Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Lời nói đầu Tốn học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực là: Tốn học lý thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Chúng ta biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác Trong dó phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Do phải nhờ tới phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà khoa học nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Là sinh viên chun nghành tốn em may mắn có hội nghiên cứu đề tài: “Giải gần phương trình vi phân thường” Dưới giúp đỡ tận tình, bảo ân cần thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng Với say mê tốn, tích cực tìm tòi nghiên cứu em hồn thành đề tài nghiên cứu Đề tài em gồm phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận Nội dung gồm: Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương 2: Giải gần phương trình vi phân thường Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn em hồn thành đề tài Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy giáo khoa tốn, thầy tổ mơn giải tích, bạn sinh viên khoa tốn tập thể bạn sinh viên lớp k32 cử nhân tốn, giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em suốt q trình hồn thành khóa luận Do lần tiếp xúc với nghiên cứu khoa học thời gian có hạn nên đề tài em chắn tránh khỏi thiếu sót Em mong thơng cản thầy cô giáo bạn sinh viên Hà nội ngày tháng năm 2010 Chương 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1: Sai phân A 1,2 , 1.1.1 Dãy số Gọi A tập hợp m số tự nhiên khác không k Một hàm số x xác định tập A gọi dãy số hữu hạn Tập giá trị dãy số hữu hạn x1; x2; ; x  k  Người ta thường kí hiệu giá trị x1x1; x  x2 ; ; viết dãy số xk xk dạng x1, x2 , , xk Một hàm số x xác định tập N  số tự nhiên khác không gọi dãy số vô hạn (hay gọi dãy số Tập giá trị dãy số x gồm vô số phần tử x 1x1; x  x2 ; ; x  n xn Người ta thường viết dãy số dạng x1, x2 , , xn, Dãy số x1, x2 , , xn , dương N0 cho xn  c gọi dãy dừng tồn số nguyên với n N0 Ở c số (và gọi số dừng) Dãy số x1, x2 , , xn gọi là: n 1,2, Bị chặn tồn số M cho xn  M với Bị chặn tồn số m cho xn  với n 1,2, m Dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn 1.1.2 Giới hạn dãy số Ta nói dãy số xncó gới hạn a với số dương  cho trước (nhỏ tùy ý), tồn số tự nhiên N cho với n  xn a  Ta viết N lim xn a hay viết lim xn a n 1.1.3 Tổng n số hạng dãy số: Cho dãy số tổng n số hạng dãy số kí hiệu x n  sn x1 x2  nxn i xi 1.1.4 Công thức Moarvơ Cho số phức: x iy r cosi sin 2  y i 1; r x y arctg ; số phức liên hợp x iy r cosisin x Ta có: n r n cos-isinn r n cosn-isinn (công thức Moarvơ) 1.1.5 Sai phân a Khái niệm sai phân: Giả sử :R hàm số cho trước h số khác f  R ta gọi 0 f x    x f sai phân cấp hàm số y f x  1 f x  f x  f x h  sai phân cấp hàm số y f x    f x    f x   x hf x  f x 2h2 f f x x h  f sai phân cấp hai hàm số y f x   Quy nạp: n  f x n1 f x   n N   sai phân cấp n hàm số xi  f xi  y f x  f 3xi  2 f x  xi f x4 f 4 x3 f 3 f4 x2 f 2 f3  4f x1 f 1 f2  3f x0 f0 f1  f x1 f1 f0  f x2 f2 f1  f f 4xi  f xi5  f 6xi  2 2 1 2 x3 f3 f2  f x4 f4 f3  f 2  f 4  f 3  f 2  f 1  f  f  f 4  f 3  f 2  f 1  f  f 4  f 3  f 2  f 1  f 4  f 3  f 2 Nhận xét: Bắt đầu từ cột phần tử hiệu phần tử dòng dòng cột liền trước Ví dụ: f f3 f4 4  1.1.6 Tính chất sai phân a Sai phân là tốn tử tuyến tính xác định khơng gian X hàm số xác định R , nghĩa với , với hàm số   g f , g thì: g   f R ,  f Chứng minh:  g Ta có:  x  f f x h f g g x f x hg  x h  f  x g  x  f x h f x  g  x h g  x  c b Nếu c  0 f f Chứng minh: xg  x  c c c 0 c 0 c  n  x n!h n n  m x  n 0 Chứng minh:  m>n  xn x h  n xn n n1 2 x  Cn hx  Cn h x n1 Cn hx 2  Cn h x n2 n n   h x   h n    x  x  nhx n 2 n x   h    2 n Do đó: n  n x  Ta được: m p  x n!h n n const m>n  m n n n đa thức bậc n thì: x px p x n i p hp  h x  i1 i x  i! Chứng minh: Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức p x  ta được: h h p x hp x  h 1 p  x  i! 2! h   n  x     x 0  n  n 1  n!h n  Nếu rõ ràng n n n 1  2 p x  p h n  n! n x (do p đa thức bậc n nên m ta có pm 0 ) n x Khi đó: p x p x hp x  h 1  p h  1! x  p  2 n x  h  2! i  i1 i! x  nh Chứng minh: f  n x  h p i x   f x   n n n! n  f p i i C i0 f x hf x  x Suy f x  f f x  f h  2h xf x1 f x  x h h1 f x h  1  Quy nạp với n: f x  nh f x    f x   i i C i0 f  x h  n 1 h 1  n n i n i0 f x   C  f x  i mọi sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số  f x  n n  1i  n i0 C i f x  n i  h  Có dạng : 3.3.25 y  k1 2k2 2k3 k4   z  0 Trong l   2l l 2l 1  k1 hf x0 ; y0 ; z0   k1 k hf x y h l   ; 0   ; 2 02    k2 k hf x y  h l   ; 0   ; 2 20   k4 hf x0 h; y0 k3; z0 l3 l1 hg x0 ; y0 ; z0  y  k2  k1 l hg x y h   ;  l1    ; 2 20    h l2  l hg x     ;   ; 2 20   l4 hg x0 h; y0 k3; z0 l3  Nhận xét : Đối với phương pháp Runge Kutta để tính giá trị yi ta phải tính giá trị f điểm trung gian.Vì hàm q trình tính tốn cồng kềnh x; y f mà phức tạp 2.4: Phương pháp sai phân giải toán biên 2.4.1.Định nghĩa Giả sử x, fi  x f phân tuyến tính Ly   liên tục a;b n f  i i  v  ; v x .y x    2.4.1.1  x f  i  Chọn số : fn 0 Lập phương trình vi cho ma trận m1 0 n1 0     1 1       n1   0 n1 0     m m m m    Có hạng m,ta lập tổ hợp tuyến tính sau : V y  n v  v  v  y v  a    y b ;       v1   2.4.1.2  1,  m  2.4.1.3  Ma trận (2.4.1.2) có hạng m nên tổ hợp (2.4.1.3) độc lập tuyến tính Các đẳng thức: Vy  g;  1, m 2.4.1.4  Trong glà số gọi điều kiện biên phương trình (2.4.1.1) với điều kiện (2.4.1.4) lập thành toán biên  Bài toán biên gọi g 1, 0; m f x0  Trong trường khác ta gọi không nhất, đơi gọi bán g f  ta thấy 0 x dĩ nhiên  0 thỏa mãn toán biên Nghiệm gọi nghiệm tầm thường, ta ý đến nghiệm không tầm thường Dĩ nhiên 1, , k nghiệm toán biên tổ hợp tùy ý chúng c11  ckk nghiệm tốn 2.4.2 Điều kiện giải tốn biên: Có tốn biên khơng có nghiệm cả: y" 0  y   a y '  b 1  y  a y '  b 0 Giả sử biết nghiệm riêng 0 nghiệm 1, , n phương trình (2.4.1.1) hệ phương trình tương ứng, lúc tốn biên (2.4.1.1); (2.4.1.3); (2.4.1.4) giải chọn hệ số ci 0 c11  cho điều kiện c22  cnn ; biểu thức: (2.4.1.4) thỏa mãn Vì điều kiện cần đủ để toán biên giải ma trận: V1 1  V1 n V1 0 g1      v2 2  V2 n V2 0 g    V  V  V  g  m n m m  m Có hạng với ma trận: V1 1  V1 n     V2 1  V2  n    V  m1 Vm  2.4.2.1  n   Nếu ma trận (2.4.2.1) có hạng r tốn biên giải có  n  bậc tự do, có nghiệm khơng tầm thường với m n r Trong trường hợp m n tốn biên có nghiệm không tầm thường định thức ma trận (2.4.2.1) không Như trường hợp m n tốn biên khơng có nghiệm tốn biên tương ứng có nghiệm không tầm thường L y  f Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2:  2.4.3 Đưa toán biên toán Cauchy Với điều kiện ban đầu: y  a ya ; y x  (2.4.3.1) b yb Ta thay việc giải toán biên (2.4.3.1) việc giải toán Cauchy sau đây: L y1  f x  ; y1  a L y2  '  a  0 f x  ; y2  a 'a  0 ya ; y1 (2.4.3.2) 0; y2 Sau tìm nghiệm dạng: y x y x   yb y1  b y2  b Dễ dàng thử lại y   (2.4.3.3) x y xác định công thức (2.4.3.3) thỏa mãn tốn biên (2.4.3.1) x Vậy ta áp dụng phương pháp giải toán Cauchy vào việc tìm nghiệm gần tốn biên 2.4.4 Phương pháp sai phân Giả sử cần tìm nghiệm gần toán biên (2.4.1.1)- (2.4.1.4) ta làm sau: Chia đoạn  a,bthành n phần nhau: xi a ih; b a h ; i 1, n 1 x0  xn b a; n Kí hiệu giá trị nghiệm (2.4.4.1) xi y xi  yi từ (2.4.1.1) (2.4.1.4) hệ thống  n giá trị gần phương trình 1 đại số tuyến tính để xác định giá trị yi Thơng thường dùng cơng thức để tính gần đạo hàm sau đây: y 'x  y xi1 y yi1 yi xi   i h y 'xi  h yi1 yi1 y"xi  (2.4.4.2) 2h (2.4.4.3) (2.4.4.4) yi1 2 yi yi1 h2 Chẳng hạn xét phương trình sau đây:  k x.y ''qx.y r x  ; Với điều kiện biên:  q x  0 ; y  a ; (2.4.4.5) (2.4.4.6) y  b  Giả thiết hàm k x  ,q x  ,r hai lần khả vi Để sai phân hóa  x tốn biên (2.4.4.5); (2.4.4.6)ta dùng công thức dạng (2.4.4.2); (2.4.4.4) Sau sai phân hóa ta hệ thống phương trình: ki ki1 y  y  y q y   y r  ki y  i i i i i i1 h2 h2 i1 Và y0 ; yn  Chú ý: k 'xi  ki i1 (2.4.4.8) ki1 ki h  Trong trường hợp đặc biệt yi1 2 yi yi1 (2.4.4.7)  i 1, n  r ; 1  q y i k x1 ta có: i i  h2 y0 ; yn  y '  a k1.y  a  Nên điều kiện biên là:  (2.4.4.10) k y ' b    y  b  (2.4.4.9) Thì ta phải thay y0  yn  đẳng thức sau: ;  y2 4 y1 3y0 k1.y0  2h 3yn 4 yn1  yn2 2h (2.4.4.11) k2 yn   Ví dụ: phương pháp sai phân tìm nghiệm gần phương trình sau: x2 y"xy ' 1 y 10; y 1, 4 ln 1, Với điều kiện 4 0,0566 Giải: Sử dụng công thức: yi '  yi1  yi1 ; 2h 2 yi yi " yi1 yi1  h2 Thay phương trình phương trình sai phân:  x   i yi1 2 yi  yi1 x h2 yi1 yi1 1 i 2h y 10; y 1, 40,0566  Sau biến đổi ta có: yi1 2x   i hxi  4x yi  i yi1 2x  x h  i i  2h Chọn h 0,2 ta nhận nút bên xi 0,2i i 1,2,3,4  Viết phương trình (2.4.4.12) nút (2.4.4.12) 0,04y0 0,16y1 0,12y2 0,08 0,24y1 0,64y2 0,4y3 0,08 0,6y2 1,44y3 0,84y4 0,08 1,12y3 2,56y4 1,44y5 0,08 Ở điểm biên, ta có: y0  y5 0,0566 0; Thay vào hệ giải được: y1  0,7568 y2  0,3424 y3 0,1063 y4 0,0459 Kết luận Giải gần phương trình vi phân thường có nhiều cách Nhưng điều kiện thời gian, trình độ, lực thân em có hạn nên khóa luận em nêu số phương pháp thường dùng Qua q trình nghiên cứu, hồn thành khóa luận em rút nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học Vấn đề nghiên cứu nhiều điều lý thú bổ ích Tuy nhiên lần tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian, kinh nghiệm có hạn nên khóa luận tốt nghiệp em nhiều điều cần bổ sung Em kính mong nhận góp ý thầy cơ, bạn sinh viên khoa tốn Để hồn thành khóa luận em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy, giáo khoa tốn, thầy (cơ) giáo tổ mơn giải tích bạn sinh viên lớp k32 cử nhân-tốn Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Tiến Sĩ Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn cho em hồn thành khóa luận cách tốt Em xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh - Giải tích số NXBĐHQGHN 2000 Nguyễn Minh Chương (chủ biên),Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh,Nguyễn Văn Tuấn,Nguyễn Tường - Giải tích số NXBGD 2009 Tạ Văn Đĩnh - Phương pháp tính NXBKH KT 1996 Hồng Hữu Đường -Phương trình vi phân tập NXBGD 1979 Nguyễn Mạnh Hùng - Giáo trình đạo hàm riêng NXBGD 2002 Mục lục trang Lời cảm ơn Lời nói đầu Nội dung: Chương 1: Kiến thức bổ trợ Bài 1: Sai phân .3 Bài 2: Số gần đúng, sai số 10 Bài 3: Một số kiến thức phương trình vi phân thường 16 Chương 2: Các phương pháp giải gần phương trình vi phân thường Bài 1: Một số phương pháp giải tích 22 Bài 2: Phương pháp Euler Euler cải tiến 29 Bài 3: Phương pháp Runge-Kutta 33 Bài 4: Phương pháp sai phân giải toán biên 45 Kết luận .51 Tài liệu tham khảo .52 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng- trưởng khoa tốn tận tình giúp đỡ em hồn thành khóa luận Trong q trình học tập, nghiên cứu, hồn thành luận văn em nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên khoa toán Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo, bạn sinh viên giúp đỡ Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ mơn giải tích, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 13 tháng năm 2010 Người thực hiện: Đinh Thị Thu Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu bậc đại học.Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy cô giáo khoa tốn,các thầy tổ mơn giải tích Đặc biệt giúp đỡ tân tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng Em xin khẳng định kết đề tài “ giải gần phương trình vi phân” em không trùng lặp kết đề tài khác Hà Nội, ngày 13 tháng năm 2010 Người thực hiện: Đinh Thị Thu ... Phương trình vi phân cấp nhất: dy dx f ; x, y  f tx,ty t k f t 0  x.y  ; Để giải phương trình dạng ta đặt u  sau đưa vi c giải y phương trình vi phân có biến số phân li x c Phương. .. xác tới 1000 h 0,003 xác tới 1000 1.3: Một số kiến thức phương trình vi phân thường 1.3.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát: F  x, y, y ', y '', , y n 0...  x,c Thì y x, chạy khắp D với c R 1.3.2 Một số phương trình vi phân biết cách giải a Phương trình vi phân có biến số phân li: dy f dx  x suy dy f y  suy dx y f x  dx C