Luận văn: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰACHẤT MỘT SỐ TÍNH LỒI CỦA HÀM TỰA LỒI docx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***** TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***** TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***** TÔ CÔNG DOANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TỰA LỒI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1 Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN 1.1. Các khái niệm và định nghĩa 3 1.2. Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới 7 1.3. Các hàm tựa lõm và tựa affine 15 1.4. Hàm giả lồi ………………………………………………………… 19 1.5. Hàm không hằng số radian . ………………………………………. 25 Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN 2.1. Dưới vi phân Clarke – Rockafellar 30 2.2. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi bán chặt 36 2.3. Tính chất đặc trưng cho hàm tựa lồi chặt ……………………… 43 2.4. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân ………………… 46 KẾT LUẬN ……………………………………………………. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………… …… 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lớp các hàm lồi và hàm lồi suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu hoá. Hàm tựa lồi được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc. Trong [10] O.L. Mangasarian đã trình bày lí thuyết các hàm tựa lồi, hàm giả lồi khả vi và mối quan hệ giữa hàm tựa lồi và các hàm lồi suy rộng liên quan. D. Aussel [1] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó và mối quan hệ giữa các khái niệm này. A. Daniilidis và N. Hadjisavvas [3] nghiên cứu các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn. Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của nó tương ứng là tựa đơn điệu bán chặt hoặc tựa đơn điệu chặt. Luận văn tập trung trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của hàm đó. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương I . Hàm tựa lồi không trơn. Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm 2 đó. Kết quả chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :   0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Chương II. Các hàm tựa lồi chặt và bán chặt không trơn. Trình bày các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của nó. Phần cuối chương trình bày một áp dụng chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS – TS Đỗ Văn Lưu – Viện toán học Việt Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tác giả hoàn thành bản luận văn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn tập thể giảng viên Khoa Toán đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các phòng ban chức năng và khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên, các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương I HÀM TỰA LỒI KHÔNG TRƠN Chương I trình bày các tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới vi phân của hàm đó, và mối quan hệ giữa hai khái niệm này. Kết quả cũng chỉ ra rằng hàm liên tục radian, nửa liên tục dưới f là giả lồi khi và chỉ khi f là tựa lồi và thoả mãn điều kiện :   0 f x f  có cực tiểu toàn cục tại x. Kết quả trong chương này là của D. Aussel [1]. 1.1 Các khái niệm và định nghĩa Giả sử X là không gian Banach, *X là không gian đối ngẫu tôpô của X và <.,.> là cặp đối ngẫu. Giá trị của hàm * *uX tại uX là * ,uu . Với ,0xX   , ta ký hiệu   Bx  là hình cầu tâm x bán kính  :     ' : 'B x x X x x       . Với ,x y X , ta ký hiệu đoạn thẳng đóng   ,xy là :       , 1 : 0 1x y tx t y t     , Khoảng mở   ,xy là :       , 1 : 0 1x y tx t y t     . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Tương tự ta có các khoảng   ,xy ,   ,xy . Hầu hết các hàm   :fX   được xét trong chương này là hàm nửa liên tục dưới và domf là miền hữu hiệu của f     ::domf x X f x    Xét ánh xạ đa trị :*A X X . Ký hiệu     ::domA x X A x    . Định nghĩa 1.1 ([2]) Dưới vi phân của hàm nửa liên tục dưới   :fX   tại xX mà ta ký hiệu   fx , là tập con của tập *X thoả mãn 3 điều kiện sau : (P1):         ** *: , , f x x X x y x f x f y y X          khi f là hàm lồi ; (P2):   0 fx nếu x domf là cực tiểu địa phương của f; (P3):        f g x f x g x      khi g là hàm giá trị thực lồi liên tục, và g là  - khả vi tại x. Ở đây g là  - khả vi tại x nghĩa là cả   gx và    gx là khác rỗng. Ta nói rằng một hàm f là  - dưới khả vi tại x khi   fx   Khái niệm dưới vi phân trừu tượng trên bao hàm một lớp rộng các dưới vi phân chẳng hạn : dưới vi phân Clarke – Rockafeller CR f ; dưới vi phân dưới và dưới vi phân trên Dini D f   và D f   ; dưới vi phân Hadamard dưới H f   ; dưới vi phân Fréchet F f , … Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Nhắc lại, một hàm là D  khả vi ( H   khả vi , F  khả vi) tại x nếu và chỉ nếu nó là khả vi Gâteaux tại x ( Hadamard, Fréchet). Sau đây ta sẽ tập trung vào lớp các dưới vi phân  mà nó thoả mãn các tính chất (P1), (P2), (P3) và một trong các bao hàm thức sau : D    ; hoặc CR    . Chú ý rằng, các dưới vi phân Clarke – Rockafeller, dưới vi phân Dini trên là lớn nhất trong số các dưới vi phân cổ điển. Nói riêng, ta có (xem [2]) F H CR      H D D      . Ta nhắc lại định nghĩa của dưới vi phân Clarke – Rockafeller và định nghĩa của dưới vi phân trên Dini :       ** *: , , , CR f x x X x v f x v v X        , với                 0, 0 0 0 0 , d B v u B x B f x fu t f u td f x v t                        supinf sup inf . Có thể lấy   fu   khi f là hàm nửa liên tục dưới; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6       ** *: , , , DD f x x X x v f x v v X        , với       , D f x tv f x f x v t    t0 lim sup . Định nghĩa 1.2 Một chuẩn . trên X gọi là  trơn nếu các hàm giá trị thực, lồi, liên tục có dạng sau là  khả vi (i)   2 2 , , : ab c a b d x x c       min , trong đó [a,b] là đoạn thẳng đóng trong X; (ii)   2 2 : nn n x x v      , trong đó   1, 0; n n n n v    hội tụ trong X . Ta nói rằng một không gian Banach nhận một chuẩn mới  trơn nếu nó nhận một chuẩn tương đương mà chuẩn đó là  trơn. Cho một vài ví dụ về chuẩn  trơn trong [2] : (a) Một chuẩn là D  trơn nếu nó là D  khả vi trên   \0X , nghĩa là nếu nó là khả vi Gâteaux trên   \0X . (b) Một chuẩn bất kỳ là CR  trơn bởi vì các hàm 2 ,ab d   ,  2 là hàm Lipchitz địa phương. Kết quả sau đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức giá trị trung bình trong [2]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Mệnh đề 1.1 Giả sử X là không gian Banach với một chuẩn mới  trơn và hàm   :fX   nửa liên tục dưới. Với bất kỳ ; a domf b X sao cho     f a f b ,   ,c a b và dãy   n x hội tụ đến c và     ** ; n n n x x f x sao cho * , 0, nn x d x n   , với mọi   , 0d c t b a t    . 1.2 Hai tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới Nhắc lại rằng f là hàm tựa lồi nếu   , , ,x y X z x y    thì         ,f z f x f ymax . Ta biết rằng, trong trường hợp khả vi, hàm tựa lồi thoả mãn :       ,0f x y x f x f y     . Trường hợp không khả vi, tính chất trên trở thành         ** : , 0Q x f x x y x f x f y      . Kết quả đầu tiên khẳng định rằng tính chất hỗn hợp mạnh hơn một chút sau đây đặc trưng cho tính tựa lồi của hàm nửa liên tục dưới.           ** : , 0 , , s Q x f x x y x f z f y z x y        . Ví dụ 1.1. Xét hàm số f xác định trên  như sau : [...]... hàm tựa affine Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu (- f) là hàm tựa lồi Hàm f được gọi là tựa affine nếu f và (- f) là hàm tựa lồi Ví dụ 1.2 Xét hàm số   2 x, khi x  0,  1  f  x   0, khi 0  x  , 2  1  2 x  1, khi x    2 Khi đó f là hàm tựa lồi và tựa lõm trên  Do đó f là hàm tựa affine trên  15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét tính chất. .. hiệu đạo hàm Fréchet của hàm f tại x Trong trường hợp khả vi, mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất cơ bản sau : (a) Mọi cực tiểu địa phương của hàm f là cực tiểu toàn cục (b) 0 f  x   f có cực tiểu toàn cục tại x Mối quan hệ giữa tính tựa lồi và giả lồi là không đơn giản Ví dụ 1.3 (a) Hàm số f  x   x là tựa lồi và không là hàm giả lồi trên  3 (b) Hàm f trong ví dụ 1.1 không là hàm giả lồi trên... là hàm giả lồi; (ii) f là hàm tựa lồi và ( 0 f  x   f có cực tiểu toàn cục tại x) Chứng minh  i    ii  : Từ định nghĩa của hàm giả lồi ta có Nếu 0 f  x  thì f  x   f  y  , y  X Vậy x là cực tiểu toàn cục của hàm f Mặt khác, f là hàm nửa liên tục dưới, liên tục radian và thoả mãn tính chất (Q) bởi vì mọi hàm giả lồi thoả mãn tính chất (Q) Khi đó theo mệnh đề 1.2 hàm f là hàm tựa. .. yn   f  x  Và do tính chất liên tục radian của f ta suy ra f  y  f  x Bây giờ sử dụng quan hệ giữa tính tựa lồi và tính giả lồi và đặc trưng của tính tựa lồi bởi tính tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó thì có thể cho hai đặc trưng của hàm giả lồi, liên tục radian, nửa liên tục dưới Nhắc lại rằng, ánh xạ đa trị A : X  X * gọi là giả đơn điệu nếu x, y  X ta có 21 Số hóa bởi Trung tâm Học... Mọi hàm nửa liên tục dưới, không hằng số radian và giả lồi là hàm tựa lồi Chứng minh Nếu f là hàm nửa liên tục dưới, không hằng số radian và giả lồi thì theo mệnh đề 1.5 dưới vi phân của f là hàm giả đơn điệu Vì vậy f là tựa đơn điệu Theo định lý 1.2 ta có f là hàm tựa lồi Ta nói rằng hàm f : X     là (a) Tựa lồi chặt nếu x, y  X , z   x, y  , f  z   max  f  x  , f  y  (b) Giả lồi. ..  y  : y * , y  x  0 Sự tương tự giữa tính chất tựa lồi của hàm và tựa đơn điệu của dưới vi phân của nó đã được nghiên cứu trong [2] cho trường hợp    CR Mục đích của hai kết quả tiếp theo chỉ ra rằng 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f là hàm tựa lồi  f là tựa đơn điệu và suy luận ngược lại là hệ quả của định lý 1.1 Mệnh đề 1.3 Giả sử X là không... Đặc trưng tính tựa lõm của hàm f bằng tính chất  Qs  nói chung không thể suy ra được từ định lý 1.1 Thật vậy, khi xét hàm (- f ) thay cho hàm f trong định lý 1.1 cho ta đặc trưng của tính tựa lõm của hàm f theo ngôn ngữ của    f  mà    f  nói chung là khác f Mệnh đề 1.4 Giả sử X là không gian Banach với chuẩn mới   trơn và hàm f : X     là liên tục Khi đó, f là hàm tựa lõm nếu... hằng số radian 29 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương II CÁC HÀM TỰA LỒI CHẶT VÀ BÁN CHẶT KHÔNG TRƠN Chương II trình bày các nghiên cứu về hàm tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn của A Daniilidis và N Hadjisavvas [3] Kết quả chỉ ra rằng một ánh xạ Lipschitz địa phương là tựa lồi bán chặt hoặc tựa lồi chặt nếu và chỉ nếu dưới vi phân Clarke của. ..  Hiển nhiên, mọi hàm tựa lồi chặt ( giả lồi chặt) là tựa lồi ( giả lồi) Mệnh đề 1.6 Giả sử X là không gian Banach chuẩn mới   trơn và hàm f : X     nửa liên tục dưới Khi đó, các khẳng định sau là tương đương : 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) f là hàm giả lồi và không hằng số radian; (ii) f là hàm tựa lồi chặt và giả lồi chặt Chứng minh... 1.2, hàm không hằng số radian f là tựa lồi và vì vậy f là tựa lồi chặt Để chứng minh f là giả lồi chặt, ta giả sử ngược lại là tồn tại x  domf , y  domf , x*  f  x  sao cho x* , y  x  0 và f  x   f  y  Do đó, z   x, y  ta có x , z  x  0 và vì vậy, * f  z   f  x  f  y Nhưng điều này mâu thuẫn với f là hàm tựa lồi chặt  ii   (i) : Hiển nhiên, bởi vì mọi hàm tựa lồi chặt . trưng của các hàm tựa lồi, giả lồi, tựa lồi chặt và tựa lồi bán chặt không trơn tương ứng qua tính tựa đơn điệu, giả đơn điệu, tựa đơn điệu chặt và tựa đơn điệu bán chặt của dưới vi phân của hàm. 1.3. Các hàm tựa lõm và hàm tựa affine Hàm f được gọi là hàm tựa lõm nếu (- f) là hàm tựa lồi. Hàm f được gọi là tựa affine nếu f và (- f) là hàm tựa lồi. Ví dụ 1.2. Xét hàm số   2 , 0, 1 0,. giữa hàm tựa lồi và các hàm lồi suy rộng liên quan. D. Aussel [1] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của dưới