phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic
Cho X là một đa tạp Kahler compact n- chiều, v > 0 là một dạng thể tích nửa xác định dương với trù mật liên tục, ε ≥0 và cho ω là (1,1) - dạng đóng, thực, nhẵn có lớp đối đồng điều là nửa xác định dương và thỏa mãn {ω}n > 0.
2.1 Phương pháp của Preron về tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu el- liptic
Bằng cách kết hợp giữa phương pháp nghiệm nhớt và các kỹ thuật của lý thuyết đa thế vị để tìm nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức suy biến có dạng
(ω+ddcϕ)n = eεϕv,
với ε ≥ 0.
Ở đây, bằng cách chỉ sử dụng cách xây dựng cận trên đúng của các nghiệm dưới nhớt và nghiệm theo nghĩa đa thế vị, nguyên lý so sánh toàn cục của nghiệm nhớt và các kỹ thuật đa thế vị của Kolodziej [11, 6], chúng ta hoàn toàn có thể tiếp cận cách tìm nhiệm của phương trình Monge-Ampère phức suy biến trên độc lập và thay thế cho cách giải của S.T. Yau [12] về giả thuyết Calabi về tính liên tục nghiệm nhớt của phương trình Monge -
Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM Av) sau đây (ω +ddcϕ)n = eεϕv
Trong trường hợp ε = 1, khi nguyên lý so sánh nhớt toàn cục được áp dụng đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1v), ta chứng minh tính liên tục của nghiệm nhớt (hay là nghiệm thế vị) của phương trình(DM A1v)bằng phương pháp của Perron. Cụ thể, chúng ta có định lý sau
Định lý 2.1.1. (Phương pháp của Preron) Giả sử nguyên lý so sánh nhớt toàn cục được áp dụng đối với phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic (DM A1v) và phương trình (DM A1v) có một nghiệm dưới bị chặn u và một nghiệm nhớt trên bị chặn u. Khi đó, ta có hàm
ϕ = supw | u ≤ w ≤u và w là nghiệm nhớt của (DM A1v)
là nghiệm nhớt duy nhất của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v). Đặc biệt, hàm ϕ là một hàm w-đa điều hòa dưới, liên tục. hơn nữa ϕ cũng là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v)
theo nghĩa đa thế vị.
Chứng minh. Thật vậy, theo [5, Bổ đề 4.2 ] suy ra cận trênϕcác nghiệm nhớt của phương trình (DM A1v) cũng là một nghiệm dưới nhớt của (DM A1v) vì nó là hàm nửa liên tục dưới. Do đó, hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt của phương trình (DM A1v)+.
Ký hiệu ϕ∗ là bao của các hàm nửa liên tục dưới ϕ. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng ϕ∗ là một nghiệm nhớt trên của phương trình (DM A1v). Bằng phương pháp chứng minh phản chứng. Giả sử ngược lại ϕ∗ là không là nghiệm nhớt trên của phương trình(DM A1v). Cố địnhx0 ∈ X và hàmq khả vi lớpC2 sao cho ϕ∗−q đạt giá cực tiểu địa phương bằng 0 tại điểm x0 và F+(qx(2)) < 0. Do đó, ta có vx0 > 0.
Chúng ta có thể xây dựng một nghiệm nhớt dướiU sao choU(x1) > ϕ(x1) vớix1 ∈ X. Điều mâu thuẫn này dẫn đến hàmϕ∗ là một nghiệm nhớt trên và theo nguyên lý so sánh nhớt ta có ϕ∗ ≥ϕ. Vìϕ = ϕ∗ ≥ ϕ∗ nênϕ = ϕ∗ = ϕ∗
là một nghiệm nhớt liên tục. Và ta có điều phải chứng minh.
và giả sử v > 0 trên hình cầu phức này. Khi đó, với γ, δ, r > 0đủ nhỏ ta có
qγ, δ = q +δ −γkzk2 thỏa mãn F+(qγ,δ(2)) < 0 với kz(x)k ≤ r.
Chọn δ = (γr2)/8, r > 0 đủ nhỏ. Vì ϕ∗(x) −q(x) ≥ 0 với kz(x)k ≤ r
nên ta có ϕ(x) ≥ ϕ∗(x) > qγδ(x) nếu r/2 ≤ kz(x)k ≤ r. Khi đó, ta định nghĩa hàm U xác định bởi:
U(x) = max(ϕ(x), qδ,γ(x)),
nếu kz(x)k ≤ r và U(x) = ϕ(x) trong trường hợp còn lại. Suy ra, hàm U là một nghiệm dưới nhớt của phương trình(DM A1v)+ và do đó nó cũng là một nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức(DM A1v)vì chúng ta có thể giả sử rằngv > 0trên phần có liên quan củaX. Chọn một dãy(xn) hội tụ đến x0 sao cho ϕ(xn) → ϕ∗(x0). Khi đó, ta có qγ,δ(xn) → ϕ∗(x0) +δ. Vì vậy, với n 0 ta có U(xn) =qγ,δ(xn) > ϕ(xn).
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh hàm ϕlà một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v) theo nghĩa đa thế vị. Nó xuất phát từ lập luận trước đó trong lý thuyết đa thế vị.
Thật vậy, vì ϕ là một nghiệm nhớt, theo Mệnh đề 1.4.3, ta có (ω +
ddcϕ)nBT ≥ eεϕv. Bằng phương pháp phản chứng, chọn B ⊂ một hình cầu mà trên đó (ωddcϕnBT 6= eεϕv). Nghiệm của bài toán Dirichlet là một hàm đa điều hòa dưới liên tục ψ trên B với (ω+ddcψ)nBT 6= eεψv và ψ 6= ϕ trên
∂B. Theo nguyên lý so sánh của Bedford Taylor suy ra ψ ≥ ϕ và ψ ≥ ϕ
theo giả thiết. Do đó, hàm ϕ là nghiệm dưới nhớt. Với t > 0 đủ nhỏ, ta có
ϕ0 = max(ϕ, ψ−t) là một nghiệm dưới nhớt khác với ϕ0 > f trên một tập con mở. Điều này là mâu thuẫn với định nghĩa bao của hàm ϕ. Vậy Định lý 2.1.1 được chứng minh.
Nhận xét 2.1.2. Trong trường hợp khi ε = 0, tức là ta có(ω+ddcϕ)n = v
trên đa tạp Kahler compact thì các nghiệm dưới và nghiệm trên của phương trình này không tồn tại và chúng ta không thể áp dụng được phương pháp chứng minh trên đây của Perron trong việc xây dựng tính liên tục của nghiệm của phương trình Monge - Ampère phức (ω +ddcϕ)n = v.
Định lý 2.1.3. [6] Cho X là một đa tạp phức compact thuộc lớp Fujiki. Cho v là một độ xác suất nửa xác định dương với Lp - trù mật, p > 1 và cố định ω ≥ 0 là một (1,1) - dạng thực, nhẵn, nửa xác định dương thỏa mãn
R
trên X được chuẩn hóa bởi RX ϕ = 0 sao cho độ đo Monge - Ampère của nó thỏa mãn phương trình (ω +ddcϕ)nBT = v là một hàm liên tục.
2.2 Sự tổn tại nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp Kahler compact
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính liên tục nghiệm nhớt dưới của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact.
Giả sử X là một đa tạp Kahler compact và v là một dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục. Cổ định β là một dạng Kahler trên X. Xét điều kiện (∗) trên X như sau:
(∗) ∃η > 0∃ψ ∈ L∞∩ P SH(X, ω) : (ω +ddcψ)n ≥ ηβn.
Trong [4] và [6] đã chứng minh được khi X là một đa tạp Kahler compact,
ω là một(1,1)-dạng nửa xác định dương với RX ωn > 0thì (X, ω) thỏa mãn điều kiện (∗). Khi đó, sử dụng nguyên lý toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic và Định lý 2.1.1 chúng ta có thể xây dựng nghiệm nhớt của phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không sử dụng các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục [2, 12].
Định lý 2.2.1. Giả sử X là một đa tạp Kahler compact, ω là một (1,1)- dạng nửa xác định dương với RX ωn > 0 và v là một độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục trên X. Khi đó, điều kiện (∗) được thỏa mãn và tồn tại một duy nhất hàm ω-đa điều hòa dưới ϕ là nghiệm nhớt (tương đương nghiệm đa thế vị) của phương trình Monge - Ampère phức suy biến
(ω +ddcϕ)n = eϕv
Chứng minh. Tính duy nhất: Nếu ω là dạng Kahler trênX thì điều kiện (∗) được thỏa mãn, hơn nữa nếu v clà một đo đo dương thì theo [6, Mệnh đề 4.3] suy ra tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1v).
Sự tồn tại: Trong trường hợp tổng quát, xây dựng nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến (DM A1v) bằng phương pháp
xấp xỉ của [6]. Thật vậy, trước tiên giả sử v là một độ đo dương trên X
nhưng lớp {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn RX ωn > 0. Với mỗi 0 < ε ≤1, tồn tại duy nhất hàm ω +εβ - đa điều hòa dưới uε thỏa mãn
(ω +εβ +ddcuε)n = euεv.
Vì dãy (uε) là dãy compact tương đối theo L1(X) nên supX uε là bị chặn khi ε &0+. Mặt khác, ta có esupXuε ≥ R X ωn v(X) = Z X ωn
do đó supX uε bị chặn dưới, đều. Đặt wε := uε −supX uε. Vì wε một dãy hàm compact tương đối của các hàm (ω+β) - đa điều hòa dưới nên tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi 0 < ε ≤1 ta có RX wωdv ≥ −C theo [9]. Từ tính lõm logarithm suy ra log Z X (ω+β)n ≥ sup X uε + log Z X (ewεdv) ≥sup X uε−C Do đó, dãy hàm supX uε là bị chặn.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng dãy (uε) giảm khi ε hội tụ giảm đến 0+. Thật vậy, giả sử 0 < ε0 ≤ε và cố định δ > 0. Khi đó, các hàm uε0, uε là đa điều hòa dưới. Theo nguyên lý so sánh ta có
Z (uε0≥uε+δ) (ω +εβ +ddcuε0)n ≤ Z (uε0≥uε+δ) (ω +εβ +ddcuε)n. Vì (ω+εβ +ddcuε0)n ≥ (ω +ε0β +ddcuε0)n ≥eδ(ω +εβ +ddcuε)n.
trên tập hợp (uε0) ≥ uε + δ có độ đo Lebesgue bằng 0. Vì δ > 0 là tùy ý suy ra uε0 ≤ uε.
Đặt u = limε→0uε là giới hạn giảm của các hàm uε. Theo cách xây dựng, thì u là một hàm ω- đa điều hòa dưới. Nó theo [6, Mệnh đề 1.2, Định lý 2.1 và Mệnh đề 3.1] suy ra u là bị chặn và là nghiệm (đa thế vị) của phương trình Monge-Ampère phức
(ω+ddcu)n = euv.
Từ đó, suy ra điều kiện (∗) được thỏa mãn. Theo Hệ quả 3.2, suy ra hàm
u là liên tục và là một nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère phức (ω +ddcu)n = euv.
Ta còn phải chỉ ra tính xác định dương của v. Vì {ω} là nửa xác định dương và thỏa mãn RX ωn > 0 và v là độ đo xác suất nửa xác định dương, liên tục nên phương trình Monge-Ampère phức có thể giải được
(ω +ddcϕε)n = eϕε[v +εβn],
trong đó ϕε là các hàm ω - đa điều hòa dưới, liên tục và 0< ε ≤1. Vì
esupXϕε
≥
R
X ωn
1 +RX βn nên ta có supX ϕε bị chặn dưới.
Từ tính chất lõm logarit nên Mε := supX ϕε bị chặn trên. Thật vậy, đặt
ψε := ϕε−Mε. Khi đó, ta có (ψε) là một dãy compact tương đối các hàm ω - đa điều hòa dưới. Do đó, tồn tại hằng sốC > 0sao choRXψε(v+βn) ≥ −C. Vì log Z eψε v +εβn R X v +εβn ≥ Z ψε v +εβ n R X v +εβn ≥ Z ψε(v +βn) ≥ −C nên suy ra log Z X ωn ≥ Mε + log 1 +ε Z X βn −C. Do đó, dãy (Mε) là bị chặn đều.
Cuối cùng, ta chứng minh rằng dãy (ϕε) là compact tương đối trong
L1(X). Thật vậy, theo [6, Mệnh đề 2.6 và Mệnh đề 3.1] suy ra hàm ϕε bị chặn đều khi ε hội tụ giảm xuống tới 0.
Từ [6, Bổ đề 2.3] cùng với tính bị chặn đều của dãy (ϕε) suy ra với bất kỳ 0< δ << 1, ta có Capω(ϕε −ϕε0 < −2δ) ≤ C δn Z ϕε−ϕε0<−δ (ω+ ddcϕε)n ≤ C δn+1 Z X |ϕϕ−ϕε0|(ω +ddcϕε)n ≤ C 0 δn+1 Z X |ϕε−ϕε0|(v +β)n.
Áp dụng [6, Bổ đề 2.3] lần nữa và (ϕε) bị chặn đều nên suy ra
kϕε−ϕε0kL∞ ≤C(kϕε−ϕε0kL1)n+21 .
Do đó, nếu n là một dãy giảm dần đến 0 khi n → +∞ sao cho dãy hàm 1
đó nó hội tụ đều và là nghiệm đa điều hòa dưới, liên tục duy nhất ϕ của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v). Từ đó, suy ra dãy (ϕε) là dãy duy nhất hội tụ trong L1 khi ε hội tụ giảm đến 0. Do dó, dãy dãy (ϕε) hội tụ đều đến hàm ϕ.
Theo Định lý 2.1.1 suy ra hàm ϕ cũng là một nghiệm dưới nhớt. Khi đó, theo [5, Chú ý 6.3, p. 35] suy raϕcũng là một nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức (DM A1v). Vậy Định lý 2.2.1 được chứng minh. Hệ quả 2.2.2. Hàm ϕP ∈ L∞∩P SH(Xω) thỏa mãn
(ω+ ddcϕP)n = eϕPv
theo nghĩa đa thế vị được xây dựng trong [6, Định lý 4.1] là một nghiệm nhớt và do đó nó liên tục.
Trong trường hợp ε = 0, S. Kolodziej (1998) đã chứng minh được kết quả sau
Mệnh đề 2.2.3. [11] Cho X là một đa tạp compact Kahler, v = f dV0 một độ đo không âm và liên tục đối với dạng thể tích dV0 trên X và ω là một
(1,1)- dạng dóng, thực, nửa xác định dương với thể tích dương. Giả sử v được chuẩn hóa bởi
v(X) =
Z
X
ωn,
trong đó n = dimCX. Mếu ω là dạng Kahler thì tồn tại duy nhất một hàm ϕ là ω-đa điều hòa dưới liên tục thỏa mãn
(ω+ddcϕ)n = v và
Z
X
ϕdV0 = 0.
Định lý 2.2.4. [7, Định lý 3.6] Cho X là một đa tạp compact Kahler, v là một dạng thể tích nửa xác định dương, liên tục và ω là một (1,1)- dạng dóng, thực, nửa xác định dương, nhẵn trên X. Giả sử v được chuẩn hóa bởi
v(X) =
Z
X
ωn,
Khi đó, ta có nghiệm đa thế vị cho của phương trình (DM A0v) là các nghiệm nhớt, vì vậy nó là liên tục.
Kết luận
Luận văn "Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến" đã đạt được một số kết quả sau đây:
1) Trình bày một số kiến thức cơ bản về của lý thuyết đa thế vị phức và giải tích phức như hàm đa điều hòa dưới, miền siêu lồi, miền giả lồi, miền giả lồi mạnh, toán tử Monge-Ampère, phương trình Monge - Ampère phức, ... Trình bày khái niệm nghiệm nhớt và chứng minh sự tồn tại nghiệm dưới nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến trên các đa tạp phức liên thông hữu hạn chiều (Định lý 1.3.9, Hệ quả 1.3.12, Mệnh đề 1.4.3).
2) Chứng minh sự tồn tại nghiệm nhớt của các phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic trên các đa tạp phức compact Mệnh đề 1.5.5). Chứng minh điều kiện nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic Mệnh đề 1.5.12, Định lý 1.5.13 và Hệ quả 1.5.17).
3) Áp dụng nguyên lý so sánh đối với nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu elliptic để chứng minh tính liên tục nghiệm nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic, bằng Phương pháp của Preron cho trường hợp ε = 1 (Định lý 2.1.1). Cuối cùng, luận văn sử dụng nguyên lý toàn cục đối với nghiệm dưới nhớt của phương trình Monge - Ampère phức suy biến kiểu Elliptic trên các đa tạp Kahler compact hữu hạn chiều (Định lý 2.1.1) để thể xây dựng lại nghiệm dưới nhớt của phương trình này và chứng minh tính liên tục của nó một cách trực tiếp mà không sử dụng các kết quả trong định lý Aubin-Yau về tính liên tục (Định lý 2.2.1).