tính chỉ số 1
Trong phần này, ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 (3.6) với hệ số tuần hoàn chu kỳ T
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = 0,
trong đó A(t+ T) = A(t), B(t+T) = B(t), với mọi t ∈ R. Vì phương trình (3.6) có chỉ số 1 nên rankA(t) không đổi, vậy ta giả sử rankA(t) = r. Gọi
{nr+1(t), . . . , nm(t)} là cơ sở của N(t) gồm các hàm khả vi liên tuần hoàn và gọi {s1(t), . . . , sr(t)} là cơ sở của S(t) gồm các hàm liên tuần hoàn. ĐặtV(t) là ma trận cột tạo bởi các vectơ {si(t)},{nj(t)}:
V(t) = (s1(t). . . sr(t) nr+1(t). . . nm(t)) ∈ L(Rm). Khi đó Pcan(t) = V(t) Ir 0 0 0 ! V−1(t). Chọn P(t) thỏa mãn P(0) = Pcan(0) thì ta có X(t) = Pcan(t)U(t)Pcan(0) = V(t) Z(t) 0 0 0 ! V−1(0),
trong đó Z(t) không suy biến (do rankX(t) =r không đổi) và Z(0) = Ir. Vì
Z(t) không suy biến nên tồn tại ma trận hằng R ∈ Cr×r thỏa mãn
Z(T) = eT R. Do đó, ta có X(T) = V(T) Z(T) 0 0 0 ! V−1(0) = V(0) e R 0 0 0 ! V−1(0),
X(T) được gọi là ma trận đơn đạo của phương trình tuần hoàn (3.6). Đặt
F(t) = V(t) Z(t)e −tR 0 0 Im−r ! = X(t)V(0) e −tR 0 0 0 ! + V(t) 0 0 0 Im−r !
Dưới đây là hai định lý chính trong lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1.
Định lý Floquet Ma trận nghiệm cơ bản của phương trình vi phân đại số tuyến tính, tuần hoàn chỉ số 1 (3.6) có thể viết dưới dạng
X(t) =F(t) e tR 0 0 0
!
[F(0)]−1
48
Định lý Lyapunov
i/ Nếu hai phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 tương đương, tức là
˜
A = EAF,B˜ = E(BF +AF0), E, F khả nghịch,
thì các ma trận đơn đạo của chúng là tương đương và do đó nhân tử đặc trưng của chúng trùng nhau.
ii/ Nếu các ma trận đơn đạo của hai phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 tương đương nhau thì hai phương trình vi phân đại số đó tương đương nhau.
iii/ Phương trình vi phân đại số tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 (3.6) tương đương với một phương trình vi phân tuyến tính dạng Kronecker với hệ số hằng.