Sau khi được thiết lập cho phương trình vi phân và có những ứng dụng quan trọng trong khoa học, công nghệ, lý thuyết Floquet được mở rộng cho
44
phương trình sai phân và phương trình vi phân đại số. Trong phần này, chúng ta nhắc lại vài nét sơ lược về lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính
xn+1 = Bnxn, n >0 với Bn ∈ Rm×m (3.4) Định lý Floquet Gọi Xn là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (3.4), tức là nghiệm của bài toán Cauchy
Xn+1 = BnXn, X0 = I, n > 0; (3.5) Khi đó, nếu hệ số Bn của phương trình (3.4) tuần hoàn với chu kỳ N, tức là Bn+N = Bn, với mọi n > 0 và Bn khả nghịch với mọi n thì tồn tại họ ma trận {Fn} khả nghịch, tuần hoàn và ma trận hằng R ∈ Cm×m thỏa mãn
Xn = Fn−1Rn, với mọi n> 0. Qua đó, (3.4) đưa được về phương trình với hệ số hằng.
Dễ thấy, bài toán (3.5) có nghiệm duy nhất Xn = Bn−1. . . B0, Xn khả nghịch với mọi n, và
Xn+N = Bn+N−1. . . BNBN−1. . . B0 = XnXN
Hơn nữa, do XN khả nghịch nên tồn tại R ∈ Cm×m thỏa mãn XN = RN. Đặt
Fn−1 = XnR−n, n > 0. Ta có
Fn+N−1 = Xn+NR−(n+N) = XnXNR−NR−n = Fn−1
hay {Fn} tuần hoàn và Xn = XnR−nRnX0 = Fn−1RnF−−11. Đặt Xn = Fn−1X˜n
thì X˜n = Fn−−11Xn = (XNR−n)−1Xn = Rn. Như vậy ta có Xn+1 = BnXn, FnX˜n+1 = BnFn−1X˜n suy ra FnRn+1 = BnFn−1RN hay R = Fn−1BnFn−1. Mặt khác, ta thấy Xn+1 = BnXn, FnX˜n+1 = BnFn −1X˜n ˜ Xn+1 = Fn−1BnFn−1X˜n = RX˜n
Vậy phương trình (3.4) đưa được về phương trình có hệ số hằng qua phép đổi biến Fn−1.