Bài toán 3.3.1
Chứng minh rằng trong sáu người bất kỳ luôn tồn tại ba người đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau .
Chứng minh
Ta coi 6 người là 6 đỉnh của một đồ thị. 2 người quen nhau thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu xanh, nếu 2 người không quen nhau ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu đỏ.
Kí hiệu một đỉnh là O , các đỉnh còn lại là , , , , .A B C D E Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất ba trong số các cạnh OA OB OC OD OE, , , , là cùng màu (đỏ hoặc xanh). Giả sử OA OB OC, , có cùng màu đỏ. Xét tam giác ABC. Nếu có ít nhất một cạnh, thí dụ, AB là màu đỏ, thì tam giác OAB có cả ba cạnh là màu đỏ. Nếu tất cả các cạnh của tam giác ABC là màu xanh, thì tam giác ABC là tam giác cần tìm. Vậy trong 6 người bất kỳ luôn tồn tại 3 người đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau .
Bài toán 3.3.2
Chứng minh rằng từ sáu số vô tỉ tùy ý có thể chọn ra được ba số sao cho tổng của hai số bất kì trong ba số đó là một số vô tỉ.
Chứng minh
Ta coi 6số vô tỉ là 6 đỉnh của một đồ thị. Nếu 2 đỉnh có tổng là một số vô tỉ thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu xanh, nếu 2 đỉnh có tổng là một số hữu tỉ ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu đỏ.
1) hoặc tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô màu xanh thì ba đỉnh của tam giác đó là ba số cần tìm
2) hoặc tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô màu đỏ suy ra
, ,
a b p b c q c a r trong đó , ,p q rlà các số hữu tỉ suy ra
2 p r q
a là
số hữu tỉ mâu thuẫn với giả thiết a là số vô tỉ
Vậy luôn tồn tại ba số a,b,c sao cho a b b c c , , a cũng là số vô tỷ.
Bài toán 3.3.3
Cho sáu số nguyên thỏa mãn cứ ba số bất kì trong sáu số luôn có hai số mà số này chia hết cho số kia hoặc ngược lại. Chứng minh rằng trong sáu số đó luôn tồn tại ba số a b c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c. , ,
Chứng minh
Ta coi 6số nguyên là 6 đỉnh của một đồ thị. Nếu 2 đỉnh a,b mà a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu xanh, nếu 2 đỉnh a,b mà a không chia hết cho b và b không chia hết cho a thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu đỏ.
Vì 3 số bất kì trong 6 số luôn tồn tại 2 số mà số này chia hết cho số kia hoặc ngược lại suy ra trong một tam giác bất kì tạo bởi 6 đỉnh trên luôn tồn tại ít nhất một cạnh màu xanh.
Vì (3,3)R 6 nên
1) hoặc tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô màu đỏ trái với giả thiết
2) hoặc tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô màu đỏ suy ra tam giác đó có 3 đỉnh là a b c thỏa mãn đầu bài., ,
Bài toán 3.3.4(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Hà Nội 2013)
Trong mặt phẳng cho sáu điểm A A1, 2,...,A6 trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với ba điểm bất kỳ trong số sáu điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 671. Chứng minh trong số sáu điểm
1, 2,..., 6
A A A đã cho, luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có chu vi
nhỏ hơn 2013.
Chứng minh
Ta coi 6 điểm là 6 đỉnh của một đồ thị. Nếu 2 đỉnh A Ai, j mà A Ai j 671 thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu xanh,nếu 2 đỉnh A Ai, j mà A Ai j 671 thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu đỏ.
Vì 3 điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 671 suy ra trong một tam giác bất kì tạo bởi 6 điểm trên luôn tồn tại ít nhất một cạnh màu xanh
Vì (3,3)R 6 nên tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô màu đỏ suy ra tam giác đó có 3 cạnh đều nhỏ hơn 671 suy ra chu vi của nó nhỏ hơn 2013.
Bài toán 3.3.5
Cho n thành phố, biết rằng cứ ba thành phố bất kì luôn tồn tại hai thành phố không
có đường đi trực tiếp và hai thành phố có đường đi trực tiếp. Tìm số đường đi lớn
nhất nối các thành phố trên.
Chứng minh
Ta coi 6 thành phố là 6 đỉnh của một đồ thị. Nếu có đường đi từ thành phốA tới
thành phố B thì ta tô cạnh nối 2 đỉnh ,A B màu xanh,nếu không có đường đi từ
Vì ba thành phố bất kì luôn tồn tại hai thành phố không có đường đi trực tiếp và hai thành phố có đường đi trực tiếp suy ra trong một tam giác bất kì tạo bởi 6 đỉnh trên luôn tồn tại ít nhất một cạnh màu đỏ và một cạnh màu xanh.
Nếu nR(3,3)6 thì luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô cùng một màu xanh hoặc đỏ điều này mâu thuẫn với giả thiết suy ra n5.
Với n5mỗi thành phố bất kì có đúng 2 đường đi trực tiếp tới 2 thành phố khác và không có đúng 2 đường đi tới 2 thành phố còn lại nên số đường đi nhiều nhất nối các thành phố trên là
25 5 5 5
2
C
. Hình vẽ sau là một ví dụ cho bài toán
Vậy có tối đa 5 đường nối các thành phố với nhau.
Các bài toán trên chỉ là các cách phát biểu khác nhau của định lý Ramsey trong trường hợp (3,3)R 6. Ngoài ra ta có thể phát biểu một số bài toán tương tự sau đây.
Bài toán 3.3.6
Trong không gian cho sáu điểm bất kì sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng nối hai đỉnh trong sáu đỉnh trên là cạnh dài nhất của một tam giác nhưng lại là cạnh ngắn nhất của một tam giác khác.
Bài toán 3.3.7
Cho sáu đường thẳng trong không gian trong đó không có ba đường nào đôi một song song, không có ba đường nào đồng quy và không có ba đường nào đồng phẳng.Chứng minh rằng trong sáu đường đó luôn chọn được ba đường đôi một chéo nhau.
Bài toán 3.3.8
Trong một nhóm có n thành viên mà cứ ba người bất kì đều có hai người quen
nhau và hai người không quen nhau. Chứng minh rằng có thể xếp cả nhóm vào một bàn tròn để mỗi người ngồi cạnh nhau đều quen nhau.
Bài toán 3.3.9 (IMO 1964)
Có 17 nhà bác học viết thư cho nhau, mỗi người viết thư cho những người còn lại bàn về 3 chủ đề ( mỗi cặp nhà bác học chỉ thảo luận với nhau một chủ đề ). Chứng minh rằng có ít nhất 3 nhà bác học thảo luận cùng một chủ đề.
Chứng minh
Ta coi 17 nhà bác học như 17 đỉnh của một đồ thị đầy đủ. Các cạnh của đồ thị được tô bởi một trong 3 màu xanh , đỏ , vàng tương ứng với ba chủ đề. Ta cần chứng minh trong đồ thị tồn tại 3 điểm mà các cạnh được nối với nhau bởi cùng một màu.
Kí hiệu một đỉnh là A. Vì A nối với 16 đỉnh còn lại bởi ba màu nên theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại 6 đỉnh nối với A bởi cùng một màu. Giả sử 6 đỉnh là B, C, D, E, F, G nối với A bởi màu xanh.
Nếu trong 6 đỉnh có 2 đỉnh nối với nhau bởi màu xanh, giả sử là B,C thì 3 đỉnh A,B,C được nối với nhau cùng một màu.
Nếu trong 6 đỉnh không có 2 đỉnh nào nối với nhau bởi màu xanh. Suy ra trong 6
đỉnh B, C, D, E, F, G các cạnh được nối với nhau bởi 2 màu đỏ và vàng theo bài
1.6 tồn tại 3 đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi một màu.
Vậy trong 17 đỉnh luôn tồn tại 3 đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi cùng một màu hay luôn tồn tại ba nhà bác học trao đổi với nhau về cùng một chủ đề.
Bài toán trên chỉ là các cách phát biểu khác nhau của định lý Ramsey trong trường hợp (3,3,3) 17R . Ngoài ra ta có thể phát biểu một số bài toán tương tự sau đây.
Bài toán 3.3.10
Có 17 thành phố, từ mỗi thành phố đều có thể đi đến 16 thành phố còn lại bằng một trong ba phương tiện tàu thủy, tàu hỏa, máy bay. Biết rằng hai thành phố bất kì có thể đi lại bởi một trong ba phương tiện trên. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba thành phố mà có thể đi lại bằng cùng một phương tiện.
Bài toán 3.3.11( đề thi chọn đội tuyển Hongkong, CHKMO 2005)
Trên một hành tinh có 3.2005! người ngoài hành tinh và có 2005 ngôn ngữ khác nhau. Hai người ngoài hành tinh bất kì giao tiếp với nhau bằng đúng một ngôn ngữ. Chứng minh rằng có ít nhất 3 người ngoài hành tinh giao tiếp với nhau cùng một ngôn ngữ.
Chứng minh
Ta coi 3.2005! người ngoài hành tinh như 3.2005! đỉnh của một đồ thị đầy đủ. Các
cạnh của đồ thị được tô bởi một trong 2005 màu a1, a2,.., a2005 tương ứng với 2005 ngôn ngữ. Ta cần chứng minh trong đồ thị tồn tại 3 đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi cùng một màu.
Kí hiệu một đỉnh là A1. Vì A1 nối với 3.2005! đỉnh còn lại bởi 2005 màu nên theo
nguyên tắc Dirichlet tồn tại 3.2004! đỉnh nối với A1 bởi cùng một màu. Giả sử
3.2004! đỉnh nối với A1 bởi màu a1 .
Nếu trong 3.2004! đỉnh có 2 đỉnh nối với nhau bởi màu a1, giả sử là A2,A3 thì 3
đỉnh A1A2A3 được nối với nhau cùng một màu.
Nếu trong 3.2004! đỉnh không có 2 đỉnh nào nối với nhau bởi màu a1. Suy ra trong
3.2004! đỉnh đó các cạnh được nối với nhau bởi 2004 màua2, a3,.., a2005.
Tiếp tục lập luận như vậy 2004 lần ta có tồn tại 6 đỉnh mà 2 đỉnh bất kì được nối với nhau bởi 2 màu a2004 và a2005 theo bài 1.1 tồn tại 3 đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi một màu.
Vậy trong 3.2005! đỉnh luôn tồn tại 3 đỉnh mà các cạnh được nối với nhau bởi cùng một màu hay luôn tồn tại ba người ngoài hành tinh giao tiếp với nhau bởi cùng một ngôn ngữ.
Từ bài toán trên ta thấy R2005(3)3.2005!.Đây chính là một trường hợp đặc biệt củađịnh lí 3.1.5 làRr(3) 3 ! r .
Bài toán 3.3.12 (China Western Mathematical Olympiad 2005 ,CWMO 2005 )
Có n sinh viên biết rằng cứ trong ba sinh viên bất kì luôn có hai người quen nhau,
và trong bốn sinh viên bất kỳ thì luôn có hai người không quen nhau. Tìm giá trị
lớn nhất của n.
Chứng minh
Ta coi n sinh viên là n đỉnh của một đồ thị. Hai sinh viên quen nhau thì ta tô cạnh
nối 2 đỉnh đó màu xanh, nếu hai sinh viên không quen nhau ta tô cạnh nối 2 đỉnh đó màu đỏ. Suy ra trong 3 đỉnh bất kì luôn tồn tại một cạnh màu xanh và trong 4 đỉnh bất kì luôn có một cạnh màu đỏ.
Nếu n ≥ 9 theo bài toán 2.5 thì luôn tồn tại 3 đỉnh mà các cạnh được tô màu
đỏhoặc 4 đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu xanh mâu thuẫn với giả thiết suy ra
n8. Với n8 ta thấy trên hình vẽ cứ 3 đỉnh bất kì luôn tồn tại một cạnh màu xanh và trong 4 đỉnh bất kì luôn có một cạnh màu đỏ.
Vậy số sinh viên lớn nhất thỏa mãn đầu bài là 8. Bài toán 3.3.13
Có 14 nhà khoa học, biết rằng cứ 3 nhà khoa học bất kì luôn có ít nhất 2 nhà khoa học nghiên cứu chung một đề tài. Chứng minh rằng có ít nhất 5 nhà khoa học nghiên cứu cùng một đề tài.
Chứng minh
Ta coi 14 nhà khoa học như là 14 đỉnh của đồ thị. Hai nhà khoa học nghiên cứu chung một đề tài ta tô cạnh nối hai đỉnh đó màu đỏ,hai nhà khoa học không nghiên cứu chung một đề tài ta tô cạnh nối hai đỉnh đó màu xanh.
Vì cứ 3 nhà khoa học bất kì luôn có ít nhất 2 nhà khoa học nghiên cứu chung một đề tài nên các tam giác có ba đỉnh là 14 đỉnh trên có ít nhất một cạnh màu đỏ.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 7 6 5 4 8 3 6
Theo bài toán 2.6 thì hoặc tồn tại một tam giác có 3 cạnh được tô màu xanh trường hợp này không xảy ra hoặc tồn tại 5 đỉnh mà tất cả các cạnh được tô màu đỏ suy ra 5 nhà khoa học sẽ nghiên cứu chung một đề tài.
Bài toán trên chỉ là cách phát biểu khác nhau của định lý Ramsey trong trường hợp (3,5) 14R . Ngoài ra ta có thể phát biểu một số bài toán tương tự sau đây.
Bài toán 3.3.14
Có 14 nhà khoa học, biết rằng cứ 3 nhà khoa học bất kì luôn có ít nhất 2 nhà khoa học nghiên cứu chung một đề tài. Chứng minh rằng có ít nhất 5 nhà khoa học nghiên cứu cùng một đề tài.
Bài toán 3.3.15 (IMO 1992)
Cho chín điểm trong không gian sao cho không có bốn điểm nào đồng phẳng. Các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trong chín điểm đó được tô bởi màu xanh hoặc đỏ
hoặc không tô màu. Tìm số n bé nhất sao cho nếu có đúng n cạnh được tô màu thì
luôn tìm được một tam giác có ba cạnh cùng màu. Chứng minh
Ta sẽ chứng minh số n bé nhất là 33.
Số các đoạn thẳng tạo bởi chín điểm bất kì là 36.
Nếu trong 9 điểm có 3 cạnh không được tô màu các cạnh còn lại được tô màu xanh hoặc đỏ. Ta lấy 3 đỉnh phân biệt trong 3 cạnh này ( mỗi cạnh không được tô màu ta lấy một đỉnh) và 3 đỉnh còn lại ( không thuộc 3 cạnh không tô màu) thì ta được 6 đỉnh mà tất cả các cạnh được tô bởi 2 màu xanh hoặc đỏ theo bài toán 3.3.1luôn
Mặt khác ta thấy trên hình vẽ với 9 đỉnh và 32 cạnh được tô màu xanh hoặc đỏ
không tồn tại tam giác nào có 3 cạnh được tô cùng màu suy ra n> 32.
Vậy số cạnh được tô màu bé nhất là 33 cạnh. Bài toán 3.3.16 (Đề thi vô địch Anh năm 1980)
a) Trong một căn phòng có mười người, biết rằng, giữa 3 người bất kì có 2 người quen nhau. Chứng minh rằng, có thể tìm được 4 người mà 2 người bất kì trong số đó đều quen nhau.
b) Khẳng định trên có còn đúng nữa không nếu ở câu a số người trong phòng là 9? Chứng minh
Giả sử giữa 4 người bất kì có 2 người không quen nhau. Khi đó A không thể có quá 3 người không quen: nếu A có 4 người không quen thì theo giả sử giữa 4 người này có 2 người không quen nhau, và họ cùng với A hợp thành bộ 3 đôi một không quen nhau. Vậy A có không nhiều hơn 3 người không quen, có nghĩa là A có không ít hơn 6 người quen. Giả sử A quen với B1, B2,…, B6. Khi đó giữa B1, B2,…, B6 không có bộ 3 nào đôi một quen nhau (nếu khác thì bộ 3 này hợp với A thành bộ 4 đôi một quen nhau, trái với giả sử). Do đó giữa ba người bất kì trong số
6 người B1, B2,…, B6 có 2 người không quen nhau. Khi đó B1 không thể có nhiều hơn 2 người không quen trong số B2, B3,…, B6 (nếu B1 không quen với chẳng hạn B2, B3, B4 thì B2, B3 và B4 phải đôi một quen nhau)
Vì thế B1 phải có ít nhất 3 người quen trong số B1, B2,…, B6. Khi đó trong số 3 người này tìm được 2 người quen nhau, tạo thành với A và B1 bộ 4 người đôi một quen nhau, trái với giả sử.
b) Ta chứng minh cho khẳng định trên vẫn đúng. Nếu có người nào đó quen với tất cả 6 người thì chứng minh sẽ tương tự phần a). Nếu mỗi người quen với đúng 5 người thì tổng số các cặp quen nhau là 9.5