Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian

Bài viết Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian trình bày việc xét bài toán Dirichlet cho một dạng phương trình k-Hessian với dữ kiện không trơn trong miền bị chặn.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH ( w, k ) - LỒI CỦA NGHIỆM NHỚT CỦA MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH k - HESSIAN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Trong báo cáo này, xét tốn Dirichlet cho dạng phương trình k - Hessian với kiện không trơn miền bị chặn Chúng tơi xét nghiệm nhớt cho tốn đề xuất khái niệm hàm ( w, k ) - lồi, từ nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt toán Dirichlet xét hàm ( w, k ) - lồi NỘI DUNG BÁO CÁO 2.1 Đặt vấn đề Cho   ¡ n miền bị chặn, M n tập ma trận vuông đối xứng cấp n với chuẩn max; với X , Y  M n ta nói X  Y i  i , i  1,2, , n , 1  2   n 1      n giá trị riêng tương ứng X , Y Xét tốn Dirichlet dạng phương trình k  Hessian dạng   1/ k   k  ( D 2v   ( x, v, Dv))     f ( x, v, Dv)  , x  , v( x)   ( x), x  ,  :   ¡  ¡ n (1) (2)  M n f :¡ ¡ n  ¡ , f  hàm liên tục cho trước,  ( X )  ( 1 , , n ) n giá trị riêng X ,  k ( 1 , , n )   i1 ik 1i1  ik  n đa thức đối xứng bậc k ; y hàm liên tục cho trước xác định ¶ W Nếu k = n và = 0, phương trình (1) trở thành phương trình Monge-Ampere n  det( D 2v)   f ( x, v, Dv)  0, x   Nếu k =  = 0, phương trình (1) trở thành phương trình Poisson phi tuyến v  f ( x, v, Dv)  0, x   Phương trình Monge-Ampere, phương trình Poisson nói riêng phương trình k - Hessian nói chung có nhiều ứng dụng Vật lý, độ cong hình học… (xem [2], [4]) Nếu kiện đủ trơn, nghiệm cổ điển toán Dirichlet phương trình Monge-Ampere nghiên cứu, chí trường hợp tổng quát tác giả [5] đạt kết mở rộng đẹp Trường hợp   f  f ( x) , nghiệm nhớt tốn (1) - (2) A Colesanti cơng bố [2] Trong báo này, mở rộng kết Colesanti [2] Trước hết, nhắc lại khái niệm số kết quan trọng nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp công bố [1] [3] Xét toán Dirichlet tổng quát  F ( x, v, Dv, D 2v)  0, x   (3)  v ( x )   ( x ), x    điều kiện sau: (4) F ( x, t , p, X )  F ( x, t , p, Y ), X  Y (điều kiện cho ta tính elliptic suy biến hàm F ), 83 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 F ( x, t , p, X )  F ( x, s, p, X ), Fk ( x, v, Dv, D 2v) (5)  ( x, p, X )    ¡ n  M n ,  t  s Với  R   , tồn tai hàm không   0  giảm, liên tục  R ( ) :  R ( )  cho: F ( x, t , p , X )  F ( y , t , p , X ) (6)   R | x  y | (1 | p |)  , với x, y , | t | R, p  ¡ n , X  M n Ta nói hàm  tiệm cận hàm v từ phía (t.ư từ phía dưới) x0   v   đạt cực đại (t.ư cực tiểu) x0 v( x0 )   ( x0 ) Định nghĩa nghiệm nhớt toán (3) phát biểu Định nghĩa 1.1([1]) a) Hàm nửa liên tục v  gọi nghiệm nhớt phương trình (3) với   C () tiệm cận v từ phía x0   , ta có   F x0 ,  ( x0 ), D ( x0 ), D 2 ( x0 )  b) Hàm nửa liên tục v  gọi nghiệm nhớt phương trình (3) với   C () tiệm cận v từ phía x0   , ta có    Khi phương trình (1) trở thành F ( x, v, Dv, D 2v)  0, x  Xét   k :   ¡ 2.2 Kết 1/ k Đặt H k ( 1 , , n )   k ( 1 , , n )  :  j (  )  0,  j  1,2, , k Hơn nữa, toán tử k  Hessian H k   ( D 2v )  elliptic suy biến  k Do để có tính elliptic suy biến Fk ta cần xét hàm thử   C () cho   D 2 ( x)   ( x, ( x), D ( x))    k Để đạt điều đó, chúng tơi đề xuất khái niệm tính ( w, k )  lồi sau Định nghĩa 2.1 Hàm v  C () gọi ( w, k )  lồi  với hàm   C () ,  tiệm cận v từ phía x0   ta có   D 2 ( x)   ( x, ( x), D ( x))    k F x0 ,  ( x0 ), D ( x0 ), D  ( x0 )  c) Hàm v nghiệm nhớt phương trình (3) v vừa nghiệm nhớt trên, vừa nghiệm nhớt Trong [3] H Ishii thiết lập kết tồn tính nghiệm tốn (3) sau Định lý 2.1([3]) Cho F hàm thỏa mãn điều kiện (4), (5) (6) Nếu phương trình (3) có nghiệm nhớt v1 nghiệm nhớt v2 liên tục Lipschitz địa phương  v1  v2    , tốn (3) tồn nghiệm nhớt n Dễ thấy rằng:  n :   ¡ n :  j  0,  j  1,2, , n  i   j , i  j     H k  D 2v   ( x, v, Dv)  f ( x, v, Dv) Từ dễ thấy rằng: v  C () v ( w, k )  lồi    D 2v( x)   ( x, v( x), Dv( x))    k , x  , với hàm thuộc lớp C tính (0, n)  lồi tính lồi thơng thường Định lý kết tính ( w, k )  lồi nghiệm nhớt nghiệm nhớt (1) Định lý 2.2 Giải sử  , f hàm liên tục, f  Nếu v nghiệm nhớt nghiệm nhớt (1) v hàm ( w, k )  lồi  Chứng minh Giả sử v nghiệm nhớt (1) v hàm ( w, k )  lồi  , tồn x0   84 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 hàm hàm 0  C () , 0 tiệm cận v từ phía x0     D 20 ( x0 )   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ))    k Chọn  ( x)  0 ( x)   | x  x0 |2 ,   Khi đó,  tiệm cận với v từ phía x0   với     C (),  ( x0 )  0 ( x0 )   D ( x0 )  D0 ( x0 ),  2  D  ( x0 )  D 0 ( x0 )   I Theo định nghĩa nghiệm nhớt ta có   H k  D 20 ( x0 )   I   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 )    D 20 ( x0 )   I   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ))   n  k , từ tồn  cho   D 20 ( x0 )   I   ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ))    k Do tính liên tục Fk ta có   Báo cáo mở rộng kết [2] Qua việc đề xuất khải niệm hàm ( w, k ) - lồi, kết chúng tơi mở rộng tính lồi thành tính ( w, k ) - lồi nghiệm nhớt toán Dirichlet cho dạng phương trình k  Hessian Với kết này, nghiên cứu tiếp tồn tính nghiệm nhớt cho toán Dirichlet (1) - (2) TÀI LIỆU THAM KHẢO  f ( x, v, Dv)  (8) Mặt khác, với  đủ lớn H k  D 20 ( x0 )   I   ( x0 , 0 ( x0 ), D0 ( x0 ) KẾT LUẬN   0, điều mâu thuẫn với (8) từ ta có điều phải chứng minh [1] M.G Crandall, H Ishii, P.L Lions, (1992), User’s guide to viscosity solution of second-order PDEs, Bull Amer Math Soc (N.S) 27, No 1, pp 1-67 [2] A Colesanti, P Salani, (1999), Hessian equations in non-smooth domain, Nonlinear Anal., Vol 38, No 6, Ser.A: Theory Methods, pp 803-812 [3] H Ishii, P.L Lions, (1990), Viscosity solution of fully nonlinear second-order elliptic PDEs, J Diffrential equations, Vol 83, pp 26-78 [4] F Jiang, N.S Trudinger, X.P Yang (2015), On the Dirichlet problem for a class of augmented Hessian equations, J Differential equations, Vol 248, pp 1548-1576 [5] H.T Ngoan, T.T.K Chung, (2019), Elliptic solution to nonsymetric Monge-Ampere type equations II A priori estimates and the Dirichletp problem, Acta Math Vietnam, No 44, pp 723-748 85 ... tính liên tục Fk ta có   Báo cáo mở rộng kết [2] Qua việc đề xuất khải niệm hàm ( w, k ) - lồi, kết chúng tơi mở rộng tính lồi thành tính ( w, k ) - lồi nghiệm nhớt tốn Dirichlet cho dạng phương. .. w, k )  lồi    D 2v( x)   ( x, v( x), Dv( x))    k , x  , với hàm thuộc lớp C tính (0, n)  lồi tính lồi thơng thường Định lý kết tính ( w, k )  lồi nghiệm nhớt nghiệm nhớt (1) Định... v nghiệm nhớt nghiệm nhớt (1) v hàm ( w, k )  lồi  Chứng minh Giả sử v nghiệm nhớt (1) v hàm ( w, k )  lồi  , tồn x0   84 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 97 8-6 0 4-8 2-5 95 7-0