Xét phương trình vi phân đại số
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = 0 (3.6) trong đó A, B ∈ C(R, L(Rm)), A(t) suy biến với mọi t ∈ R.
Định nghĩa chỉ số Phương trình (3.6) được gọi là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i/N(t) := kerA(t) trơn, nói cách khác, N(t) có một cơ sở là các hàm khả vi liên tục, hay một cách tương đương, tồn tại phép chiếu trơn Q(t) từ RM lên
kerA(t);
ii/ Với phép chiếu trơn Q(t) lên N(t) đã chọn, đặt P(t) := I − Q(t) thì
G(t) := A(t) +B(t)Q(t) khả nghịch với mọi t ∈ R.
Trong định nghĩa trên, điều kiện i/ cho thấy rankA(t) không đổi với mọi
t ∈ R. Điều kiện ii/ suy ra G(t) phụ thuộc vào phép chiếu Q(t). Tuy nhiên người ta đã chứng minh rằng tính khả nghịch của G(t) không phụ thuộc vào phép chiếu Q(t) và do đó định nghĩa chỉ số 1 ở trên là đúng đắn. Đặt
S(t) ={z ∈ Rm|B(t)z ∈ imA(t)} ⊂ Rm.
Ta có thể thấy mọi nghiệm của phương trình (2.6) đều nằm trong không gian
S(t). Dưới đây là tính chất cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính chỉ số 1.
Bổ đề Cho phương trình vi phân đại số (3.6). Các mệnh đề sau là tương đương.
i/Phương trình (3.6) có chỉ số 1. ii/ S(t)∩N(t) = {0} ∀t∈ R iii/ Rm = S(t)⊕N(t) ∀t∈ R
Giả thiết phương trình (3.6) có chỉ số 1 và ký hiệu Pcan là phép chiếu chính tắc lên S(t) song song với N(t), đồng thời đặt u := P x, người ta đưa phương
46
trình (3.6) về hệ kế thừa
u0+ (−P0Pcan +P G−1B)u = 0, (3.7)
Qx= 0 Vậy bài toán giá trị ban đầu
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = 0
P(0) x(0)−x0 = 0 (3.8) với điều kiện (3.6) có chỉ số 1, giải được duy nhất nghiệm với mọi x0 ∈ Rm.
Bây giờ, ta ký hiệu X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (3.6), tức là nghiệm của bài toán
A(t)X0(t) +B(t)X(t) = 0
P(0) (X(0)−I) = 0
Khi đó, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (3.6), (3.8) biểu diễn dưới dạng
x(t, x0) = X(t)x0. Ta cũng nhận xét thấy rankX(t) không đổi.
Ta cũng ký hiệu U(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình kế thừa (3.7). Nói cách khác, U(t) là nghiệm của bài toán
U0+ (−P0Pcan +P G−1B)U = 0
U(0) = I
Lúc đó, ta có khai triển X(t) = PcanU(t)P(0) và biểu diễn này không phụ thuộc vào việc chọn ma trận P(t).