồng Kiên Giang 54 (1.5) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007  C  R2 (C1 , C ),  x  1,  t  T ,   t  C ( x, 0)  C ( x),  x  1,  2 (1.6) đó, q1 , C10 , C 20 cho trước, số hạng R1 (C1 , C ), R2 (C1 , C ) có dạng cụ thể  R1 (C1 ,C2 )  1  2C1  3C2 ,   R2 (C1 , C2 )  1  2C1  3C2 ,   0,   0, i  1, 2, số dương i  i (1.7) Bằng cách khử ẩn hàm C2 từ (1.5) - (1.7), ta thu tốn (1.1) - (1.4), 1   ( x, t )  1    1  exp(   3t )    exp(  3t )C ( x),  t  (  C1 )( x, t )    (t  r )C1 ( x, r ) dr ,   (t )    exp(  t ) 3   (1.8) Bài báo gồm phần Trong phần 1, với điều kiện C10  L2 (), q1  C (QT ),   L2 (QT ),   L2 ( 0, T ),   0, với số điều kiện khác, chứng minh tồn nghiệm yếu tồn cục tốn (1.1)-(1.4) Chứng minh dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kĩ thuật hội tụ yếu tính compact Trong phần 2, với điều kiện đầu C10  H (), q1  C (QT ),  1,  1/  L2 (QT ),   H (0, T ),   0, với số điều kiện khác, chứng minh nghiệm thu tốn (1.1)-(1.4) có tính trơn tốt hơn, cụ thể C1  L (0, T ; H )  L2 (0, T ; H )  C ([0, T ]; H )  H (QT ), C1/  L2 (QT ) Cuối cùng, phần 3, với điều kiện đầu C10  L2 (), C10  0, a.e x   với số điều kiện khác, chứng minh tồn nghiệm địa phương toán (1.1)-(1.4) không âm   (0 , T ) 55 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang Các kết Đầu tiên, ta đặt kí hiệu sau :   (0,1), QT    (0, T ), T  0, bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng : C m ( ), Lp (), H m (), W m , p (), L p ( 0, T ; X ),  p   Để cho gọn, ta kí hiệu lại sau : Lp ()  Lp , H m ()  H m  W m, , W m , p ()  W m, p Các định nghĩa xem [4, 5] Ta dùng kí hiệu u (t ), u / (t )  ut (t )  u (t ), u // (t )  utt (t )  u(t ), u x (t )  u (t ), u xx (t )  u (t ) để u ( x, t ), u  2u u  2u ( x, t ), ( x , t ), ( x , t ), ( x, t ) t x t x Ta thành lập giả thiết : ( H1 ) C10  L2  L2 (0,1), (H ) q1  C (QT ), (H3 )   L2 (QT ), (H )   L2 (0, T ) Nghiệm yếu toán (1.1) - (1.4) thành lập từ tốn biến phân : Tìm C1  L (0,T ; L2 )  L2 (0,T ; H ) cho : d C1 (t ), v  a t , C1 (t ), v    C1 (t ), v   (t ), v dt  (  C1 )(t ), v , v  H (0,1) , (2.1) C1 (0)  C10 , (2.2)  C  v a t , C1 , v     ( x)  q1 ( x, t )C1 ( x)  ( x) dx, C1 , v  H (0,1), x  x 0 (2.3) 1  (t ), v    ( x, t )v( x )dx, v  L2 (0,1) (2.4) Khi ta có định lí sau Định lí 2.1 Giả sử giả thiết ( H ) - ( H ) Khi tốn (1.1)(1.4) có nghiệm yếu C1  L (0, T ; L2 )  L2 (0, T ; H ) 56 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Chứng minh Định lí 2.1 Chứng minh dựa vào phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kĩ thuật hội tụ yếu tính compact Chi tiết chứng minh tìm thấy [8] Nếu tăng cường thêm giả thiết điều kiện đầu C10  H (), với số điều kiện khác, chứng minh nghiệm thu toán (1.1) – (1.4) có tính trơn tốt Ta thành lập bổ sung giả thiết sau : ( H 1/ ) C10  H  H (), ( H 2/ ) q1  C (QT ), ( H 3/ )  ,  1/  L2 (QT ), ( H 4/ )   H ( 0, T ) Khi ta có định lí sau Định lí 2.2 Giả sử giả thiết ( H 1/ ) – ( H 4/ ) Khi tốn (1.1)(1.4) có nghiệm yếu C1  L (0, T ; H ), cho C /  L2 (QT ) Chú thích Thật định lí 2.2 cho nghiệm tốt hơn, cụ thể nghiệm C1 toán (1.1)-(1.4) thỏa thêm tính chất sau : C1  L (0, T ; H )  L2 (0, T ; H )  C ([0, T ] ; H )  H (QT ), C /  L2 (QT ) (2.5) Chứng minh định lí 2.2 Chi tiết chứng minh tìm thấy [8] Phần sau để nhận nghiệm C1 ( x, t )  0, ta cần tăng cường thêm giả thiết thích hợp Trước hết ta xét tốn (1.1)-(1.4) với   0, sau xét trường hợp  (t )   không đồng khơng Ta xét tốn (1.1)-(1.4) tương ứng với   0, với giả sử ( H 1// ) C10  L2 (), C10 ( x)  a.e x  , ( H 2// ) q1  C (QT ), ( H 3// )   L2 (QT ),  ( x, t )  a.e ( x, t )  QT Khi ta có định lí sau 57 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang Định lí 2.3 Giả sử giả thiết ( H 1// ) - ( H 3// ) Khi tốn (1.1)(1.4) có nghiệm yếu C1  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 ) C1 ( x, t )  a.e ( x, t )  QT Chứng minh định lí 2.3 Chi tiết chứng minh tìm thấy [8] Phần tiếp theo, ta xét toán (1.1)-(1.4) với trường hợp  (t )   không đồng không Để nhận nghiệm C1 ( x, t )  toán (1.1)-(1.4), ta cần tăng cường thêm giả thiết sau ( H 1// ) C10  L2 (), C10 ( x)  a.e x  , ( H 2// ) q1  C (QT ), ( H 3// )   L2 (QT ),  ( x, t )  a.e ( x, t )  QT , ( H 4// )   L2 ( 0, T ),  (t )  a.e t  ( 0, T ) Khi ta có định lí sau Định lí 2.4 Giả sử giả thiết ( H 1// ) - ( H 4// ) Khi tồn T  cho tốn (1.1)-(1.4) có nghiệm yếu C1  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 ) C1 ( x, t )  a.e ( x, t )  QT Chứng minh Ta thiết lập dãy hàm {u m } sau : i/ Cho trước u0 ( x, t )  ii/ Giả sử u m1  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 ), ta xét tốn tìm u m  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 ), nghiệm yếu toán  u m   u m     q1 ( x, t )u m    u m   ( x, t )  x  x   t   (  u m 1 )( x, t ),  x  1,  t  T ,   u m (0, t )  q (0, t )u (0, t )  0,  t  T , m  x   u m (1, t )  q (1, t )u (1, t )  0,  t  T , m  x  u m ( x,0)  C1 ( x),  x  1,  u m 1  max0, u m1    u m1  u m 1   58 (2.6) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Khi C10 , q1 , hàm ~1 ( x, t )   ( x, t )  (  u m 1 )( x, t )  0, thỏa giả thiết ( H 1// ), ( H 2// ), ( H 3// ) Áp dụng định lí 2.3 cho tốn (1.1)-(1.4) tương ứng với   0,  ( x, t ) thay cho ~1 ( x, t )   ( x, t )  (  u m 1 )( x, t ), ta có u m  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 ), u m ( x, t )  QT  (0,1)  (0, T ) nghiệm yếu toán (2.6) Ta chứng minh dãy hàm {u m } hội tụ mạnh nghiệm C1 ( x, t ) toán (1.1)-(1.4) (theo chuẩn thích hợp) Khi đó, dĩ nhiên ta có C1 ( x, t )  a.e ( x, t )  QT Đặt wm  u m1  u m , wm nghiệm yếu toán  wm   wm   t  x  x  q1 ( x, t ) wm    wm        (u m  u m 1 ) ( x, t ),  x  1,  t  T ,   wm (0, t )  q (0, t )w (0, t )  0,  t  T , m  x  w  m (1, t )  q1 (1, t )wm (1, t )  0,  t  T ,  x wm ( x,0)  0,  x  1,  wm  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 )   (2.7) Nhân phương trình thứ (2.7) wm , tích phân phần theo biến x, dùng điều kiện biên (2.7)2,3, sau tích phân phần theo biến t , xếp lại, ta có t t wm wm (t )   (s ) ds    wm (s ) ds x 0 t  2  ds  q1 ( x, s) wm (s ) t wm ( s )dx x (2.8) ~ ~     (u m  u m 1 ) (s ), wm ( s ) ds  I1  I   Ta đánh giá hai tích phân bên vế phải (2.8) sau 59 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang t ~ Đánh giá tích phân I1  2  ds  q1 ( x, s) wm (s ) 0 t ~ I   q1 ( s ) t wm ( s ) ds x wm ( s ) ds   L wm ( s )dx x (2.9) t ~ Đánh giá tích phân I     (u m  u m 1 ) ( s ), wm (s ) ds t t ~ I     (u m  u m 1 ) ( s ) ds   wm ( s ) ds   (2.10) Sử dụng bất đẳng thức sau x   y   x  y ,  x, y  R , t (  w)(t ) (2.11) t 2    ( ) d  w( ) d , w  L2 (QT ),   L2 ( 0, T ), (2.12) ta đánh giá số hạng thứ vế phải (2.10) sau t   t     (u m  u m 1 ) s  ds  T  2 L ( ,T ) w m 1 ( ) d (2.13) (2.14) ~ Do ta đánh giá I nhờ vào (2.10), (2.13) ~ I2  T  t L2 ( ,T ) t w m 1 ( ) d   wm ( s ) ds 0 Kết hợp (2.8), (2.9), (2.14), ta suy T Z m (t )  T  2 L2 ( ,T )  t  wm1 ( ) d    q1 ( s ) L Z m ( s ) ds, (2.15) t Z m (t )  wm (t )   t wm (s ) ds    wm (s ) ds x (2.16) Do bổ đề Gronwall, ta thu từ (2.15) Z m t   T  60 T exp    q1 ( s ) L ( ,T ) 0 2  L ds w m 1  ( ) L ( ,T ; L2 ) (2.17) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Chú ý W1 (T )  L (0, T ; L2 )  L2 (0, T ; H ), không gian Banach chuẩn w W (T )  w  L ( ,T ; L2 ) w x (2.18) L2 ( ,T ; L2 ) Chúng ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.5 Trong không gian W1 (T ), chuẩn (2.18) tương đương với chuẩn w   w  w L ( ,T ; L2 ) L2 ( 0,T ; H ) (2.19) Chứng minh bổ đề 2.5 Chứng minh bổ đề 2.5 không khó khăn, chi tiết chứng minh tìm thấy [8] Trở lại chứng minh Định lí 2.4, ta chọn T  cho 1 T kT  T  L2 ( 0,T ) exp    q1 (s ) 2  L ds  (2.20)  Đặt  m  wm L ( ,T ; L2 )  wm x  wm L2 ( 0,T ; L2 ) W1 ( T ) (2.21) Từ (2.17), ta suy  m  k T  m 1 (2.22) Từ ta suy u m  u m p W1 ( T )  0 m kT , với m, p = 0, 1, 2, …  kT (2.23) Như {u m } dãy Cauchy W1 (T ), tồn u  W1 (T ) cho um  u (2.24) W1 (T ), mạnh Từ bất đẳng thức (2.11) (2.12), ta suy từ (2.24),   u m 1    u  L (0, T ; L2 ), mạnh (2.25) Qua giới hạn dạng biến phân (2.7), nhờ vào (2.24) (2.25), ta thu u nghiệm yếu tốn 61 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang  u   u   t  x  x  q1 ( x, t )u    2u   ( x, t )      (  u  )( x, t ),  x  1,  t  T ,   u  (0, t )  q1 (0, t )u (0, t )  0,  t  T ,  x  u  x (1, t )  q1 (1, t )u (1, t )  0,  t  T ,  u ( x,0)  C1 ( x),  x   (2.26) Do u m ( x, t )  QT từ (2.24) ta suy u( x, t )  QT , u  u  QT Cũng từ ta suy u nghiệm yếu tốn (1.1)(1.4) Từ tính nghiệm ta suy C1 ( x, t )  u ( x, t )  a.e ( x, t )  QT Định lí 2.4 chứng minh hồn tất Chú thích Bên cạnh tốn (1.5)- (1.7) trình bày báo này, tồn toán mở (1.5), (1.6), với số hạng R1 (C1 , C ), R2 (C1 , C ) phi tuyến có dạng  R1 (C1 , C )  1   C1   3C   C1C ,   R2 (C1 , C )  1   C1   3C   C1C , (2.27)  i  0,  i  0, i  1, 2, 3, số dương [3] Chúng tiếp tục tìm kiếm thêm cơng cụ thích hợp để giải toán hứa hẹn cho thêm số kết toán thời gian tới TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Alexandre, Alain Phạm Ngọc Định, A Simon, Nguyễn Thành Long (2003), A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet inside an infinite vessel, Nonlinear Analysis and Application : to V Lakshmikantham on his 80th birthday Vol 1, 2, 117-140, Kluwer Acad Publ., Dordrecht [2] R Alexandre, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A mathematical model for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear contraints, Applied Mathematics and Computation (to appear) [3] R Bader, W Mers (2001), Local existance result of the single dopant diffusion including cluster reactions of high order, Abstract and Applied Analysis, (1) 13–14 62 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 [4] H Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson Paris [5] J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris [6] Đỗ Cơng Khanh (2001), Giải tích Tốn học áp dụng, mã số 1.3.11/98, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ giai đoạn 1998-2000, Báo cáo nghiệm thu [7] Nguyễn Thành Long (2007), Phương trình vi phân hệ động lực, mã số 100106, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ giai đoạn 2006 – 2008, Báo cáo định kì kết thực đề tài [8] Nguyễn Thanh Sang (2007), Phương trình parabolic chứa tích chập, Luận văn Thạc sĩ, Khoá 11, Đại học Cần Thơ Tóm tắt Về phương trình parabolic chứa tích chập Chúng tơi xét tốn biên ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính                C1   C1     q1 ( x, t )C1    C1   ( x, t ) t x  x  t    (t  r )C1 ( x, r )dr ,  x  1,  t  T , (1) C1 (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0,  t  T , x C1 (1, t )  q1 (1, t )C1 (1, t )  0,  t  T , x C1 ( x,0)  C10 ( x),0  x  1,   số cho trước q1 , C10 ,  ,    số cho trước Bài báo gồm phần Trong phần 1, với điều kiện C10  L2 (), q1  C (QT ),   L2 (QT ),   L2 ( 0, T ),   0, chứng minh tồn nghiệm yếu tồn cục tốn (1) Chứng minh dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin phương pháp compact yếu Trong phần 2, với q1  C (QT ),  1,  1/  L2 (QT ),   H (0, T ),    0, chứng minh nghiệm C1  L (0, T ; H )  L (0, T ; H )  C ([0, T ]; H )  H (QT ), C1/  L2 (QT ), 63 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thanh Sang điều kiện đầu C10  H (), với số điều kiện khác Cuối cùng, phần 3, với điều kiện đầu C10  L2 (), C10  0, a.e x   với số điều kiện khác, thu nghiệm khơng âm C1 tốn (1) ta giả sử C10  L2 (), C10  0, a.e x   Abstract On a parabolic equation involving convolution We consider the initial-boundary value problem for the linear parabolic equation                C1   C1     q1 ( x, t )C1    C1   ( x, t ) t x  x  t    (t  r )C1 ( x, r )dr ,  x  1,  t  T , (1) C1 (0, t )  q1 (0, t )C1 (0, t )  0,  t  T , x C1 (1, t )  q1 (1, t )C1 (1, t )  0,  t  T , x C1 ( x,0)  C10 ( x),0  x  1, where   is given constant and q1 , C10 ,  ,  are given functions In this paper, we consider three main parts In Part 1, under conditions C  L2 (), q1  C (QT ),   L2 (QT ),   L2 (0, T ),   0, we prove a theorem of existence and uniqueness of a weak solution C1 of problem (1) The proof is based on the Faedo-Galerkin method and the weak compact method For the case of q1  C (QT ),  ,  1/  L2 (QT ),   H (0, T ),   0, in Part 2, we prove that the unique solution C1 belongs to L (0, T ; H )  L2 (0, T ; H )  C ([0, T ]; H )  H (QT ), with C1/  L2 (QT ), if we make the assumption that C10  H (), and some others Finally, in Part we obtain a non-negative solution C1 of the problem (1) if we make the assumption that C10  L2 (), C10  0, a.e x   64 ... (2007), Phương trình parabolic chứa tích chập, Luận văn Thạc sĩ, Khố 11, Đại học Cần Thơ Tóm tắt Về phương trình parabolic chứa tích chập Chúng tơi xét tốn biên ban đầu cho phương trình parabolic. ..  L2 (0, T ; H )  L (0, T ; L2 )   (2.7) Nhân phương trình thứ (2.7) wm , tích phân phần theo biến x, dùng điều kiện biên (2.7)2,3, sau tích phân phần theo biến t , xếp lại, ta có t t wm... Cơng Khanh (2001), Giải tích Tốn học áp dụng, mã số 1.3.11/98, đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ giai đoạn 1998-2000, Báo cáo nghiệm thu [7] Nguyễn Thành Long (2007), Phương trình vi phân hệ động lực,