Tính chính quy trên biên cho toán tử ∂ trên các miền q giả lồi (tt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————————– Nguyễn Ngọc Khanh Tính quy biên cho toán tử ∂¯ miền Q−giả lồi LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Ngọc Khanh Tính quy biên toán tử ∂¯ miền Q−giả lồi Chuyên ngành:Toán giải tích Mã số:60460102 LUẬN VẶN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Thạc Dũng Thầy tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô công tác khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để có tảng kiến thức để thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, cổ vũ động viên học tập sống Xin chúc người sức khỏe, đạt nhiều thành công công tác, học tập nghiên cứu khoa học Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm đa tạp phức 1.2 Một số tính chất toán tử ∂¯ 10 ¯ =f Phương trình ∂u 15 Miền Q−giả lồi 18 1.2.1 1.3 Tính quy cho toán tử ∂¯ 23 2.1 Tính quy địa phương cho ∂¯ biên 23 2.2 Ước lượng tiên nghiệm có trọng biên cách xa 27 2.3 Tính quy toàn cục cho ∂¯ biên 30 Tài liệu tham khảo 33 Tài liệu tham khảo 33 LỜI MỞ ĐẦU Toán tử ∂¯ phương trình ¯ = f, ∂u (1) u, f dạng vi phân kiểu (k − 1, 0) kiểu (k, 0) (với ¯ = 0) khái niệm đối tượng k ∈ N, ∂f giải tích phức nhiều biến Việc nghiên cứu toán tử ∂¯, giải phương trình ∂¯ liên quan mật thiết đến toán tồn hàm chỉnh hình, toán thác triển chỉnh hình, thác triển dạng vi phân, xấp xỉ dạng vi phân Ngoài việc giải phương trình ∂¯ có nhiều ứng dụng hình học đại số, hình học phức nghiên cứu tập kỳ dị, tập giải tích giải tích phức nhiều biến Trong hướng nghiên cứu chủ đề này, không nhắc đến H¨ormander với phương pháp L2 tiếng (xem [7, 8]) Với phương pháp này, H¨ormander đưa lời giải trọn vẹn cho toán ∂¯ khảo sát tính quy nghiệm Trên thực tế, H¨ormander nghiêm phương trình ∂¯ miền Ω bị chặn trơn, với liệu ¯ cho (1) Kohn thực f trơn Bài toán tồn nghiệm C ∞ (Ω) [7] Giả sử Ω xác định ρ < với ρ hàm thỏa mãn |∂ρ| = ∂Ω, T C ∂Ω phân thớ tiếp xúc phức ∂Ω, xác định dạng Levi L∂Ω (z) := (∂z2i ,z¯j ρ(z))|T C ∂Ω Khi đó, Ω gọi giả lồi L∂Ω (z) ≥ với z ∈ ∂Ω Kết ¯ (1.3) cho dạng Kohn chứng minh giải nghiệm thuộc C ∞ (Ω) bậc k ≥ tương đương với tính giả lồi Ω giải nghiệm địa phương biên tương đương với tính giả lồi địa phương Kể từ sau công trình MỤC LỤC H¨ormander Kohn, nhiều dạng mở rộng khác nhau, nhiều ứng dụng khác toán ∂¯ nghiên cứu Đặc biệt số nhiều nghiên cứu đó, Baracco Zampieri nghiên cứu toán quy cho nghiệm địa phương toàn cục cho phương trình ∂¯ miền Q-giả lồi Điều đặc biệt đáng lưu ý điều kiện tính Q-giả lồi yếu tính giả lồi, tác giả rằng, trái với kết H¨ormander, chứng minh nghiệm toán ∂¯ quy mà tồn nghiệm quy riêng lẻ Nội dung khóa luận để tìm hiểu kết báo Baracco Zampieri nói Toàn khóa luận tập trung để đọc hiểu trình bày lại kết báo Với mục tiêu vậy, khóa luận chia làm hai chương Trong chương một, trình bày lại vài kiến thức giải tích phức nhiều biến Đặc biệt, giới thiệu toán tử ∂¯ tính chất quan trọng chúng Một vài phân tích phương trình (1) nhấn mạnh Tiếp theo, giới thiệu khái niệm tính Q− giả lồi, đặc biệt ta có miền giả lồi trùng với miền 0−giả lồi Đây khái niệm trọng tâm báo Baracco Zampieri Trong chương hai, sử dụng khái niệm miền Q-giả lồi, chứng minh ¯ k−1 Ω ⊂⊂ Cn miền Q− giả lồi có nghiệm u ∈ C ∞ (Ω) ¯ k , k ≥ q + 1, tương tự miền Q−giả lồi (1) với giả thiết f ∈ C ∞ (Ω) địa phương kéo theo nghiệm địa phương biên Kỹ thuật chứng minh chủ yếu cho khẳng định L2 −ước lượng để sử dụng giả thiết miền Q−giả lồi Bên cạnh việc chứng minh tồn nghiệm, chương hai này, tính quy toàn cục biên Giả sử ϕ hội tụ tới (t + c)|z|2 tập compact Ω t đủ lớn Khi đó, ta có ước lượng hội tụ tới ước lượng tiên nghiệm sau thỏa mãn điều kiện ¯ Neumann ∂− t u (t+c)|z|2 ≤ ¯ ∂u (t+c)|z|2 + ∂¯∗ u (t+c)|z|2 MỤC LỤC Để chứng minh kết này, trước tiên, miền Q−giả lồi, có ¯ ∂¯∗ ) L2 (Ω) với trọng e−ϕ , ϕ hàm Q−đa điều ước lượng cho (∂, hòa Ω Điểm mấu chốt kỹ thuật chứng minh ước lượng L2 để sử dụng giả thiết Q−giả lồi Khó khăn lớn kỹ thuật chứng minh việc phải làm việc hệ tọa độ địa phương tự (có sở trực chuẩn gồm dạng vi phân trực giao với hệ số biến thiên) làm việc hệ tọa độ chuẩn tắc dz1 , dz2 , dzn thông thường Tuy nhiên, việc đưa vào hệ tọa độ tự lại có tác dụng lớn để áp dụng tính chất miền Q-giả lồi Do thời gian làm luận văn có hạn hiểu biết hạn hẹp nên có nhiều cố gắng để hoàn thành luận văn trình làm trách khỏi mắc phải sai sót Chúng mong nhận đóng góp quý báu từ phía người đọc để luận văn hoàn chỉnh Mọi đóng góp ý kiến xin gửi e-mail: khanh.mimhus@gmail.com Chúng xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm đa tạp phức Chúng giới thiệu số khái niệm đa tạp phức dựa theo Chương [5] Trong phần này, nêu khái niệm đa tạp phức, không gian tiếp xúc phức toán tử ∂¯ Trước tiên, đến với định nghĩa đa tạp phức Định nghĩa 1.1 Cho M đa tạp topo với hệ tọa độ địa phương {(Uα , ϕα )}α∈Λ , ϕα (Uα ) = Vα mở Cn Khi đó, M gọi đa tạp phức có số chiều n ánh xạ chuyển fβα := ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕα (Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) hàm chỉnh hình với α, β Ví dụ 1.2 Ví dụ đơn giản cho đa tạp phức Cn , với ánh xạ chuyển ánh xạ đồng Ví dụ tiêu biểu khác cho đa tạp phức không gian xạ ảnh CPn định nghĩa sau Xét quan hệ tương đương ∼ tập Cn+1 \ {0}, hai điểm x, y Cn+1 \ {0} gọi có quan hệ ∼ tồn số phức λ khác cho x = λy Khi CPn := C \ {0}/ ∼ Ta ta ánh xạ chuyển cho đa tạp CPn Xét phủ mở {Uj } với Uj = {[x1 : · · · : xj : · · · : xn+1 ] : xj = 0} x = [x1 : x2 : · · · : xn+1 ] ∈ CPn Chương Kiến thức chuẩn bị Ta định nghĩa ϕj : Uj → Cn xác định ϕj ([x1 : · · · : xj : · · · : xn+1 ]) = (x1 /xj , · · · , xj−1 /xj , xj+1 /xj , · · · , xn+1 /xj ) Do đó, Ui ∩ Uj = ∅ ánh xạ chuyển fij (y) = ϕi ◦ ϕ−1 j (y) xác định fij (y) = yj−1 yj yi−1 yi+1 yn y1 ,··· , , ,··· , , , ,··· , yi yi yi yi yi yi yi Chúng ta giới thiệu không gian tiếp xúc phức Chú ý rằng, hiểu Cn R2n , từ đồng không gian tiếp xúc phức không gian tiếp xúc thực Tp (R2n ) không gian không gian vecto trường số thực Do đó, để không gian không gian vecto trường số phức cần giới thiệu thêm khái niệm Đó cấu trúc phức J Chúng trình bày chi tiết khái niệm sau Cho Cn đồng với R2n qua ánh xạ (z1 , · · · , zn ) → (x1 , y1 , · · · , xn , yn ) Tại điểm p ∈ Cn , không gian tiếp xúc Tp (Cn ) xác định ∂ ∂x1 Tp (Cn ) = span , p ∂ ∂y1 ,··· , p ∂ ∂xn , p ∂ ∂yn p Định nghĩa ánh xạ J : Tp (Cn ) → Tp (Cn ) R−tuyến tính xác định J ∂ ∂xj = p ∂ ∂yj , J p ∂ ∂yj =− p ∂ ∂xj , j = 1, · · · , n p Ở đây, với n = ta hiểu J phép quay 90 độ, ma trận ánh xạ tuyến tính có dạng chéo khối tạo ma trận phép quay 90 độ Rõ ràng, J = −1, J gọi cấu trúc phức Cn Từ định nghĩa cấu trúc phức J , ta định nghĩa CTp (Cn ) = Tp (Cn ) ⊗R C Khi ta định nghĩa mở rộng J C−tuyến tính từ CTp (Cn ) vào CTp (Cn ) với J(x ⊗ α) := (Jx) ⊗ α, J = −1, giá trị riêng J i −i Ký hiệu T 1,0 (Cn ) Tp0,1 (Cn ) không gian riêng ứng với giá trị riêng i −i ánh xạ tuyến tính J Khi đó, rõ ràng Tp0,1 (Cn ) = Tp1,0 (Cn ) Chương Kiến thức chuẩn bị Tp1,0 (Cn ) ∩ Tp0,1 (Cn ) = {0}, Tp1,0 (Cn ) = span Tp0,1 (Cn ) = span ∂ ∂z1 ∂ ∂ z¯1 ,··· , p ,··· , ∂ ∂zn ∂ ∂ z¯n , p p 2(∂/∂zj )p = (∂/∂xj − i∂/∂yj )p , 2(∂/∂ z¯j ) = (∂/∂xj + i∂/∂yj )p với j = 1, · · · , n Mọi vecto v ∈ Tp1,0 (Cn ) gọi vecto kiểu (1, 0) có v¯ ∈ Tp0,1 (Cn ) vecto kiểu (0, 1) Không gian Tp1,0 (Cn ) gọi không gian tiếp xúc chỉnh hình p Gọi CTp∗ (Cn ) không gian đối ngẫu CTp (Cn ) Bởi tính đối ngẫu, dễ dàng thấy n CTp∗ (Cn ) = Λp1,0 (Cn ) ⊕ Λ0,1 p (C ) 0,1 n n Λ1,0 z1 )p , · · · , (d¯ zn )p } p (C ) = span{(dz1 )p , · · · , (dzn )p } Λp (C ) = span{(d¯ Tương tự, ta xây dựng không gian tiếp xúc phức CTp M đa tạp phức M p ∈ M Tiếp theo, cho M đa tạp phức với số chiều phức n, kí hiệu (z1 , · · · , zn ) hệ tọa độ địa phương lân cận mở U quanh p ∈ M , với zj = xj + iyj , j = 1, · · · , n Cho f hàm giá trị phức thuộc lớp C (M ) Khi đó, lân cận U ta biểu diễn df sau n df = j=1 ∂f dxj + ∂xj n j=1 ∂f dyj = ∂yj n j=1 ∂f dzj + ∂zj n j=1 ∂f d¯ zj , ∂ z¯j (1.1) dzj = dxj + idyj d¯ zj = dxj − idyj , j = 1, · · · , n Khi ta định nghĩa toán tử ∂ ∂¯ toán tử xác định n ∂f := j=1 ∂f ¯ := dzj , ∂f ∂zj n j=1 ∂f d¯ zj ∂ z¯j Theo (1.1), ta viết ¯ df = ∂f + ∂f Điều có nghĩa df biểu diễn dạng tổng dạng vi ¯ kiểu (0, 1) Sau này, để thuận phân ∂f kiểu (1, 0) dạng vi phân ∂f Chương Kiến thức chuẩn bị Vì µn−1−s+∂Ω (z) ≤ < µn−s+∂Ω (z) , ta có Ω Q−giả lồi theo nghĩa nhận + xét với Q = supz (n − − s+ ∂Ω (z)) (Chú ý supz (n − − s∂Ω (z)) = supz (s− ∂Ω (z) + s∂Ω (z)).) Hiểu Q−giả lồi theo nghĩa theo nghĩa Andreotti-Grauert Chúng ta có µs−∂Ω (z) < ≤ µs−∂Ω (z)+1 Nếu s− ∂Ω (z) số ∂Ω µs−∂Ω (z)+1 ≥ với z ∈ ∂Ω Ω Q−giả lồi với Q = s− ∂Ω Cho λ số dương, xét ϕ(z) = − log(−ρ(z)) + λ|z|2 , z ∈ Ω (1.7) Khi đó, ta kí hiệu Lϕ = (∂z2i ,¯zj , ϕ) Như [1, 8], biết miền giả lồi xấp xỉ miền giả lồi chặt Từ kết này, mong muốn chứng minh miền Q-giả lồi có tính chất xấp xỉ Để làm điều này, có định lý sau Định lý 1.12 Cho Ω ⊂⊂ Cn miền Q−giả lồi Cho z ∈ Ω gần biên ∂Ω, cho w = (wJ ) độ dài k ≥ Q + Khi đó, với lựa chọn phù hợp sở trực chuẩn gồm trường vecto kiểu (1, 0) với λ đủ lớn, ta có Lϕ có ma trận (ϕij ) thỏa mãn ϕjj (z)|wJ |2 ≥ λ |w|2 ϕij (z)wiK w¯jK − |K|=k−1 ij=1,··· ,n (1.8) |J|=k j≤p đó, λ số phụ thuộc vào λ Chứng minh Chúng ta có sở (1, 0)−dạng vi phân với hệ số thuộc C m (m ≥ 2), w = (w1 , · · · , wn−1 ), wn = ∂ρ, cở sở (1, 0) trường vecto, ∂ = (∂w1 , · · · , ∂wn−1 ), ∂n = ∂wn , cho V p = Span{∂w1 , · · · , ∂wp } Chúng ta kí hiệu z → z¯ phép chiếu trực giao từ lân cận ∂Ω Cn vào ∂Ω Kí hiệu c số thay đổi Chú ý   |wj (z) − wj (¯ z )| ≤ c|ρ|, ∀j,  |Lϕ (z) − Lϕ (¯ z )| ≤ c|ρ| 20 (1.9) Chương Kiến thức chuẩn bị Cho (ρij ) ma trận (∂zi z¯j ρ)|T C ∂Ω Khi có số phức C số thực c cho Lϕ = [|ρ|−2 |wn |2 +2ReC|ρ|−1 w¯ ⊗wn +c|wn |2 ]+ |ρ|−1 (ρij )wi ⊗w¯j +λ|w|2 (1.10) ij Cho A := |ρ|−2 |wn |2 + 2ReC|ρ|−1 w¯ ⊗ wn + c|wn |2 , ta có ν thỏa mãn A + ν|w|2 ≥ Lấy µ1 (¯ z ) ≤ µ2 (¯ z ) ≤ · · · giá trị riêng Lρ (¯ z )|T C ∂Ω , (1.10) trở thành    ϕij (z)wiK w¯jK ≥ |ρ|−1  |K|=k−1 ij=1,··· ,n  µj (¯ z ) + k(λ − ν) − c |w|2 , j=1,··· ,k (1.11) đây, sử dụng đánh giá (1.9) Mặt khác, |ρ|−1 ϕjj |wJ |2 ≤ |J|=k j≤p ρjj (¯ z) |w|2 (1.12) j≤p Chúng ta định nghĩa λ := (k − p)λ − kν − 2c, chọn λ đủ lơn để λ > Vậy từ (1.11) (1.12), ta thu (1.8) Nhận xét 1.13 Chúng ta gọi hàm ϕ thuộc lớp C thỏa mãn (1.8) Q−đa điều hòa Nếu có hàm ϕ xác định lân cận ∂Ω tiến đến vô gần ∂Ω tồn hàm ϕ¯ Q−đa điều hòa Ω cho ϕ¯ ≡ ϕ ∂Ω Do đó, giả sử ϕ xác định Ω qua −lân cận ∂Ω lấy hàm trơn χ điểm có khoảng cách nhỏ /2 từ ∂Ω điểm có khoảng cách lớn Chúng ta định nghĩa hàm mở rộng χϕ + c|z|2 Dễ dàng thấy rằng, chọn c phù hợp phụ thuộc vào để hàm Q−đa điều hòa Ω Chú ý tập {ϕ ≤ a} cho a → ∞ có dạng hệ tăng tập compact Ω, đó, ϕ gọi hàm exhaustion cho Ω Nhận xét 1.14 Cho z0 ∈ ∂Ω, giả sử ∂Ω Q−giả lồi hình cầu B(z0 , σ) với tâm z0 bán kính σ Xét ϕ := log(|ρ|−1 + λ|z|2 ) − log(σ − |z − z0 |2 ), ϕ hàm Q−giả lồi exhaustion Ω ∩ B(z0 , σ) 21 Chương Kiến thức chuẩn bị Chúng ta xét (0, k)−dạng vi phân, cở sở (1, 0)−dạng vi phân w1 , · · · , wn , ta xem u = zJ J uJ d¯ với |J| = k hệ số không gian ¯ L2 (Ω), hay L2ϕ (Ω) := {uJ : uJ C ∞ (Ω), ϕ= ( Ω e−ϕ |uJ |2 dV )1/2 < ∞, ϕ > 0} ¯ k , L2 (Ω)k , L2 (Ω)k Chúng ta ký hiệu không gian tương ứng C ∞ (Ω) ϕ Zampieri (xem [13]) chứng minh tính quy cho nghiệm địa phương phương trình ∂¯ miền Q-giả lồi Định lý 1.15 Cho Ω miền với biên trơn Q−giả lồi lân cận ¯ = 0, tồn nghiệm ¯ kz cho ∂f z0 Nếu k ≥ Q + với f ∈ C ∞ (Ω) ¯ = f ¯ k−1 thỏa mãn phương trình ∂u u ∈ C ∞ (Ω) z0 Trong chương tiếp theo, chứng minh lại định lý Ngoài ra, chứng minh định lý tồn nghiệm quy toàn cục miền Q-giả lồi Để đọc giả tiện theo dõi đối chiếu, phát biểu định lý đây, phần chứng minh định lý đề cập đến chương Định lý 1.16 Cho Ω ⊂⊂ Cn miền Q−giả lồi với biên trơn Khi đó, với ¯ = tồn nghiệm u ∈ C ∞ (Ω) ¯ k với ∂f ¯ k−1 k ≥ Q + f ∈ C ∞ (Ω) ¯ = f thỏa mãn ∂u 22 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ 2.1 Tính quy địa phương cho ∂¯ biên Cho trước hàm dương ϕ ψ , xét phức dây chuyền ∂¯ ∂¯ ∂¯ L2ϕ−2ψ (Ω)k−1 − → L2ϕ−ψ (Ω)k − → L2ϕ (Ω)k+1 (2.1) Như đề cập phần lời nói đầu, trước hết, nhắc lại điểm khởi đầu ước lượng L2 Hormander, tham khảo [9] [13] Cho Ω có biên trơn, theo Bổ đề 4.1.3 tính trù mật (xem [9]), ta tìm hàm ψ cho dạng vi phân lớp Cc∞ (Ω) trù ¯ với chuẩn mật C ∞ (Ω) u ϕ−ψ + ∂¯∗ u ϕ−2ψ + ¯ ∂u ϕ Hơn nữa, từ [9] ta có với K ⊂⊂ Ω chọn ψ thỏa mãn ψ|K ≡ Cho ϕ mở rộng lên Ω − log(−ρ(z) + λ|z|2 ) Nhận xét 1.13, lấy λ số (1.8), tập Ka = {z ∈ Ω : ϕ ≤ a} Chúng ta chọn ψa |Ka ≡ thay ϕ ϕ = ϕa + c|z|2 , ϕa = χa (ϕ), c phụ thuộc vào đạo hàm thứ đạo hàm thứ hai hệ số dạng wj ,   χa (t) ≡ với t ≤ a;  χ˙ a (t) ≥ 3|∂ψ|2 +2(eψ −1) λ (2.2) với t ≥ a Với việc chọn ψ ϕ trên, có ước lượng giống [9] Bổ đề 4.2.1 với q = 0, Tính chất [13] 23 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ Định lý 2.1 Nếu k ≥ Q + 1, ta có ϕ−ψ ≤ u ∂¯∗ u ϕ−2ψ ¯ ∂u + ¯ k u ∈ C ∞ (Ω) ϕ, (2.3) Chứng minh Cho ϕ ψ hàm dương thuộc lớp C xét (2.1) Lấy sở trực chuẩn không gian tiếp xúc chỉnh hình dạng vi phân {wj } kiểu (1, 0), sở đối ngẫu tương ứng toán tử đạo hàm ∂wj Mục 1.3 kí hiệu (ϕij ) ma trận Lϕ sở Khi đó, có ¯ = ∂u ∂w¯j (uJ )w¯j ∧ w¯J + Ru (2.4) |J|=k j=1,··· ,n Trong đó, Ru dạng vi phân không chứa đạo hàm hệ số uJ Xét toán tử δwj = ∂wj − ∂wj (ϕ) (2.5) Bằng tính toán tương tự việc xây dựng toán tử ∂¯∗ (xem chứng minh Bổ đề 1.8), có ∂¯∗ u = − e−ϕ δwj (ujK )w¯K (2.6) |K|=k−1 j=1,··· ,n + e−ψ R∂ψ,u + e−ψ Ru , u ∈ Cc∞ (Ω)k , số hạng sai số R thỏa mãn điều kiện R∂ψ,u ϕ≤ |∂ψ|u ϕ, Ru ϕ≤ σ1 u ϕ σ1 số Bởi (2.6) (2.4), với u ∈ Cc∞ (Ω) ta có e−ϕ δij uiK δwj ujK − ∂w¯j uiK ∂w¯i ujK dV + |K|=k−1 ij=1,··· ,n Ω e−ϕ |∂¯w¯j uJ |2 dV |J|=k j=1,··· ,n (2.7) Ω = eψ ∂¯∗ u + R∂ψ,u + Ru ϕ ≤ 2( ∂¯∗ u 2 ϕ ) + 8σ1 ϕ−2ψ + 24 ¯ ∂u + ¯ + Ru ∂u u ϕ ϕ +3 ∂ψ|u| ϕ Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ Chúng ta có công thức sau chji δwh − [δwi , ∂w¯j ] = ϕij + h c¯hij ∂w¯h , (2.8) h đây, số phụ thuộc vào đạo hàm hệ số dạng wj Sử dụng (2.8), ta có (2.7) trở thành e−ϕ |∂w¯j uJ |2 dV = e−ϕ |δwj uJ ||2 dV − Ω j≤q Ω j≤q e−ϕ ϕjj |uJ |2 dV +Ru,∂u,δu , j≤q Ω (2.9) đó, e−ϕ Ru,∂u,δu = Ω (dhj ∂w¯h (uJ )¯ uJ + ehj δwh (uJ )¯ uJ )dV h Sử dụng (2.8) vào (2.7) (2.9), ta có   e−ϕ ϕij uiK u¯iK dV −  |K|=k−1 ij=1,·,n Ω e−ϕ ϕjj |uJ |2 dV  (2.10) |J|=k j=1,··· ,n  Ω  + ϕ δwj uJ |J|=k j≤q ≤ ( ∂¯∗ u ϕ−2ψ Ω ∂w¯j uJ 2 ϕ (2.11) |J|=k j≥q+1 + eϕ + + ¯ ∂u ϕ) + |∂ψ|u chji δwh uiK u¯iK − |K|=k−1 ijh +ϕ + 8σ12 u c¯hij ∂wh c¯hij u¯jK (2.12) dV (2.13) h (dhj ∂wh (uJ )¯ uJ + ehj δwh (uJ )¯ uJ )dV + ϕ (2.14) jh |J|=k Kí hiệu A, B, C, D, E dòng từ (2.10) đến (2.14) Rõ ràng hệ số D + E , chẳng hạn hệ số chij thỏa mãn e−ϕ chji δwh (uiK )¯ ujK dV = − Ω e−ϕ ∂wj (chji )uiK u¯jK dV e−ϕ chji uiK ∂w¯j ujK − Ω Ω (2.15) Chúng ta có đẳng thức tương tự cho hệ số c¯hij , dhj , ehj Khi đó, nhận ước lượng sau với σ1 số σ2 phụ thuộc vào 25 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ chuẩn C , D + E ≤ σ1 u B ϕ 1/2 + σ2 ϕ≤ u B + (σ12 + σ2 ) u ϕ (2.16) +(σ12 + σ2 ) u ϕ ) (2.17) Tức là, A ≤ 2( ∂¯∗ u ϕ−2ψ + ¯ ∂u ϕ) + |∂ψ|u ϕ Bây giờ, ta cần chọn ϕ = ϕa xác định χa (− log(−ρ) + λ|z|2 ) + c|z|2 , với χa thỏa mãn (2.2) c = (σ12 + σ2 + 2/λ ) Nhận xét 2.2 Chúng ta giả sử Ω Q−giả lồi, {Uj } phủ ∂Ω cho Uj Q−giả lồi Lấy {ηj } phân hoạch đơn vị lân cận ∂Ω tương ứng với phủ {Uj } Khi (2.3) thu ứng với ηj u Mệnh đề 2.3 (Bổ đề 4.4.1, [9]) Cho Ω Q−giả lồi Khi đó, ¯ = 0, tồn u ∈ L2 (Ω) cho ∂u ¯ = f f ∈ L2 (Ω) thỏa mãn ∂f u L2 (Ω) ≤ f L2 (Ω) Chứng minh Chứng minh dễ dàng suy từ (2.3) Trước tiên, ¯ dạng vi phân D ¯∗ ∩ D ¯ (là miền xác định tính trù mật C ∞ (Ω)− ∂ ∂ toán tử (2.1)), tức ước lượng (2.3) thu với u ∈ D∂¯∗ ∩ D∂¯ Dễ dàng kiểm tra rằng, ϕ(χ) − 2ψ ≥ f ∈ L2c|z|2 với |(f, g)|2χϕ+c|z|2 −ψ ≤ ∂¯∗ g χϕ+c|z|2 f c|z|2 ≤ ¯ = 0, ∂f Vì ∂¯∗ g → (f, g)χϕ+c|z|2 −ψ biểu ¯ = f diễn ∂¯∗ g → (u, ∂¯∗ g)χϕ+c|z|2 , u nghiệm ∂u Chứng minh Định lý 1.15 Cho ν lớn, xét Bν hình cầu Bν := ν ν B(z0 , σ + η /2) Ων miền xác định Ων = {z : ρ(z) > η /2} ∩ Bν , ¯ ∩ Bν )k thỏa mãn {Ων } lần cận mở Ω ∩ B(z0 , σ) Cho f ∈ C ∞ (Ω ¯ = Trước tiên, mở rộng f thành f¯ ∈ C ∞ (Ων ) với ∂¯f¯ nhỏ với ∂f ν ν chuẩn Sobolev H s Khi đó, ϕ := − log(η /2−ρ)+λ|z|2 −log((σ+η /2−|z−z0 |2 )) hàm Q−đa điều hòa exhaustion Ωn u ∩ Bn u Do đó, từ Định lý 2.1 Tính chất 2.3 sử dụng Trong trường hợp này, ¯ ν = ∂¯f¯ Ων ∂u ¯ ν+1 = hν − hν+1 Ων+1 Bởi tính giải ∂h 26 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ quy ∂, ∂ ∗ , kết hợp với với lượng Tính chất 2.3, thu H s+1 (Ων+1 )−ước lượng cho hν H s+2 (Ων+2 )−ước lượng cho uv+1 Từ đó, dễ dàng thấy chuỗi 2.2 ν ¯ ∩ B(z0 , σ)) uν hội tụ tới u ∈ C ∞ (Ω Ước lượng tiên nghiệm có trọng biên cách xa Chúng ta sử dụng (2.1) với việc chọn ψ cho Cc∞ (Ω) trù mật ¯ dạng vi phân Chúng ta sử dụng kí hiệu C ∞ (Ω)− , ước lượng sai khác số Chú ý rằng, ψ = ψa chọn hàm |ρ| ψ   log(|ρ|−1 ) − a với |ρ|−1 ≥ a, với  0 |ρ|−1 (2.18) ≤ a Chúng ta cần thay đổi để gọi có trọng sau Trước tiên, thay đổi c|z|2 (c + t)|z|2 với t đủ lớn Dưới thay đổi này, phân số t/2 tham gia vào vế trái (2.3) Lấy χ=   ex/2 − ea/2 với x ≥ a,  0 với x ≤ a, định nghĩa hàm χ này, ta kí hiệu χa , thay công thức ϕ ϕ = χ(log(|ρ|−1 ) + λ|z|2 ) + (c + t)|z|2 , định nghĩa ta coi ϕ = ϕat Chú ý cho Ka := {log(|ρ|−1 ) + λ|z|2 ≤ a}, ta có ψa |Ka ≡ 0, ϕat |Ka = (c + t)|z|2 ¯ Neumann (với Chúng ta nói dạng u với hệ số trơn thỏa mãn điều kiện ∂− tắt ∂¯ − N ), uiK ∂zi ρ|∂Ω = 0, với K i=1 27 (2.19) Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ Nói cách khác, đồng (uiK )i với vecto tiếp xúc cho K , có (uiK )i ∈ T C ∂Ω Định lý 2.4 Với dạng vi phân u thỏa mãn điều kiện ∂¯-Neumann, ta có t ¯ ∗ ∂u (c+t)|z|2 ≤ u (c+t)|z|2 ¯ ∂u + (c+t)|z|2 (2.20) Chứng minh Trong chứng minh này, kí hiệu ∂¯∗ toán tử liên hợp L2(c+t)|z|2 ∂¯∗ , kí hiệu toán tử liên hợp toán tử ∂¯ : L2ϕat −2ψa → ∗ Chúng ta sử dụng định nghĩa phần trước Chú ý L2ϕat −ψa ∂¯at trước tiên A ≥ (c + t) u ϕ (2.21) Tương tự chứng minh Tính chất 2.1 với c ≥ σ12 + σ2 ta có t 2 ϕ≤ u ∗ ∂¯at u ϕ−2ψ + ¯ ∂u ϕ (2.22) +ε, ε điều kiện sai số Điều kiện ước lượng (2.17) Rõ ràng, với u thỏa mãn ∂¯ − N ta có ∗ eψ ∂¯at u= δwj (ujK ) + |K|=k−1 j=1,··· ,n ∂wj (ψ)ujK + Ru , (2.23) |K|=k−1 j=1,··· ,n δwj = ∂wj − ∂wj (ϕ) Ru sai số phần trước Vì thế, điều kiện R∂ψu := R∂ψu j=1,··· ,n ∂wj (ψ)ujK |K|=k−1 thỏa mãn 2 ϕ≤ ∂wj (ψ)ujK j=1,··· ,n |K|=k−1 = ϕ |K|=k−1 j=1,··· ,n ∂wj (ρ) ujK ρ ϕ (2.24) Thay s := |ρ|−1/2 , ta có e−a e−χ(log(−|ρ|)) ε |K|=k−1 j=1,··· ,n ∂wj (ρ) ujK dρ ρ −a e e−ρ = −1/2 +ea/2 cu dρ +∞ e−s s−3 ds → a → +∞ a/2 ≤ cu e ea/2 28 (2.25) Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ đây, cu số ước lượng chuẩn C u Vì ε → a → +∞ Bây giờ, ta chứng minh ∗ ∂¯at u ϕ−2ψ → ¯∗ u (c+t)|z|2 , t (2.26) với sai số kiểu Ru Thật vậy, Từ công thức (2.23) ∂¯t∗ u = j=1,··· ,n δjt (ujK ) |K|=k−1 + Ru , δjt := ∂wj − (c + t)¯ zj , ta có ∗ (u) − ∂¯t∗ (u) = eψ ∂¯at ∂wj (−χa (log(|ρ|−1 + λ|z|2 ) + ψa ))(ujK ) + Ru |K|=k−1 j=1,··· ,n (2.27) ∗ ∂ ¯∗ sai khác Ru Ka , nên ta có Đặc biết, ∂¯at t ∗ ∂¯at u L2ϕ−2ψ (Ω) − ∂¯t∗ u ∗ ∂¯at u L2(c+t)|z|2 (Ω) = L2ϕ−2ψ (Ω\Ka ) − ∂¯t∗ u L2(c+t)|z|2 (Ω\Ka ) +Ru (2.28) Rõ ràng, a → +∞ ta có ∂¯t∗ u L2(c+t)|z|2 (Ω\Ka ) → (2.29) Hơn nữa, sử dụng (2.23) đặt s := |ρ|−1/2 , ta có e−a ∗ ∂¯at u ∗ e−χ(− log(|ρ|)−(c+t)|z| ) |∂¯at u| dρ L2ϕ−2ψ (Ω\Ka ) e−a e−(|ρ| −1/2 −e1/2 ) cu |ρ|−1 dρ (2.30) =e +∞ ea/2 e−s cu s2 s−3 ds → a → +∞ ea/2 Mà ∂wj ρujK ∗ |∂¯at u| j=1,··· ,n −1 |χ log(|ρ| )| = |ρ|−1 cu ρ |K|=k−1 (2.31) Tiếp theo, thay x/2 αx định nghĩa χ s2 s−1/α−1 tiến tới điều kiện < α < Từ (2.31) thu (2.26) Nói cách khác, u ϕ→ u (c+t)|z|2 ¯ ∂u ϕ→ ¯ ∂u (c+t)|z|2 Do đó, chúng minh ε → Cho tiến qua giới hạn (2.22), ta thu (2.20), điều phải chứng minh 29 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ 2.3 Tính quy toàn cục cho ∂¯ biên Kỹ thuật chứng minh chương tương tự kỹ thuật Kohn Chúng ta giả sử trọng giống e−(c+t)|z| Ký hiệu L2 liên hợp với trọng 2 e−(c+t)|z| ∂¯∗ không gian Sobolev với trọng e−(c+t)|z| H s Định lý 2.5 Cho ∂Ω trơn Khi đó, với s có t = ts thỏa mãn u s H(c+t)|z| ∂¯∗ u s H(c+t)|z| ∂¯ + s H(c+t)|z| (2.32) với u thỏa mãn điều kiện ∂¯ − N s Để thuận tiện, ta viết H s thay phải viết đầy đủ H(c+t)|z| Chứng minh Ký hiệu N đạo hàm pháp tuyến ∂Ω Tj , j = 1, · · · , 2n−1 hệ đạo hàm tiếp tuyến độc lập tuyến tính Lấy số nguyên i ≥ đa số α = α1 , · · · , α2n−1 với i + |α| = s Chúng ta có khẳng định sau, với u có hệ số H s i ≥ N iT αu H0 ¯ ∂u H s−1 + ∂¯∗ u H s−1 T βu + H0 + u H s−1 u H0 (2.33) |β|=s Để chứng minh (2.33), trước tiên theo [10, 11] ta có Nu H0 ¯ ∂u H0 + ∂¯∗ u H0 Tj u + H0 + (2.34) j Nếu sử dụng (2.34) việc thay u N i−1 T α u ý [∂¯∗ , N i−1 T α ] ¯ N i−1 T α ] toán tử bậc s − ta thu (2.33) Tiếp theo, ta [∂, chứng minh (2.32) phương pháp quy nạp theo s Nếu s = (2.32) giống (2.20) Giả sử (2.32) với s − 1, ta chứng minh (2.32) với s Thật vậy, đạo hàm có dạng N i T α u với i ≥ sử dụng (2.33) giả thiết quy nạp xong Vì ta cần ước lượng đạo hàm có dạng T α u với |α| = s Chúng ta ý T α u thỏa mãn ∂¯ − N Tiếp theo, ta có công thức [∂¯∗ , T α ] = As + Ats−1 , As Ats−1 toán tử 30 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ ¯ T α ] bậc s bậc s − tương ứng, As độc lập với t Chúng ta có [∂, toán tử bậc ≤ s, không phụ thuộc vào t Do đó, t T αu H0 ≤ ¯ αu ∂T H0 + ∂¯∗ T α u H0 ≤ ¯ T α ∂u H0 + T α ∂¯∗ u H0 (2.35) + H0 As u + Ats−1 u H0 Nếu As có dạng N i với i ≥ ta bỏ qua vế trái (2.35), sử dụng (2.33) ta thu As Hs ¯ ∂u H s−1 ∂¯∗ u + H s−1 T βu + H0 + u H s−1 (2.36) |β|≤s Tiếp theo, ta bỏ qua T β u vế phải (2.35) thu T αu ¯ ∂u H0 Hs + ∂¯∗ u Hs + H s−1 , u (2.37) kết hợp với giả thiết quy nạp ta thu T αu ¯ ∂u H0 Chứng minh Định lý 1.16 Đặt ts Hs + ∂¯∗ u Hs (2.38) = ∂¯t∗s ∂¯ + ∂¯∂¯t∗s , sử dụng (2.32) định nghĩa toán tử ∂¯ − N eumann Nts : H s → D ts nghịch đảo ts thỏa mãn Nts f Htss f Htss (2.39) ¯ bậc k cho Nts f ∈ C ∞ (Ω) ¯ với f ∈ C ∞ (Ω) Chúng ta sử dụng thuật toán "elliptic regularization" định nghĩa toán tử Nts : H s → D ts ∩ H s+1 thỏa mãn Nts f Htss + Nts f H s+1 f Htss (2.40) cho f ∈ H s bậc k Cho f ∈ H s , theo (2.40), có hội tụ H s −yếu Nts f → g Do đó, hiển nhiên Nts f → Nts f → (trong H ) Đặc biệt, Nts f = g Nts f ∈ H s f ∈ H s 31 Chương Tính quy cho toán tử ∂¯ Khi đó, tương tự phần chứng minh cuối [10], cho f ∈ H s bậc k thỏa ¯ = 0, u := ∂¯∗ Nts f ta có mãn ∂f ts ¯ = f, u ∈ H s , ∂u u Hs f Hs (2.41) ¯ = f giải Cuối cùng, biết phương trình ∂u H s với ước lượng (2.41) theo lập luận Hormander [11] ta thu ¯ lời giải C ∞ (Ω) 32 Tài liệu tham khảo [1] K Adachi, Several complex variables and integral formulas, World Scientific, 2007 [2] D Barrett, Behavior of the Bergman projection on the DiederichFornaess worm, Acta Math., 168(1992), 1–10 [3] S Bell and E Ligocka, A simplification and extension of Fefferman’s theorem on biholomorphic mappings, Invent Math., 57(1980), 285–289 [4] L Baracco, G Zampieri, Regularity at the boundary for ∂¯ on q- pseudoconvex domains, Jour D’Anal Math., 95(2005), 45– 61 [5] S.C Chen, M.C Shaw, Partial Differential Equations in Several Complex Variables, Amer Math Soci., 19 (2001) [6] M Christ, Global Cn irregularity of the ∂¯Neumann problem for worm domains, J Amer Math Soc, 9(1996), 1171–1185 [7] G M Henkin, H Lewy’s equation and analysis on pseudoconvex manifolds, Uspehi Mat Nauk, 32(1977), 57–118 [8] L Hormander, L2 estimates and existence theorems for the ∂¯ operator, Acta Math., 113(1965), 89–152 [9] L Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Complex Variables, Van Nostrand, Princeton, N.J., 1966 [10] J.J Kohn, Global regularity for ∂¯ on weakly pseudo-convex manifolds, Trans Amer Math Soc., 181(1973), 273–292 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] J J Kohn, Methods of partial differential equations in complex analysis, Proc Sympos Pure Math., 30(1977), 215–237 [12] L Rothschild and E M Stein, Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups, Acta Math., 137(1976), 257–320 [13] G Zampieri, q-pseudoconvexity and regularity at the boundary for solutions of the ∂¯-problem, Compositio Math., 121(2000), 155–162 34 ... số tính chất toán tử ∂ 10 ¯ =f Phương trình ∂u 15 Miền Q giả lồi 18 1.2.1 1.3 Tính quy cho toán tử ∂ 23 2.1 Tính quy địa phương cho. .. {0}, Tp1,0 (Cn ) = span Tp0,1 (Cn ) = span ∂ ∂z1 ∂ ∂ z¯1 ,··· , p ,··· , ∂ ∂zn ∂ ∂ z¯n , p p 2 (∂/ ∂zj )p = (∂/ ∂xj − i∂/∂yj )p , 2 (∂/ ∂ z¯j ) = (∂/ ∂xj + i∂/∂yj )p với j = 1, · · · , n Mọi vecto v ∈... lý 1.16 Cho Ω ⊂⊂ Cn miền Q giả lồi với biên trơn Khi đó, với ¯ = tồn nghiệm u ∈ C ∞ (Ω) ¯ k với ∂f ¯ k−1 k ≥ Q + f ∈ C ∞ (Ω) ¯ = f thỏa mãn ∂u 22 Chương Tính quy cho toán tử ∂ 2.1 Tính quy địa