Ứng dụng phương trình vi phân trong một vài lĩnh vực khoa học và kỹ thuật

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN NGỌC TÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MỘT VÀI LĨNH VỰC KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đà Nẵng - Năm 2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN NGỌC TÂM ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MỘT VÀI LĨNH VỰC KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - Năm 2023 LỜI CẢM ƠN Lời đề tài tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả Trần Ngọc Tâm MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .4 1.1 Phương trình vi phân với biến số phân ly 1.2 Phương trình vi phân 1.3 Phương trình vi phân toàn phần 1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.5 Phương trình Bernoulli 10 1.6 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số 11 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 16 2.1 Các mơ hình tăng trưởng dân số 16 2.1.1 Quy luật tăng trưởng tự nhiên 16 2.1.2 Mơ hình hàm Logistic 18 2.2 Mơ hình lây lan dịch bệnh 22 2.3 Mơ hình phương trình chuyển động xe máy 24 2.4 Mơ hình mạch RC 28 2.5 Mơ hình thú săn mồi (Predator - Preymodel) 30 2.6 Mơ hình dao động học Mass-spring-damper 30 2.7 Mơ hình kinh tế Solow-Swan 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, phương trình vi phân thường sử dụng để mơ hình hố vấn đề thường gặp tự nhiên chẳng hạn mơ hình tăng trưởng dân số, mơ hình chuyển động vật mơ hình lây lan dịch bệnh việc tìm hiểu ứng dụng phương trình vi phân thực tế cho ta góc nhìn Tốn học, bên cạnh cịn cung cấp cho ta tảng kiến thức để giải vấn đề thực tế sống Chính lẽ việc tìm hiểu vài ứng dụng phương trình vi phân điều cần thiết lý tơi chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu số phương trình vi phân cấp một, cấp hai số ứng dụng Để đạt mục tiêu nêu trên, đề tài nghiên cứu số nội dung sau nội dung đề tài chia thành hai chương: - Chương Một số phương trình vi phân - Chương Một số ứng dụng phương trình vi phân 3.Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu "một số phương trình vi phân" "ứng dụng" thường gặp thực tế 4.Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu, sách có liên quan đến đề tài khố luận, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết cách ngắn gọn, hệ thống Trong khố luận có sử dụng số kiến thức liên quan đến lĩnh vực: Giải tích thực biến, Giải tích thực nhiều biến, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân 5.Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Giúp người đọc vận dụng tốt thêm phương trình hệ phương trình vi phân Có thể sử dụng khố luận để làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Toán đối tượng khơng chun tốn cần sử dụng kết toán để ứng dụng cho tốn thực tiễn 6.Cấu trúc khố luận tốt nghiệp Trong khoá luận chia làm hai chương: Chương Một số phương trình vi phân Trong chương tác giả trình bày số phương trình vi phân thường gặp phải mơ hình cách giải phương trình vi phân Chương Một số ứng dụng phương trình vi phân Trong chương tác giả trình bày số mơ hình phương trình vi phân điển hình thực tế, làm rõ ý nghĩa phương trình vi phân chương CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương tác giả trình bày số loại phương trình vi phân thường dùng đến đề tài 1.1 Phương trình vi phân với biến số phân ly Định nghĩa 1.1.1 Phương trình vi phân cấp dạng: M (x)dx + N (y)dy = (1.1) gọi phương trình với biến số phân ly(hay cịn gọi phương trình tách biến) Trong phương trình (1.1) hàm số M (x), N (x) giả thiết liên tục khoảng Khi cần tích phân hai vế phương trình ta thu được: Z Z M (x)dx + N (y)dy = C (1.2) Ví dụ 1.1.2 Giải phương trình: xdx + ydy = Tích phân hai vế phương trình cho ta thu được: 2 x + y =C 2 Ví dụ 1.1.3 Giải phương trình: y y ′ = x(1 + x4 ) Ta viết lại phương trình dạng tách biến: (1.3) y dy − x(1 − x4 )dx = Tích phân hai vế ta thu được: y − x − x = C nghiệm tổng quát phương trình (1.3) 1.2 Phương trình vi phân Định nghĩa 1.2.1 Hàm f (x) gọi bậc n, với t > 0, ta có: f (tx, ty) = tn f (x, y) Định nghĩa 1.2.2 Phương trình vi phân y ′ = f (x, y) gọi nhất(hay gọi đẳng cấp), hàm số vế phải bậc 0, tức là: f (tx, ty) = f (x, y) Trong phương trình vi phân ta đặt y = x.u u = u(x) Từ đây, ta có y ′ = u + xu′ hay: dy du =u+x dx dx Từ y = x.u suy u = y , x f (x, y) = f (x, x.u) = f (1, u) = g(u) x đóng vai trị t Đến ta nhận phương trình: x+x hay du = g(u) dx du dx = g(u) − u x Tích phân hai vế phương trình cuối ta nhận được: Z x = C exp du , C ̸= g(u) − u Ví dụ 1.2.3 Giải phương trình: (x2 + y )dx + xydy = Ta viết lại phương trình cho dạng: dy x2 + y x y =− = − dx xy y x dễ thấy vế phải phương trình nhận nhất, đặt y = ux ta nhận phương trình: udu dx =− x 2u + Tích phân hai vế phương trình trên, ta được: x ln | | = − ln(2u2 + 1) C Thay u = y nhận nghiệm phương trình đầu là: x C x2 x = , C ̸= x + 2y 1.3 Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa 1.3.1 Phương trình vi phân dạng: P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (1.4) 21 Như nghiệm phương trình Logistic là: P (t) = A = M , + Ae−kt (2.8) M − P0 P0 Sử dụng biểu thức P (t) phương trình (2.8), ta thấy lim P (t) = M t→∞ Ví dụ 2.1.2 Viết nghiệm toán giá trị ban đầu P dP = 0.08P (1 − )P (0) = 100 dt 1000 sử dụng để tìm quy mơ dân số P (40) P (80) Khi dân số đạt mức 900 ? Giải Phương trình vi phân phương trình Logistic với k = 0.08, khả chịu tải M = 1000, dân số ban đầu P0 = 100 Vậy dân số thời điểm t P (t) = A = 1000 + Ae−0.08t 1000 − 100 =9 100 Do đó: P (t) = 1000 + 9e−0.08t Vậy quy mô dân số t = 40 t = 80 1000 ≈ 731.6 + 9.e−3.2 1000 P (80) = ≈ 985.3 + 9.e−6.4 P (40) = 22 Dân số đạt mức 900 1000 = 900 + 9e−0.08t 10 ⇔ + 9e−0.08t = ⇔ e−0.08t = 81 ⇔ −0.08t = − ln 81 ln 81 ≈ 54.9 ⇔t= 0.08 Vậy dân số đạt mức 900 t xấp xỉ 55 2.2 Mơ hình lây lan dịch bệnh Bài tốn: Có mơ hình lây lan dịch bệnh, tốc độ lây lan tỉ lệ với số người bị nhiễm bệnh số người không nhiễm bệnh Và thị trấn hẻo lánh có dân số 5000 người, số người mắc dịch bệnh vào đầu tuần 160 số tăng lên đến 1200 vào cuối tuần Hỏi phải 80% dân cư thị trấn bị nhiễm Chúng ta giả sử y(t) (người) số người nhiễm bệnh vào thời điểm t (ngày) Chọn mốc thời gian đầu tuần Lúc ta có y0 = 160 Chú ý: Số người nhiễm bệnh tăng thêm từ ngày thứ t1 đến ngày thứ t2 là: y(t2 ) − y(t1 ) số người nhiễm bệnh Vậy trung bình ngày: y(t2 ) − y(t1 ) t2 − t1 dy (t1 ): tốc độ nhiễm bệnh thời điểm t1 hay tốc ∆t→0 dt độ lây lan dịch bệnh thời điểm t1 dy Tại thời điểm t: tốc độ lây lan dịch bệnh: ; số người bị nhiễm bệnh: dt y(t); số người không bị nhiễm bệnh 5000 − y(t) = M − y(t) Vì tốc độ lây lan tỷ lệ với số người nhiễm bệnh số người khơng bị nhiễm Do đó: lim = y ′ (t1 ) = 23 bệnh nên ta có mơ hình sau: dy = ky(t)(M − y(t)) dt (với k số) Và phương trình vi phân gọi phương trình vi phân có biến số phân ly Ta giải phương trình sau: dy = kdt y(M − y) nguyên hàm hai vế ta được: Z Z dy = y(M − y) Z kdt 1 ( + )dy = M y M −y Z kdt (ln |y| − ln |M − y|) + C1 = kt + C2 M y ln | | = kM t + C3 M −y (C3 = M (C2 − C1 )) y | | = e−M kt+C3 M −y y = ±eC3 eM kt = C4 eM kt M −y y C4 eM kt = M −y+y + C4 eM kt y = −M kt M C4 e y= M + C.e−M kt 5000 + C.e−5000kt Vào đầu tuần số ca mắc 160, ta có: 5000 5000 125 160 = y(0) = ⇔ + C = = + c.e0 160 Với M = 5000 ta có: y = 24 125 121 −1= 4 Vào cuối tuần, tức t = 7, số ca mắc y(7) = 1200, ta có: Suy ra: C = 5000 + C.e−5000.k.7 5000 25 ⇔ + C.e−5000.k.7 = = 1200 25 19 ⇔ C.e−35000k = −1= 6 19 38 19 :C= : 124 = ⇔ e−35000k = 6 363 363 ⇔k= ln 35000 38 1200 = Khi 80% dân cư bị nhiễm bệnh, ta có: 5000 + C.e−5000kt + C.e−5000kt = 121 −5000kt C.e−5000kt = ⇔ e = 4 1 e−5000kt = ⇔ −5000kt = ln = − ln 121 121 121 ln 121 ln 121 ⇔t= = ≈ 14.87 5000k 5000 35000 ln 363 38 4000 = Như cần khoảng 15 ngày để dịch bệnh lây lan khoảng 80% dân số 2.3 Mơ hình phương trình chuyển động xe máy Phương trình chuyển động xe máy mơ hình hóa đại lượng sau: - v(t): Vận tốc xe thời điểm t (m/s) - a(t): Gia tốc xe thời điểm t (m/s2 ) - d(t): Khoảng cách xe thời điểm t (m) 25 - Fth (t): Lực ma sát bánh xe đường thời điểm t - FØ (t): Lực cản không khí tác động lên xe thời điểm t - m: Khối lượng xe (kg) - Cd : Hệ số lực cản khơng khí - A: Diện tích mặt trước xe (m2 ) - P : Công suất động (W) Dựa đại lượng này, ta viết phương trình chuyển động xe máy theo dạng: m dv = P − Fth (t) − FØ (t) dt Để tính Fth (t) FØ (t), ta sử dụng cơng thức sau: Fth (t) = µs mg v(t) = Fth (t) = µk mg v(t) > với µs µk hệ số ma sát động tĩnh động khô cứng bánh xe đường FØ (t) = 21 ρCd Av(t)2 với ρ khối lượng riêng khơng khí Sau tính Fth (t) FØ (t), ta giải phương trình chuyển động để tính vận tốc khoảng cách xe thời điểm t cách sử dụng phương trình sau: Rt v(t) = m1 [P − Fth (t′ ) − FØ (t′ )]dt′ + v0 Rt d(t) = v(t′ )dt′ + d0 v0 d0 vận tốc ban đầu khoảng cách ban đầu xe Để giải phương trình chuyển động, ta cần biết giá trị tham số 26 m, P , µs , µk , ρ, Cd , A, v0 , d0 Các giá trị đo đạc xác định phương pháp tính tốn Việc giải phương trình chuyển động xe máy thực phương pháp tính tốn số phương pháp Euler phương pháp Runge-Kutta Những phương pháp giúp tính tốn giá trị v(t) d(t) thời điểm khác nhau, từ cho ta biết tốc độ khoảng cách xe thời điểm Việc giải phương trình chuyển động xe máy quan trọng việc thiết kế cải tiến phận xe, nhằm nâng cao hiệu suất vận hành độ an toàn xe Các kỹ sư nhà nghiên cứu cần phải hiểu rõ phương trình chuyển động xe máy áp dụng phương pháp tính toán số để giải vấn đề liên quan đến thiết kế cải tiến xe Ngoài ra, việc giải phương trình chuyển động xe máy quan trọng việc đánh giá hiệu suất tiêu thụ lượng xe Để tối ưu hóa hiệu suất tiêu thụ lượng, ta cần xác định giá trị tối ưu cho tham số phương trình chuyển động cơng suất động cơ, hệ số ma sát, hệ số lực cản khơng khí, diện tích mặt trước xe, khối lượng xe Ngoài ra, phương trình chuyển động xe máy cịn sử dụng để tính tốn thơng số vận hành xe tốc độ tối đa, thời gian tăng tốc, khoảng cách phanh, khoảng cách dừng xe Việc tính tốn đánh giá thơng số quan trọng việc đảm bảo an toàn giao thơng hiệu vận hành xe Tóm lại, phương trình chuyển động xe máy toán quan trọng sử dụng nhiều lĩnh vực thiết kế cải tiến xe, đánh giá hiệu suất tiêu thụ lượng xe, tính tốn thơng số vận hành xe đảm bảo an tồn giao thơng 27 Ví dụ 2.3.1 Chúng ta xem xét ví dụ phương trình chuyển động xe máy di chuyển đoạn đường phẳng với chiều dài d0 hệ số ma sát tĩnh µs động µk bánh xe đường Các thông số xe môi trường cho sau: Khối lượng xe: m = 150 kg, công suất động cơ: P = kW, hệ số ma sát tĩnh động bánh xe đường: µs = µk = 0.5, tỷ trọng khơng khí: ρ = 1.2 kg/m3 , hệ số lực cản khơng khí: Cd = 0.6, diện tích mặt trước xe: A = 0.7 m2 , vận tốc ban đầu xe: v0 = 10 m/s, chiều dài đoạn đường: d0 = 200 Giả sử xe máy giữ tốc độ ban đầu v0 giải phóng mà khơng có lực tác động từ bên ngồi Để giải phương trình chuyển động, sử dụng phương pháp tính tốn số phương pháp Runge-Kutta Sau tính tốn, ta tìm biểu thức cho vận tốc xe theo thời gian: r v0 g v0 g φ2s + ( − φs )2 − φs φk φk P φk P v0 g P [ ] e− m t + v(t) = φk P mg φk P φs + v0 g biểu thức cho khoảng cách xe theo thời gian Theo tính tốn thấy vận tốc ban đầu xe 10m/s giảm dần tới đạt vận tốc 0m/s khoảng thời gian t = 45s Tại thời điểm này, xe dừng lại không tiếp tục di chuyển Trước dừng lại xe khoảng cách khoảng 318m Đồ thị cho thấy khoảng cách xe tăng dần theo thời gian đạt khoảng cách 200m khoảng thời gian t = 22s, sau tăng nhanh để đạt khoảng cách 318m thời điểm dừng lại Như phương trình chuyển động xe máy cho nhìn 28 rõ chuyển động xe theo thời gian khoảng cách Điều giúp ta hiểu rõ hiệu suất xe cách cải thiện hoạt động xe để tiết kiệm nhiên liệu vận hành 2.4 Mơ hình mạch RC Xét mạch điện gồm nguồn hiệu điện V (t), điện trở R tụ điện có điện dung C Một ví dụ đơn giản ứng dụng thực tiễn mơ hình thiết bị cầm tay (Smart phone) V (t) nguồn (charge), C mô tả thiết bị lưu (pin) R đặc trưng tiêu thụ điện thiết bị Xác định hiệu điện vc qua tụ ? Điện dung C hệ số đặc trưng độ lệch cường độ dòng điện qua tụ nên ta có dvC i(t) = C dt Mặt khác, theo định luật Omh định luật Kirchhoff (về hiệu điện thế) V (t) = i(t)R + vC (t) Do đó, hiệu điện V (t) cho phương trình vi phân tuyến tính cấp dvC (t) RC + vC (t) = V (t) dt 29 Ví dụ 2.4.1 Một mạch điện đơn giản hình vẽ có chứa suất điện động (thường máy phát điện ắc quy làm sản sinh điện E(t) vono (V) cường độ dòng điện I(t) với Ampe (A) thời điểm t Mạch điện chứa điện trở R ơm (Ω) cuộn cảm có điện cảm L dI RI Điện áp giảm cuộn cảm L ) Một định luật dt Kirchhoff nói tổng sụt áp với điện áp cung cấp R(t) Vậy ta có: L dI + RI = E(t) dt phương trình vi phân mơ cường độ dòng điện I thời điểm t Biết ắc quy tạo hiệu điện không đổi 40 V, độ tự cảm H, điện trở 10 Ω, I(0) = Tìm I(t) tìm dịng điện sau 0.1 giây Thật vậy, dI + RI = E(t) dt Với E(t) = 40V ; L = 2H ; R = 10Ω thì: L (2.9) dI dI + 10I = 40 ⇔ + 5I = 20 Đây dt dt phương trình vi phân tuyến tính cấp với: Phương trình (2.9) ⇔ p(t) = q(t) = 20 R p(t)dt = 5dt = 5t Nghiệm tổng quát: Ta có: R I(t) = e −5t ⇔ I(t) = e R − p(t)dt Z R ( q(t).e p(t)dt dt + C) Z ( 20.e5t dt + C) = e−5t (20 .e5t + C) ⇔ I(t) = + C.e−5t Vì I(0) = ⇒ + C = ⇒ C = −4 Vậy I(t) = − 4.e−5t ⇒ I(0.1) = 1.574A 30 2.5 Mơ hình thú săn mồi (Predator - Preymodel) Ta xét mơ hình quần thể hai lồi gồm: Lồi mồi, kí hiệu R (Rabbits) lồi thú F (Foxexs) Giả sử rằng: - Khi khơng có thú, lồi mồi tăng trưởng không giới hạn (Luật Malthus) - Thú ăn mồi tốc độ mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú mồi gặp - Không có lồi mồi, lồi thú suy giảm tỉ lệ với số cá thể - Tốc độ sinh trưởng loài thú tỉ lệ với loài mồi bị ăn thịt Kí hiệu α hệ số tăng trưởng mồi, β hệ số tỉ lệ xác địng lượng thú mồi gặp mồi bị ăn thịt, γ hệ số suy giảm loài thú δ hệ số tỉ lệ xác định độ tăng trưởng thú mồi bị ăn thịt Các hệ số giả thiết số dương Khi đó, sinh trưởng quần thể đặc trưng hệ sau d dt R = (α − βF )R d dt F = −(γ − δR)F (2.10) Hệ (2.10) chứa hàm ẩn F , R đạo hàm cấp chúng Đó hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hiệu hàm giá trị Véc-tơ (hai chiều) S : [0,+∞) → R2 S(t) =  Kí  R(t) (α − βF )R 𭟋 : R2 → R2 , 𭟋(S) = F (t) −(γ − δR)F Quy ước đạo hàm  ′  R (t) S(t) cho S ′ (t) = F ′ (t) Khi đó, hệ phương trình vi phân (2.10) viết dạng phương trình vi phân khơng gian hai chiều sau S ′ (t) = 𭟋(S) 2.6 Mơ hình dao động học Mass-spring-damper Xét vật có khối lượng m gắn với lị xo có độ cứng k c hệ số nén chất lỏng Gọi x(t) độ lệch vật m thời điểm t 31 Theo định luật Hooke, lực đàn hồi Fs = −kx, lực nén (damping force) ′ Fd = −C dx dt = −Cx Do đó, lực tổng hợp tác động vật m thời điểm t là: F = Fs + Fd + f = −cx′ − kx + f (t), (2.11) f (t) ngoại lực tác dụng hệ Mặt khác, theo định luật II Newton, F = ma = m.x′′ Từ ta có phương trình chuyển động vật m x′′ + c ′ k x + x = f (t) m m m Phương trình (2.11) phương trình vi phân tuyến tính cấp không Với f (t) = 0, phương trình (2.11) trở thành phương trình vi phân tuyến tính r k c Kí hiệu tần số ω = , phương trình tỉ suất nén ζ0 = √ m km viết dạng dao động cưỡng x′′ + 2ζ0 ωx′ + ω x = f (t) m Trường hợp đặc biệt phương trình trên, giả sử f (t) = (bỏ qua lực cản) c = (khơng có damper), phương trình trở thành: x′′ + ω x = Phương trình phương trình quen thuộc mô tả trạng thái 32 dao động điều hoà với nghiệm: x = a cos(ωt) + b sin(ωt) = √ a2 + b2 cos(ωt + φ) 2.7 Mơ hình kinh tế Solow-Swan Mơ hình sử dụng để mô tả tốc độ tăng trưởng kinh tế quốc gia dựa yếu tố suất lao động, đầu tư tiến công nghệ Phương trình vi phân cấp hai sử dụng để mô tả biến đổi tỷ lệ tăng trưởng kinh tế theo thời gian Phương trình vi phân cấp hai mơ hình Solow-Swan có dạng: dk d2 k = sf (k) − (n + g + d) dt2 dt đó: - k tỷ lệ vơn đầu người lao động - s tỷ lệ đầu tư -f (k) hàm sản xuất vốn -n tỷ lệ tăng dân số - g tỷ lệ tiến công nghệ -d tỷ lệ hao mịn vốn Mục đích mơ hình Solow-Swan nghiên cứu yếu tố ảnh hưởng đến tăng trưởng kinh tế dài hạn tích lũy vốn kinh tế Mơ hình tập trung vào tương tác ba yếu tố chính: lao động (labor), vốn (capital) công nghệ (technology) Các yếu tố đóng vai trị quan trọng việc xác định sản xuất tăng trưởng kinh tế Mơ hình sử dụng rộng rãi lĩnh vực kinh tế cho phép nhà quản lý kinh tế đánh giá sách kinh tế khác để tăng tốc độ tăng trưởng cải thiện chất lượng sống người dân 33 Để giải phương trình vi phân cấp hai mơ hình Solow-Swan, ta cần đưa phương trình dạng tiêu chuẩn cách chia hai vế phương d2 k trình cho Khi đó, ta được: dt 1= sf (k) − (n + g + d) dk dt d2 k dt2 Đây phương trình động học tiên đốn, k tăng lên, sf (k) tăng lên, (n + g + d) dk dt giảm Vì vậy, thời điểm đó, giá trị k đạt giá trị cân bằng, tốc độ tăng trưởng kinh tế khơng cịn thay đổi Mơ hình Solow - Swan cung cấp cách tiếp cận thực tế để mơ hình hố tốc độ tăng trưởng kinh tế công cụ quan trọng để đánh giá tác động sách kinh tế phát triển quốc gia 34 KẾT LUẬN Trong trình làm khố luận em tìm hiểu nghiên cứu số ứng dụng phương trình vi phân vào thực tế đạt số kết sau: 1) Liệt kê củng cố cách giải số phương trình vi phân thường sử dụng 2) Trình bày số mơ hình thực tế phương trình vi phân 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Hải Trung (2013), Giáo trình phương trình vi phân, NXB Đại học Đà Nẵng [2] Nguyễn Mạnh Quý (2008), Giáo trình phương trình vi phân, NXB Đại học Sư phạm [3] Godunov S.K, Phương trình vi phân thường với hệ số Tập 1,2 Nhà xuất Đại học NovoSiberi.1994 Tiếng Anh [4] William E Boyce Richard C DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, NXB Pearson Education