Ứng dụng bài toán giá trị ban đầu vào quá trình dự báo lũ lụt và các thảm họa thiên nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN THỊ HẰNG ỨNG DỤNG BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀO Q TRÌNH DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC THẢM HỌA THIÊN NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN THỊ HẰNG ỨNG DỤNG BÀI TỐN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀO Q TRÌNH DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC THẢM HỌA THIÊN NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN Hà Nội, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Ứng dụng toán giá trị ban đầu vào trình dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên” thực với hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Hùng Sơn Đây chép cá nhân, tổ chức Các số liệu, nguồn thông tin luận văn tơi thu thập, trích dẫn tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung mà tơi trình bày Luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Hằng LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, GS.TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình hướng dẫn, bảo để luận văn hoàn thành, giúp tơi có thêm kiến thức, niềm đam mê nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu trường Tơi xin cảm ơn dạy dỗ, bảo tận tình quan tâm thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học suốt thời gian theo học nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp trường Cao đẳng nghề Kỹ thuật – Mỹ nghệ Việt Nam giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn cơng tác Cuối tơi xin cảm ơn gia đình bạn bè ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành q trình học tập luận văn Xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu Lời mở đầu CHƢƠNG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU 1.1 Bài toán tổng quát 1.2 Ý tưởng giải toán 1.3 Phương pháp giải 1.3.1 Không gian Metric 1.3.1.1 Các tính chất không gian metric 1.3.1.2 Lân cận, tập mở tập đóng 12 1.3.1.3 Không gian metric đủ 12 1.3.1.4 Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động 13 1.3.2 Không gian Banach 15 1.3.2.1 Thang Banach 17 1.3.2.2 Nghiệm toán giá trị ban đầu thang Banach 19 1.3.2.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp thang không gian Banach 20 1.3.2.4 Khơng gian Banach có trọng ứng dụng 22 1.3.2.5 Đánh giá tốn tử vi-tích phân 25 1.3.3 Không gian liên kết 27 1.3.3.1 Tính chất đánh giá 28 1.3.3.2 Cặp toán tử vi phân liên kết 28 1.3.3.3 Áp dụng nguyên lý ánh xạ co giải toán giá trị ban đầu 29 1.3.4 Các định lý 31 1.3.4.1 Định lý Cauchy – Kovalevskaya cổ điển 31 CHƢƠNG ỨNG DỤNG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀO QUÁ TRÌNH DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC THẢM HỌA THIÊN NHIÊN 35 2.1 Những thảm họa lũ lụt thiên tai thời tiết gây 35 2.1.1 Tình hình thảm họa thiên tai xảy Việt Nam 35 2.1.2 Tình hình thảm họa thiên tai xảy Thế giới 37 2.2 Tổng quan dự báo 38 2.2.1 Đặc điểm dự báo 38 2.2.2 Thiết lập mơ hình dự báo lũ thảm họa thiên nhiên 39 2.2.2.1 Phương trình liên tục 39 2.2.2.2 Phương trình động lượng 40 2.2.3 Phân tích định tính 40 2.2.4 Phân tích định lượng 41 2.2.5 Phương pháp dự báo lũ mơ hình thủy văn, thủy lực 42 2.2.6 Quy trình dự báo 44 2.3 Ứng dụng toán giá trị ban đầu vào trình dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên 45 2.3.1 Các toán 45 CHƢƠNG ÁP DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DỰ BÁO LŨ LỤT VÀ CÁC THẢM HỌA THIÊN NHIÊN 55 3.1 Giới thiệu tổng quan phần mềm Mathemitica 56 3.1.1 Cách khai báo số hàm Mathematica 56 3.1.1.1 Cách khai báo hàm số (có sẵn): 56 3.1.1.2 Khai báo hàm thực biến véc tơ 57 3.1.1.3 Khai báo hàm giá trị véc tơ 58 3.1.2 Giải toán Mathematica 58 3.1.2.1 Giải tốn đại số giải tích 58 3.1.2.2 Giải tốn đại số tuyến tính 62 3.2 Lập trình Mathematica 66 3.2.1 Kiểm tra 66 3.2.2 Xây dựng toán tử liên kết 67 3.2.3 Kết luận 69 KẾT LUẬN CHUNG 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 BẢNG KÝ HIỆU tập hợp số thực tập hợp số thực k chiều ̅ bao đóng tập Ω x thuộc tập hợp X x không thuộc tập hợp X tồn số x thuộc tập hợp X biên A H(G) không gian Banach H(G) H(G’) không gian Banach H(G’) ‖‖ chuẩn H(G) K số dương toán tử tuyến tính elliptic tốn tử vi phân liên kết với LỜI MỞ ĐẦU Từ trước tới nay, sống người chịu ảnh hưởng thời tiết đến đời sống sinh hoạt sản xuất Nhưng thời tiết khơng lúc thuận hịa theo ý muốn Con người phải chịu nhiều thảm họa thiên tai với tổn thất người Ở nước ta vấn đề lũ lụt nói riêng thảm họa thiên nhiên nói chung vấn đề cấp thiết có tính quốc gia Vì mùa lũ luân chuyển gần quanh năm từ Bắc vào Nam hậu ảnh hưởng đến toàn hoạt động kinh tế xã hội Lũ bắt nguồn từ bão với lượng mưa nhiều sức tàn phá lớn gây trận lũ qt tàn phá cơng trình, mùa màng, nhà tính mạng người Việc phịng chống lũ lụt giảm nhẹ thiên tai quan tâm đặc biệt, đầu tư thỏa đáng Vì vậy, việc dự đốn trước thời tiết giúp ích cho người tránh tổn thất lớn thời tiết gây ra, đặc biệt khả dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên phương tiện thơng tin tổng hợp, tính tốn khoa học đóng vai trị đáng kể Từ thấy việc nghiên cứu thiết lập mô hình tốn học để dự báo bão, lũ chế độ cần thiết cấp bách Với đề tài: “Ứng dụng toán giá trị ban đầu vào trình dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên‖, tơi xin trình bày giải pháp toán giá trị ban đầu vào dự báo lũ thảm họa thiên nhiên dựa phương pháp khơng gian liên kết Sau đó, áp dụng cơng nghệ phần mềm Mathematica tính giá trị ban đầu vào dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên lĩnh vực thủy lợi, tài nguyên nước học thủy khí Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Bài toán giá trị ban đầu Chương giới thiệu tổng quát chung tốn giá trị ban đầu trình bày ý tưởng toán, nêu phương pháp giải tốn giá trị ban đầu Chương 2: Ứng dụng toán giá trị ban đầu vào trình dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên Chương giới thiệu tổng quan dự báo, trình bày khái niệm mơ hình dự báo, phương pháp phân tích định tính định lượng dự báo Trình bày số tốn giá trị ban đầu dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên khác Sau đưa phương pháp tìm lời giải cho tốn Dựa vào tốn giá trị ban đầu để ứng dụng dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên Chương Áp dụng phần mềm Mathematica để giải toán dự báo lũ lụt thảm họa thiên nhiên Chương tơi xin trình bày khái qt phần mềm Mathematica áp dụng phần mềm Mathematica để giải toán giá trị ban đầu Luận văn hồn thành Viện Tốn ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn GS.TSKH Lê Hùng Sơn Mặc dù cố gắng, song nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 15 tháng năm 2018 CHƢƠNG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU 1.1 Bài toán tổng quát Xét toán giá trị ban đầu: /( ( với ) ( ) ) ( ) ) điểm thuộc không gian ( biến thời gian vế phải L (1.1) tốn tử vi phân tuyến tính cấp 1.2 Ý tƣởng giải toán Bài toán (1.1) (1.2) tương đương với phương trình vi– tích phân sau: ( ) ( ) ∫ ( ( ) ( )) (1.3) ) ( Tức nghiệm (1.1), (1.2) điểm bất động toán tử: ( ) ( ) ( ) ∫ ( ( ) ( ) Do nhận xét ta áp dụng nguyên lý ánh xạ co (cụ thể Nguyên lý điểm bất động Banach) để giải toán (1.1), (1.2) Nguyên lý điểm bất động Banach: Trong không gian định chuẩn đủ, ánh xạ có điểm bất động Nhiệm vụ giải tốn giá trị ban đầu : Xây dựng không gian định chuẩn đủ (Không gian Banach) cho: 1) Nghiệm toán (1.1)-(1.2) (và tương đương nghiệm (1.3)) thuộc khơng gian 2) Tốn tử T nói ánh xạ điểm khơng gian vào 3) T ánh xạ co Một số nhận xét: 1) Có thể dùng nhiều định lý điểm bất động để giải Bài toán (1.1) – (1.2) Chẳng hạn dùng nguyên lý Schauder điều kiện ràng buộc yếu nghiệm khơng Ví dụ 3.1.1.1 (hàm biến): Hàm f ( x)  x.sinx  ln3 x.e x cosx khai báo lệnh f[x_]:=x*sin[x]+ (log[x]^3)*(E^x)*cos[x] Ví dụ 3.1.1.2.(hàm nhiều biến): Các hàm f ( x, y)  x y  y.sin2 x , g ( x, y, z )  x.cotgy  y.cotgz  z.e xy khai báo sau f[x_,y_]:= x*y^2+y*(Sin[x])^2; g[x_,y_,z_]:=x*Cot[y]+y*Cot[z]+z*E^(x*y); 3.1.1.2 Khai báo hàm thực biến véc tơ Ví dụ 3.1.1.3 Khai báo hàm chuẩn biến véctơ: f ( x)  x  , x  ( x1, x2 , , xn )T  R n sau “giả thiết nhập n trước đó”(theo lý thuyết x   Max xi ) i{1, ,n} f[x_]:=Max[ Table[ Abs[ x[[i]] ] , {i,1,n}] ] Ví dụ 3.1.1.4 Khai báo hàm chuẩn hai biến véc tơ tơ (áp dụng tính khoảng cách hai điểm x y không gian định chuẩn R n ) f ( x, y)  x  y  , x  ( x1, x2 , , xn )T  R n , y  ( y1, y2 , , yn )T  R n ―giả thiết nhập n trước đó‖ (theo lý thuyết x  y   Max xi  yi ) i{1, n} f[x_,y_]:=Max[Table[ Abs[ x[[i]]-y[[i] ],{i,1,n}] ] Chú ý: Giá trị n lấy lệnh tính số phần tử ma trận cột x Length[x] Ví dụ 3.1.1.5 Khai báo hàm chuẩn biến ma trận  mn , theo lý thuyết Cho ma trận A  aij 57 n A   Max (  aij ) Khi hàm i{1, ,m} j 1 chuẩn ma trận được khai báo sau (giả thiết nhập trước giá trị m, n) f[A_]:=Max[ Table[ Sum[Abs[A[[i,j]]],{j,1,n}] , {i,1,m}] ] 3.1.1.3 Khai báo hàm giá trị véc tơ f   x  y  x.z   lệnh  x.siny  y.cosz    Ví dụ 3.1.1.6 Khai báo hàm F(x,y,z)=  f1    x.e y.z f   3 F[x_,y_,z_]:={ x+y+z, x*E^(y*z), x*Sin[y]+y*Cos[z] } 3.1.2 Giải toán Mathematica 3.1.2.1 Giải toán đại số giải tích - Tính giới hạn lim f ( x) , x  a lim f ( x) , x  a lim f ( x) , x  a lim f ( x) , x  lim f ( x) x  tính lệnh Limit[f[x],x->a] Limit[f[x],x->a, Direction->-1] Limit[f[x],x->a, Direction->1] Limit[f[x],x->Infinity] Limit[f[x],x-> -Infinity] - Tính đạo hàm cấp n hàm f ( f có nhiều biến ) theo biến x lệnh D[ f,{x,n} ] Chú ý : Nếu tính đạo hàm cấp dùng lệnh D[ f,x] - Tính đạo hàm hàm véc tơ Ví dụ 3.1.2.1 f   x  y  x.z    x.siny  y.cosz    Cho hàm số F(x,y,z)=  f1    x.e y.z f   3 Sau khai báo hàm lệnh F[x_,y_,z_]:={x+y+z,x*E^(y*z),x*Sin[y]+y*Cos[z]} 58  f1   fx  Ta tính ma trận cột  x2  ,  f3   x     f1   y   f   y   f3   y   f1   fz    lệnh  fz3   z    D[F[x,y,z],x] D[F[x,y,z],y] D[F[x,y,z],z] Từ muốn tính ma trận đạo hàm  f1  x  f F' (x, y, z )   x2   f3  x  f1 f1 y z f f y z f3 f3 y z         dùng lệnh Transpose[{D[F[x,y,z],x],D[F[x,y,z],y],D[F[x,y,z],z]}] - Tính ngun hàm hàm f ( x) theo biến x lệnh Integrate[ f[x],x] - Tính tích phân hàm f ( x) , đoạn [a,b] (kết số thập phân) lệnh NIntegrate[ f[x],{x,a,b}] - Giải phƣơng trình hệ phƣơng trình Đầu tiên làm quen với lệnh Solve: cú pháp cách lấy giá trị nghiệm 59 Ví dụ 3.1.2 - Các vịng lặp Do, For, While Vòng lặp dạng Do Do [expr, {imax}] : thực expr imax lần Do [expr, {i, imax}] : tính expr với biến i nhận giá trị từ đến imax (bước nhảy 1) Do [expr, {i, imin, imax}] : tính expr với biến i nhận giá trị từ imin đến imax (bước nhảy 1) Do [expr, {i, imin, imax, di}] : tính expr với biến i nhận giá trị từ imin đến imax (bước nhảy di) Do [expr, {i, imin, imax}, {j, jmin, j max},…] : tính expr với vòng lặp lồng theo biến j, i, … 60 Vòng lặp dạng For For[start, test, incr, body] – bắt đầu với giá trị start, sau thực incr body test nhận giá trị logic False Vòng lặp dạng While While [test, expr] – thực expr test nhận giá trị logic False Ví dụ 3.1.2.3 Do[Print[―hello‖], {3}] For[i=0,i