Xét phương trình bảo toàn dân số
dN
dt = b(t)−d(t) +m(t). (2.11) Trong đó N(t) là dân số tại thời điểm t và b(t), d(t), m(t), dNdt lần lượt là dân số sinh ra, dân số chết đi, sự di cư và tốc độ thay đổi dân số.
Trong trường hợp đơn giản ta xét m(t) = 0 (tức là mô hình không có sự di cư). Khi đó dân số sinh và dân số chết đi tỷ lệ thuận với N. Ta có phương trình:
dN
dt = bN −dN =⇒ N(t) =N0e(b−d)t, (2.12) với N0 = N(0) là số dân ban đầu tại thời điểm t = 0. Phương trình (2.12) phản ánh tốc độ tăng trưởng dân số.
• Nếu b > d thì dân số tăng theo cấp số nhân.
• Nếu b < d thì dân số dần diệt vong.
Trong trường hợp dân số tăng trưởng theo cấp số nhân. Ta xét phương trình hậu dân số dN dt = rN 1− N K . (2.13)
Trong đó r, K là các hằng sô dương. K là sức tải của môi trường xác định bằng nguồn tài nguyên có sẵn để duy trì. r 1− NK
là tỷ lệ sinh theo đầu người phụ thuộc vào N.
Xét tính ổn định của phương trình (2.13) tại vị trí cân bằng:
1. Nếu N = 0 do tính chất tuyến tính nên ta có: dNdt ≈ rN hay N(t) =
N0ert với r > 0, do đó phương trình (2.13) không ổn định khi
t→ +∞.
2. NếuN = K do tính chất tuyến tính ta cũng có: d(Ndt−K) ≈ −r(N−K) với điều kiện ban đầu N0 = N(0). Khi đó ta có
N(t) = N0Ke
rt
Hình 2.1: Tăng trưởng hậu dân số. Lưu ý sự khác biệt trong hai trường hợp N0 < K2
và K2 < N0 < K.
Do đó trạng thái của phương trình ổn định và được mô tả như trong hình (2.1).
Bây giờ chúng ta xét phương trình dân số xác định bởi hàm như sau:
dN
dt = f(N). (2.14)
Trong đó f(N) là một hàm phi tuyến phụ thuộc vào N. Giả sử N∗ là vị trí cân bằng của phương trình (2.14) (tức là f(N∗) = 0). Nếu ta đặt
n(t) ≈ N(t)−N∗, |n(t)| 1 và phương trình (2.14) trở thành
dN
dt = f(N
∗ +n) ≈ f(N∗) +nf0(N∗) +. . .
thứ tự đầu tiên của n(t) là
dn
dt ≈ nf0(N∗) =⇒ n(t) ≈ ef0(N∗)t. (2.15) Khi đó
• Nếu f0(N∗) < 0 thì phương trình (2.15) ổn định với nhiễu loạn nhỏ.
Hình 2.2: Mô hình động lực dân số: dNdt = f(ω) với một vài trạng thái ổn định,
Grad(f0(N)) ở trạng thái ổn định (f(N) = 0) xác định ổn định tuyến tính. Với Un- stable là không ổn định và Stable là ổn định.
Trạng thái ổn định được mô tả như trong hình (2.2).
Một trong những thiếu sót của mô hình dân số cổ điển của phương trình vi phân thông thường là không phản ánh được cấu trúc của quần thể dân số phân bố theo các lứa tuổi khác nhau. Trong thời đại ngày nay đây là một bài toán đang thu hút nhiều người quan tâm. Vì vậy chúng ta xét sự mở rộng đầu tiên liên quan đến sự phụ thuộc vào độ tuổi sinh ra và tốc độ chết đi. Để khắc phục hạn chế trên năm 1945 nhà nghiên cứu Leslie đã xây dựng ma trận Leslie với mục đích có thể hợp nhất các lớp tuổi khác nhau như nguyên sinh, trưởng thành hay sự di chuyển về số lường từ quần thể này đến quần thể khác vào trong cùng một mô hình. Tiếp theo đó các nhà nghiên cứu Chalesworth (1980), Metz và Diekmann (1986) và Kot (2001) đã mở rộng phổ biến của ứng dụng các mô hình cấu trúc tuổi.