Tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễ

Bài viết Tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-aStokes có trễ đưa ra một số giả thiết cụ thể để có tính chính quy của một lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễ. Cụ thể hơn, bài viết sẽ đưa ra điều kiện để bài toán có duy nhất một nghiệm cổ điển.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 TÍNH CHÍNH QUY CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH LOẠI RAYLEIGH-STOKES CÓ TRỄ Vũ Nam Phong1, Nguyễn Ngọc Huy1 Trường Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Ta xét toán (*):  t u  (1  t )u  f (t , u ) , t  (1)  (2) u  , t  u ( x, s)   ( x, s), x  , s  [h,0], (3)    0,   (0,1) t đạo hàm Riemann-Liouville bậc  định nghĩa: t  1 d t t v (t )   g1 (t  s)v ( s) ds , g  (t )  (  ) dt với   0, t  Trong toán (*), u xác định bởi: u  ( x, t )  u ( x, t   (t )) với hàm  liên tục R  thỏa mãn h  t   (t )  t lim(t   (t ))   ; f : R   L2 ( )  L2 ( ) t  ánh xạ phi tuyến cho trước hàm   Ch  C ([h,0]; L2 ()) Trong năm gần đây, lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes nhận nhiều quan tâm ([2]) mơ tả số vấn đề học chất lưu Không thế, thực tế, điều kiện trễ (3) ứng với xảy trước xét (1) thu hút nhiều ý Mặc dù xuất hàm trễ gây khó khăn chứng minh tính quy báo xem xét tính quy lớp phương trình loại RayleighStokes có trễ Cụ thể hơn, báo đưa điều kiện để tốn có nghiệm cổ điển PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Ta xét toán đơn giản toán (*):  '(t )   (1  t ) (t )  0, t  (4) với   (0)  (5)   hàm vô hướng,   tham số dương Gọi  (,  ,  ) nghiệm toán (4)-(5) ứng với cặp tham số  ,  ,  (,  ,  ) giúp ta biểu diễn nghiệm toán (*) Đặt f  g kí hiệu cho tích chập Laplace, nghĩa là: t ( f  g )(t )   f (t  s ) g ( s )ds, f , g  L1loc (R  )  n n 1 Gọi { } sở trực chuẩn L2 () chứa hàm riêng toán tử Laplace  ứng với điều kiện biên Dirichlet nhất, tức là:  n  n n  ,  n   , giả sử {n }n1 dãy tăng, n  n   n   Ta biểu diễn   ( x )    n n ( x ) S (t ) : L2 ()  L2 () n 1  toán tử xác định S (t )    (t , n ,  ) n n 1 Đặt CT  C ([0, T ]; L2 ()) , xét toán tử Cauchy t Q : CT  CT , Q( f )(t )   S (t  s ) f ( s)ds Ta sử dụng kí hiệu ||  || cho chuẩn sup CT , tức f   sup f (t ) t[0,T ] Mệnh đề 2.1 [1, 2] Giả sử  nghiệm toán (4)-(5) Khi đó: i,  (t )  t   không tăng; ii, (1) n  ( n ) (t )  t  0, n  ¥ ; iii,  (t )   1 min{t 1 , t  1} t  ; iv, 62 t   (s)ds   1 (1   (t )) t  ; Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 v, hàm  a  (t ,  ,  ) không tăng [0, ) ii, S (t )u   (t , 1 ,  ) u , S (t )  t  ; Chứng minh: Có f (t , v)  L(r ) v t  , v  L2 (), v  r từ (F2) Gọi Br hình cầu CT với tâm gốc, bán kính r Xét toán tử  : Br  CT xác định iii, S ()u  C ( m) ((0, T ]; L2 ()) m  ¥ ; t  (u)(t )  S (t ) (0)   S (t  s) f (s, u[ ] (s))ds Bổ đề 2.2 [1, 2] Với u  L () , có: i, S ()u CT  C ([0, T ]; H ()  H 01 ()) ; có S ( m) (t )u   t m t  u1 (t )  u2 (t ) Dễ thấy:  liên tục, compact f liên tục Q compact Có: u với số dương  ; iv, S ( m ) (t )u   t  m 1 u t  0, m  ¥ t (u)(t )      (t  s, 1,  )L(r ) u[ ] (s) ds Bổ đề 2.3 [2] Toán tử Q compact Đặt C  {u  CT | u (0)   (0)} với   Ch   cho trước, ChT  C ([h, T ]; L2 ()) sử dụng kí hiệu ||  || cho chuẩn sup CT , Ch , ChT  (t ), t  [ h,0] Với u  C , đặt u[ ](t )   ; u (t ), t  [0, T ]  (t   (t )), t   (t )  [h,0] u[ ] (t )   u (t   (t )), t   (t )  [0, T ] Ta xét toán tử nghiệm:  : C  C : t (u)(t )  S (t ) (0)   S (t  s) f (s, u[ ] (s))ds Do đó, u điểm bất động  u nghiệm nhẹ (*) Để tính quy toán (*), ta cần giả thiết: (F) (1) f :[0, T ]  L2 ()  L2 () ánh xạ liên tục thỏa mãn: f (,0)  (2) Tồn a, b  0, b  1, L ( r )  1 thỏa mãn t   L(r )r   ( s, 1,  )ds   Vì L(r )11  nên  (u )    L(r )r11  r    với   (1  L( r )11 ) r Do đó,  : Br  Br liên tục compact Áp dụng định lí điểm bất động Schauder, suy  có điểm bất động, nghiệm nhẹ tốn (*) Định lí 3.3 Nếu giả thiết Định lí 3.2 thỏa mãn  Lipschitzian tốn (*) có nghiệm cổ điển [h, T ] Chứng minh: Do Định lí 3.2, tốn (*) có nghiệm nhẹ toàn cục thỏa mãn: t u(t )  S (t ) (0)   S (t  s) f (s, u[ ] (s))ds Ta kiểm tra tính Giả sử u v nghiệm tốn (*), có: u (t )  v(t )   t S (t  s)  f ( s, u[ ] ( s ))  f ( s, v[ ] ( s ))  ds t   f ( s, u[ ] ( s ))  f ( s, v[ ] ( s )) ds t b f (t , u )  f ( s, v)  L(r )  a t  s  u  v    t , s  [0, T ],|| u ||,|| v || r   L(r ) u[ ] ( s )  v[ ] ( s ) ds t  L(r )  sup u ( )  v( ) ds , từ ta suy ra:  [0, s ] t KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Định nghĩa 3.1 Cho   Ch , u nghiệm nhẹ (*) [h, T ] u (, s )   (, s ) s  [ h,0] t  [0, T ] : t u (·, t )  S (t ) (·,0)   S (t  s ) f ( s, u (·, s ))ds Định lí 3.2 Nếu giả thiết (F) thỏa mãn tồn   thỏa mãn ||  ||   , tốn (*) có nghiệm nhẹ [h, T ] với T  sup u ( )  v ( )  L(r )  sup u ( )  v ( ) ds ,  [0,t ]  [0, s ] u  v theo bất đẳng thức Gronwall Ta kiểm tra nghiệm cổ điển theo bước sau Bước 1: chứng minh u liên tục Holder [h, T ] Thứ nhất, xét t  0, 1  (0, T  t ) Có u (t  1 )  u (t )  [ S (t  1 )  S (t )] (0)  63   t 1 t t S (t  1  s ) f ( s, u[ ] ( s )) ds  [ S (t  1  s )  S (t  s )] f ( s, u[ ] ( s )) ds  Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 J1 (t )  J (t )  J (t ) Ta có J (t )  L( r ) r1 ; 1 1t  1 L(r )rt 1 1 (1  1 ) 1  (0,1) Do u (t  1 )  u (t )  C11 J1 (t )   (0) 1 J (t )  Sau đó, xét tới t     t   h Có u (t   )  u (t )  *  at b ct    *    dương, J (t )   L(r )   b    Ta chứng minh u (t ) liên tục (0, T ] , xét t  0,   (0, T  t ) , có u4 (t   )  u4 (t )   t  ( S (t   )  I ) (0)   (0)   (t )   t   J (t )  J (t )  J (t ) Ta có J (t )  l t  l  ;   J (t )  (t   ) (t   )   (0)       (t   ) J (t )  f , suy J (t ) 1  -liên tục Holder với   (0,1) Đặt  *  min{1 , ,1   } , u  * -liên tục Holder [h, T ] Bước 2: chứng minh u  CT Ta có u1 (t )  C ((0, T ]; L2 ()) , ta chứng minh u2 (t )   L(r)r 1t  u2 (t ) C((0,T ]; L2 ()) Tiếp theo, ta chứng minh t a u (t ) liên tục Ta đặt  ( )  u2 (t   )  u2 (t )  1  t [ S (t    s )  S (t  s)] f ( s, u[ ] ( s )) ds  t  t t S (t    s ) f ( s, u[ ] ( s )) ds  S (t    s ) f ( s, u[ ] ( s )) ds  J ( )  J ( ) với t  ,   (0, T  t ) Có J ( )   L(r )r[(1   ) ]1[t      (t   ) ]  J ( )   L( r ) r 1     Bước 3: chứng minh u  C ((0, T ]; L2 ()) Có u1 (t )  C1 ((0,T ]; L2 ()), u2 (t )  u3 (t )  u4 (t ) , t  S (t    s )[u3 ( s )  u3 (t   )]ds  [ S (t    s)  S (t  s)]u4 ( s) ds  [ I  S (t )]u4 (t   )  K1 ( )  K ( )  K ( ) , hiển nhiên K ( )    , có *  a b c   K1 ( )   L(r )   *      b    áp dụng Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy K ( )    Bước 4: chứng minh t u C((0,T ]; L2 ()) Chứng minh tương tự Định lí 3.4 [2] KẾT LUẬN Bài viết đưa số giả thiết cụ thể để có tính quy lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Bazhlekova, B Jin, R Lazarov and Z Zhou 2015 An analysis of the RayleighStokes problem for a generalized secondgrade fluid, Numer Math., 131, no 1, 1-31 [2] D Lan 2021 Regularity and stability analysis for semilinear generalized Rayleigh-Stokes equations, Evolution Equation and Control Theory, doi: 10.3934/eect.2021002 t u3 (t )  f (t , u[ ] (t )), u4 (t )   S (t  s)u3 ( s)ds Có u4 (t )  [ I  S (t )]u4 (t )  J (t ) với J (t ) t   S (t  s )[u3 (t )  u3 ( s )] ds  t   (t  s ) 1 u3 (t )  u3 ( s) ds , u3 (t )  u3 ( s )  L( r )  a(t  s )b  u[ ] (t )  u[ ] ( s )   * L( r )  a (t  s )b  c(t  s )  , với c số   64 ... tương tự Định lí 3.4 [2] KẾT LUẬN Bài viết đưa số giả thiết cụ thể để có tính quy lớp phương trình loại Rayleigh-Stokes có trễ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Bazhlekova, B Jin, R Lazarov and Z Zhou... Schauder, suy  có điểm bất động, nghiệm nhẹ tốn (*) Định lí 3.3 Nếu giả thiết Định lí 3.2 thỏa mãn  Lipschitzian tốn (*) có nghiệm cổ điển [h, T ] Chứng minh: Do Định lí 3.2, tốn (*) có nghiệm... [1, 2] Với u  L () , có: i, S ()u CT  C ([0, T ]; H ()  H 01 ()) ; có S ( m) (t )u   t m t  u1 (t )  u2 (t ) Dễ thấy:  liên tục, compact f liên tục Q compact Có: u với số dương 