Ebook xử lý tín hiệu và lọc số (tập 2 chương trình tổng hợp và thiết kế các bộ lọc số) phần 2 PGS TS nguyễn quốc trung

MỞ ĐẦU Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc số, tức là tìm ra các hệ số của bộ lọc số IIR sao cho thoa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc là ồ,, ồ;,

Chuong 6 TONG HOP CAC BO LOC SO CO DAP UNG XUNG

CHIEU DAI VO HAN (BO LOC SỐ IIR) 6.1 MỞ ĐẦU

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc số, tức là tìm ra các hệ số của bộ lọc số IIR sao cho thoa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật của

bộ lọc là ồ,, ồ;, œ¿„ œ, trong miền tần số liên tục @ đối với [He |,

Các phương pháp tổng hợp bộ lọc loại này có thể chia ra làm hai loại chính:

- Loại thứ nhất là chuyển từ việc thiết kế các bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tức

là chúng ta phải thiết kế các bộ lọc tương tự trước sau đó dùng các phương pháp

chuyển đối tương đương một cách gần đúng giữa miền tương tự và miền số để thu

được bộ lọc số Phương pháp thứ nhất này được sử dụng rộng rãi nhất

- Loại thứ hai là các phương pháp tìm ra các thủ tục tối u hoá nhờ sự tham gia của máy tính điện từ Các phương pháp này là tìm kiếm các cách tối thiểu hoá sai số của việc xấp xi các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc cần thiết kế bằng một bộ lọc khác

có thể thực hiện được các tiêu chuẩn gần đúng Loại thứ hai này ít được đùng

Trong chương này chúng ta sẽ đi sâu nghiên cứu các phương pháp loại thứ nhất

vì nó đơn giản và độ chính xác là chấp nhận được

6.2 CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT CỦA BỘ LỌC

6.2.1 BỘ LỌC SỐ IIR THỰC HIỆN ĐƯỢC

Ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu các bộ lọc số IIR thực hiện được về mặt vật lý, tức là các bộ lọc số là ồn định và nhân qua

Tính nhân quả được đảm bảo nếu đáp ứng xung () của bộ lọc thoả mãn điều kiện sau đây:

han} =O với n<0

Tính ốn định được đảm bởi đáp ứng xung /#(z) thoả mãn điều kiện ổn định sau:

135

° hín)| <r (6.2.1.1)

6.2.2 HAM TRUYEN DAT

Ham truyén dat cua mot bd loc số EIR c6 dang sau đây:

Néu a, va b, la thue ta co:

He’) ~ He my

[eee fermen ye = Meet ye

Ta có:

: AE ge Hie) ek “AJ

Mle wey ) Ve - nhai

6.2.4 THOL GIAN TRUYEN NHOM

Thời gian truyền nhóm được định nghĩa như sau:

đụ(t9) tw) = -

© s„dF(e”)

thi T(()) = - ] ev d/(e }

137

Thay F(e’”) vao ta có:

rw) = - je!

7 ] ad In 2) dte™)

=e = ye" + | ——~ 2 Hie”) He")

A + A* = Re{A] + slm[A] + Re[A] - jIm[A] = 2Re[A}

Hel") = — (H(e1)] die")

Có bốn phương pháp chuyển đối từ hệ thống tương tự sang hệ thống số như sau:

- phương pháp {: phương pháp bất biến xung

- phương pháp 2: phương pháp biến đổi song tuyến

- phương pháp 3: phương pháp tương đương vị phân

- phương pháp 4: phương pháp biến đổi : tương ứng

Để thấy rõ bản chất của các phương pháp này, chúng ta tiến hành so sánh hệ thống tương tự và hệ thống số

6.3.2 SO SANIT HE THONG TUONG TU VA HE THONG SO

Bang 6.3.2.1 sau đây sẽ giúp chúng ta ôn lại một vài đặc trưng chính của bộ lọc tương tự và bộ lọc số, từ đây chúng ta có thể rút ra được sự giống nhau và khác nhau giữa hai loại bộ lọc này

s„: các điểm khong cha H,(s)

xí

Ia Hiz) = B về -

ia = yt z„: các diém khong cua H(z)

=4: cdc diém cuc cba H (=)

6.3.3 PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP BAT BIEN XUNG

Giống như tên của nó đã chi 16, phương pháp này có bản chất như sau: đáp ứng xung của bộ lọc số ///) nhận được bảng cách lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc tương tự „(?) như vậy đang của f(t) va h(n) như nhau, chỉ khác ở chỗ # (7) là

liên tục, còn /() là rời rạc

Ôn lại quá trình lấy mẫu ta thấy rằng:

a) Trong miền thời gian

FT/UMWH)) = H(e'“)

ở đây FT là toán tử biến đổi Fourier

Vậy ta có:

H(c'”") = H,(a,)*E(@,) = Hla, "lệ > ae 2a)

Han T aoe go ye Sale 28) ¥ slo, T ]

T.: chu kỳ lấy mâu

Nếu định lý lấy mẫu được thoả mãn tức là:

R HArø/)=0 với [m] <

Từ đây chúng ta cũng có sự tương ứng giữa mặt phẳng x và mặt phẳng z, hình

6.3.3.3 sẽ mình hoa điều này

Chúng ta biết rằng hàm truyền dat H,(s) cla bộ lọc tương tự có thể được biểu điển đưới dạng khai triển thành các phân thức tối gián như sau:

YTS yk

ở đây:

LT: biến d6i Laplace (Laplace Transform)

ILT: biến đổi Laplace ngugc (Inverse Laplace Transform)

u(t): hàm nhẩy đơn vị tương tự

(6.3.3.7)

N -> h1) = Ss Ape u(t)

hel Lấy mầu h (/) sẽ cho ta:

N

= VA mS wnt) (6.3.3.8)

N (nT) = AO, ny = Sv Ape u(r)

Ap dung công thức tính chuỗi, ta cố:

e`*!"* chính là điểm cực của H(zJ, mà s„ là điểm cực của H,(s) Như

a + J, cla Hs) duoc biến đổi một cách

tức là các điểm cực z„¡ tương ứng sẽ năm trong vòng tròn đơn vị Như vậy điều kiện

ồn định vẫn được đảm bảo khi ta chuyển H,(s) thành (z) theo phương pháp bất biến xung

Hình 6.3.3.4 sẽ minh hoa sự tương ứng giữa hai miền ổn định trong mật phẩng 5

Giai

- J(x) có hai điểm cực: s„; = - 3; s„: = - 5 vay:

A, + Ay S° Spy IS—Spp

=> H(š) = + 2

Áp dụng công thức (6.3.3.9) ta có H(z) như sau:

Mc) = tae ET! * Jee hoo

- Để vẽ được so d6 thuc hién b6 loc s6, ching ta chuyén H(z) vé dang sau day:

M Sib, 27

~1t— ;=l -

H()= =5

11 Ya,-"

kel hoac viét phuong trinh sai phan dudi dang sau:

6.3.4 PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHAP BIEN DOI SONG TUYEN

a) Dinh nghia bién doi

Giả sử v„(f) là một tín hiệu tương tự, vậy đạo hàm bậc nhất của v„(/) là:

dy (vy)

vit) = dt

và ta có thể viết y„(7) dưới dạng tich phan cua y(t):

1 y(t) = [vy (dt + y(t)

Bay giờ chúng ta tiến hành tính tích phân trên nhờ quy tắc hình thang

Quy tắc này được sử dụng rộng rãi trong trường hợp tích phân không thể tính được bàng giải tích Nội dụng của quy tắc này như sau: tính tống tích diện tích của các hình thang nhận được bảng phép nội suy tuyến tính giữa các mâu của tín hiệu rời rạc Hình 6.3.4.1 sẽ mình hoạ cách tính này

Theo hình 6.3.4.1, diện tích giữa hai mẫu được tính như sau:

p Nal AT Oty Hn, |

Điện tích này chính là giá trị gần đúng của tích phan:

uy, : Yat.) ey, , Wn-UT

(vy (Udt = T vat) đ Wn= DI

tư (LH

Vậy ta cĩ:

vu(n )ty„/qn-LUT } vu(HT.) - yu((n - TT.) =T, 5 (6.3.4.1) Gia sử ta cĩ ví dụ bộ lọc tương tự được xác định bằng phương trình ví phân sau đây:

H(š ) = ———

Sai

AsO

Vậy trong trường hợp này:

Cạ= {y¿ ZƠï r,= Ì,cs=c¡= =ca =0

dụ = l;ị dị, = d,= =d, =O

Ta cĩ:

Cy teas stey Néu dat ¢ = nT, thi phuong trinh (6.3.4.2) trd thanh:

Tức là chúng ta có thể nhận được hàm truyền đạt của bộ lọc số từ bộ lọc tương

tự nếu ta có biến đổi sau đây:

Thế thì nếu phần thực của s (ơ) là âm sẽ dẫn đến môdul của z nhỏ hơn đơn vị Như thế, nửa mặt phẳng bên trái của mặt phẳng x được ánh xạ vào trong vòng tròn don vi trong mat phẳng z qua phép biến đổi song tuyến

152

Từ đây ta có thể nói rằng phép biến đối song tuyến thoả mãn điều kiện chuyển một bộ lọc tương tự ôn định sang một bộ lọc số ốn định

Hình 6.3.4.2 sé minh hoa phép ánh xạ nói trên

Hình 6.3.4.3 sẽ minh hoạ quan hệ phi tuyến (6.3.4.8)

153

Hình 6.3.4.4

Giải

Xét quan hệ giữa w va w, trong biểu thức (6.3.4.8) cách tìm đáp ứng tần số của

bộ lọc tương tr tương ứng được giải thích

154

trên hình 6.3.4.5.

Ví dụ 6.3.4.2

Cho hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự H,(s) như sau:

4

Hs) = ° (s—3J(s — 5)

- Hãy tim ham truyén dat H(z) cla bd loc số tương ứng bằng phương pháp biến

đổi song tuyến

- Hãy vẽ sơ đồ thực hiện bộ lọc

Giải

Áp dụng biểu thức (6.3.4.5) ta có //(z) như sau:

155

Mạch điện trên hình 6.3.4.8 là mach diéu khién bang dién áp

Hãy chuyển mạch điện này thành mạch số bằng phương pháp biến đổi song tuyến

Hình 6.3.4.9

157

6.3.5 PHUONG PHAP 3: PHUONG PHAP TUONG DUONG VI PHAN

a) Xác dịnh sự tương dương

Chúng ta biết rảng một bộ lọc tương tự (hoặc một hệ thống tuyến tính bất biến nói chung) được đặc trưng bởi một phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, còn một bộ lọc số HR được đặc trưng bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Chính vì vậy chúng ta có thế thiết lập một sự tương ứng giữa vi phân và sai phân

Sau đây chúng ta tiến hành xét ch: tiết từ định nghĩa của vị phân và sai phân Đối với đạo hàm bậc nhất ta có:

Uy t Ay (ft

4 vu) - ụ AYu) (6.3.5.1)

dy! Ai s0 At Nhưng ta cũng có:

Tir bang 6.3.5.1 và 6.3.5.2 ta có thể rút ra kết luận mội cách rõ ràng rằng hàm truyền đạt của bộ lọc số IIR có thể nhận được trực tiếp từ hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự bằng cách đổi biến số theo công thức sau đây:

w? luôn luôn dương, T? luôn luôn đương, đẫn đến Re/z/ luôn luôn đương

160

Biến đổi tiếp ta có:

Re°[z] - Relz] + (+) (+) + (Im)'[z] = 0 2 2 2

[Rd:!= 2) + (lm)ˆ(z} = (=) (6.3.5.5)

Rõ ràng là phương trình (6.3.5.5) là phương trình của một đường tròn có bán kính bằng T tâm nằm ở điểm thực 5 trong mặt phẳng z Đường trdn này chính là ảnh của trục ao (s = jw@,) trong mat phang z Nhu vay ảnh của trục ảo (š = jw,) không phải là vòng tròn don vi |z] = | nhu trong truéng hợp của phương pháp biến

đối song tuyến

Hình 6.3.5.2 sẽ minh hoa trục ảo trong mặt phẳng s (y = /2,) va ảnh của nó trong mặt phẳng z

({L-oT, )° +(@, 7

——T——

d= | + (1 oT, 4 (@ Ty

Nếu bộ lọc tương tự là ổn dinh thia < 0 (cdc diém cuc H,{s}) nam bén trdi mat

phẳng s), dan dén oT, < 0 va (1 - ø7.J? > I vậy thì với bất kỳ giá trị nào của (@,7}

ta luôn luôn cố;

(1 - oT)? + (w,7.)? > 3 dan dén:

Bay giờ chúng ta xét chị tiết hơn nửa bên trái mat phang š sẽ ánh xạ vào đâu

trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z

Vay: | 4 > |: acy OGL VI (CL - OT.) > I

Vậy ta có thể nói rằng nửa bên 1r4i mat phang s duoc Anh xa vao bén trong

vòng tròn bán kính 5" tâm năm ở điểm thực z = 3 trong mặt phăng z Sự tương ứng này được minh hoa trên hình 6.3.5.3

162

Sơ đồ của bộ lọc IIR này có đạng như trên hình vẽ 6.3.5.4

163

6.3,6 PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 7 THÍCH ỨNG

Phương pháp này được sao chụp lại nội dung của phương pháp J (phương pháp bất biến xung), tức là chuyển đổi trực tiếp các điểm cực và điểm không của hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự #/„(x) trong mặt phẳng s thành các điểm cực và điểm không của hầm truyền đạt cùa bộ lọc s6 H(z) trong mat phẳng z

Giả sử rằng hàm truyền đạt của bộ lọc tương tự có đạng sau đây:

M I] (s- So )

s„ là các điểm không của bộ lọc tương tự,

#„ là các điểm cực của bộ lọc tương tự

Thì chúng ta thu được hàm truyền đạt #2) của bộ lọc số đưới dang sau đây:

M hR -I

[[d-e*hz”)

[IId-e 2z) k=]

ở đây 7, là chu kỳ lấy mầu

Theo (6.3.6.1) và (6.3.6.2) ta thấy rằng môi phần tử (š - a) trong „(x) được ánh

xạ thành phần tử (eels! J Đó là nội dung của phương pháp biến đổi z thích ứng

Qua phương pháp này ta thấy rằng việc ánh xạ các điểm cực giống như trong phương pháp bất biến xung Còn sự khác nhau giữa phương pháp biến đối z thích ứng và phương pháp bất biến xung là việc ánh xạ các điểm không

164

Để đảm bảo đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự không bị biến dang thi chu kỳ lấy mẫu 7, phải được chọn sao cho có thể nhận được vị trí các điểm cực và điểm không tương đương trong mặt phẳng z Sự sai lệch này có thể được giảm đi khi ta chọn chu kỳ lấy mẫu 7, đủ nhỏ

- Hãy tìm hàm truyền đạt của hệ thống số tương ứng bằng phương pháp biến đổi

v(n) = bax(0) + bịx(n - Ì) + bạx(n - 2) + (-4,)y(n- Ì) + (-a;)y(n - 2)

Từ đây có thể vẽ được sơ đồ hệ thống số IIR như trên hình 6.3.6.1

165

6.4 TONG HOP CAC BO LOC TUONG TỰ

6.4.1 TONG QUAN VE CAC BO LOC TƯƠNG TU

Chúng ta biết rằng một bộ lọc tương tự được xác định bời hàm truyền đạt của chúng như xau:

Y (9)

H(s)=

Xs) 6.4.2 BO LOC TUONG TU BUTTERWORTH

Cơ sở toán học như sau:

Chúng ta biết rằng chuỗi Taylor của hàm #(x + xạ) như sau:

L(x + xy) = LOX) + ae (tu) + 7 L{xy)+ + a L(x) +o + ¬ LX, )

166

Thường chúng ta chuẩn hoá theo tần số cắt ø2„„, lúc đó chúng ta có:

L(1) = 2 tại tần số cắt chuẩn hod (a,, = 1) như vậy thì:

ở đây „ gọi là bậc của bộ lọc

Đỏ thị của |#„(œ„ | cho trên hình 6.4.2.1

16?

- Bậc của bộ lọc ø càng tâng thì bộ lọc càng gần với bộ lọc lý tưởng

- Đáp ứng biên độ luôn bang —= ở tần số cất với mọi giá (rỊ của 0,

Để đảm bảo hệ thống là ốn định thi cdc diém cue cba H,(\) phai nam bên trái trục ảo Vậy trong các điểm cực của /#„(s)./!„(- x) chúng ta chọn ra các điểm cực nam bên trái trục ảo (xem hình 6.4.2.2) để làm các điểm cực của /!(š} đối với bộ lọc ốn định Tức là các điểm cực của hàm truyền đạt của bộ lọc ổn định phải nằm

bên trái trục ảo trong mặt phẳng š

@ ] 2ulg; —“ | > 1lg)—-1

Vi du 6.4.2.2

Hãy tìm hàm truyén dat H,(s) va vi tri các điểm cực của #,(s) đối với bộ lọc tương tự Butterworth chuẩn hod (a, = I), biết rằng bộ lọc tương tự này có bậc n=2

[Ï](s- s„ )

k=}

ở đây Hụ = 1; n = 2 vay tacé:

172

chúng ta có hai điểm cực v„¡ và v„;, hai pf X

điểm cực này nằm bên trái trục ảo của `

Hạ=- s n+Ỉ * T] spa | Poy kel =-(- 1) ial II kel =1 (6.4.2.14)

Ở tần số không chuan hod ta co |s,,) = @ = - @,, Vay La CÓ giá trị của

Hy=- 8 an TL sl =- Cad TT foul? = ok (6.4.2.15)

174

Hãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc tương tự thông thấp Butterworth

bàng phương pháp biến đổi song tuyến

Minh hoa đáp ứne biên độ của bộ lọc số trên hình 6.4.2.5

Xác định lại các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc tương tự các chỉ tiêu kỹ thuật của

bộ lọc số tương ứng theo phương pháp biến đối song tuyến

Néu chang ta chuan hoa w

0„„ Và (0, sẽ được tính như sau;

Dap yp = dae | = 0,3167689

= - ~ 03167689

Minh hoa đáp ứng biên độ của bộ lọc tương tự trên hình 6.4.2.6

17⁄7