Tính chính quy của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên

—, r Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM THÀNH PHĨ HƠ CHÍ MINH Tơ Thị Hồi Thu TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC KHƠNG NGUN Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VÀN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DÁN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 LỜI CÁM ƠN Tơi xin dặc biệt bày tò lòng biết ơn chân thành sâu sắc den Thầy cùa GS TS Động Đức Trọng tất cã nhừng hướng dần góp ý, chi dạy giúp đờ động viên, khích lộ rat nhiệt tình lận tâin cùa Thay suốt trình nghiên cứu vã hỗn thành luận vãn Tơi xin chân thảnh cám ơn Quý Thầy Cô phán biện đục góp ỷ để tơi hồn chinh luận vãn Tôi xin chân thành cảm ơn Quỷ Thầy Cô Hội đồng chầm luận văn dọc cho tói nhiều ý kiến q báu de tơi thấy dược thiếu sót cùa Tơi xin chân thảnh cám ơn Quỳ Thầy Cơ Tồ Tốn Giái tích cũa Trường Dại học Sư phạm Thành phơ Hồ Chi Minh đà giăng dạy tận lình, ln khích lệ tơi dường học tập nghiên cứu Toán học hồn thành luận vãn Tơi xin bày tó lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới quý thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Tin Phịng Sau dại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chi Minh đả tận tinh giúp đờ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cửu hồn thành luận vãn Tơi gứì lời cám ơn chân thành tới bạn bẽ đồng nghiệp đà hồ trợ động viên lạo điều kiện cho thời gian học lụp nghiên cứu hồn ihành luận vãn Tịi dặc biệt bày to lịng biết ơn sâu sắc den gia dinh tơi, dã bên tồi, giúp đừ dộng viên, tạo điều kiện thuận lợi để tơi vượt qua khó khàn Irong trinh học tập hoàn thành luận vãn TƠ Thị Hồi Thu MỤC LỤC Trang phụ bìa Lởi cám ơn Mục lục PHÂN MỜ DÂU Chương KIẾN THỨC CHUẢN BỊ 1.1 Không gian xác suất, trình ngẫu nhiên, lục .4 1.2 Tiếng ồn tráng chuyền dộng Brown 1.3 Martingale 10 1.4 Tốn tử tuyến lính 13 1.5 Biến dối Fourier 14 1.6 Bất đắng thức Holder 16 1.7 Bô dề Gronwall Bellman .16 1.8 Phương trinh đạo hàm riêng bậc không nguyên 16 Chương sụ TỊN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIẸM 18 2.1 Giới thiệu toán 18 2.2 Hàm Grccn cúa toán .18 2.3 Sự tồn nghiệm tính nghiệm 20 Chương TÍNH CHÍNH QUY CÙA NGHIỆM .36 3.1 Giới thiệu 36 3.2 Tính quy cùa nghiệm 36 KẼT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHÁO 52 PHÀN MĨ ĐÀU Phương (rình đạo hàm riêng bậc không nguyên đà mội số tác già nghiên cửu thời gian gần Trên thực tế nhừng loại phương trình có the sử dụng rộng rài Vật lý mòi trưởng Fractal, trường lượng tử quản lý rúi ro lĩnh vực khác |5 16 22| Luận văn dựa báo (I Ị, (5| nhầm mục đích trình bày mờ rộng kết quà dược công bố L Dcbbi M Dozzi vào nãm 2005 [5] Trong cơng trình cua minh, họ đà mơ rộng phương trình truyền nhiệt ngầu nhiên khuôn khổ J B Walsh (251 thành phương trình đạo hàm riêng bậc khơng ngun ngầu nhiên liên quan đền toán tứ vi phàn phân thứ Ị)a, đà giới thiệu bới L Dcbbi |4| 'l'oán tư vi phân Da gọi toán tứ vi phân phân thứ (hay cịn gọi tốn tử vi phân bậc không nguyên) VỚI tham số a, Da dược xác định bời: Dỉộ(x) = Daộ(x) = F ' j-| (x) -1 với ô < min{a - [a], + [a] - a) [er]2 số nguyên chẵn lớn nhiìt bé bang a, F F phép biến đối Fourier vả Fourier ngược Toán tử tống quát cúa toán tứ đà biết toán tư Laplace, nghịch đáo cùa vị Riesz-Fcller tòng quát, toán tử vi phân Ricmann-Liouville [4, 13| Dè đon gián hóa ký hiệu, tham số ổ dược bo qua ký hiệu cùa luận văn khơng có nhằm lần Chinh xác phương trinh dạo hàm riêng bậc không nguyên với tiếng Ồ11 trăng khỏng-thời gian không gian chiều sê nghiên cứu: 'd ĩ = Dau(t,x) + (t x (t x:)) (t x) t xeR âtáx ' - > °' J,.oàx' ' ' ’" ' m(0, x) = ư°(x), xeR M, ‘V hai số nguyên hệ sổ nhừng hàm đo xác định [0, oc) X K X R W(t,x) chuyến dộng Brown trẽn [0, 00)xR (25), thường gọi liếng ồn trắng theo biển không gian thời gian, ởtởx u° hàm ngầu nhiên xác định K Trong suốt luận vãn gia định ràng a G (0; oo)\Fy tòn nghiệm a Ễ (l;oo)\N dổi với tính chính quy cùa nghiệm Luận vãn trình bày hai kết qua Một trình bây vấn đề ban Sự tồn nghiệm tính nghiệm, số điều kiện M N L Dcbbi M Dozzi chi nghiên cứu trường hợp dặc biệt cho N = Tuy nhiên, luận văn trình bày trường hợp tống qt Hai trình bày tính quy theo biến không gian thời gian nghiệm u(t,x) quan hệ cùa a M N Mục dù số phương trinh đạo hàm riêng bộc không nguyên ngẫu nhiên đà nghiên cứu, có kết qua tính quy cùa nghiệm Tính quy cũa nghiệm cùa phương trình đạo hàm riêng ngầu nhiên bậc chần (lớn 2) với chuyển động Brown hình trụ với hệ số trơi Lipschitz bị chặn hệ số khuếch tán không đối bị chặn ban đầu nghiên cứu bới T.Funaki 19 10] sau đỏ nghiên cứu lại [2] Kct quã tương đối SC tống quát cho tất cá bậc phân số « > I luận văn Nhắc lại lảng Da chi toán tư Laplace a = Đối với tính quy nghiệm cùa phương trình truyền nhiệt ngầu nhiên với tiếng ồn trăng khơng-thởi gian, dộc giã có the tham khao [21 24 25] Tính liên tục Holder cua nghiệm u(t,x) dược nghiên cửu bơi L Dcbbi M Dozzi Tuy nhiên, với giã thiết nghiêm ngặt N = a < tác giá chứng tó nghiệm u(t,x) liên tục Holder theo biến khơng gian Kết q trình bày luận vãn khơng có diều kiện Thực lể chúng tơi cho thầy ràng với a > I tính liên lục Holder cùa nghiệm theo biến không gian SC dược thỏa mãn Chúng tơi SỖ trình bày vấn đề liên quan đến phương trình đạo hàm riêng bậc không nguyên ngẫu nhiên chiều với tiếng ồn trắng khôngthời gian Luận vãn trinh bày tồn nghiệm, tính nghiệm tính quy cùa nghiệm theo biến không gian thời gian Luận ván trình bày thành Chương Trong Chương I chúng tơi giới thiệu trình bày số kiến thức bán khái niệm, ký hiệu, không gian hàm sử dụng luận văn Trong Chương chúng tơi trình bày so két quà lon nghiệm tính nghiệm Trong Chương 3, chúng tơi trình bày số kết quà tính quy nghiệm áp dụng kểl Chương đề giái chúng Chirong KIẾN THỨC CHUẲN BỊ • 1.1 Không gian xác suất, trinh ngẫu nhiên, lọc Định nghía 1.1.1 Một khơng gian xác suầt (íì,y, P) gọi không gian xác suất đầy đu VỚI B E T VỚI P(fi) = /1 c B ta có A e 'JF Thông thưởng, việc nghiên cửu không gian xác suất dược hạn chc không gian xác suất đầy đù Định nghĩa 1.1.2 Một họ {?Ị,t G cùa ơ-dại số cùa T dược gọi lọc ncu Ts c Tt với < í R + Ncu thỏa mãn hai điều kiện sau {Tt,l € R+} gọi lọc tiêu chuẩn: (i) Tt = Tt< = hs>tTs với t (ii) Tữ chửa tất cà P-tập hợp có độ đo khơng T Định nghĩa 1.1.3 Cho khơng gian xác suất (íì, T, P) không gian trạng thái đo {£■,£} Một hụ (X t)fi0 với Xf biến ngầu nhiên có giá trị E với thời điếm t > gọi trình ngầu nhiên Nói ánh xạ X: (IỈR+ X ÍÌ,'B+&F') —» ), với 'B 0 có ánh xạ (K + X ÍÌ,'B4^7) —» (R,® ): (t, ờj) —» xt(a)) đo (R+ X Q) dổi với ơ-đại số ®(K+)® 'JF q trình (Xt)t>0 đo Liên kết với trình lục chuồi táng cùa -đại số nghía lả 7X c Tf < s < t < oo Với Tco xác định bới Neu (Xt)tỉ:o trình ngầu nhiên, lọc tự nhiên (XjJtj-o cho bơi = ơ(Xs:s < t) Quá trình (Xj)t50 gọi CFe)tS(i thích nghi, Xf Tị đo đổi với mồi t > Quá trình (Xt)l20 thích nghi lọc (ự nhiên Định nghĩa 1.1.5 Cho trình với t hạn chế cùa t VỚI thời gian khoáng [0,t] lã đo 'B[0, đỏ B[0, t] ơ-đại số Borcl tập cũa (0, t) thi trinh gụi lã trinh đo dan dan Dịnli nghĩa 1.1.6 Cho trình (X £)t20 Neu tổn số K cho tất cá (1) t > 0, ta có |Xt(ứ>)I < K Khi (X£)£20 gọi trình bị chặn Định nghĩa 1.1.7 Cho X = (X£)£Sfi trình ngầu nhiên xác định (ÍÌ,T, P) X' = (Xt')£i0 q trình ngẫu nhiên xác định (!!,?■, P) Nếu với n, < t t < t2 < ••• < t,i < °°> AVA2, ,An e £ PỌỈti e 4, xtn e 4n) = P(X£\ e Aỵ X’tn e 4tt) X X' có củng phân bổ hữu hạn chiều đ Định nghĩa 1.1.8 Cho hàm X'.ỉ X *—♦ R / khoảng thời gian K + X(t,.) T -đo với mụi f € / Khi X gụi trình ngầu nhiên (I chiều Định nghĩa 1.1.9 Một trình X lã dược ncu X ‘B X T -do Neu 6/ X(0,.) = X hau chán ta nói X có giá trị ban đầu X E Khi / = R|, trình X dược bleu diễn bơi {Xt,t /} dơn giãn {Xf} Biến ngầu nhiên vcctơ X(í,.) thi biéu thị X(í) hay x r Dịnh nghĩa 1.1.10 Cho họ tảng {Tf,t /} ơ-đại số íl Neu xt Ti với í / q trình X gọi thích nghi với họ {Tt, t /} Quá trình X gọi liên tục (phãi/trái) t—>X(t, co) liên tục (phài/trái) / với b) E n 1.2 Tiếng ồn trắng vả chuyển động Brown Định nghĩa 1.2.1 |25 tr 2691 Cho (E.‘jF,v) không gian đo -hữu hạn Một tiếng ồn trang V' lớp hàm ngẫu nhiên w trôn tập A E T độ đo I' hữu hạn cho (i) IV(4) biến ngầu nhiên có phân phổi chuẳn /V(0,v(A)) (ii) Nếu n B = W(A) W(B) dộc lập W(AnB) = W(A) + W(B) Trong hầu hết trường hợp /i sè không gian Euclidean \' sè độ đo Lebesgue Đề thấy trinh tồn xét trình Gaussian dược lập bời tập T: E T, v(A) < oo} Từ (i) (ii) phái trình Gaussian với trung bình hàm hiệp phương sai c cho bơi C(A.B) = E{W(A) W(B)} = v(AnB) Ngược lại theo định lý tổng quát trình Gaussian, c xác định dương, tồn trình Gaussian với trung bình hâm hiệp phương sai c Xét c thòa C(â,B) = v(An/í) Bây cho Ạ, ,A n 'jF số thực Z/W CịAt,A/)=ỵatai IlA (x)/x (à)í/v Vì c lã xác định dương, dó tồn không gian xác suất (ọ,7?,p) trình Gaussian với trung bình (Ọ, '£,//) cho H' thoa mãn (i) (ii) Dịnh nghĩa 1.2.2 Chuyển động Brown hai biến (Brownian sheet) [25, tr 269-270] Xét trường hợp cụ the E = Ỉ&+ = {(ti, »t„): ti > j = 1, ,n} V lả độ đo Lebesgue Neu t = (t lf t,j) e ft”, đặt (0, í] = (O,tJ X X (O,t nJ Chuyền động Brown biến R" trình {l'V t,t Rị} xác định l'V t = lV{(0, í Ị} Đây q trình Gaussian trung bình khơng Nếu s = (Sj, ,sn) t = (íj, »tn), hãm hiệp phương sai cùa F(lV slVt} = (Sj A tị) (sn A tn) Neu w (A) độ đo thi VVf hàm phân phối Chú ý rang có the khôi phục tiếng ổn trắng Kĩ từ iv t cho R hình chừ nhật IV(/?) cho bới công thức (nếu n = < u < s, < < r, w[(u, v), (s,t)| = iy - wxv - IVut - IVul>) Neu A hợp hữu hạn hình chừ nhặt IV(A) có the tính tốn bới cộng tính tập Borel nói chung cùa độ đo hữu hạn có the xấp XI bời họp hữu hạn hình chừ nhật /1„ bang cách sau: E{(W(.A) - W(Anm = v(A\An) + vG4„VD -> Chuyển động Brown chiều giới thiệu bới nhà thống kê J.Kitagawa vào nám 1951 đe thực phàn tích phương sai thịi gian liên tục Dề có ý tương q trình trơng xem xét tính chất cũa dọc theo số dường cong Kị, V = dộ Lebesgue IV triệt tiêu trục VỚI s = s0 > cố định [VVío t, t > o} chuyển động Brown, q trình Gaussian trung bình khơng VỚI hàm hiệp phương sai C(t,t') = s0(t A t') Dọc theo dưỡng hyperbol st = đặt Xf = Khi {Xị, -co < t < oo} trình Ornstein-Uhlenbeck, tức trình Gaussian nghiêm ngặt (dừng) với giá trị trung bình bang phương sai hàm hiệp phương sai C(s,t) = E{Wes^-sWttđ-t} = Dọc theo đường chéo cùa quố trình = l’V u martingale chi trình cùa gia so dộc lập khơng phái chuyên dộng Brown, gia số không dừng Diều dứng coi IV dọc theo dường tâng dần Kị 40 Y ler* d< dz tt+k+1 (1 + ki ) r zl |£|a+fc va(l+2) xl zl Y (l*z) r2ưa (3.1) r dz L dì WJ-2va A d< dz 12 (1 + |f|ô+** ) ã*zz , Jvaz -1 y dược Băng phcp tính dơn giàn đơi bicn z' = V « z, tim 31 |-p Vz G R, -Ija+k+l z + V - |z|“^+1 í Ki>ĩr(|zr+* + ur^’1 + |z + « Do Y df dz (l+^+l)2 + ill ,+00 z“ * « 2, ta có (i) Với mồi X e R cố định trình {u(t,x),t > 0} có quỳ đạo liên tục Holder với sổ mù - E, với £ > hất kỳ, P-hằu khắp nơi (ii) Cho a < t cố định, q trình {u(t,x),x e ỈR.) có quỳ dạo liên tục Holder với số mũ , a - [a] J - £, với E > P-hầu khấp nơi Chứng minh (i) Dề thảy ư0(t, x) hàm trơn t với X Cho X G R cô định cho I > 0, (ỉ > 0, n > 1, dặt X j^c^t + e-s.x-y) |H -y)dyrfs , 42 n +co / ơz(s,y,u(s,y))(Ga(t -CO /un(t,x,ớ) := IE + ỡ — s,x — y) n - Ga(t - s, X — y)) IV(dy, ds) , C+Ớ I ft*# r*™ Ln(t,x,ỡ) := E |J J Ơi(s,y.u(s,y))ơ„(t + ớ-s,x n -y) W(dy,ds) p Áp dụng bất đảng thức Burkholder Davis Gundy, bất đăng thức Holder, ta có nghiệm u L (fì) -bị chặn với p > I sử dụng điều kiện (H2), dễ thấy ♦ cc n /i.n(t,x,ớ) < KnsQ Ị |ơI(s,y,u(sry))| (Ga(t + - s,x - y) - Ga(t - s,x - y)) dydsl (ứ„(s + ỡ,y) - ổ„(s,y)) dy rfs) n < Kn sup E|ơ/(s,y,u(s,y))| ( í í (Ga(s + ớ.y) |O.T|XK ỉ-> Vo J- n -Ga(s,y)) dyds) , vù Ln(t,x,0) < Kn sup E |ơỉ(s,y,u(s,y))|” f i f G*(s + o,y)dyds\ I0.T1XR , n Ỉ \Jo J-n ■ X - - Bâng cách dôi biên s =ỡv ,y = 0“Z theo Bò dê 3.2.1 Hệ quà 2.3.7 ta n 43 /l.nơrX,ớ) + Ln(t9Xt0) a-1 /r +OT n m r~ , '2 \2 n < Kn0 2« ụ j (Ga (s + 1, y) - Ga (s, y)) dy ds\ G (s y)dyds + (/ £ “ ' Ỵ n < KnMe l£ n (3.3) Sử dụng bất đắng thức Holder theo củng kỹ thuật trcn ta thấy /J*’(t,x,ớ) < sup E |h fc(s,y,u(s,y))|” [O.TjxR / ,+«.1 dk ỹk X raỹk ỹk ■^Ga(s + l,y) ^Ga(s,y) Do đỏ n + tgơ.x.ớ) < Kn_aỡ ^ (3.4) Từ (3.3) (3.4), ta cô kết quà (ii) Cho a < / > cố định Cho X € R, h > cho n > la có >n w E|u(t,x + /i)-u(t,x)|