Chúng ta xét một quần thể sinh học được phân chia thành nhiều nhóm nhỏ theo quy mô (kích thước) phân bố của các cá thể (chẳng hạn như theo lứa tuổi). Kí hiệu n(t, s) là số lượng dân số của một nhóm dân số tại thời điểm t với quy mô s. Khi đó, số lượng toàn bộ dân số của các nhóm cá thể ở thời điểm t có kích thước từ s1 đến s2 được xác định như sau:
Z s2
s1
n(t, s)ds.
Sau đây ta luôn giả thiết rằng:
• Mỗi một nhóm dân số tăng trưởng tuyến tính theo thời gian.
• Mỗi một nhóm dân số chết với xác suất phụ thuộc vào quy mô của chúng.
• Mỗi một nhóm dân số có thể phân chia thành các nhóm con cháu phụ thuộc 1 cách ngẫu nhiên vào quy mô của nó.
Ngoài ra, chúng ta có thể giả sử thêm rằng:
• Tồn tại một nhóm dân số có quy mô cực đại (thông thường s = 1).
• Tồn tại một nhóm dân số có quy mô cực tiểu s = α > 0 tương ứng với mật độ cách phân chia nào đó.
Như vậy, kích thước s của mỗi cá thể trong quần thể phải thỏa mãn
s ≥ α2. Từ những giả thiết này ta có phương trình tiến hóa sau: (xem [MD86, phần A-I.4]). (CE) ∂ ∂tn(t, s) =− ∂ ∂sn(t, s)−µ(s)n(t, s)−b(s)n(t, s) + ( 4b(2s)n(t,2s) với α2 ≤ s ≤ 12 0 với 12 ≤s ≤ 1
với điều kiện biên
n(t,α
2) = 0 với t ≥0 và điều kiện ban đầu
n(0, s) =n0(s) với α
2 ≤s ≤ 1.
Ngoài ra, chúng ta có thể giả sử rằng tỷ lệ chết µ là một hàm liên tục dương xác định trên [α2, 1], trong khi đó tỷ lệ sinh là một hàm liên tục thỏa mãn điều kiện:
b(s) > 0 với s ∈ (α, 1) và b(s) = 0 nếu s khác.
Chúng ta sẽ xác lập phương trình vi phân trừu tượng ứng với bài toán (CE) bằng cách đưa ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.1. Trong không gian Banach B := L1[α2, 1] xác định các toán tử A0f = −f0 −(µ+b)f với D(A0) = n f ∈ W1,1[α 2,1] : f( α 2) = 0 o Bf(s) := ( b(2s)n(t,2s) với α2 ≤s ≤ 12
0 với 12 ≤s ≤ 1 với mọi hàm f ∈ B
Và toán tử A = A0 +B với D(A) := D(A0).
Với các định nghĩa này phương trình đạo hàm riêng (CE) của chúng ta trở về bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP) ( ˙ u(t) = A0u(t) +Bu(t) u(0) = n0 , với t≥ 0, với u là hàm véctơ u : R+ → L1[α2, 1].
Sử dụng lý thuyết nhiễu của nửa nhóm và các định lý về bài toán Cauchy đặt chỉnh (Xem mục 2.1.3 và mục 2.1.4) chúng ta sẽ đi đến các kết quả sau:
Định lý 2.2.1. 1. Toán tử (A0, D(A0)) là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh (T0(t))t≥0 trên B được xác định bởi
T0(t)f(s) := (
e−Rst−t(µ(τ)+b(τ))dτ.f(s−t) với s−t > α2
0 với s−t < α2. (2.30)
2. Toán tử (A, D(A)) là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh
(T(t))t≥0 trên B và bài toán Cauchy trừu tượng (ACP) ở trên được đặt chỉnh.
3. Nửa nhóm (T(t))t≥0 tương ứng với phương trình (CE) là ổn định mũ đều nếu và chỉ nếu
ξ(0)< 0. Trong đó ξ(.) là một hàm đặc trưng ξ(λ) =−1 + Z 12 α 2 4b(2σ)e−Rσ2σ(µ(τ)+b(τ)+λ)dτdσ với λ ∈ C.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày được những nội dung sau: Phương trình vi phân trong không gian Banach, họ các toán tử tiến hóa và phương pháp xấp xỉ thứ nhất nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính với toán tử bị chặn.
Phương trình tiến hóa đặt chỉnh. Ứng dụng của phương pháp nửa nhóm có nhiễu để nghiên cứu mô hình quần thể có phụ thuộc vào tuổi.
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải
tích hàm , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] E.A.Barbasin (1967), Mở đầu về lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên bản tiếng Nga), NXB khoa học và kỹ thuật.
[3] Ju.L,Daleckii and M.G.Krein (1974), Stability of solutions of differ- ential Equations in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island.
[4] K.J. Engel-R.Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer verlog NewYork.
[5] K.-J. Engel and R. Nagel (2005), A short course on operator Semi- groups, Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore.
[6] S. G. Krein (1971), Linear differential equations in Banach space, American Mathematical society, Providence, Rhode Island 02904. [7] J. D. Murray(2002).Mathematical Biology: I. An introdution third
Edition (3ed. spinger).
[8] G.F.Webb (1982), Theory of nonlinear age-dependent population dy- namics, Pure and applied mathematics, a program of monographs, text books, and Lecture Notes.