Xét bài toán Cauchy trừu tượng:
(ACP) (
u0(t) = Au(t)
u(0) = x , với t ≥ 0. (2.8) Trong đó u(t) là một hàm nhận giá trị trong không gian Banach B phụ thuộc vào thời gian t và A là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) ⊆ B.
Định nghĩa 2.1.6. Hàm u : R+ → B được gọi là nghiệm cổ điển (classical solution) của bài toán (ACP) nếu u khả vi liên tục trong
B, u(t) ∈ D(A) với t ≥0 và thỏa mãn bài toán (ACP).
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0. Khi đó, với mọi x ∈ D(A) ta có
u : t7→ u(t) := T(t)x
Định nghĩa 2.1.7. Một hàm u : R+ → B được gọi là nghiệm yếu (mild solution) của bài toán (ACP) nếu R0tu(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và khi đó
u(t) = x+A
Z t
0
u(s)ds.
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0. Khi đó, với mọi x ∈ D(A) ánh xạ quỹ đạo (orbit map).
u : t7→ u(t) := T(t)x
là nghiệm yếu duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng (ACP) tương ứng.
Chứng minh. Xem [4] II.6.4
Mệnh đề 2.1.4. Cho A : D(A) ⊆ B → B là một toán tử đóng. Khi đó, các khảng định sau tương đương:
1. Tồn tại duy nhất nghiệm của (ACP) với mọi x ∈ D(A).
2. Phần A1 = A|B1 của A trong B1 := (D(A);||.||A) là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach B1.
Chứng minh. Xem [4] II.6.6
Định lý 2.1.2. Giả sử A : D(A) ⊆ B → B là một toán tử đóng. Cùng với bài toán Cauchy trừu tượng tương ứng
(ACP) (
u0(t) =Au(t)
u(0) = x , với t ≥ 0.
Chúng ta xét điều kiện về sự tồn tại và duy nhất sau đây:
(EU) : Với mọi x ∈ D(A). Tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của (ACP)
Khi đó các tính chất sau tương đương:
2. A thỏa mãn (EU) và ρ(A) 6= 0.
3. A thỏa mãn (EU) và tồn tại một dãy λn ↑ +∞ sao cho miền xác định (λn−A)D(A) trùng với B với mọi n∈ N.
4. A thỏa mãn (EU), có một miền xác định trù mật, và với mọi dãy
(xn)n∈N ⊂ D(A)thỏa mãn limn→∞xn = 0 thì ta cólimn→∞u(t, xn) = 0 đều trong khoảng compact [0;t0].
Chứng minh. Xem [4] II.6.7
Định nghĩa 2.1.8. Bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP) (
u0(t) =Au(t)
u(0) = x , t ≥0
tương ứng với toán tử đóng A : D(A) ⊂ B → B được gọi là đặt chỉnh nếu như điều kiện (4) trong định lí 2.1.2 đúng.
Khi đó các tính chất sau được thỏa mãn:
1. Toán tử A thỏa mãn điều kiện: Với mọi x ∈ D(A) thì (ACP) có nghiệm duy nhất u(t, x).
2. Toán tử A có miền xác định trù mật trong B, nghĩa là D(A) = B. 3. Nghiệm u(., x) ổn định đều với điều kiện ban đầu u(0) = x với mọi
t∈ [0, t0], t0 ∈ R+. Nghĩa là, với mọi dãy (xn)n∈N ⊂ D(A) thỏa mãn limn→∞xn = 0 thì tồn tại nghiệm u(., xn) sao cho limn→∞u(t, xn) = 0 đều trong khoảng compact [0;t0].
Hệ quả 2.1.2. Bài toán Cauchy trừu tượng (ACP) tương ứng với toán tử đóng A : D(A) ⊂ B → B là đặt chỉnh nếu và chỉ nếu A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh trong B.