PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGUYỄN THANH SANG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60. 46. 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê – Toán – Tin học Trường Đại học Kinh tế tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Nguyễn Thanh Sang Trường Cao đẳng Cộng đồng Kiên Giang Thành phố Cần Thơ 2007 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Người hướng dẫn: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê – Toán – Tin học, Đại học Kinh tế tp. Hồ Chí Minh. Nhận xét 1: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Nhận xét 2: TS. Nguyễn Công Tâm Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Nguyễn Thanh Sang Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Cao đẳng Cộng đồng Kiên Giang. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường tại trường Đại học Cần Thơ, vào lúc …… giờ …… ngày …… tháng …… năm 2007. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Cần Thơ. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Trần Minh Thuyết , người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt mọi khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Xin chân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long và Thầy Nguyễn Công Tâm đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Trường Đại học Cần Thơ và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin biết ơn Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học và Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong toàn khóa học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo, Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Cao đẳng Cộng đồng Kiên Giang đã tạo điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi có thể yên tâm học tập và làm việc. Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp và các bạn học viên lớp Cao học khóa 11 đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học. Cuối cùng, lời thân thương nhất xin gởi đến gia đình tôi, chỗ dựa tinh thần trong cuộc sống của tôi bây giờ và mãi mãi sau này, đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Cần Thơ, ngày …… tháng …… năm 2007 Nguyễn Thanh Sang MỤC LỤC Mục lục Trang Chương 0. Phần mở đầu 1 Chương 1. Một số công cụ chuẩn bò 4 Chương 2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 13 Chương 3. Tính trơn của nghiệm 24 Chương 4. Tính không âm của nghiệm 31 Phần kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 1 Chương 0 PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán (0.1) ,0,10),,)(( ),(),( 12 11211 11 TtxtxC txCCtxq x C xt C <<<<∗+ =+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ γ γμ (0.2) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<=+ ∂ ∂ <<=+ ∂ ∂ ,0,0),1(),1(),1( ,0,0),0(),0(),0( 11 1 11 1 TttCtqt x C TttCtqt x C (0.3) ,10),()0,( 0 11 <<= xxCxC trong đó phương trình (0.1) chứa tích chập (0.4) ,),()(),)(( 0 1212 ∫ −=∗ t drrxCrttxC γγ trong đó 0 2 > μ là hằng số cho trước và 21 0 11 ,,, γγCq là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau. Bài toán (0.1) – (0.4) có liên quan đến bài toán khuếch tán trong hóa học (xem [1 – 3] và các tài liệu tham khảo trong đó), mà mấu chốt vấn đề về mặt toán học dẫn đến bài toán sau. Cho ),1,0(=Ω ta đặt ),,0( T Q T × Ω = .0 ∞ < < T Xét bài toán: Tìm ),( 21 C C thỏa cặp bài toán sau: (0.5) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<= <<=+ ∂ ∂ <<=+ ∂ ∂ <<<<= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ,10),()0,( ,0,0),1(),1(),1( ,0,0),0(),0(),0( ,0,10),,(),( 0 11 11 1 11 1 21111 11 xxCxC TttCtqt x C TttCtqt x C TtxCCRCtxq x C xt C 2 (0.6) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<= <<<<= ∂ ∂ ,10),()0,( ,0,10),,( 0 22 212 2 xxCxC TtxCCR t C trong đó, 0 2 0 11 ,, CCq cho trước, các số hạng ),,( 211 C C R ),( 212 C C R có dạng cụ thể (0.7) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =>> −+= +−= dương. số hằngcáclà 3,2,1,0,0 ,),( ,),( 23121212 23121211 i CCCCR CCCCR ii μμ μμμ μμμ Ta xem (0.6) như là phương trình vi phân thường (0.8) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<= <<<<+=+ ∂ ∂ .10),()0,( ,0,10, 0 22 22123 2 xxCxC TtxCC t C μμμ Giải phương trình này, ta được (0.9) [] () () () .),()(exp )()exp()exp(1 ),()exp()(1)exp()exp( ),()exp()()exp(),( 0 132 0 233 3 1 0 132 0 23 3 1 3 0 1213 0 232 ∫ ∫ ∫ −−+ −+−−= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ++−−= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ++−= t t t drrxCrt xCtt drrxCrxCtt drrxCrxCttxC μμ μμ μ μ μμμ μ μ μ μμμμ Từ (0.9), ta viết lại 2 C dưới dạng (0.10) ),,)((),(),( 12212 t x C t x t x C ∗ + = β μ β trong đó (0.11) () ),()exp()exp(1),( 0 233 3 1 1 xCtttx μμ μ μ β −+−−= (0.12) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= −−=−=∗ ∫∫ ).exp()( ,),()(exp),()(),)(( 32 0 13 0 1212 tt drtxCrtdrtxCrttxC tt μβ μββ Thay 2 C vào (0.5), ta thu được bài toán (0.1) – (0.4), trong đó 3 (0.13) () ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= −=∗ −+−−+= ∫ ).exp()( ,),()(),)(( ),()exp()exp(1),( 3232 0 1212 0 2333 3 1 311 tt drrxCrttxC xCtttx t μμμγ γγ μμμ μ μ μμγ Luận văn được trình bày theo các chương mục như sau: Chương 0, phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bò bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1) – (0.4) với ),(),(),( 2 11 20 1 TT QLQCqLC ∈∈Ω∈ γ ,0),,0( 2 2 2 >∈ μγ TL cùng với một số điều kiện khác. Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact. Chương 3, với điều kiện đầu ),(,),(),( 2/ 11 1 1 10 1 TT QLQCqHC ∈∈Ω∈ γγ ,0),,0( 2 1 2 >∈ μγ TH cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh được rằng nghiệm thu được của bài toán (0.1) – (0.4) có tính trơn tốt hơn, cụ thể là ( ) ).(,)];,0([);,0();,0( 2/ 1 110221 1 TT QLCQHHTCHTLHTLC ∈∈ ∞ III Chương 4, với điều kiện đầu ( ) , 20 1 Ω∈ LC , ,0 0 1 Ω∈≥ xeaC cùng với một số điều kiện khác, chúng tôi chứng minh được rằng tồn tại một nghiệm đòa phương của bài toán (0.1) – (0.4) cũng không âm trên ).,0( T × Ω Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. 4 Chương 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các không gian hàm Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu sau: ,0),,0(),1,0( > = = Ω TTQ T và bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng: ),(),(),( ΩΩΩ mpm HLC ).( , Ω pm W Để cho gọn, ta ký hiệu lại như sau: ,)( pp LL =Ω ,)( 2,mmm WHH ==Ω .)( ,, pmpm WW =Ω Các đònh nghóa này có thể xem trong [4]. Ta đònh nghóa )( 2 Ω L là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.1) .,,)()(, 1 0 2 ∫ ∈= Lvudxxvxuvu Ký hiệu • để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghóa là (1.2) .,)(, 2 2 1 1 0 2 Ludxxuuuu ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == ∫ Ta đònh nghóa (1.3) {} ,: 221 LvLvH x ∈∈= và (1.4) () .)()()()(,,, 1 0 1 ∫ +=+= dxxvxuxvxuvuvuvu xxxx H 1 H là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.4). Ký hiệu 1 H • để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.4), nghóa là (1.5) () .,)()(, 1 2 1 1 0 2 2 11 Hvdxxvxvvvv x HH ∈ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +== ∫ Khi đó ta có bổ đề sau. 5 Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 H  ( ) Ω 0 C là compact và (1.6) () .,2 1 10 Hvvv HC ∈∀≤ Ω Chứng minh bổ đề 1.1 không khó khăn. Bổ đề 1.2. Đồng nhất 2 L với /2 )( L (đối ngẫu của 2 L ). Khi đó ta có 1 H  /22 )( LL ≡  /1 )( H với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật. Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng 2 L nhúng trong .)( /1 H Vì , 21 LH ⊂ với mọi , 2 Lw∈ ánh xạ IRHT w → 1 : ∫ == 1 0 )()(,)( dxxvxwvwvTv w a là ánh xạ tuyến tính liên tục trên , 1 H tức là .)( /1 HT w ∈ Ta xét ánh xạ (1.8) .)( )(: /12 w TwTw HLT = → a Khi đó ta có (1.9) .,,,, 21 ,)( 1/1 LwHvvwvT HH w ∈∀∈∀= Ta sẽ chứng minh rằng toán tử T thỏa các tính chất sau: {} .)( trongmật trùlà:)()( ,,)( ánh,đơnlà :)( /122 2 )( 2 /1 HLwTLTiii LwwTii L T i w H w ∈= ∈∀≤ → Chứng minh (i): Dễ thấy rằng T tuyến tính. Nếu ,0 = w T thì .,,, 1 ,)( 1/1 HvvTvw HH w ∈∀= Do 1 H trù mật trong , 2 L nên ta có (1.7) [...]... dùng ký hiệu tích vô hướng •,• trong L2 để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa H 1 và ( H 1 ) / Chuẩn trong L2 được ký hiệu bởi hiệu • X • Ta cũng ký để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X và gọi X / không gian đối ngẫu của X 7 1.2 Không gian hàm Lp ( 0, T; X), 1 ≤ p ≤ ∞ Cho X là không gian Banach thực đối với chuẩn • X Ta ký hiệu Lp (0, T; X), 1 ≤ p ≤ ∞, là không gian các lớp tương đương chứa hàm u :... wj → C10 trong L2 , mạnh (2.8) j =1 Ta sẽ kiểm tra hệ (2.6) – (2.7) có nghiệm duy nhất C1( m) (t ) trên [0, T ] Bằng cách thay (2.5) vào (2.6), ta thấy rằng hệ (2.6) – (2.7) tương đương với hệ phương trình vi tích phân sau (2.9) m m ⎧m Γij c (j m) / (t ) + ∑ bij (t )c (j m) (t ) = γ 1i (t ) + ∑ Γij (γ 2 ∗ c (j m) )(t ), ⎪∑ j =1 j =1 ⎨ j =1 ⎪c ( m) (0) = α ( m) , 1 ≤ i ≤ m , i ⎩ i trong đó, (2.10) ⎧Γij... ϕ (t )dt + ∫ (γ 2 ∗ C1 )(t ), w j ϕ (t )dt , 22 với mọi ϕ ∈ D ([0, T ]) và mọi j = 1, 2, … Phương trình (2.48) dẫn đến rằng (2.49) d C (t ), v + a(t , C1 (t ), v) + μ 2 C1 (t ), v = γ 1 (t ), v + (γ 1 ∗ C1 )(t ), v , dt 1 với mọi v ∈ H 1 (0,1), và với a.e t ∈ ( 0, T ) Nhân (2.49) với ϕ ∈ D ([0, T ]), rồi lấy tích phân từng phần theo biến thời gian, ta được T C1 (T ), w j ϕ (T ) − C1 , w j ϕ (0) − ∫... Cho c ∈ X , ta suy từ (2.14), (2.15) rằng t t 0 0 Vc(t ) 1 ≤ ∫ Γ −1 B(s) 1 c(s) 1 ds + ∫ (γ 2 ∗ c)( s) 1 ds (2.18) Tích phân thứ nhất ở vế phải của (2.18) được đánh giá như sau t ∫ 0 (2.19) t Γ −1 B( s) 1 c( s) 1 ds ≤ ∫ Γ −1 0 B(s) 1 c(s) 1 ds 1 t ≤ Γ −1 1 sup B( s) 1 ∫ c(s) 1 ds 0 ≤ s ≤T 0 Tích phân thứ hai ở vế phải của (2.18) được đánh giá như sau t m t 0 m t s i =1 0 ∫ (γ 2 ∗ c)(s) 1 ds = ∑ ∫ (γ 2... Lấy một cơ sở đếm được {wj } của H 1 Ta tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin của bài toán (0.1) – (0.4) dưới dạng m C1( m) ( x, t ) = ∑ c (j m) (t )w j ( x), (2.5) j =1 trong đó, c (j m) (t ) là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường sau C1( m) / (t ), w j + a (t , C1( m) (t ), w j ) + μ 2 C1( m) (t ), w j (2.6) = γ 1 (t ), w j + (γ 2 ∗ C1( m) )(t ), w j , 1 ≤ j ≤ m, C1( m) (0) = C 0 m , (2.7) trong đó, m C0... 0, t ) = 0, 0 < t < T , ⎪ ⎨ ∂x ⎪ ∂W (1, t ) + q1 (1, t )W(1, t ) = 0, 0 < t < T , ⎪ ⎪ ∂x ⎪W( x,0) = 0, 0 < x < 1, ⎪ ⎪W ∈ L∞ ( 0, T; L2 ) I L2 ( 0, T; H 1 ) ⎩ 23 Lấy tích vô hướng (2.52) với W ∈ L∞ (0, T; L2 ) I L2 (0, T; H 1 ), và sau đó tích phân theo biến thời gian, ta được (2.53) 2 t ∂W 2 W(t ) + 2 ∫ (s) ds + 2 μ 2 ∫ W(s) ds 0 ∂x 0 t 2 t 1 0 0 = −2 ∫ ds ∫ q1 ( x, s)W(s) t ∂W (s)dx + 2 ∫ (γ 2 ∗ W)(... (2.29) và (2.32), ta thu được 2 2 d ( m) 2 ∂C1( m) C1 ( t ) + (t ) + 2 μ 2 C1( m) (t ) dt ∂x + γ2 2 2 ≤ q1 (t ) (2.33) L∞ C1( m) (t ) + γ 1 (t ) t 2 2 L ( 0 ,T ) ∫C ( m) 1 2 2 2 (r ) dr + 2 C1( m) (t ) 0 Tích phân (2.33), ta suy ra rằng C ( m) 1 2 t (t ) + ∫ 0 (2.34) 2 t 2 ∂C1( m) (s) ds + 2 μ 2 ∫ C1( m) ( s) ds ∂x 0 ≤ C0m t ( 2 t 2 + ∫ γ 1 ( s) ds 0 + ∫ 2+T γ2 0 2 2 L ( 0 ,T ) + q1 (s) 2 ∞ L )C ( m) 1... vẫn ký hiệu là { 1( m) }, sao cho C (2.41) C1( m) → C1 trong L∞ (0, T; L2 ) yếu*, (2.42) C1( m) → C1 trong L2 (0, T; H 1 ) yếu, (2.43) C1( m) (T ) → ξ trong L2 yếu 21 Nhân (2.6) bởi ϕ ∈ D([0, T ]) và tích phân từng phần đối với biến thời gian, ta thu được T C1( m) (T ), w j ϕ (T ) − C 0 m , w j ϕ (0) − ∫ C1( m) (t ), w j ϕ / (t )dt 0 T T + ∫ a (t , C1( m) (t ), w j )ϕ (t )dt + μ 2 ∫ C1( m) (t ), w... γ 1m (t ) ) , α = (α 1 , α 2 , , α m ) ⎩ Chú ý rằng ma trận Γ = (Γij ) khả đảo, ta viết lại hệ (2.11) như sau: (2.13) r ⎧c / (t ) + Γ −1 B(t )c(t ) = Γ −1γ 1 (t ) + (γ 2 ∗ c)(t ), ⎨ ( m) ⎩c(0) = α Tích phân (2 13) theo biến t, ta được (2.14) c(t ) = Uc(t ), trong đó, (2.15) ⎧ ⎪Uc(t ) = g(t ) + Vc(t ), ⎪ t ⎪ −1 r ( m) ⎨g(t ) = α + ∫ Γ γ 1 ( s)ds, 0 ⎪ t t ⎪ −1 ⎪Vc(t ) = − ∫ Γ B(s)c(s)ds + ∫ (γ 2 ∗... ∂ 2u ( x, t ) ∂x 2 13 Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1) – (0.4) Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo – Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact Ta thành lập các giả thiết: (H1 ) C10 ∈ L2 = L2 ( 0,1), (H 2 ) q1 ∈ C (QT ), (H 3 ) γ . THANH SANG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TÍCH CHẬP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60. 46. 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 20 07. học Kinh tế tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Nguyễn Thanh Sang Trường Cao đẳng Cộng đồng Kiên Giang Thành phố Cần Thơ 20 07 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN. Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Cần Thơ, ngày …… tháng …… năm 20 07 Nguyễn Thanh Sang MỤC LỤC Mục lục Trang Chương 0. Phần mở đầu 1 Chương 1. Một số công