Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH     Nguyễn Tăng Vũ   BÀI TOÁN BIÊN TUẦN HOÀN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO       Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Anh Tuấn           Thành phố Hồ Chí Minh – 2010  LỜI CẢM ƠN    Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn,  mặc dù bận rất nhiều việc nhưng đã tận tâm hướng dẫn và tạo điều kiện tối đa để tôi có thể  hoàn thành luận văn. Nhân đây em cũng xin lỗi thầy vì đã làm thầy thất vọng về mình trong  thời gian làm luận văn, và mong thầy luôn có sức khỏe tốt và thành công trong công việc.   Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành thời  gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn  chỉnh.  Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa  Toán-Tin học  trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện  tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường.  Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị đồng nghiệp và bạn bè thân hữu đã  động viên, giúp đỡ tôi  hoàn thành luận văn này.  Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong  nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn.  Xin chân thành cảm ơn.                 TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2010  DANH MỤC KÍ HIỆU   I   a, b    n  R n là không gian vectơ n chiều với vectơ cột  x   xi i 1   trong đó  xi  R   n n Trên  R  ta trang bị chuẩn:   x   xi   i 1 n  R nn  là không gian các ma trận cấp  n  n   X   xik i ,k 1  trong đó  xik  R  i, k  1,2, , n   với chuẩn:   n  xik X    i ,k 1  Rn   x  n n i i 1  R  : xi  0; i  1, , n ,  Rnn   x n n ik i ,k 1  R   : xik  0; i , k  1, , n    Nếu  x, y  R n  và  X , Y  R nn  thì:   x  y  y  x  Rn , X  Y  Y  X  Rnn   n n  Nếu  x   xi i  R n  và  X   xik i,k 1  R nn  thì:   x   xi  n i 1 , X   xik n i ,k 1 , n sgn  x    sgn xi i1     C I ; R n  không gian các vectơ hàm liên tục  x : I  R n với chuẩn  x C    max x  t  : t  I    C  với     là không gian các hàm liên tục   -tuần hoàn  u : R  R  với chuẩn:   u C    max u  t  : t  R    C n 1   0;    là không gian các hàm  u :  0;    R  khả vi liên tục cấp (n – 1) với  chuẩn   n     u C n 1   0;    max u k 1 k 1 t  :  t            Cn1  là không gian các hàm khả vi liên tục cấp  n  1 ,  -tuần hoàn với chuẩn   n u Cn 1 k 1   u  k 1   C  n1  là không gian các hàm  u  C n1  với  u n1  là liên tục tuyệt đối.    C   L 0;   là không gian các hàm khả tích Lebesgue  u :  0;    R với chuẩn              u L 0;     u  t  dt        L I ; R n  không gian các vectơ hàm khả tích  x : I  R n  với chuẩn    b       x L   x  t  dt     a  L  là không gian các hàm  u : R  R ,   -tuần hoàn, khả tích Lebesgue trên  0;  với  chuẩn    u L   u  s  ds     MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi  phân  hàm  ra  đời  từ  thế  kỷ  18,  song  đến  nay  vẫn  được  nhiều  người  quan  tâm  nhờ  các  ứng  dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, …. Đặc biệt, bài  toán biên  tuần  hoàn cho phương trình  vi  phân  hàm đạt được  nhiều kết quả bắt đầu từ  năm  1995 nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, B. Puza cho hệ phương trình vi phân  hàm tổng quát. Các kết quả về phương trình vi phân hàm bậc cao cũng được nghiên cứu một  cách rộng rãi và cũng đạt được nhiều kết quả đáng chú ý. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này  làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng  của các tác giả trên.  Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm  bậc cao. Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho phương trình vi phân đối số chậm, đối số  lệch.   Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân hàm. Lý thuyết  bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.  Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Luận văn là tài liệu tham khảo cho tất cả  mọi người quan tâm đến bài toán biên tuần  hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.  Cấu trúc luận văn   Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Nội dung chính của chương là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối với bài toán biên  cho  hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến.  Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao  Chương này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi  phân hàm bậc cao và  áp dụng các kết quả cho phương trình vi phân đối số lệch, đối số chậm.   Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO  HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN      1.1 Giới thiệu toán       Cho f :C I ; Rn  L I ; Rn  và  h :C I ; Rn  Rn  là các toán tử liên tục thỏa với mọi     0;    thì:    f  x . : x  C  I ; R  , x    L  I ; R    sup  h  x  : x  C  I ; R  , x      n sup C n C Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:   dx  t   f  x  t    dt với điều kiện biên    (1.1)    h x               (1.2)  Định nghĩa 1.1 Nghiệm của của bài toán (1.1), (1.2) là các vectơ hàm liên tục tuyệt đối  x : I  Rn ,  thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên  I  và thỏa (1.2).        Trong phần hai ta nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình  (1.1), (1.2). Trong phần ba, ta thiết lập các tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của bài toán  biên:             dx  t   f0  t , x  t     dt       (1.3)  x  t1  x    A  x  x  t2  x    c0         (1.4)  trong  đó  f0 : I  R n  R n là vectơ hàm thỏa điều kiện Caratheodory,  c0  Rn  và      ti : C I ; R n  I và  A : C I ; R n  Rnn  là toán tử liên tục.  1.2  Định lý tồn nghiệm toán (1.1), (1.2)  Định nghĩa 1.2       Cặp toán tử   p, l  với  p : C I ; Rn  C I ; Rn  L I ; Rn  và       : C I ; R n  C I ; R n  R n  được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều kiện sau:        i) Với mỗi  x  C I ; R n cố định, toán tử  p  x,. : C I ; R n  L I ; Rn  và  ii)  Với mọi x, y  C  I ; R n  và hầu hết  t  I ta có các bất đẳng thức:      x,. : C I ; R n  Rn  là tuyến tính.   p  x, y  t    t , x C  y C ,    x, y   0  x C  y C ,  trong đó  0 : R  R là hàm không giảm và   : I  R  R  khả tích theo đối số  thứ nhất và không giảm theo đối số thứ hai.      Tồn tại số  thực dương   sao cho với mọi  x  C I ; R n ,  q  C I ; Rn  và  c0  Rn ,  iii) và  với  mọi  nghiệm  bất  dy  t   p  x, y  t   q  t  ,   x, y   c0   dt   thỏa   y C   c0  q L         y  kỳ  của      (1.5)        bài  toán  biên:  (1.6)  Định lý 1.3 Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp nhất quán   p,   với            p :C I ; R n  C I ; R n  L I ; Rn  và   : C I ; R n  C I ; R n  R n là các toán tử liên tục  sao cho     0;1 mọi nghiệm của bài toán  thỏa       dx  t   p  x, x  t     f  x  t   p  x, x  t     dt (1.7)    x, x      x, x   h  x     x C               (1.8)        (1.9)    Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.   Chứng minh Gọi   ,0  và   là các hàm và các số trong định nghĩa 1.2. Ta đặt:       t        sup  h  x  : x  C  I ; R  , x   t     t ,    sup f  x  t  : x  C I ; R n , x 0 n  q  x  t    x  c0  x    x C C   f  x t   p  x, x t       2  2 C 1  s    s    s   2    s      s         0 s   C          (1.10)        (1.11)     x, x   h  x      Khi đó do định nghĩa của f và α ta có    t   L  I ; R  ,     và với mỗi x  C I ; R n ta có   x C    x  2 ,   x C    x C  2 nên với hầu hết  t  I , ta có bất đẳng thức:  q  x  t     t  , c0  x            (1.12)  dy  t   p  x, y  t   q  x  t  ,   x, y   c0  x    dt (1.13)  ( do  q  x  t    x C   )    Cố định   x  C I ; R n , xét bài toán biên tuyến tính  Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2 thì bài toán thuần nhất  dy  t   p  x, y  t  , dt   x, y         (1.130)  chỉ có nghiệm tầm thường. Theo định lý 1.1 ([5]) từ điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2 và  (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất.  Mặt khác, từ các điều kiện (ii), (iii) của định nghĩa 1.2 và các bất đẳng thức trong (1.12),  nghiệm y của bài toán (1.13) thỏa  y C  y  t    *  t     0 , hầu hết  t  I   (1.14)   trong đó        L ,  *  t     t ,       t          Đặt  u : C I ; R n  C I ; Rn  là toán tử đặt tương ứng mỗi x  C I ; R n  với nghiệm  y trong  bài toán (1.13). Từ hệ quả (1.6) ( hệ quả của định lý về tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên  của hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính trong [5]), thì toán tử u liên tục. Mặt khác, từ các  t u  x  t   u  x  s     *    d  với s, t ∈ I.  bất đẳng thức (1.14) ta có:  u  x  C  0 , s     Đặt  C0  x  C I ; R n : x C  0 , khi đó u là toán tử liên tục từ  C0 vào tập con compact  của chính nó, nên theo nguyên lý Schauder, tồn tại  x  C0 sao cho  u  x  t   x  t   với t ∈ I.  Theo đẳng thức (1.11), x rõ ràng là nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với       x C           (1.15)  Chúng ta cần chứng minh  x thỏa (1.9). Giả sử ngược lại, khi đó sẽ xảy ra hai trường hợp      Hoặc      x C  2               (1.16)  x C  2             (1.17)  Nếu bất đẳng thức (1.16) thỏa mãn, thì theo (1.10) và (1.15) thì     0,1  Tuy vậy, theo điều  kiện của định lý ta có (1.9) nên mâu thuẫn với (1.16).   Nếu  (1.17)  thỏa.  Khi  đó  theo  (1.10)  và  (1.15)  thì    ,  suy  ra  x  là  nghiệm  của  bài  toán  (1.130). Điều này là không thể vì (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường.   Từ các điều trên ta thấy x thỏa (1.9).   Do đó, từ (1.9), (1.10), (1.15) rõ ràng    , suy ra x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).      Định nghĩa 1.4           p0 : C  I ; R n   L  I ; Rn   và   : C  I ; Rn   Rn  là các toán tử tuyến tính. Chúng ta nói rằng  cặp   p ,   thuộc về lớp   pn,l nếu tồn tại dãy  xk  C  I ; Rn   k  1,2,  sao cho với mỗi  y  C  I ; R n  các điều kiện sau được thỏa mãn:   Cho p : C I ; Rn  C I ; Rn  L I ; Rn  và   : C I ; R n  C I ; R n  R n  bất kì, và  0 t lim k  t  p  xk , y   s  ds   p0  y  s  ds  đều trên I 0 lim   xk , y     y      k  Định nghĩa 1.5       Ta nói cặp toán tử liên tục  p : C I ; Rn  C I ; Rn  L I ; Rn  và       : C I ; R n  C I ; R n  R n ,  thuộc lớp  O0n  nếu:         Với x cố định thuộc  C I ; Rn thì toán tử  p  x,. : C I ; R n  L I ; Rn  và  i)     x,. : C I ; R n  Rn  là các toán tử tuyến tính.     ii’)        Với bất kì x và y thuộc  C I ; Rn và hầu hết  t  I , các bất đẳng thức     p  x, y  t     t  y ,   x, y    y       thỏa mãn, trong đó   : I  R  là khả tích và  0  R   C C   iii’)       Với mỗi   p0 ,     npl , bài toán   dy  t   p0  y  t  ,   y        dt   chỉ có nghiệm tầm thường.  Hệ 1.6     (1.18)