sáng kiến kinh nghiệm-phương pháp đồ thị giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA TOÁN LỚP SƯ PHẠM TỐN K29 Nhóm thực hiện: Lê Văn Đẳng Lê Thị Hà Giang Lê Hòa Hải Lê Thị Hải Nguyễn Thị Diệu Hạnh Nguyễn Thị Mỹ Hạnh Phạm Thị Mỹ Hạnh Đề tài: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (Bài kiểm tra học trình ) Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ Quy nhơn, tháng 10 năm 2009 LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn phổ thơng, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối kiến thức quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt Đây mảng kiến thức xem tương đối khó học sinh, gặp tốn mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt việc giải biện luận phương trình) học sinh cần phải thận trọng bước giải trường hợp Hiện nay, có nhiều sách viết vấn dề với lối trình bày, diễn đạt khác nhiều phương pháp giải cho dạng toán Trong đó, phương pháp đồ thị phương pháp mà thấy hay cần phải nghiên cứu Với vốn kiến thức mình, với tìm tịi, học hỏi chúng tơi đúc kết lại để làm nên đề tài Mặc dù cố gắng việc tham khảo tài liệu để viết tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo quý bạn đọc Chúng xin chân thành cảm ơn! Nhóm sinh viên thực MỤC LỤC PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT A Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối B Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: y = |f(x)| Dạng 2: y = f(|x|) 14 Dạng 3: y = |f(|x|)| 19 Dạng 4: y = |f(x)|g(x) 22 KẾT LUẬN CHUNG 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO .27 PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: y = |f(x)| ì f (x) f (x) ³ ï y = |f(x)| = ï í ï - f (x) f (x) < ï ỵ Do đồ thị y = |f(x)| gồm: + Phần từ trục hoành trở lên đồ thị y = f (x) + Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh y = f (x) qua Ox Dạng 2: y = f(|x|) Ta có ì f (x) x ³ ï y = f(|x|) = ï í ï f (- x) x < ï ỵ Và y = f (|x|) hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng oy Do đồ thị y = f(|x|) gồm : + Phần bên phải Oy đồ thị y = f(x) + Đối xứng phần đồ thị qua Oy Dạng : y = |f(|x|)| Từ đồ thị y = f(x) để suy đồ thị y = |f(|x|)| thực hai quy tắc & Cụ thể : + Từ y = f(x) suy y = |f(x)| = g(x) + Từ y = g(x) suy y = g(|x|) = |f(|x|)| + y = f(x) suy y = f(|x|) = h(x) + y = h(x) suy y = |h(x)| = |f(|x|)| Dạng : y= |u(x)|.v(x) Ta có Ta có ì u(x).v(x) u(x) ³ ï y= |u(x)|.v(x) = ï í ï - u(x).v(x) u(x) < ï î Do để có đồ thị hàm số y= |u(x)|.v(x) trước hết ta vẽ đồ thị y= f(x) = u(x).v(x) từ đồ thị y= |u(x)|.v(x) gồm : +Phần từ đồ thị y=f(x) miền u(x) ³ +Đối xứng phần đồ thị y=f(x) miền u(x) < qua trục hoành B.Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m) (1) Bước : Lập luận số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y=f(x,m) va đường thẳng (d): y = g(m) Bước : Vẽ đồ thị hàm số (Cm) : y=f(x,m) miền xác định D Bước : Kết luận phương trình có nghiệm ⇔ Min f (x,m) £ g(m) £ MỴ ax f (x, m) xỴ D x D phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = g(m) cắt (Cm) k điểm phân biệt phép tịnh tiến đường thẳng y = g(m) ta có câu trả lời cho yêu cầu “Tùy theo m biện luận số nghiệm phương trình ” PHẦN II : DẠNG I CÁC DẠNG BÀI TẬP y = |f(x)| I VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình : |2x+1| = m Bài giải: Xét hàm số : y = 2x+1 TXT: D = Ρ BBT x -∞ +∞ y +∞ (1) -∞ Đồ thị hàm số y = 2x+1 đường thẳng qua điểm A(0,1) ; B(-1,-1) Gọi (C) đồ thị hàm số y = |2x+1|,gồm phần : + Phần phía trục hồnh đồ thị y = 2x+1 + Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh đồ thị y = 2x+1 qua Ox Khi đó, số nghiệm phương trình số Điểm (C) đường thẳng y = m Vì Với m < : phương trình (1) vơ nghiệm Với m = : phương trình (1) có nghiệm với m > : phương trình (1) co nghiệm phân biệt Ví dụ : Biện luận theo m số nghiệm phương trình sau : | |m|x – 3| = -m (2) Bài giải: Ta vẽ đường thẳng biểu diễn hàm số : y1 = | |m|x – 3| (3) cắt đường thẳng y2 = – m (4) song song với trục hoành Khi , tọa độ giao điểm nghiệm phương trình (2) Trường hợp: m = phương trình (2) vơ nghiệm - Trường hợp: m ≠ ì m >0 ì m 0 thi ta có 0< m ≤ Từ điều kiện suy điều kiện đường thẳng y2 sau 0≤ y2 < Rõ ràng hình (1),nếu cắt đường biểu diễn y1 đường thẳng y2 song song với trục hoành có giá trị biến thiên từ (kẻ từ O) đến (kẻ từ 4) thi ln có hai giao điẻm A B có hồnh độ tính sau: m- Điểm A : -mx + = – m hay x= m 7- m Điểm B : mx - = – m hay x= m Từ phương trình (1) ta có điều kiện : x Trong hình 2, y2=4 – m > Rõ ràng với giá trị dương y2 đường thẳng ln cắt đường biểu diễn y1 hai điểm C,D có hồnh độ sau: m- Điểm C : mx + = – m hay x= m 7- m Điểm D : - mx - = – m hay x= m Vậy: m=0 : phương trình (1)vơ nghiệm m=4 : phương trình (1) có nghiệm x= m- 7- m < m < : phương trình (1) có nghiệm x= x= m m m- 7- m m : phương trình (1) có nghiệm -Với < m < : phương trình (1) có nghiệm -Với m = : phương trình (1) có nghiệm Ví dụ : Với giá trị m phng trỡnh : |x - x| ổử ỗ1 ữ = m + m +1 (1) có nghiệm phõn bit ỗ ứ ỗ3ữ ốữ Bi gii: Vỡ m + m +1 > 0,với m nên lấy logarit số 1/3 hai vế phương trình (1) ta được: |x2 – 2x| = log1/3(m2 + m + 1) (2) Đặt log1/3(m2 + m + 1) = a Khi phương trình (2) viết lại |x2 – 2x| = a Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = |x2 – 2x| điểm phân biệt ì x - 2x x £ x³ ï Xét hàm số y = |x – 2x| = ï í ï 2x - x < x < ï ỵ Cách 1: Dùng cho học sinh biết khái niêm đạo hàm ì 2x - x < x > ï ’ y =ï í ï - 2x < x < ï ỵ BBT: x -∞ ’ y + + y +∞ +∞ +∞ 0 Từ đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x2 – 2x| điểm phân biệt ⇔0 < a < ⇔ < log1/3(m2 + m + 1) < 1 < m2 + m + < -1 < m < Vậy với -1 : phương trình vơ nghiệm - Với m = v m < : phương trình có nghiệm phân biệt - Với < m < : phương trình có nghiệm phân biệt - Với m= : phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + Biện luận theo m số nghiệm phương trình |x – 1|3 + 3(x-1)2 + = m Bài giải: a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + Mxđ: D = R Đạo hàm: + y’ = 3x2 + 6x y’ =  3x2 + 6x =  + y” = 6x + y” =  x = - BXD: x y -1 - + 18 Giới hạn: x3(1 - = + ]= BBT: x -2 y’ - y 0 + - Đồ thị hàm số: y=f(x) y = f(x-1) y=1 b/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình: Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = |x - 1|3 + 3(x-1)2 + = f(|x-1|) với đường thẳng y = m Đồ thị y = f(|x – 1|) suy từ đồ thị hàm số y = f(x) theo hai bước: * Bước 1: Suy đồ thị y = f(x – 1) phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang phải đơn vị *Bước 2: Suy đồ thị y = f(|x – 1|) gồm: Phần bên phải đường thẳng y = đồ thị y = f(x – 1) 19 Đối xứng phần đồ thị qua đường thẳng y = Biện luận: Với m < phương trình vơ nghiệm Với m = phương trình có nghiệm Với m > phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình y = f(x) = = m (1) Bài giải: Xét hàm số y = f1(x) = Mxđ: D = R\{1} f1’(x)= phương trình (1) có nghiệm phân biệt II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm phương trình sau: a/ x2 – (4 + a)|x| + + 2a = b/ |x|3 – 6x2 + 9|x| - + a = c/ |x – 1|3 + 3|x – 1| + = a d/ =a Bài 2: Tìm tham số m để phương trình 2|x|3 – 3x2 +2 = m có nghiệm phân biệt 21 DẠNG III: y = |f(|x|)| I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: |||x – 1| - 2|-1| = m Bài giải: Đặt f(x) = |||x – 1| - 2|-1| Ta có bảng xét dấu sau: x -2 -1 f(x) ||x+1| - 1| ||x – 3| - 1| f(x) |x+2| |x| |x – 2| |x – 4| f(x) -x - x+2 -x x 2-x x-2 4-x x–4 Nhận xét: Đồ thị f(x) = |||x – 1| - 2|-1| nằm phía trục hồnh Từ đồ thị ta có : Với m > 1: phương trình có nghiệm Với m = 1: phương trình có nghiệm Với < m < 1: phương trình có nghiệm Với m = : phương trình có nghiệm Với m < : phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: |x2 – 4|x| +3 | = m + (1) Bài giải: Xét hàm số y = x2 – 4|x| + 3, gồm phần: - Phần phía bên phải Oy y = x2 – 4x + - Đối xứng phần đồ thị qua Oy Gọi (C’) đồ thị hàm số y = |x2 – 4|x| +3 |, gồm phần: - Phần phía trục hồnh đồ thị (C) - Đối xứng phần phía trục hồnh qua Ox 22 Khi đó, số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C’) đường thẳng y = m + 1, ta được: Với m = -1 < m < 2: phương trình (1) có nghiệm phân biệt Với -1 < m < 0: phương trình (1) có nghiệm phân biệt Với m = 0: phương trình (1) có nghiệm phân biệt Với m = 2: phương trình (1) có nghiệm phân biệt Với m > 2: phương trình (1) có nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Biện luận số nghiệm phương trình: y= =m (1) Bài giải: Xét hàm số y = Theo ví dụ – Dạng II ta có đồ thị hàm số y = Gọi (C’) đồ thị hàm số y = , gồm phần: - Phần phía trục hồnh (C) - Đối xứng phần phía trục hồnh qua Ox 23 (C) Khi đó, số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y= với đường thẳng y = m, ta được: - Với m < : phương trình (1) vơ nghiệm - Với < m : phương trình có nghiệm phân biệt - Với m > 2: phương trình có nghiệm phân biệt II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Biện luận số nghiệm phương trình sau theo m: a/ |x3 – 4|x| + 3| = m +2 b/ = lg m 24 DẠNG IV: y = |f(x)|g(x) I/ VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau: x|x – 1| + m = (1) Bài giải: (1)  m = - x|x – 1| Vậy nghiệm phương trình (1) hoành độ giao điểm của: - Đường thẳng (D) : y = m - Đường cong (P): Vẽ đồ thị y = -x2 + x Đỉnh (1/2,1/4) BBT: y = - x|x 1| = (P1) x ẵ y ẳ Để vẽ (P) ta giữ nguyên đồ thị (P1) x lấy đối xứng (P1) qua Ox x < Đồ thị (P1) đường đứt khúc, đồ thị (P) đường nét liền Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (P1): -x2 + x = m  x2 – x + m = = - 4m 25 x1 = , x2 = (x1 < x2) Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P2): x2 – x = m  x2 – x – m = = + 4m x3 = , x4 = (x3 < x4) Đồ thị cho kết : - Khi m < - 1/ : nghiệm đơn : x2 = ì ï ï Một nghiệm kép x = ï ï ï - Khi m = -1/ 4: í ï ï Một nghiệm đơn x = + + 4m ï ï ï ỵ - Khi -1/ < m < : nghiệm đơn x3,4 = x2 = - Khi m = : nghiệm đơn x2 = x3 = - Khi m > : nghiệm đơn x3 = = Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: Bài giải: Xét hàm số y = f(x) = Viết lại hàm số dạng: 26 =m y = f(x) = x – + Mxđ: D = R\{-2} y’ = y’ =  x2 + 4x – =  Giới hạn, tiệm cận : Þ x = -2 tiệm cận đứng = = Þ y = x – tiệm cận xiên BBT: x -5 y’ + y -2 - - + -12 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y= Ta có: với đường thẳng y = m (C) : y = = Do đồ thhị hàm số (C) gồm : - Phần đồ thị y = f(x) miền x>-2 27 - Đối xứng phần từ đồ thị y = f(x) miền x 12 : phưong trình có nghiệm II/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1: Biện luận theo a số nghiệm phương trình: a/ |x – 2|(x+1) + a = b/ |x|(3 – 4x2) = a c/ =a d/ (x +1)2 – a|x + 2| = 28 KẾT LUẬN CHUNG Nhìn tổng quát vấn đề mà chúng tơi trình bày đề tài rõ ràng tính chất quan trọng tốn nằm chủ yếu phần vẽ đồ thị hàm số Việc nắm vững dạng đồ thị cần thiết Thơng qua ví dụ minh họa tập nhận thấy việc giải biện luận phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối theo tham số có cách làm rõ ràng theo bước định Mặc dù phân thành nhiều dạng đồ thị khác sau đọc nghiên cứu đúc kết lại bốn dạng đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong đề tài, dạng nghiên cứu trình bày hàm số bậc 1, bậc 2, bậc 3, bậc hàm hữu tỉ Riêng hàm số lượng giác, mũ, logarit chúng tơi cịn băn khoăn chưa làm Do thời gian có hạn, tài liệu cịn hạn chế nên việc nghiên cứu cịn nhiều thiếu sót Nếu có thời gian chúng tơi bổ sung hồn thiện 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Phương pháp giải toán : Hệ vô tỉ - Hệ chứa giá trị tuyệt đối (thạc sĩ Lê Hồng Đức (chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc) [2]- Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tóan đại số sơ cấp NXB Hà Nội(2004) Tác giả : Trần Phương – Lê Hồng Đức [3] Phương pháp giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối – Nguyễn Văn Ban [4 ] http://www.diendan.hocmai.vn/ [5] http://www.chihao.info/4rum/ 30 ... trục hồnh Từ đồ thị ta có : Với m > 1: phương trình có nghiệm Với m = 1: phương trình có nghiệm Với < m < 1: phương trình có nghiệm Với m = : phương trình có nghiệm Với m < : phương trình vơ nghiệm... chương trình tốn phổ thơng, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối kiến thức quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt Đây mảng kiến thức xem tương đối khó học sinh, gặp tốn mà biểu thức có chứa dấu. .. yếu phần vẽ đồ thị hàm số Việc nắm vững dạng đồ thị cần thiết Thơng qua ví dụ minh họa tập nhận thấy việc giải biện luận phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối theo tham số có cách làm