Toán tử Monge-Ampère phức
Hàm nửa liên tục trên là một hàm số u: Ω → R ∪ {−∞} trong không gian metric (Ω, d), trong đó tập hợp {z ∈ Ω : u(z) < r} được coi là một tập mở với mọi giá trị r thuộc R.
Một hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu −u là nửa liên tục trên.
Hàm u được coi là nửa liên tục tại điểm z₀ ∈ Ω nếu và chỉ nếu giới hạn trên lim sup khi z tiến tới z₀ của u(z) bằng u(z₀) Cụ thể, lim sup z→z₀ u(z) được xác định là inf ε>0{sup{u(z) : z ∈ Ω, d(z, z₀) < ε}} Điều này có nghĩa là đối với mọi giá trị α lớn hơn u(z₀), luôn tồn tại một khoảng ε > 0 sao cho u(z) nhỏ hơn α khi khoảng cách d(z, z₀) nhỏ hơn ε.
Một hàm thực được coi là liên tục khi nó vừa là nửa liên tục dưới, vừa là nửa liên tục trên Định nghĩa hàm điều hòa dưới cho rằng, nếu Ω là tập mở trong C, thì hàm u: X → [−∞,+∞) được gọi là điều hòa dưới trên Ω khi nó nửa liên tục trên và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình, tức là với mọi điểm ω ∈ Ω, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r ≤ δ, điều kiện u(ω) ≤ 1 được đảm bảo.
Chú ý rằng với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất −∞ trên Ω được xem là hàm điều hòa dưới trên Ω Ký hiệu tập hợp các hàm điều hòa dưới trên
Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω, thì log|f| là hàm điều hòa dưới trên Ω Một hàm u : Ω → [−∞,+∞) được gọi là đa điều hòa dưới nếu nó là hàm nửa liên tục trên và không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω.
Ω nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ C n , hàm λ 7→ u(a+λb) là điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a+ λb ∈ Ω}.
Ký hiệu PSH(Ω) đại diện cho lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong miền Ω, trong khi PSH _ (Ω) biểu thị tập hợp các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω Theo định nghĩa 1.1.5, một tập E ⊂ C n được gọi là tập đa cực nếu với mỗi điểm a ∈ E, tồn tại một lân cận V của a và một hàm u ∈ PSH(V) sao cho E ∩ V nằm trong tập {z ∈ V : u(z) = −∞} Định nghĩa 1.1.6 chỉ ra rằng nếu u ∈ C 2 (Ω), thì toán tử
∂z j ∂z¯ k dV, ở đây dV = 2 i n dz 1 ∧ d¯z 1 ∧ dz 2 ∧ d¯z 2 ∧ ∧ dz n ∧ d¯z n là độ đo thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère phức.
Tiếp theo, chúng ta nhắc lại nguyên lý so sánh đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trong các tập giải tích trong C n
Cho hàm u ∈ PSH(V) là một hàm bị chặn địa phương, đa điều hòa dưới trên tập giải tích V với dimV = k Để định nghĩa toán tử Monge-Ampère của hàm u trên phần chính quy V r của V, ta sử dụng quy nạp như sau: dd c u m := dd c u(dd c u) m−1 với mọi 1 ≤ m ≤ k Độ đo (dd c u) được xác định trên V.
Trong bài viết này, chúng ta khám phá nguyên lý so sánh trong không gian Borel E của V Định lý 1.1.7 chứng minh rằng cho hai hàm đa điều hòa u và v bị chặn trên V, nếu giới hạn khi z tiến đến biên ∂V tồn tại, thì có thể so sánh chúng một cách hiệu quả.
Trong không gian C^n, một tập hợp không rỗng U được gọi là lồi nếu với hai điểm z1 và z2, mọi tổ hợp tuyến tính của chúng với hệ số 0 ≤ λ ≤ 1 đều thuộc U Tương tự, U được gọi là lồi logarith nếu với hai điểm z1 và z2 trong U, mọi tổ hợp tuyến tính của log(|z1|) và log(|z2|) cũng thuộc U Đối với miền U ⊂ C^n và điểm z ∈ U, hàm khoảng cách dU(z) từ z đến biên ∂U được định nghĩa, và miền U được xem là giả lồi nếu dU(z) là hàm đa điều hòa Cuối cùng, Ω là một tập con mở của C^n với biên nhẵn ∂Ω.
Ω được gọi là giả lồi mạnh nếu
(2) Tồn tại một tập con mở U trong C n chứa ∂Ω và tồn tại một hàm λ : U →R 1 khả vi lớp C 2 có các tính chất:
(ii) λ là một hàm đa điều hòa dưới chặt, tức là ta có
∂z i ∂z¯ j (z)à i ௠j ≥ L(z|à|) 2 ,với mọi à ∈ C n và z ∈ U, sao cho L(z) > 0.
Phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic
Một đa tạp phức compact hữu hạn chiều X với dạng Kahler nhẵn ω được xem là có hàm ϕ trên X là ω-đa điều hòa dưới (hay ω-psh) nếu hàm này khả tích, nửa liên tục dưới và thỏa mãn điều kiện ω + dd^c ϕ > 0.
Năm 1982, theo Bedford và Taylor [3] 00đã chứng minh được một số tính chất sau của hàm ω- đa điều hòa dưới
Cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều và ω là một dạng Kahler nhẵn trên X Nếu ϕ là một hàm bị chặn trên X, thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon (ω + dd c ϕ) n BT trên X thỏa mãn rằng, với dãy các hàm ω-đa điều hòa dưới địa phương ϕ j, nhẵn trên X và hội tụ giảm về hàm ϕ, dãy các độ đo nhẵn (ω + dd c ϕ j ) n hội tụ yếu tới độ đo Radon (ω + dd c ϕ) n BT.
Theo Định nghĩa 1.2.3, cho X là một đa tạp phức compact hữu hạn chiều, ω là dạng Kahler nhẵn trên X, ϕ là hàm bị chặn, và v là dạng thể tích nhẵn trên X Nếu dãy độ đo (ω + dd^c ϕ_j)^n hội tụ (địa phương) đến e^{ϕ} v, thì ta có đẳng thức.
(ω +dd c ϕ) n BT = e ϕ v, (DM A)ω,v theo nghĩa đa thế vị Phương trình (DM A) ω,v được gọi là phương trình Monge - Ampère phức kiểu Elliptic trên đa tạp Kahler compact X hữu hạn chiều.
Nghiên cứu của Bedford và Taylor chỉ ra rằng nếu ϕ là hàm bị chặn, sẽ tồn tại duy nhất một độ đo Radon dương (ω+dd c ϕ) n BT Đặc biệt, nếu ϕ j là dãy các hàm nhẵn, ω - đa điều hòa dưới về mặt địa phương và hội tụ giảm đến hàm ϕ, thì dãy các độ đo nhẵn (ω + dd c ϕ j ) n sẽ hội tụ yếu đến độ đo (ω + dd c ϕ) n BT Nếu dãy các độ đo (ω + dd c ϕ j ) n hội tụ địa phương đến e ϕ v, chúng ta có thể nói rằng đẳng thức này được xác lập.
(ω +dd c ϕ) n BT = e ε v,xảy ra theo nghĩa đa thế vị.
Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (dd c ϕ) n = v
Mục đích của phần này là khám phá mối quan hệ giữa lý thuyết đa thế vị và toán tử Monge-Ampère phức, như được trình bày bởi Bedford-Taylor vào năm 1982.
1982 và khái niệm nghiệm nhớt đối với phương trình Monge-Ampère thực lần đầu tiên được định nghĩa bởi P.L Lions năm 1990.
Cho M = M (n) là một đa tạp (liên thông) phức n chiều và v là một độ đo nửa xác định dương Ký hiệu B là hình cầu đơn vị của D n hoặc ảnh của
B biểu diễn dưới một hệ trục tọa độ trong M. Định nghĩa 1.3.1 Hàm nửa liên tục trên ϕ : M → R ∪ {−∞} được gọi là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère
(dd c ϕ) n = v, (DM A) v nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
Với mọi điểm x 0 thuộc tập M và mọi hàm q khả vi lớp C 2 xác định trong lân cận của x 0, nếu hàm ϕ−q đạt giá trị cực đại địa phương tại x 0, thì điều này dẫn đến một kết quả quan trọng trong phân tích hàm.
(dd c q) n x 0 ≥ v x 0 Khi đó, ta nói rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
(dd c ϕ) n ≥v theo nghĩa nghiệm nhớt trên M.
Nhận xét 1.3.2 Nếu v ≥ v 0 thì (dd c ϕ) n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt thì suy ra (dd c ϕ) n ≥ v 0 Đặc biệt, điều này cũng đúng nếu v 0 = 0.
Mặt khác, lớp các nghiệm dưới là ổn định với việc lấy qua supremum Cụ thể, chúng ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.3.3 Nếu các hàm ϕ 1 , ϕ 2 là các nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức
(dd c ϕ) n = v (1.2) thì sup(ϕ1, ϕ2) cũng là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (1.2).
Chứng minh Từ (2) của Định nghĩa (1.3.1) và Nhận xét (1.3.2) suy ra trự tiếp kết quả của mệnh đề.
Kết quả sau đây về tính chéo hóa của một ma trận Hermit.
Mệnh đề 1.3.4 [Bổ đề 1.4, [7]] Cho Q là một ma trận Hermit sao cho mọi ma trân Hermit nửa xác định dương H ta có det (Q+H) ≥ 0 Khi đó,
Q là một ma trận nửa xác định dương.
Tiếp theo, nếu hàm ϕ thỏa mãn(dd c ϕ) n > 0theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu ϕ là hàm đa điều hòa dưới.
Mệnh đề 1.3.5 Nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (dd c ϕ) n = 0 là các hàm đa điều hòa dưới trên M.
Để chứng minh tính chất địa phương của Mệnh đề 1.3.5 mà không làm mất tính tổng quát, ta giả sử M = B Xét ϕ là một nghiệm dưới của phương trình (dd c ϕ) n = 0 và chọn x0 ∈ B với ϕ(x0) 6= −∞ Gọi q ∈ C 2 (B) sao cho ϕ − q đạt giá trị cực đại địa phương tại x0, từ đó có ma trận Q = dd c qx0 với det(Q) ≥ 0 Đối với mọi ma trận Hermite nửa xác định dương H, ta có det(Q + H) ≥ 0 Đặt qH := q + H(x − x0), suy ra hàm ϕ − qH cũng đạt giá trị cực đại địa phương tại điểm x0.
Theo Mệnh đề 1.3.4, ta có ma trận Hermite Q = dd c q x 0 nửa xác định dương Từ đó suy ra, với mọi ma trận Hermite xác định dương h i ¯ j , ta có
Hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt của phương trình Laplace, với điều kiện ∆ H q(x 0 ) := h i ¯ j ∂ ∂ 2 q zi ∂ ¯ zj (x 0 ) ≥ 0 Trong một hệ tọa độ phức thích hợp, toán tử vi phân hệ số không đổi này tương ứng với các toán tử Laplace Theo Mệnh đề 3.2.10 trong Hormander [10], điều này áp dụng cho các hàm ϕ.
∆ H − điều hòa, do đó hàm ϕ nằm trong lớp các hàm L 1 loc (B) và thỏa mãn
Hàm ϕ được định nghĩa với điều kiện Hϕ≥0 theo nghĩa phân bố Giả sử (w i) là một véc tơ bất kỳ trong C n, chúng ta xem xét một ma trận Hermite xác định dương (h ij) chuyển đổi thành ma trận (w i w −j) có hạng 1 Dựa vào tính liên tục của hàm ϕ, ta có thể kết luận rằng w i w −j ∂ 2 ϕ.
∂ z i ∂z¯ j ≥ 0,theo nghĩa phân bố Do đó, ta có ϕ là đa điều hòa dưới.
Ngược lại, giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới Cố định x 0 ∈ B, q ∈
C 2 (B)) sao cho ϕ−q đạt cực đại địa phương tại điểm x 0 Khi đó, với mỗi hình cầu đủ nhỏ B 0 ⊂B có tâm tại điểm x0 ta có ϕ(x 0 )−q(x 0 ) ≥ 1
(ϕ−q)dV, vì vậy ta có
Cho bán kính củaB 0 tiến tới 0, suy ra vìq là hàm thuộc lớpC 2 nên∆q x 0 ≥ 0.
Sử dụng phép biến đổi tuyến tính trong hệ tọa độ phức cho thấy rằng ∆ H q(x 0 ) ≥ 0 đối với mọi ma trận Hermite xác định dương Do đó, dd c q x 0 ≥ 0 và (dd c ϕ) n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt.
Nếu ϕ là một hàm đa điều hòa dưới và bị chặn địa phương, thì đo Monge - Ampère (dd c ϕ) n BT được định nghĩa là giới hạn duy nhất của dãy các độ đo nhẵn (dd c ϕ j ) n, với ϕj là dãy các hàm đa điều hòa dưới nhẵn hội tụ giảm đến hàm ϕ Kết quả này làm rõ mối liên hệ cơ bản giữa khái niệm đa thế vị và khái niệm nghiệm nhớt của nó.
Mệnh đề 1.3.6 Cho ϕ là hàm nửa liên tục trên bị chặn địa phương trên
Hàm ϕ thỏa mãn điều kiện (dd c ϕ) n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt nếu và chỉ nếu nó là đa điều hòa dưới, đồng thời độ đo Monge-Ampère của nó thỏa mãn (dd c ϕ) n BT ≥ v theo nghĩa đa thế vị.
Trước khi tiến hành chứng minh, chúng ta cần nhớ lại kết quả cổ điển về nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức, áp dụng cho các hàm đa điều hòa dưới bị chặn.
Bổ đề 1.3.7 Cho u, w ∈ P SH ∩L ∞ (B) Khi đó, ta có nếu u ≥ w trong lân cận của ∂B và (dd c u) n BT ≤ (dd c w) n BT thì u ≥ w trên B.
Giả sử ϕ ∈ P SH ∩ L ∞ (B) thỏa mãn điều kiện (dd c ϕ) n BT ≥ v Xét hàm q là một hàm khả vi lớp C 2, với ϕ−q đạt cực đại địa phương tại điểm x0 và ϕ(x0) = q(x0) Theo điều kiện (dd c ϕ) n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt, theo Mệnh đề 1.3.4, ta có (dd c q) n x0 ≥ 0 và dd c q x0 ≥ 0 Nếu giả sử (dd c q) n x0 < v x0, ta định nghĩa q ε := q + ε kx−x0k².
Chọn ε > 0 đủ nhỏ, ta có bất đẳng thức sau: 0< (dd c q x ε 0 ) n < vx 0 Vìv hàm liên tục nên ta có thể chọn một hình cầu nhỏ B 0 chứa x0 bán kính r > 0 sao cho q¯ ε := q ε −εr 2
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức 2 ≥ ϕ trong lân cận của ∂B 0, cùng với điều kiện (dd c q¯ ε) n BT ≤ (dd c ϕ) n BT Áp dụng Nguyên lý so sánh, ta suy ra rằng q¯ ε ≥ ϕ trên B 0 Tuy nhiên, bất đẳng thức này không đúng tại điểm x 0, dẫn đến kết luận rằng (dd c q) n x 0 ≥ v x 0 và ϕ nghiệm dưới nhớt.
Giả sử ϕ là nghiệm dưới nhớt và chọn x0 ∈ B sao cho ϕ(x0) không bằng -∞, với q ∈ C 2 thỏa mãn rằng hàm ϕ−q đạt cực đại địa phương tại x0 Khi đó, ma trận Hermit Q:= dd c qx 0 có định thức det(Q) ≥ vx 0 Tiếp theo, áp dụng bổ đề dưới đây của B, Gaveau đã xem xét phương trình Monge-Ampère phức như là phương trình Bellmann.
Bổ đề 1.3.8 chỉ ra rằng với ma trận Hermit Q xác định không âm cấp n×n, ta có det(Q) 1/n = inf tr(HQ) với H thuộc H n +, và det(H) = n − n Trong đó, H n + là tập hợp các ma trận Hermite xác định dương cấp n×n Khi áp dụng Mệnh đề 1.3.8 cho các ma trận xác định dương (h i ¯ j), ta có det(h) = n − n.
Hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình tuyến tính ∆ H ϕ ≥ v 1/n, với v 1/n là hàm khả vi lớp C α (α > 0) Giả sử tồn tại một hàm khả vi lớp C 2 là nghiệm của phương trình ∆ H ϕ = v 1/n trong lân cận điểm x 0, thì hàm u = ϕ−f thỏa mãn ∆ H u ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt Theo Mệnh đề 3.2.10 trong tài liệu tham khảo, hàm u là hàm ∆ H - đa điều hòa dưới, từ đó suy ra ∆ H ϕ ≥ v 1/n theo nghĩa của độ đo Radon dương.
Sử dụng tích chập chính quy hóa của hàm ϕ, đặt ϕ ε = ϕ∗ρ ε thì dễ thấy
∆ H ϕ ε ≥(v 1/n ) n Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 1.3.8 suy ra
Ta có dãy hàm ϕ˜k := ϕ 1/k là một dãy giảm các hàm nhẵn hội tụ đến hàm ϕ Vì tính liên tục của (dd c ϕ) n BT nên suy ra (dd c ϕ) n BT ≥ v.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khi v > 0 và v là các hàm liên tục Holder Trong trường hợp v > 0 liên tục, quan sát thấy hàm v = sup{w | w ∈ C ∞ , v ≥ w > 0}.
Ta có, vì mọi nghiệm dưới của phương trình (dd c ϕ) n = v đều là nghiệm dưới của phương trình (dd c ϕ) n = w nên v ≥w Do đó, suy ra
Trong trường hợp tổng quát, chúng ta thấy hàm ψε(z) = ϕ(z) +εkzk 2 thỏa mãn (dd c ψε) n ≥ v+ε n λ theo nghĩa nghiệm nhớt với λ là dạng thế tích Euclid Do đó, ta có
Vậy (dd c ϕ) n BT ≥ v Vậy Mệnh đề 1.3.6 được chứng minh.
Giả sử ϕ là hàm bị chặn, mối liên hệ giữa nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức và nghiệm dưới đa thế vị được thể hiện qua Định lý 1.3.9 Cụ thể, nếu v = (dd c ρ) n BT với ρ là hàm đa điều hòa bị chặn, và ϕ là hàm liên tục sao cho ϕ không đồng nhất với −∞ trên mọi thành phần liên thông, thì các phát biểu sau đây là tương đương: i) Hàm ϕ thỏa mãn (dd c ϕ) n ≥ v theo nghĩa nghiệm nhớt; ii) Hàm ϕ là hàm điều hòa dưới và với mọi c > 0, ta có.
Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến dạng (dd c ϕ) n = e εϕ v
Cho M = M(n) là một đa tạp phức n-chiều liên thông và v là một độ đo nửa xác định dương Định nghĩa nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến như sau: Cho ε > 0 là một số thực dương, một hàm nửa liên tục ϕ được coi là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge-Ampère phức suy biến.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức (dd c ϕ) n = e εϕ v, với điều kiện hàm ϕ không đồng nhất bằng −∞ Đối với mọi điểm x 0 thuộc M và mọi hàm q ∈ C 2 (M) trong lân cận của x 0, nếu q −ϕ đạt giá trị cực đại địa phương tại x 0 và ϕ(x 0 ) = q(x 0 ), thì những điều kiện này sẽ được phân tích để hiểu rõ hơn về tính chất của hàm ϕ trong không gian M.
Bổ đề 1.4.2 xác định rằng nếu u là một hàm điều hòa bị chặn trong miền Ω ⊂ C n và v = f β n là một dạng thể tích liên tục với hàm trù mật f ≥ 0 liên tục, thì hàm ϕ phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.
(dd c ϕ) n BT ≥ e ϕ f β n , theo nghĩa đa thế vị trong miền Ω Khi đó, ta có với δ > 0 đủ nhỏ, hàm chính quy hóa ϕ δ := ϕ ? χ δ thỏa mãn
(dd c ϕδ) n BT ≥e ϕ δ fδβn, với f δ (x) := inf{|f(y)|;|y −x| ≤ δ, trong miền Ω δ
Mệnh đề 1.4.3 khẳng định rằng, với hàm nửa liên tục ϕ : M → R bị chặn, điều kiện (dd c ϕ) n ≥ e εϕ v theo nghĩa nghiệm nhớt chỉ xảy ra khi ϕ là đa điều hòa dưới Ngoài ra, điều kiện (dd c ϕ) n ≥ e εϕ v cũng đúng theo nghĩa đa thế vị.
Để chứng minh Mệnh đề 1.4.3, ta bắt đầu với giả thiết rằng ϕ là một hàm liên tục và áp dụng Mệnh đề 1.3.6, từ đó dẫn đến kết luận cần chứng minh Tuy nhiên, trong trường hợp hàm ϕ không liên tục, bài toán trở nên phức tạp hơn và cần được phân tích kỹ lưỡng.
Thật vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ε = 1 và
M = Ω là một miền trong C n, và giả sử hàm ϕ là một nghiệm dưới nhớt Theo Mệnh đề 1.1.3, ϕ được xác định là một hàm đa điều hòa dưới Đặt v := f βn, với f > 0 là một hàm trù mật liên tục có dạng thể tích Euclid.
C n Chúng ta có thể xấp xỉ hàm ϕ bởi hàm: ϕ δ (x) := sup y ϕ(y)− 1
, x ∈ Ω δ , với δ > 0 đủ nhỏ và trong đó
Ω δ := {x ∈ Ω; dist(x, ∂Ω) > Aδ} và A > 0 là một hằng số đủ lớn sao cho A 2 > 2osc Ω ϕ.
Các hàm bán lồi ϕ δ hội tụ giảm đến hàm ϕ khi δ hội tụ giảm đến 0 Hơn nữa, do các hàm ϕ δ thỏa mãn bất đẳng thức trong nghĩa nghiệm nhớt trên miền Ω δ c δ n ϕ δ, theo Mệnh đề 1.1.3, hàm ϕ δ cũng được xác định là một hàm đa điều hòa dưới.
Vì ϕ δ là liên tục nên áp dụng Mệnh đề 1.3.6 suy ra
Theo nghĩa đa thế vị, ta có bất đẳng thức (dd c ϕ δ ) n ≥ e ϕ δ fδβn ≥ e ϕ fδβn Do toán tử Monge-Ampère phức là liên tục dọc theo các dãy giảm của các hàm đa điều hòa bị chặn và vì f δ hội tụ tăng đến hàm f, nên kết luận rằng (dd c ϕ) n ≥ e ϕ theo nghĩa đa thế vị.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp khác hơn Đặt ϕ là một hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn bất đẳng thức
(dd c ) n ≥e ϕ v, (1.4) theo nghĩa đa thế vị trên Ω Chúng ta sẽ chỉ ra rằng hàm ϕ thỏa mãn bất đẳng thức vi phân (1.7) trên theo nghĩa nghiệm nhớt trên Ω.
Nếu hàm ϕ là liên tục, chúng ta có thể áp dụng Mệnh đề 1.3.6 để có kết quả ngay lập tức Tuy nhiên, trong trường hợp ϕ không phải là hàm liên tục, chúng ta sẽ xem xét một hàm f được xấp xỉ chính quy hóa bởi tích chập ϕδ := ϕ ? χδ trên miền Ωδ Theo Bổ đề 1.4.2, điều này dẫn đến các bất đẳng thức theo điểm trong miền Ωδ.
Cho x 0 ∈ Ω, q là một dạng toàn phương đa thức sao cho ϕ(x 0 ) = q(x 0 ) và ϕ ≤ q trong một lân cận của điểm (x 0 ), gọi là hình cầu 2B, trong đó
B := B(x 0 , r) b Ω Vì ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω nên theo Mệnh đề 1.3.6 hàm ϕ thỏa mãn (dd c ϕ) n ≥ 0 theo nghĩa nghiệm nhớt trên
Theo Bổ đề 1.3.4, ta có dd c q(x 0 ) ≥ 0 Bằng cách thay thế hàm q bằng hàm q(x) + ε|x−x 0 | 2 với ε > 0 và chọn r > 0 đủ nhỏ, chúng ta có thể giả định rằng q là một hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu 2B Tiếp theo, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh điều này.
(dd c q(x 0 )) n ≥e ϕ(x 0 ) f(x 0 )β n Thật vậy, với mỗi ε > 0 và đặt q ε (x) := q(x) + 2ε(|x−x0| 2 −r 2 ) +εr 2 Quan sát rằng vì ϕ ≤q trên hình cầu 2B, ta có
Khi δ đủ nhỏ, hàm ϕδ(x)−q ε (x) đạt giá trị cực đại trên hình cầu đóng B¯ tại các điểm bên trong xδ ∈ B, và giá trị cực đại này thỏa mãn bất đẳng thức limδ→0max Do đó, ϕ δ (x 0 )−q(x 0 ) tiến tới 0 khi δ → 0, dẫn đến ϕ(x 0 )−q(x 0 ) cũng bằng 0.
(ϕ δ −q ε ) = lim δ→0(ϕ δ (x δ )−q ε (x δ )) ≥ εr 2 (1.6) Tiếp theo, ta chứng minh rằng x δ →x 0 Thật vậy, ta có ϕ δ (x δ )−q ε (x δ ) = ϕ δ (x δ )−q(x δ )−2ε(|x δ −x 0 | 2 −r 2 )−εr 2
Nếu x₀ là điểm giới hạn của dãy (xδ) trong B̅, thì hàm maxB̅(ϕδ − qε) hội tụ đến hàm −2ε|x₀₀ − x₀|² + εr² Theo bất đẳng thức (1.9), giới hạn này lớn hơn hoặc bằng εr² Do đó, ta có −2ε|x₀₀ − x₀|² ≥ 0, dẫn đến x₀₀ = x₀ Kết luận này xác nhận điều cần chứng minh.
Từ các tính chất trên, chúng ta có thể kết luận rằng dd c ϕ δ (x δ ) ≤dd c q ε (x δ ), do đó theo bất đẳng thức (1.8) với δ >0 đủ nhỏ ta có
Vì ϕ δ −q ε = (ϕ δ −q) + (q −q ε ) theo Bổ đề Dini ta có lim sup δ→0 maxB ¯
Do đó lim δ→0 (ϕ δ (x δ )−q ε (x δ )) ≥lim δ→0 min
Vì dãy {q ε } hội tụ trong C 2 - chuẩn đến hàm q nên suy ra
Bằng cách lập luận tương tự, khi ε → 0 suy ra bất đẳng thức như đã yêu cầu
Nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của các phương trình
trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic
Cho X là một đa tạp phức n-chiều liên thông, với ω là (1,1)-dạng vi phân thực đóng và v là dạng thể tích không âm trên X Giả sử ε ∈ R + và ϕ là hàm ω-đa diều hòa xác định trên các tập con compact của X Chúng ta nghiên cứu phương trình Monge - Ampère phức trong bối cảnh này.
(DM A ε v ) (w +dd c ϕ) n = e εϕ v. Định nghĩa 1.5.1 Phương trình (DM A ε v ) được gọi làphương trình Monge
- Ampère phức suy biến kiểu elliptic
Trong luận văn, phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v ) được viết lại dưới dạng:
Tiếp theo, cho x ∈ X Nếu κ ∈ ∧ 1,1 TxX là một (1,1) - dạng vi phân trên
X định nghĩa κ + bằng κ n khi κ ≥ 0 và bằng 0 trong trường hợp còn lại Để nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình (DM A ε v), chúng ta thực hiện biến đổi nhỏ từ phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Cụ thể, chúng ta sẽ tập trung vào nghiên cứu phương trình sau.
Ký hiệu P SH(X, w) là tập hợp tất cả các hàm w-đa điều hòa dưới trên
X (sau đây gọi tắt là w -đa điều hòa dưới) Khi đó, tồn tại các hàm nửa liên tục trên khả tích ϕ : X →R∪ {−∞} sao cho dd c ϕ ≥ −w, theo nghĩa dòng.
Cho ε > 0 và v > 0 Năm 1992, khi nghiên cứu về nghiệm nhớt của các phương trình đạo hàm riêng cấp 2, M Crandall, H Ishii và P.L Lions trong
[5] đã chứng minh được kết quả sau đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v ) +
Bổ đề 1.5.2 [5] Cho Ω ⊂ là một tập con mở và z : Ω →C n là một hệ tọa độ chỉnh hình Gọi h là một thế vị địa phương nhẵn của w xác định trên Ω.
Khi đó, phương trình DM A ε v được rút gọn trong tọa độ chỉnh hình thành phương trình vô hướng
(DM A ε v\z ) e εu W −det(uz z ¯) = 0, trong đó u = (ϕ+ h) | Ω ◦z −1 , z∗v = e εh| Ω ◦z −1 W dλ và λ là độ đo Lebesgue trên z(Ω).
Mặt khác, phương trình (DM A ε v ) + được rút gọn thành phương trình vô hướng
Theo Bổ đề 1.5.2 trong tài liệu [5], nghiệm dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.5.3 Cho ϕ (2) x là khai triển Taylor bậc hai tại điểm x ∈ X của một hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C 2.
Một nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v )+ là hàm nửa liên tục ϕ: X → R ∪ {−∞}, với điều kiện ϕ không đồng nhất bằng −∞ Nếu tại điểm x₀ ∈ X, tồn tại q ∈ C² trong lân cận x₀ sao cho ϕ(x₀) = q(x₀) và ϕ − q đạt cực đại địa phương tại x₀, thì F+(qx(2)₀) ≤ 0.
Trong định nghĩa về nghiệm dưới, khi ε = 0 và v = 0, khái niệm nghiệm dưới không được xác định do mọi hàm nửa liên tục đều là nghiệm dưới nhớt của phương trình (dd c ϕ) n + = 0 Vì vậy, trong luận văn này, chúng ta chỉ xem xét trường hợp v > 0 Tiếp theo, chúng ta đưa ra định nghĩa về nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v) Định nghĩa 1.5.4 nêu rõ rằng ϕ (2) x là khai triển Taylor bậc hai tại điểm x ∈ X của một hàm giá trị thực ϕ khả vi lớp C 2.
Một nghiệm dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) là một hàm nửa liên tục ϕ: X → R ∪ {−∞}, với điều kiện ϕ không đồng nhất bằng −∞ và thỏa mãn các tính chất nhất định Cụ thể, nếu x0 ∈ X và q ∈ C² được xác định trong lân cận của x0 sao cho ϕδ(x0) = q(x0) và ϕ−q đạt cực đại địa phương tại x0, thì F(qx(2)0) ≤ 0 Để so sánh các nghiệm dưới của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) và (DM A ε v)+, chúng ta có kết quả rằng mọi nghiệm dưới ϕ của phương trình Monge đều được xem xét trong bối cảnh này.
- Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v )đều là nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v ) + , nó là các hàm w-đa điều hòa dưới.
Một hàm nửa liên tục trên, bị chặn địa phương, là w-đa điều hòa dưới và thỏa mãn điều kiện (w+dd c ϕ) n BT ≥ e εϕ v nếu và chỉ nếu nó là nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v).
Nếu v > 0 thi các nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v ) + là các nghiệm dưới của phương trình (DM A ε v ).
Chứng minh rằng chọn một thế vị địa phương ρ sao cho dd c ρ = w và đặt ϕ 0 = ϕ+ρ, v 0 = e ερ v sẽ dẫn đến các khẳng định trong mệnh đề là hệ quả trực tiếp của các định nghĩa và định lý liên quan Định nghĩa 1.5.6 xác định nghiệm trên của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) là một hàm liên tục ϕ : X → R∪ {+∞} sao cho ϕ 6≡ +∞ và nếu ϕ(x 0) = q(x 0) với q ∈ C 2 trong lân cận của x 0, thì F + (qx (2) 0 ) ≥ 0 Định nghĩa 1.5.7 mô tả một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) nếu nó vừa là nghiệm trên và nghiệm dưới.
Một nghiệm đa thế vị của phương trình (DM A ε v ) là một hàm nửa liên tục trên ϕ∈ L ∞ ∩ P SH(X, ω) sao cho
Theo định nghĩa 1.5.7, các nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic đều liên tục Các nghiệm này bao gồm nghiệm trên và nghiệm dưới cổ điển của phương trình (DM A ε v), với các nghiệm nhớt trên và dưới có khả năng vi phân lớp C².
Nguyên lý so sánh địa phương đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) được định nghĩa khi các điều kiện nhất định được thỏa mãn Cụ thể, Ω ⊂ X là một tập con mở với Ω¯ là song chỉnh hình với một miền giả lồi mạnh, nhẵn và bị chặn trong C n Đồng thời, u (hoặc nghiệm dưới bị chặn) phải thỏa mãn điều kiện lim sup z→∂Ω.
Nguyên lý so sánh toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) được định nghĩa khi X là một tập compact và thỏa mãn các điều kiện nhất định Cụ thể, nếu u là nghiệm dưới bị chặn và u là nghiệm trên bị chặn của phương trình (DM A ε v) trong X, thì ta có mối quan hệ u ≤ u.
Nguyên lý so sánh (toàn cục) đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v ) + tương tự như đối với phương trình (DM A ε v ) trong Định nghĩa 1.5.9 Do phương trình (DM A ε v ) + có vô số nghiệm dưới, nguyên lý so sánh này dẫn đến nguyên lý so sánh cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v ) Tuy nhiên, vì mọi hàm nửa liên tục đều là nghiệm dưới, nên nguyên lý so sánh địa phương không áp dụng cho các phương trình (DM A ε v ) + Định nghĩa 1.5.11 chỉ ra rằng một hàm thực u được định nghĩa trong tập mở Ω ⊂ n là khả vi hai tại điểm z ∈ Ω hầu khắp nơi nếu và chỉ nếu với mọi điểm z 0 ∈ Ω bên ngoài một tập Borel có độ đo Lebesgue 0.
Ω, tồn tại một dạng toàn phương Q z 0 u trên R 2n mà có dạng cực song tuyến đối xứng, ký hiệu là D 2 u(z0), thỏa mãn với mọi ξ ∈ R 2n với |ξ| 0 và v > 0.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử ε = 1 Gọi u là một nghiệm dưới bị chặn và u là một nghiệm trên bị chặn của phương trình Monge
Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A ε v) được nghiên cứu trong một tập mở, giả lồi mạnh, trơn và bị chặn Ω, với điều kiện u ≤ u trên biên ∂Ω Để đơn giản hóa, ta thay thế u và u bằng u−δ và u+δ tương ứng, từ đó có thể giả sử rằng u ≤ u trong một lân cận nhỏ của biên ∂Ω.
Trong chứng minh Mệnh đề 1.4.3, chúng ta áp dụng các tích chập cận trên và dưới đúng của hàm u Vì các hàm u và u bị chặn và chỉ khác nhau bởi một hằng số nhỏ, ta có thể giả định rằng với α > 0 đủ nhỏ và x ∈ Ωα, ta có u α (x) := sup y∈Ω u(y)− 1.
Do đó, với α > 0 đủ nhỏ, ta có u α (x) ≤ u α (x) trong lân cận của biên
Ω α Đặt M α := sup Ω α[u α −u α ] Suy ra lim inf α→0 + M α ≥sup
Bằng chứng minh phản chứng, giả sử rằng sup Ω [uưu] > 0 khi đó, với α > 0 đủ nhỏ, cận trên đúng M α là dương và do đó nó đạt được tại một điểm x α ∈ Ω α
Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic 29
của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu el- liptic
Bài viết trình bày cách kết hợp giữa phương pháp nghiệm nhớt và lý thuyết đa thế vị để tìm nghiệm cho phương trình Monge-Ampère phức suy biến Phương pháp này giúp xác định các nghiệm của phương trình một cách hiệu quả, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực toán học phức tạp.
Phương trình Monge-Ampère phức suy biến có thể được tiếp cận bằng cách sử dụng nguyên lý so sánh toàn cục của nghiệm nhớt và các kỹ thuật đa thế vị của Kolodziej Bằng cách áp dụng các phương pháp này, chúng ta có thể tìm ra nghiệm của phương trình mà không cần phải dựa vào cách giải của S.T Yau về giả thuyết Calabi liên quan đến tính liên tục của nghiệm nhớt Các nghiệm được xây dựng từ cận trên đúng của nghiệm dưới nhớt và nghiệm theo nghĩa đa thế vị, với điều kiện ε ≥ 0.
Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A v ) sau đây
Trong trường hợp ε = 1, nguyên lý so sánh nhớt toàn cục áp dụng cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A 1 v) cho phép chứng minh tính liên tục của nghiệm nhớt của phương trình này bằng phương pháp của Perron Cụ thể, theo Định lý 2.1.1, nếu phương trình (DM A 1 v) có một nghiệm dưới bị chặn u và một nghiệm nhớt trên bị chặn u, thì hàm ϕ = sup w | u ≤ w ≤ u, với w là nghiệm nhớt của (DM A 1 v), sẽ là nghiệm nhớt duy nhất của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) Đặc biệt, hàm ϕ không chỉ là một hàm w-đa điều hòa dưới liên tục mà còn là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) theo nghĩa đa thế vị.
Theo [5, Bổ đề 4.2], cận trên ϕ của các nghiệm nhớt của phương trình (DM A 1 v) cũng là một nghiệm dưới nhớt của (DM A 1 v) do hàm này là nửa liên tục dưới Vì vậy, hàm ϕ được xác định là nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A 1 v) +.
Ký hiệu ϕ ∗ đại diện cho bao của các hàm nửa liên tục dưới ϕ Chúng ta sẽ chứng minh rằng ϕ ∗ là nghiệm nhớt trên của phương trình (DM A 1 v ) bằng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại rằng ϕ ∗ không phải là nghiệm nhớt trên của phương trình (DM A 1 v ) Giả định x 0 ∈ X và hàm khả vi lớp C 2 sao cho ϕ ∗ − q đạt giá cực tiểu địa phương bằng 0 tại điểm x 0, đồng thời F + (qx (2) ) < 0.
Chúng ta có thể xây dựng một nghiệm nhớt dưới \( U \) sao cho \( U(x_1) > \phi(x_1) \) với \( x_1 \in X \) Mâu thuẫn này dẫn đến việc hàm \( \phi^* \) trở thành một nghiệm nhớt trên, và theo nguyên lý so sánh nhớt, ta có \( \phi^* \geq \phi \) Do đó, với \( \phi = \phi^* \geq \phi^* \), ta có \( \phi = \phi^* = \phi^* \) là một nghiệm nhớt liên tục, từ đó hoàn thành điều cần chứng minh.
Để xây dựng nghiệm dưới nhớt U, ta đặt (z1, zn) là hệ tọa độ và giả sử v > 0 trên hình cầu phức Với các tham số γ, δ, r > 0 đủ nhỏ, ta có qγ,δ = q + δ − γkzk², thỏa mãn điều kiện F + (qγ,δ(2)) < 0 khi kz(x)k ≤ r.
Chọn δ = (γr 2 )/8, r > 0 đủ nhỏ Vì ϕ ∗ (x) −q(x) ≥ 0 với kz(x)k ≤ r nên ta có ϕ(x) ≥ ϕ ∗ (x) > qγδ(x) nếu r/2 ≤ kz(x)k ≤ r Khi đó, ta định nghĩa hàm U xác định bởi:
Hàm U(x) được định nghĩa là U(x) = max(ϕ(x), q δ,γ (x)) khi kz(x)k ≤ r, và U(x) = ϕ(x) trong các trường hợp còn lại Điều này cho thấy U là một nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A 1 v) +, đồng thời cũng là một nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) khi giả sử v > 0 trên phần liên quan của X Bằng cách chọn một dãy (x n) hội tụ đến x 0 với ϕ(x n) → ϕ ∗ (x 0), ta nhận được q γ,δ(x n) → ϕ ∗ (x 0) + δ.
Vì vậy, với n 0 ta có U(x n ) =q γ,δ (x n ) > ϕ(x n ).
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm ϕ là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A 1 v) theo nghĩa đa thế vị, dựa trên các lập luận trước đó trong lý thuyết đa thế vị.
Theo Mệnh đề 1.4.3, vì ϕ là một nghiệm nhớt, ta có (ω + dd c ϕ) n BT ≥ e εϕ v Sử dụng phương pháp phản chứng, ta chọn B ⊂ một hình cầu sao cho (ωdd c ϕ n BT 6= e εϕ v) Nghiệm của bài toán Dirichlet là một hàm đa điều hòa liên tục ψ trên B, với điều kiện (ω + dd c ψ) n BT 6= e εψ v và ψ 6= ϕ.
Theo nguyên lý so sánh của Bedford Taylor, ta có ψ ≥ ϕ và ψ ≥ ϕ theo giả thiết, dẫn đến việc hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt Với t > 0 đủ nhỏ, ϕ 0 = max(ϕ, ψ−t) trở thành một nghiệm dưới nhớt khác với ϕ 0 > f trên một tập con mở, điều này mâu thuẫn với định nghĩa bao của hàm ϕ Như vậy, Định lý 2.1.1 đã được chứng minh.
Trong trường hợp ε = 0 trên đa tạp Kahler compact, nghiệm dưới và nghiệm trên của phương trình (ω + dd c ϕ) n = v không tồn tại, dẫn đến việc không thể áp dụng phương pháp chứng minh của Perron để xây dựng tính liên tục của nghiệm phương trình Monge - Ampère phức Định lý 2.1.3 chỉ ra rằng, với X là một đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki và v là độ xác suất nửa xác định dương với L p - trù mật (p > 1), cùng với ω ≥ 0 là một (1,1) - dạng thực nhẵn, nửa xác định dương, ta có những điều kiện cần thiết để nghiên cứu sâu hơn.
X ω n = 1 Khi đó, hàm ω- đa điều hòa dưới duy nhất bị chặn địa phương trên X được chuẩn hóa bởi R
X ϕ = 0 sao cho độ đo Monge - Ampère của nó thỏa mãn phương trình (ω +dd c ϕ) n BT = v là một hàm liên tục.
Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo
phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá tính liên tục của nghiệm nhớt dưới cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact.
Giả sử X là một đa tạp Kahler compact với v là một dạng thể tích nửa xác định dương và liên tục Cổ định β là một dạng Kahler trên X Chúng ta xem xét điều kiện (∗) trên X.
Trong [4] và [6] đã chứng minh được khi X là một đa tạp Kahler compact, ω là một(1,1)-dạng nửa xác định dương với R
Nếu X ω n > 0, thì (X, ω) thỏa mãn điều kiện (∗) Dựa vào nguyên lý toàn cục cho nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic và Định lý 2.1.1, chúng ta có thể xây dựng nghiệm nhớt cho phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không cần đến các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục Định lý 2.2.1 khẳng định rằng nếu X là một đa tạp Kahler compact và ω là một (1,1)-dạng nửa xác định dương với R.
Khi X là một không gian với ω n > 0 và v là một độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục trên X, điều kiện (∗) được thỏa mãn Điều này dẫn đến sự tồn tại của một hàm ω-đa điều hòa duy nhất dưới ϕ, là nghiệm nhớt tương đương với nghiệm đa thế vị của phương trình Monge - Ampère phức suy biến.
Nếu ω là dạng Kahler trên X, thì điều kiện (∗) được thỏa mãn, và nếu v là một đo dương, theo [6, Mệnh đề 4.3], ta có thể suy ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A 1 v).
Sự tồn tại của nghiệm nhớt trong phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A 1 v) được xây dựng thông qua phương pháp xấp xỉ Giả sử v là một độ đo dương trên không gian X, với lớp {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn điều kiện R.
0 < ε ≤1, tồn tại duy nhất hàm ω +εβ - đa điều hòa dưới uε thỏa mãn
Vì dãy (u ε ) là dãy compact tương đối theo L 1 (X) nên sup X u ε là bị chặn khi ε &0 + Mặt khác, ta có e sup X u ε ≥
X ω n do đó sup X u ε bị chặn dưới Đặt w ε := u ε − sup X u ε Vì w ε là một dãy hàm compact tương đối của các hàm (ω+β) - đa điều hòa dưới, nên tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi 0 < ε ≤ 1, ta có R.
X w ω dv ≥ −C theo [9] Từ tính lõm logarithm suy ra log
Do đó, dãy hàm sup X u ε là bị chặn.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng dãy (uε) giảm khi ε hội tụ giảm đến
0 + Thật vậy, giả sử 0 < ε 0 ≤ε và cố định δ > 0 Khi đó, các hàm uε 0 , uε là đa điều hòa dưới Theo nguyên lý so sánh ta có
Đối với các hàm \( u_\epsilon \), ta có bất đẳng thức \( (ω+εβ +dd c uε 0 )^n ≥ (ω +ε 0 β +dd c uε 0 )^n ≥ e^{δ} (ω +εβ +dd c uε)^n \) trên tập hợp \( (u ε 0 ) ≥ u ε + δ \) có độ đo Lebesgue bằng 0 Vì \( δ > 0 \) là tùy ý, suy ra \( uε 0 ≤ uε \) Đặt \( u = \lim_{\epsilon \to 0} uε \) là giới hạn giảm của các hàm \( uε \) Theo cách xây dựng, \( u \) là một hàm ω-đa điều hòa dưới Theo [6, Mệnh đề 1.2, Định lý 2.1 và Mệnh đề 3.1], suy ra \( u \) là bị chặn và là nghiệm (đa thế vị) của phương trình Monge-Ampère phức.
Từ điều kiện (∗) đã được thỏa mãn, theo Hệ quả 3.2, hàm u được chứng minh là liên tục và là một nghiệm nhớt cho phương trình Monge-Ampère phức dạng (ω + dd^c u)^n = e^u v.
Ta còn phải chỉ ra tính xác định dương của v Vì {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn R
X ω n > 0 và v là độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục nên phương trình Monge-Ampère phức có thể giải được
(ω +dd c ϕε) n = e ϕ ε [v +εβ n ], trong đó ϕε là các hàm ω - đa điều hòa dưới, liên tục và 0< ε ≤1 Vì e sup X ϕ ε ≥
1 +R X β n nên ta có sup X ϕε bị chặn dưới.
Từ tính chất lõm của hàm logarit, ta có M ε := sup X ϕ ε bị chặn trên Đặt ψ ε := ϕ ε − M ε, ta nhận thấy rằng (ψ ε) là một dãy compact tương đối của các hàm ω - đa điều hòa dưới Do đó, tồn tại một hằng số C > 0 sao cho R.
Do đó, dãy (M ε ) là bị chặn đều.
Cuối cùng, ta chứng minh rằng dãy (ϕ ε ) là compact tương đối trong
L 1 (X) Thật vậy, theo [6, Mệnh đề 2.6 và Mệnh đề 3.1] suy ra hàm ϕ ε bị chặn đều khi ε hội tụ giảm xuống tới 0.
Từ [6, Bổ đề 2.3] cùng với tính bị chặn đều của dãy (ϕ ε ) suy ra với bất kỳ 0< δ