Một số phương pháp giải gần đúng phương trình và hệ phương trình vi phân

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ PHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ PHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2012 3.1. 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ PHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG THỊ PHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2012 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng sau đại học, các thầy giáo, cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân, bạn bè cùng các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Hoàng Thị Phương 4 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là kết qủa của quá trình học tâp, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Luận văn với đề tài: “Một số phƣơng pháp giải gần đúng phƣơng trình và hệ phƣơng trình vi phân” không có sự trùng lặp. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Hoàng Thị Phương 5 MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 3 MỞ ĐẦU 4 NỘI DUNG 6 Chƣơng 1: Một số kiến thức chuẩn bị…………………………………… 6 1.1. Một số kiến thức về phương trình và hệ phương trình vi phân 6 1.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân 9 1.3. Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân 10 Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải số phƣơng trình vi phân 12 2.1. Phương pháp Runge - Kutta giải gần đúng phương trình vi phân 12 2.2. Phương pháp đa bước 21 2.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số……………… 24 Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình của Bulatov và Berghe 30 3.1. Phương pháp Bulatov giải hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một 30 3.2. Phương pháp Bulatov giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 35 3.3. Phương pháp của Bulatov và Berghe giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 65 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học, kỹ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân. Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kỹ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: Nghiên cứu định tính và giải số. Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu đảm bảo sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình vi phân cũng rất phong phú đa dạng và ngày càng phát triển về số lượng và chất lượng. Những phương pháp thường được sử dụng như: Phương pháp lặp đơn, phương pháp Runge - Kutta, phương pháp đa bước. Ngoài ra phương pháp giải số hệ phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V. Bulatov và G. V. Berghe đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây là phương pháp hữu hiệu đảm bảo sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng tôi chọn đề tài: “Một số phƣơng pháp giải gần đúng phƣơng trình và hệ phƣơng trình vi phân” với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu về các phương pháp giải phương trình vi phân. - Tìm hiểu về phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân thường bậc một và bậc hai có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 7 - Trình bày một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân. - Trình bày phương pháp của Bulatov và Berghe. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình vi phân. - Phạm vi nghiên cứu: Các giáo trình, tài liệu liên quan đến phương pháp giải phương trình và hệ phương trình vi phân. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp giải gần đúng của giải tích số. 6. Đóng góp mới của luận văn - Trình bày một cách hệ thống một số phương pháp giải gần đúng phương trình, hệ phương trình vi phân và đặc biệt là các phương pháp của Bulatov và Berghe đề xuất trong những năm gần đây, đồng thời có sử dụng phần mềm MATLAB để giải một số ví dụ về hệ phương trình vi phân. 8 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số kiến thức về phƣơng trình và hệ phƣơng trình vi phân 1.1.1. Một số khái niệm a. Phƣơng trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm phải tìm và đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm. Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng: () ( , , , , , ) 0 n F x y y y y    , (1.1.1.1) trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm, ,y  , ,y  ()n y là các đạo hàm của hàm số ()y y x . Ta gọi cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Ta gọi nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số ()yx   , khi thay vào phương trình ta được một đồng nhất thức. Hàm số ( , )y x c   () n cR có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) nếu: 1. ( , )x y D (D là miền xác định của phương trình) thì ( , )y x c   đều thỏa mãn (1.1) n cR . 2. ( , )x y D ta có thể tìm được ( , )c x y   . b. Hệ phƣơng trình vi phân Hệ phương trình vi phân có dạng: 9 1 1 11 1 11 ( , , , , , , , , , ) 0 n n m m nn n m m dy d y dy d y x y y dx dx dx dx   , (1.1.1.2) trong đó x là biến độc lập 1 ,y 2 ,y , n y là các hàm số phải tìm. Giải hệ phương trình (1.1.1.2) là tìm các hàm số: 11 ( ),y y x , () nn y y x sao cho thỏa mãn (1.1.1.2). 1.1.2. Một số phƣơng trình vi phân đã biết cách giải a. Phƣơng trình tách biến 12 ( ). ( ) dy f x f y dx  . (1.1.2.1) (1.1.2.1) 11 22 ( ) ( ) . ( ) ( ) dy dy f x dx f x dx c f x f y       ( c tùy ý) b. Phƣơng trình thuần nhất () dy y f dx x  0x . (1.1.2.2) Đặt y u x  ta có () du x f u u dx  . Giả sử ()f u u ta có (1.1.2.2) () du dx c f u u x      ( c tùy ý). Giả sử ()f u u ta có (1.1.2.2) y cx ( c tùy ý). c. Phƣơng trình tuyến tính cấp một ( ). ( ) dy p x y q x dx  . (1.1.2.3)   0qx thì (1.1.2.3) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp một.   0qx thì (1.1.2.3) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp một. 10 Công thức nghiệm tổng quát:   ( ) ( ) ( ). . p x dx p x dx y e q x e dx c     d. Phƣơng trình Bernoulli Dạng tổng quát: ( ). ( ). dy p x y q x y dx   . (1.1.2.4) Nếu 0   (1.1.2.4) là phương trình tuyến tính. Nếu 1   (1.1.2.4) là phương trình tuyến tính thuần nhất. Nếu 0   và 1   chia cả 2 vế của (1.1.2.4) cho y  , đặt 1 zy    để đưa (1.1.2.4) về phương trình tuyến tính thuần nhất đã biết cách giải. e. Phƣơng trình vi phân toàn phần Dạng tổng quát:     , , 0p x y dx q x y dy . (1.1.2.5) f. Phƣơng trình Clero Dạng tổng quát: dy dy y x f dx dx     . (1.1.2.6) g. Phƣơng trình lagrange Dạng tổng quát: . dy dy y x g f dx dx              . (1.1.2.7) 1.1.3. Định lý Picard - Lindelof Giả sử hàm ( , )f x y xác định và liên tục trong miền G :     00 , : ,G x y x x a y y b     đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y :     ,,f x y f x y L y y   ( L là hằng số dương), khi đó tồn tại một dãy nghiệm gần đúng của phương trình:   ,y f x y   trên đoạn 00 [ ; ]x h x h và dãy nghiệm này là các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm duy nhất của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu: [...]... tích phân Vì giải phương trình vi phân thường (1.3.1) với điều kiện ban đầu (1.3.2) tương đương với vi c giải phương trình tích phân t x(t )  x0   f ( x( s), s)ds , (2.1.1.1) t0 nên ta cũng có thể sử dụng quy tắc cầu phương cơ bản trong vi c giải số phương trình vi phân Trong mục này ta chỉ ra rằng, nhiều công thức sai phân cổ điển giải số phương trình vi phân có thể suy ra từ quy tắc cầu phương cơ... Phƣơng pháp một bƣớc giải phƣơng trình vi phân thƣờng Phương pháp Euler, các phương pháp cải biên của nó và phương pháp Runge - Kutta giải phương trình vi phân: y  f (x, y ) (2.2.1) là phương pháp một bước, tức là, để tính giá trị của yn1 ta chỉ sử dụng các giá trị tại một bước trước đó, là giá trị của yn Các phương pháp này là trường hợp riêng của phương pháp tuyến tính một bước tổng quát hơn sau:... có thể vi t dưới dạng yn1  yn   ( xn , y n , h) và có thể coi như h là xấp xỉ sai phân của phương trình vi phân y  f ( x, y) , vì ta có: lim h 0 y ( x  h)  y ( h)  y( x)  f ( x, y ( x)) h 2.2.2 Các phƣơng pháp đa bƣớc 2.2.2.1 Phƣơng pháp đa bƣớc giải phƣơng trình vi phân thƣờng Ta xem xét phương pháp hai bước nhận được từ xấp xỉ tích phân sau đây Tích phân hai vế phương trình vi phân y... Lindelof hệ (1.3.1) - (1.3.2) có nghiệm duy nhất x(t ) trên toàn đoạn [0,1] (nghiệm có thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục) 14 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Phƣơng pháp Runge - Kutta giải gần đúng phƣơng trình vi phân 2.1.1 Quy tắc cầu phƣơng cơ bản Quy tắc cầu phương cơ bản có thể được coi là phương pháp quan trọng để tính tích phân. .. Khi k  0 thì 2  kh 2  kh 2  kh 2  1 nếu h  Đây chính là điều kiện ổn định cho hệ sai phân 2  kh k 32 CHƢƠNG 3 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỦA BULATOV VÀ BERGHE 3.1 Phƣơng pháp Bulatov giải hệ phƣơng trình vi phân phi tuyến cấp một a Phƣơng pháp tổng quát Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình: x(t )  f ( x(t ), t ), t [0,1] , (3.1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu: x(0)... và duy nhất nghiệm Cho phương trình vi phân y  f  x, y  và các giá trị ban đầu x0 , y0 Giả sử f ( x, y) và các đạo hàm riêng f y xác định và liên tục trên miền D của không gian R 2 Giả sử ( x0 , y0 )  D khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x0 tồn tại duy nhất một nghiệm y  y( x) của bài toán Cauchy 1.2.2 Bài toán Cauchy đối với phƣơng trình vi phân cấp n Phương trình vi phân cấp n là phương. .. ta có phương pháp ẩn 2.2.2.2 Phƣơng pháp Adams - Bashforth Adams đã đưa ra phương pháp đa bước giải gần đúng phương trình vi phân dựa trên xấp xỉ tích phân bằng đa thức nội suy như sau Tích phân hai vế của phương trình vi phân y  f ( x, y) ta được: xn y ( xn )  y ( xn1 )  f (t , y (t ))dt xn1 Hàm f ( x, y) dưới dấu tích phân được xấp xỉ bởi đa thức nội suy dạng Newton theo k giá trị tính trước... b1  0, b2  1 ta có phương pháp Euler Ngược lại, nếu b1  0 ta có phương pháp ẩn Thí dụ, khi a  1, b1  b2  1 ta 2 trở về phương pháp hình thang Ta cũng có thể mở rộng phương pháp một bước tuyến tính thành phương pháp một bước tổng quát theo công thức: yn1  yn  h ( xn , yn , h) Thí dụ, trong phương pháp Euler ta có:  ( xn , yn , h)  f ( xn , yn ) , còn trong phương pháp Runge - Kutta đơn... hình thử và ổn định của phƣơng pháp số 2.3.1 Mô hình thử Để phân tích hiệu quả của các phương pháp, ta thường thử chúng trên mô hình G Dahlquist (gọi là phương trình thử hay mô hình thử): x   x, x(0)  x0  R, t [0,1] (2.3.1) 27 trong đó  là một hằng số (thực hoặc phức) Nghiệm của phương trình này là: x(t )  et x0 Ta thường vi t   R  u1 , trong đó R và 1 tương ứng là các phần thực và phần... là phương pháp Runge - Kutta đơn giản hoặc phương pháp tiếp tuyến cải tiến, vì nó trùng với phương pháp Euler cải tiến 1 2 1 2 Nếu chọn b2  1 thì a21  , b1  0 và c2  Khi ấy ta có công thức: xn1  xn  h(b1k1  b2 k2 )  xn  h f ( xn  h h f ( xn , tn ), tn  ) 2 2 23 Phương pháp tính theo công thức trên gọi là phương pháp Euler - Cauchy 2.2 Phƣơng pháp đa bƣớc 2.2.1 Phƣơng pháp một bƣớc giải . về phương trình và hệ phương trình vi phân 6 1.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân 9 1.3. Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân 10 Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải số. phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình của Bulatov và Berghe 30 3.1. Phương pháp Bulatov giải hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một 30 3.2. Phương pháp Bulatov giải hệ phương trình vi phân tuyến. văn - Trình bày một cách hệ thống một số phương pháp giải gần đúng phương trình, hệ phương trình vi phân và đặc biệt là các phương pháp của Bulatov và Berghe đề xuất trong những năm gần đây,