Bài toán giá trị ban đầu đối với hàm chính quy nhận giá trị trong đại số ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - Bùi Tăng Bảo Ngọc BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU ĐỐI VỚI HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Tốn Cơng nghệ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ HÙNG SƠN Hà Nội – 2008 Lời cảm ơn Trước hết, xin trân trọng cảm ơn GS.TSKH Lê Hùng Sơn Thầy hướng dẫn tôi, thầy tận tụy bảo đưa nhiều dẫn q báu để tơi hồn thành luận văn Tiếp đến, tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ thầy, đồng nghiệp Khoa Tốn – Tin ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đặc biệt thành viên Seminar "Phương trình vi phân đạo hàm riêng" Đã giúp đỡ bảo cho kiến thức bổ ích mà cịn giúp đỡ thời gian làm luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa tạo điều kiện cho môi trường làm việc học tập tốt Cuối cùng, xin cảm ơn tất người bạn giúp đỡ tơi nhiều qua trình học tập, làm luận văn có tài liệu cần thiết Hà nội, ngày 26 tháng 10 năm 2008 Học viên Bùi Tăng Bảo Ngọc Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu v Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức lớp ma trận thuộc hệ CauchyRiemann suy rộng 1.1.1 Các ma trận ứng với sở đại số Clifford 1.1.2 Lớp ma trận thuộc hệ Cauchy-Riemann suy rộng 1.2 Bài toán giá trị ban đầu không gian Banach 1.3 Thang không gian Banach 1.3.1 Hàm chỉnh hình tập compắc 1.3.2 Định nghĩa thang Banach 10 1.3.3 Toán tử Cauchy-Riemann tổng quát thang Banach 12 Bài toán giá trị ban đầu thang không gian Banach 14 2.1 Phương trình đạo hàm riêng thang Banach 14 2.2 Một số điều kiện 16 ii iii 2.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp thang Banach 2.3.1 Sự tồn nghiệm toán giá trị ban đầu thang Banach 2.3.2 17 25 Tính nghiệm toán giá trị ban đầu thang Banach 27 Nghiệm toán giá trị ban đầu không gian liên kết 32 3.1 Đặt vấn đề 32 3.2 Không gian Banach có trọng để xây dựng điểm bất động 33 3.3 Ước lượng toán tử vi – tích phân 36 3.4 Nghiệm toán giá trị ban đầu nguyên lý ánh xạ co 40 Bài tốn giá trị ban đầu hàm quy nhận giá trị lớp ma trận đặc biệt 43 4.1 Phát biểu toán 43 4.2 Giải toán 45 4.2.1 Điều kiện đủ để cặp toán tử liên kết 45 4.2.2 Nghiệm toán 47 4.2.3 Ví dụ minh họa 51 4.3 Một số kết mở rộng toán 53 4.3.1 Phát biểu toán hệ tương thích 53 4.3.2 Giải toán 54 4.3.3 Ví dụ minh họa 58 4.4 Mở rộng toán với giá trị ban đầu dạng Vekua 61 iv 4.5 Giải toán Kết luận Tài liệu tham khảo 63 66 67 Mở đầu Trong thực tế, gặp nhiều toán giá trị ban đầu Đây thách thức lớn nhà tốn học Họ khơng ngừng tìm tịi phát phương pháp khác để giải tốn Trong khơng gian Banach, toán giá trị ban đầu với hàm vế phải phụ thuộc vào u, t, x giải phương pháp xấp xỉ liên tiếp Tuy nhiên thực tế, gặp toán có hàm vế phải dạng tổng quát hơn, phụ thuộc vào đạo hàm riêng khơng phải toán giải H Lewy đưa ví dụ tốn giá trị ban đầu cho dạng: ∂w ∂w ∂w = f t, w, , , ∂t ∂x ∂y u (0, x, y) = ϕ (x, y) (1) (2) Khi đó, tồn hàm vế phải khả vi vô hạn để tốn (1), (2) khơng có nghiệm Ví dụ H Lewy khởi đầu loạt nghiên cứu nhằm điều kiện đủ để toán giá trị ban đầu có lời giải Câu hỏi đặt với dạng hàm vế phải điều kiện đầu để toán giá trị ban đầu có lời giải Định lý Cauchy – Kovalevskaya cổ điển hàm giá trị ban đầu hàm vế phải chỉnh hình toán giá trị ban đầu giải Định lý chứng minh dựa tính chất biểu diễn vi dạng chuỗi luỹ thừa các biến thuộc họ hàm chỉnh hình Trong luận văn này, xem xét tiếp cận khác để giải tốn giá trị ban đầu, sử dụng phương pháp cặp toán tử liên kết (Associated Operator) Phương pháp dựa kết F Treves, M Nagumo, W Walter để giải lớp hàm giải tích suy rộng, theo hướng này, hướng dẫn GS TSKH Lê Hùng Sơn Luận văn tập trung vào giải toán giá trị ban đầu lớp hàm quy suy rộng nhận giá trị đại số ma trận dạng hệ Cauchy-Riemann tổng quát Luận văn bao gồm chương sau: Chương 1: Trình bày số kiến thức cho chương sau Chương 2: Trình bày tốn giá trị ban đầu thang Banach, cung cấp cho phương pháp tiếp cận giải toán giá trị ban đầu Chương 3: Trình bày nghiệm tốn giá trị ban đầu khơng gian liên kết Chương 4: Trình bày số kết đạt được, với việc giải toán giá trị ban đầu số lớp hàm ma trận suy rông thuộc hệ Cauchy-Riemann tổng qt mà tốn giá trị ban đầu có nghiệm ASSOCIATED PAIRS OF DIFFERENTIAL OPERATOR WITH COEFFICIENTS IN A MATRIX ALGEBRA Bui Tang Bao Ngoc Abstract Initial value problem of type ∂t W = L t, x, ∂xj W , W (0, x) = ϕ(x) can be solved by the contraction - mapping principle in cases the initial function ϕ belongs to an associated space of type ϕ=0 whose elements satify an interior estimate Such pairs (L, ) are called the associated pairs (see: ) The present paper gives the sufficient relations for coefficients of L and belonging to a matrix algebra in case they are References [1] Le Hung Son, W.Tutschke (2003), Firest Order Differential Operators Associater to the Cauchy-Riemann Operator in the Plan, Complax Variavles, 48(9), 797-801 [2] Bern Goldschmidt (1982), Existence Theorems for Overdetermined Systems of Partial Differential Equations of First Order, Math Nachr, 233-250 [3] Klaus Gurlebeck, Wolfgang Sprossig (1997), Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers, John wiley and Sons, England [4] Wolfgang Tutschke (1989), Initial Value Problems In Banach Spaces, Teubner Leipzig and Springer Werlag [5] Wolfgang Walter (1983), An Element Proof of The Cauchy-Kowalecky Theorem Bài toán giá trị ban đầu hàm quy nhận giá trị đại số ma trận Bui Tang Bao Ngoc Abstract Trong luận văn giải lớp toán giá trị ban đầu Đây thách thức lớn nhà tốn học Họ khơng ngừng tìm tịi phát phương pháp khác để giải tốn Trong khơng gian Banach, toán giá trị ban đầu với hàm vế phải phụ thuộc vào u, t, x giải phương pháp xấp xỉ liên tiếp Tuy nhiên thực tế, gặp tốn có hàm vế phải dạng tổng qt hơn, phụ thuộc vào đạo hàm riêng khơng phải toán giải H Lewy đưa ví dụ tốn giá trị ban đầu cho dạng: ∂w ∂w ∂w , = f t, w, , ∂t ∂x ∂y u (0, x, y) = ϕ (x, y) (0.1) (0.2) Khi đó, tồn hàm vế phải khả vi vô hạn để tốn (0.1), (2) khơng có nghiệm Ví dụ H Lewy khởi đầu loạt nghiên cứu nhằm điều kiện đủ để tốn giá trị ban đầu có lời giải Câu hỏi đặt với dạng hàm vế phải điều kiện đầu để toán giá trị ban đầu có lời giải Định lý Cauchy – Kovalevskaya cổ điển hàm giá trị ban đầu hàm vế phải chỉnh hình toán giá trị ban đầu giải Định lý chứng minh dựa tính chất biểu diễn dạng chuỗi luỹ thừa các biến thuộc họ hàm chỉnh hình Trong luận văn này, xem xét tiếp cận khác để giải tốn giá trị ban đầu, sử dụng phương pháp cặp toán tử liên kết (Associated Operator) Phương pháp dựa kết F Treves, M Nagumo, W Walter để giải lớp hàm giải tích suy rộng, theo hướng này, hướng dẫn GS TSKH Lê Hùng Sơn Luận văn tập trung vào giải toán giá trị ban đầu lớp hàm quy suy rộng nhận giá trị đại số ma trận dạng hệ Cauchy-Riemann tổng quát Luận văn bao gồm chương sau: 53 4.3 Một số kết mở rộng tốn Trong thực tế, khơng phải lúc gặp phải toán điều kiện ban đầu thỏa mãn hệ điều kiện mà mơ tả dạng tổng ma trận vuông tức số phương trình số ẩn xác định mà có lúc hệ điều kiện ban đầu có điều kiện biểu diễn dạng ma trận không vuông lúc phải sử dụng kĩ thuật khác để giải tình Trong phần tùy thuộc dạng điều kiện ban đầu tốn mà có hướng mở rộng khác 4.3.1 Phát biểu tốn hệ q tương thích Ta xét toán giá trị ban đầu co dạng phần một:    ∂w = L(t, X, ∂w ), ∂t ∂xj (4.7)   w(0, X) = φ(X) Nhưng với toán tử điều kiện ban đầu hệ xác định có dạng sau: n lφ := Pi i=1 ∂φ ∂xi (4.8) Ở đây: • Pi , (i = 1, 2, , n), ma trận kích thước s × m (s ≥ m), thỏa mãn ràng buộc sau: +) Giả thiết tồn ma trận Ri, (i = 1, , n), kích thước m × s, thỏa mãn: (Ri )m×s (Pj )m×s + (Rj )m×s (Pi )m×s = −2δij Im (4.9) 54 +) Giả thiết tồn ma trận Qi, kích thước s × (s − m), ma trận Si dạng s × (s − m), i = (1, 2, , n), thỏa mãn: Ri Si (Pj , Qj )s×s+ s×s Ri Kí hiệu Si Rj Sj (Pi, Qi)s×s = −2δij Is s×s Bi (Pi , Qi)s×s Ai, s×s biểu thức trở thành: Bi Aj + Bj Ai = −2δij Is (4.10) • φ(X) = (φ1(X), φ2(X), , φm(X))t, φi (X) ∈ C 1(Ω), i = (1, 2, , m), thỏa mãn điều kiện ban đầu l(φ) = Toán tử vế phải L(t, X) có dạng xét phần 4.1 ∂w L(t, X, )= ∂xj n Mj (t, X) j=1 ∂w + N (t, X)w + K(t, X) ∂xj Ở đây, hệ số Mj (t, X) ma trận hàm kích thước m × m, (j = 0, , n), N (t, X) ma trận hàm kích thước m × m, K(t, X) ma trận hệ số hàm kích thước m × 1, xét phần trước toán đặt cần tìm điều kiện chúng cho (L, l) cặp toán tử liên kết 4.3.2 Giải tốn Định lí 4.2 Nếu ma trận hàm Mj (t, X), (j = 1, , n), N (t, X), K(t, X) thỏa mãn điều kiện sau: N (t, X) ma trận hàm thỏa mãn l(N (t, X)) = 0, K(t, X) hàm thỏa mãn l(N (t, X)) = Ω 55 n i=1 ∂M Pi ∂xij = Pj (a(t, X)Im − N ), j = 1, 2, , n (Mj )m×m = (Rj )m×s (M1 )m×m s×m Thì lúc (L, l) cặp toán tử liên kết Chứng minh Trong điều kiện (4.10) cho i = j có Bi = A−1 i nên −1 BiAj + Bj Ai = −2δij Is ⇒ Ai A−1 i Aj + Ai Aj Ai = −2δij Ai −1 −1 −1 −1 ⇒ Aj + Ai A−1 j Ai = −2δij Ai ⇒ Aj Ai + Ai Aj Ai Ai = −2δij Ai Ai −1 ⇒ Aj A−1 i + Ai Aj = −2δij Is ⇒ Aj Bi + Ai Bj = −2δij Is Vậy có Bi Aj + Bj Ai = −2δij Is AiBj + Aj Bi = −2δij Is Ta đưa vào véc tơ φ cách bổ sung (s − m) thành phần vào φ, φ φ = s×1 Ngồi đưa vào ma trận Mj (t, X), N (t, X), K (t, X), thiết lập sau: • Mj (t, X) = Mj (t, X) Cj1 Cj2 , Cj = sìs Cj1 Cj2 xỏc nh sì(sm) bt k ã N (t, X) = N (t, X) D1 D2 • K (t, X) = K(t, X) s×1 , với D = s×s D1 D2 xác định s×(s−m) 56 Đặt L (t, X, n ∂φ ∂φ Mj (t, X) )= + N (t, X)φ + K (t, X) ∂xj ∂x j j=1 Ta có:  ∂φ n ∂φ ∂φ ∂φ   ∂x Ai Pi = = (Pi , Qi) = = lφ Ai lφ = i ∂xi i=1 ∂xi ∂x i i=1 i=1 lφ = ⇔ l φ =  n n Mặt khác: n L (φ ) = Mj (t, X) Cj1 (t, X) j=1 Cj2 (t, X) K(t, X) +   ∂φ  ∂x  j +  N (t, X) D1 D2 n ∂φ + N (t, X)φ + K(t, X) = L(φ) ∂xj j=1 Vậy ta chuyển tốn (4.7) dạng điều kiện Mj (t, X) = tốn (4.1) Vì áp dụng Định lí 4.1 tốn tử ban đầu l tốn tử vế phải L ta có: N (t, X) ma trận hàm quy K(t, X) hàm quy Ω n Ai i=1 ∂Mj = Aj (a(t, X)Im − N ), j = 1, 2, , n ∂xi Mj = Bj M1 Từ có điều cần phải chứng minh Từ định lý với nhận xét nên áp dụng Hệ 4.1 vào Định lý 4.2 có: • Trường hợp n = 2: (L , l ) cặp toán tử liên kết điều kiện sau thỏa mãn: φ 57 +) N (t, X) = a(t, X)Is, K (t, X) hàm quy +) M1 (t, X) ma trận hàm quy, M2 (t, X) = B2 M1(t, X) • Trường hợp n > 2: (L , l ) cặp toán tử liên kết điều kiện sau thỏa mãn: +) N (t, X) ma trận hàm quy, K (t, X) hàm quy  ∂M1    A1 =− B   ∂x n −    ∂M1   A = B   ∂x2 n−2 +) với B = a(t, X)Is − N     ∂M1   = B A  n  ∂x n −  n    M = Bj M , j = 2, , n j Hay có: • Trường hợp n = 2: (L, l) cặp toán tử liên kết điều kiện sau thỏa mãn: +) N (t, X) = a(t, X)Im , l(K(t, X)) = hàm quy +) l(M1(t, X)) = 0, M2(t, X) = B2 M1 (t, X) • Trường hợp n > 2: (L, l) cặp toán tử liên kết điều kiện sau thỏa mãn: +) N (t, X) ma trận hàm thỏa mãn l(N (t, X)) = 0, K(t, X) hàm thỏa mãn l(K(t, X)) = 58 +)                                                      ∂ (P1 , Q1) (P2 , Q2) C22 =− Cn2 ∂xn Mj (.) Cj1 = s×s s×s = B n−2 s×s = B n−2 M1 (.) C11 Rj Sj N (t, X) D1 B n−2 Mn (t, X) Cn1 (Pn , Qn) Cj2 s×s ∂x2 ∂ C12 ∂x1 M1 (t, X) C21 ∂ Với B = a(t, X)Is − 4.3.3 M1 (t, X) C11 D2 C12 , j = 2, , n s×s s×s Ví dụ minh họa Để minh họa Định lý 4.2, xét ví dụ hàm ban đầu φ thỏa mãn điều kiện hệ phương trình Rietz:  ∂φ1 ∂φ2   − =    ∂x1 ∂x2   ∂φ1 ∂φ2    + = ∂x2 ∂x1 ∂φ1 ∂φ2   + =   ∂x3 ∂x4    ∂φ1 ∂φ2   − =  ∂x4 ∂x3 (4.11) 59 Ở φi = φi (x1, x2, x3, x4), i = 1, Dễ thấy hệ (4.11) tương đương với hệ sau: Pi i=0 Trong   0  P1 =  0  ∂φ = 0, (i = 1, 2, 3, 4) ∂xi Pi cho sau:   0 −1   1 1    , P2 =  0 0   0     ,    0  0  P3 =  1  −1     ,     0   0 0   P4 =   0 1   Xác định ma trận Ri (i = 1, 2, 3, 4) sau:   t t   t 0 0 −1        0 0  1  0 1        R1 =   , R4 =   , R3 =   , R2 =  0 1  0  0 0        0 −1 0 0 Từ thấy: t       (4.12) Ri Pj + Rj Pi = 2δij Im Chúng ta chọn ma trận Si (i = 1, 2, 3, 4) sau: t  t  t  t  −1 −1 0 0          −1   1  0 0 0         S1 =    , S4 =   , S3 =   , S2 =   0   0  1 1 0         0 0 −1 0 Chọn ma trận Qi (i = 1, 2, 3, 4) sau:      −1 0 0        0 0 0      Q1 =   , Q3 =   , Q2 =    1 1 0      −1 0    −1     −1  1      , Q4 =   0  0    0 0 60 Ri Chúng ta dễ thấy chúng thỏa Si mãn điều kiện (4.10), nên từ ta có:      ∂φ1   ∂φ1  −1 0  ∂x2  0  ∂x1        ∂φ ∂φ         2 ∂φ   0    0  Ai =   ∂x2  +   ∂x1  +      ∂xi  0   i=1    0        0 −1 0 0 0      ∂φ1  ∂φ1   0 −1  ∂x3  0 −1  ∂x4         0   ∂φ2   0 −1   ∂φ2        +   ∂x3  +    ∂x4    0        0        −1 0 0 0 Với Ai = (Pi , Qi), Bi = Áp dụng kết phần có:  ∂M1   A1 =− B    ∂x −    ∂M1   A = B   ∂x2 4−2  ∂M1 với B = a(t, X)I2 − N A = B   ∂x2 4−2    ∂M   A = B   ∂x4 4−2     M = Bj M , j = 2, , j 61 Điều dẫn đến có hệ phương trình sau:   M1 (t, X) C11      ∂    C12 N (t, X) D1  1 s×s    = − a(t, X)I − A s   ∂x  D2   s×s     M1 (t, X) C21     ∂    C22  N (t, X) D1 1  s×s   A a(t, X)I − =  s   ∂x 2 D2   s×s      M1 (t, X) Cn1     ∂    Cn2  N (t, X) D1 1    = A a(t, X)I −  n s  ∂x  n D2   s×s           M1 (t, X) C11 Rj Mj (t, X) Cj1   , (j = 2, , n) =   C12 Sj Cj2 Từ giải để tìm Mj (t, X), N (t, X), K(t, X) 4.4 Mở rộng tốn với giá trị ban đầu dạng Vekua Tìm nghiệm hệ phương trình đạo hàm riêng sau :    ∂w = L(t, ˜ X, ∂w ), ∂t ∂xj   w(0, X) = φ(X) (4.13) Trong đó: • X = (x1, x2, , xn) ∈ Ω ⊂ Rn , Ω giới nội, có biên trơn khúc 62 • w(t, X) = (w1(t, X), w2(t, X), , wm(t, X)) • φ(X) = (φ1(X), φ2(X), , φm(X))t; φi (X) ∈ C 1(Ω), i = (1,2, ,m) n ∂φ + a(t, X)φ = với mi ma ∂xi i=1 trận kích thước m × m thỏa mãn tính chất sau: Thỏa mãn điều kiện : lφ = mi • m2i = −Im,(i = 2, ,n), m1 ma trận đơn vị • mi mj + mj mi = (i , j = 2, ,n; i = j) Và vế phải hệ phương trình (4.13) có dạng:   a (t, X)     a (t, X)   • a(t, X) =  ,     0 am (t, X) ˜ X, ∂w ) = • L(t, ∂xj Với     Mj =        N =   n j=1 ∂w Mj (t, X) ∂x + N (t, X)w, j j M11 (t, X) j M21 (t, X) j M12 (t, X) j M22 (t, X) j M1m (t, X) j M2m (t, X)     ,   j j j Mm1 (t, X) Mm2 (t, X) Mmm (t, X)  N11(t, X) N12(t, X) N1m (t, X)  N21(t, X) N22(t, X) N2m (t, X)      Nm1(t, X) Nm2 (t, X) Nmm(t, X) Bài tốn đặt ra: Tìm điều kiện Mj (t, X), (j = 1, , n), ˜ l) cặp toán tử liên kết N (t, X) để (L, 63 4.5 Giải toán ˜ liên kết với tốn tử l tức tìm Chúng ta cần phải tìm tốn tử L ˜ l) điều kiện của Mj (t, X), (j = 1, , n), N (t, X), để (L, cặp tốn tử liên kết Định lí sau cho điều kiện đủ để ˜ liên kết với toán tử ban đầu l toán tử vế phải L Định lí 4.3 Nếu ma trận hàm Mj (t, X), (j = 1, , n), N (t, X), thỏa mãn điều kiện sau: n n n ∂a ∂N + aN = M1 mi a2 − mi 1, ∂xi ∂xi i=1 i=1 i=1 n 2, mi i=1 ∂Mj + mj N + aMj = 0, j = 1, 2, , n ∂xi 3, Mj = −mj M1 , (j = 2, , n) ˜ l) cặp tốn tử liên kết Thì lúc (L, ˜ l) cặp toán tử liên kết tức Chứng minh Để chứng minh (L, ˜ ta cần chứng tỏ với điều kiện l(φ) = kéo theo l(L(φ)) = 0, thật vậy: n n ˜ = l(Lφ) i=1 n n ∂ 2φ + mi Mj ∂x i j=1 i=1 n n = ( j=1 n ( mi i=1 n i=1 ∂ ∂ + a)( + N φ) = (mi Mj ∂xi ∂x j j=1 i=1 n mi i=1 ∂N φ+ ∂xi n mi N i=1 ∂φ ∂Mj + mj N + aMj ) + mi ∂xi ∂xj ∂N + aN )φ = ∂xi n n n ( j=1 mi i=1 n i=1 mi ∂Mj ∂φ + ∂xi ∂xj aMi ∂φ + aN φ ∂xi i=1 j=1 n ∂φ + ∂xi n n i=1 n ∂ 2φ mi Mj + ∂x i j=1 ∂φ ∂Mj + mj N + aMj ) + ∂xi ∂xj n ∂ 2φ ∂ 2φ ∂N mi Mi + (mi Mj + mj Mi ) +( + aN )φ mi ∂xi 1≤i