QUAN SÁT TRẠNG THÁI CỦA HỆ PHƯƠNG TR èNH SAI PHÂN

C N N  NB NB B

1 ( ,E A BK ) ( A B K )

2.5 QUAN SÁT TRẠNG THÁI CỦA HỆ PHƯƠNG TR èNH SAI PHÂN

ẨN TUYẾN TÍNH

Xột hệ phương trỡnh sai phõnẩn tuyến tớnh

( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1, 2,..., Ex k Ax k Bu k y k Cx k k      (2.45) trong đú x k( )n, ( )u k m, ( )y k r, ,E An n ,Bn m ,Cr n là cỏc ma trận hằng. Ta luụn giả thiết rằng rankEn.

Trong hệ (2.45), điều kiện ban đầu x(0) thường là khụng biết trước, do đú khú hoặc khụng thể xỏc định được chớnh xỏc trạng thỏi x k và( ) đầu ra y k .( ) Do đú ta phải xõy dựng “trạng thỏi quan sỏt được” (state observer) x k saoˆ( ) cho giữa trạng thỏi thật x k c( ) ủa hệ (2.45) và trạng thỏi quan sỏt được ˆx k( ) cú tớnh chất tiệm cận. Như vậy, ta phải xõy dựng một hệ động lực mà đầu vào phải gồm đầu vào và đầu ra của hệ (2.45). Cụ thể hơn, bài toỏn xõy dựng trạng thỏi quan sỏt được đối với hệ (2.45) là bài toỏn xõy dựng hệ động lực dạng ( 1) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ), c c c c c c c E x k A x k B u k Gy k w k F x k Fu k Hy k        (2.46) trong đú ( ) nc, ( ) n, , nc nc, , , , , c c c c c x k  w k  E A   B G F F H là cỏc ma trận

hằng và zEcAc 0, sao cho trạng thỏi của hệ mới (2.46) và hệ cũ (2.45) thỏa món tớnh chất tiệm cận

lim ( ( ) ( )) 0

k w k x k

   với mọi x(0),xc(0). (2.47) Hệ (2.46) thỏa món tớnh chất (2.47)được gọi là hệ quan sỏtcủa hệ (2.45). Nếu rankEc nc thỡ hệ quan sỏt (2.46) được gọi là hệ quan sỏt suy biến. Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta cú thể giả thiết rankEcnc và

c

c n

E I . Khi ấy hệ (2.46)được gọi là hệquan sỏt chuẩn tắc(a normal observer).

Đối với hệ (2.45), chỳng ta xột hệ động lực dưới đõy

ˆ( 1) ˆ( ) ( ) ( ( ) ˆ( ))

Ex k Ax k Bu k G y k Cx k . (2.48) Trong hệ (2.48), hai thành phần đầu của vế phải Ax kˆ( )Bu k( ) chớnh là vế phải của hệ (2.45), cũn thành phần cuối G y k( ( )Cx kˆ( ))được sử dụng để hiệu chỉnh sai số trong quỏ trỡnh mụ hỡnh húa. Nếu xˆ(0) x(0) thỡ cỏc trạng thỏi của hệ (2.48) và hệ (2.45) là đồng nhất, tức là x kˆ( ) x k( ) với mọi

0,1, 2,...

Đặt e k( ) x k( )x kˆ( ) là ước lượng sai số giữa x k( ) và x kˆ( ). Khiấy e k( )

thỏa món hệ động lực sau

ˆ

( 1) ( ) ( ), (0) (0) (0)

Ee k  A GC e k e x x . (2.49) Nếu (2.45) là nhận biết được thỡ ma trận G cú thể được chọn sao cho ta cú

( ,E A GC) U s   . Chứng tỏ hệ (2.49) làổn định, do đú lim ( ) 0, (0) k e k e    hay ˆ lim ( ) ( ) 0 k x k x k    với mọi x(0), (0)xˆ .

Điều này cú nghĩa là trạng thỏi ˆx k( ) của hệ mới và trạng thỏi của hệ cũ thỏa món tớnh chất tiệm cận.

2.5.1 Định lý

Nếu hệ (2.45) là nhận biết được, thỡ tồn tại một ma trận Gn r sao cho (2.48) là một hệ quan sỏtcủa hệ (2.45).

2.5.2 Định lý

Nếu hệ (2.45) cú hệ quan sỏt và rankEn thỡ tồn tại một ma trận G sao cho trạng thỏi của hệ (2.45) cú thể khụi phục lại được một cỏch chớnh xỏc

nhờ hệ quan sỏt (2.48).

Định lý 2.5.2 núi rằng, khụng cần biết trạng thỏi ban đầu x(0), trạng thỏi của hệ (2.45) vẫn cú thể khụi phục lại được nhờ hệ (2.48).

2.5.3 Thớ dụXột hệsau