Tiểu luận môn toán học cho khoa học máy tính Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH TIẾU LUẬN MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng     !"#$%& '%()*+(, -%./0.012 3%4-560.7890.1 LỜI CẢM ƠN :8;<=>?@A<BCDEFDGHBI7C5JKL%M M5N%-HOPQ5FR'SBT5JF>UHL VS8WF4<6FX'Y8)==Z<=F)L=> [68C(58\56(5]Y8J)(HQHOIJ^5@)@G=H_ 3K5;68CR6<L@'()S+(0,HO`_5X'HaMJ) WF6JQ<=bF@FP=> !cHO+UFZGGGDdSMJ6S?VBFD+5Y8 JR8)PH^DH++'eSB`(6f>6)5%M6)=6<LHbHU= =>H^)=C :8;E=8Cg '3%4-56.97890./  !F>GE NHẬN XÉT h%`(i MỤC LỤC bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(2 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Đặt vấn đề k)8PM@FM@=RHUWF(J=HfFJ)6@lQ<6)5 WFED5)L()5=HE>m@=8_RHUHOH^TF=Q78 (>k)8PM@=F>JQ4<)8P54)=\=4DnD=`(M k)8Pl(@=H8<)MoH^B'P<pVKH^R' WF>UCT4)=\@=<)D4;65)=o`(M= MoH^(>Hq<pVKH^R'WF>U4DnD=`(M @=VKH^WF>UDrj+bJF>;FRMSfRHU <)8PH(H^UFKP'JFTF=Q88'6'HbH8<) ()=5()Z'f8U85Hs<@=6ZMJ8L tYJY)'u'8KJF>P'5S(6=(DvM-sS6+ m@=F>C4HBM<]JAJo)s<]'6)LX=><)8P ()=V@F@=RHUKD5@=8_`HUJ_+@WF(HBUF@l= J)B+UF'C'6'H^HbH8<)V@Fw8Q8bF 8_J)V'C'6'<)()=M+4()=()(>@= c8P8OS)6MS(xy=H(J(8_=Tj`(8P8OS)6 MS(rjVSeDZJ);658O+(=8O6P' 1.2 Ý nghĩa NF(<=bF@FP5X')6bFJzCU6S6856 FPVJ)@eF>B8P8OkLH+5mX'6bFJzCU8P 8O5S68U8P8OS)6<48P=8P8OS)6MS(5@eF>BF U6'C'6'8O)6'C'6'8O)6S+(<48P='C'6'8O )6S+(MS(FH^6FHb8=^Hb8`(('C'6'=>5 JQ<=>B8P8OS+(MS(xy5@eF>BFU8MQVSeDZ5 6@^H3VSeDZjb5H^;E>J8P8O)6S)6MS( 1.3 Nội dung thực hiện k=bF@FPDdQ8bF=JQ<=>U6RHU4D(F a) Q8bFU8_DZH]l(J)@eF>B8P8O o *6WF6U8P8O5S68U8P8OS)6<48P=8P8O S)6MS( o eF>BFU6'C'6'8O)6'C'6'8O)6S+(<4 8P='C'6'8O)6S+(MS(5FH^6FHb8= ^Hb8`(('C'6'=>JQ<=>B8P8OS+( MS(xy{ b) %CDp@eF>B)6`(@eF>B8P8O !I7C !F>GE bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(| o ZF>Z='E4J(}(DZF>Z o 4)6H3=4@)(JJKJL o ~F`((DZ=VRHU@WF( c) 8P8OMS(xy o C'6'8O+(xy o ~FSF>BHb8 o _()=S8O+(V@F<w'C'6'xy - !I7C !F>GE bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(• CHƯƠNG 2: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT MẬT Mà 2.1 Số học các số nguyên. Thuật toán Euclide (SeF€@=P'^'6DZF>5€•‚5ƒ95ƒ.505.595„5=€ … @=P'^'6 DZF>SME85€ … •‚05.595„J)8j=>(DdG@L8_DZSBTU DZ`(6DZF>f)JQ<=>@eF>B8P8OQHbbF@FP SMWF6=A56SBTDdH^GHB`>BF@=6S6856 8HUDdH^Drj5A6'fT8DdH^@^<? 2.1.1 Tính chia hết của các số nguyên P'^'€@=H+S4HZ6'u'_5J}=E5SMH+S4 HZ'u'((8_DZF>)8_DZF>SM'<()Km H^SBWF@=8_DZF>gQP>5JK^'(B5TS(DZF>( )DZF><H^C@=8_DZF>W5(•<W5+8_el(Hs< *H+5(+((B)<5<(B(5(@=<_DZ`(<5<@=DZ`((5=Se F@=<†(!‡R>(>JwDZ.@=DZ`(8DZF><RSˆ5DZ0@=<_DZ `(8DZF><RSˆ58DZF>(@=DZ5H3K@=<_DZ5`(4 + %)(DZF><RSˆ(=<5<‰.'u'(()<(DdH^( DZW=JD()) (•<W…J50ŠJŠ< ZWH^@=DZC`('u'(()<5SeF(<5=DZJH^ @=DZ`('u'(()<5SeF(8)< 4 j92••/=928)••15ƒ92••ƒ1=ƒ928)••/ -_DZF>H^@=DZF`((DZF>(=<BF†(=† <ZF>H^@=DZF@R`((=<BF‰05@=DZ F`((=<5=8DZF`((=<HUF@=DZ`((SeF DZF@R`((=<@=h(5<i 4jh.95.,i•|5hƒ.,59•i•/ !‡R>Jw8DZF>C((+h(50i•(5(mDdWF ;Y8Jwh050i•0 -_DZF>(‰.H^@=DZF>Z5BF(SM+DZ=))=. =4(‹=H^@=^'DZ5BFSM'@=F>Z 4j%6DZ95/525•@=DZF>Z‹6DZ15|5,5.05.95.15.2@=^'DZ( DZ(=<H^@=F>Z(F5BFXSM+DZF=) S6.5T@=BFh(5<i•. -_DZF>‰.<RSˆHUF+bBL • !I7C !F>GE bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(, J)H+' . 5' 9 55' S  @=6DZF>ZS6(F‹Œ . 5Œ 9 55Œ S  @=6DZ8m F>CBFSMSbT6}(DZF>Z5QL<bF‡H+@= F>R5(H+@=LS(Jb4G`(4jLS(Jb4 G`(.,00@=9 / / 9 2 9  (DZF>C(=<<RSˆ(+WF(@8h(5<ih(5<i•(< }H]@e9..(DF>J(FP)6D(FHE>Q8DZF@ R`((DZF><RSˆ FP)6:F@YQ8DZF@R t"(DZF>SME8(=<5(•< Ž""DZF@R`((=< k.J)SA<‰05 ..HsJ•(8)<‹ .9Hs(•<‹ ./Hs<•J‹ k9%)J(SBWFh(i 4j!cFP)6:F@YQ8h1,|15/12,i5(@f@^H^66J] 6)6<B(5<=JD(F a b R 4864 3458 1406 646 114 76 38 3458 1406 646 114 76 38 0 1406 646 114 76 38 0 =FP)6)(SBWFh1,|15/12,i•/, (<BJwBFh(5<i•5Q'CJQ<RH](;…<>•+8 F>h;5>i5=8_8F>h;5>iP>+bQ8H^<pFP)6 :F@Y8pJ_D(F Thuật toán Euclide mở rộng: t" (DZF>SME8(=<(•< Ž""•h(5<i=(DZ;5>D())(;…<>• .iBF<•0QHs•(‹;•.‹>•0‹=)J(h5;5>i 9is;9•.5;.•05>9•05>.•. /iJ)SA<‰05 /.W•(<‹J•(8)<‹;•;9•W;.‹>•>9•W>.‹ /9(•<‹<•J‹;9•;.‹;.•;‹>9•>.=>.•>‹ 1is•(5;•;95>•>95=)J(SBWFh5;5>i !I7C !F>GE bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(‘ 4j!cFP)6:F@Y8pJ_)6DZ(•1,|1=<•/12,5(@f @^H^66J]D(FHE>)6<B(5<5W5J5;5>5; . 5; 9 5> . 5> 9 hD(F8IFJQ (@/.=/9i a b q r x y x 1 x 2 y 1 y 2 4864 3458 0 1 1 0 3458 1406 1 1406 1 -1 1 0 -1 1 1406 646 2 646 -2 3 -2 1 3 -1 646 114 2 114 5 -7 5 -2 -7 3 114 76 5 76 -27 38 -27 5 38 -7 76 38 1 38 32 -45 32 -27 -45 38 38 0 2 0 -91 128 -91 32 128 -45 (‡r@LJwD(F8I@fFJQ38(@/.=/956 6J];5>5JFH^@FM)8O1,|1;…/12,>•J5=)H+SSBX6 A@s'hT6J]<•0i5B'@1(H^SBWF•/,5;•/9 =>•ƒ125s'DZh/95ƒ12i)8O1,|1/9…/12,hƒ12i•/, 2.1.2 Số nguyên tố và bái toán phân tích ra thừa số nguyên tố Số nguyên tố Ðịnh nghĩa:ZF>Z@=DZF>@C.5SM(B)DZ=) )=.=4+ZF>@C.SM'@=DZF>ZH^@=^' DZ ’]@4D(FHE>)8_FP)6HCHb;6H]6DZF>Z Ðịnh lí^'DZ'+F>ZSM@C PP>5S@=8_^'DZQ(+bB•(<5J)H+(=<@=6 DZF>?(8O.(<Š“ŠxzJ=('+()s<SM^WF6hQJ) JK^'^@LQ(<‰iDrDZSM@C@=(5SH+F> Z`((SMb@C=JzJ=m@=F>Z`(}H]@4J5( +FP)6D(FHE> Thuật toán tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số n. (BO>6DZ}.HBJB5(LHDZ.5Q+SM' @=DZF>ZZF>ZHfF`(O>@=9B'Y)H+(LS?O>R VDZ@C9(B)9hmT@=LH)=<_DZn@ C9iZHfFJ)6DZA@LhSM(B)9i@=/H+4@= DZF>ZV@LDZ/5(@LLS?O>A@LVDZ=)(B)/ HTD(FDZ/5DZHfFJ)6DZA@L@=DZ2m4@=DZF> ZV@LDZ25(@LLHS?O>VDZHTD(FDZ2=(B)2ZHfF !I7C !F>GE bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(.0 J)6DZA@LmDd@=8_DZF>ZB'jWF6JQJ5(L HS?O>VDZ@CDZ=>@L8=(B)+NF6JQ=>B'‡ )SDZHfFA@LhD(F8_@fL=)H+i@=8_DZF>ZSM ?C*R>5RVDZA@L`(O>HUF@=?C(><w=SM +F>Z^WF6Y)H]@4J5VDZA@L=>SMb@=^' DZ5(>+6S65XHUF@=6DZF>ZxzJ=5H]@4=>X'( 8H^SZ@^M8_6H6Sb4j5•.00(ofB =M)LBVDZ@=<_`(•hQDZHfFA@LD(F@f L=>HO@= ‰.0•i‹•.0000(ofB=M)S L;)66DZ@=<_`(‘•hQDZHfFA@LD(F@fL=>HO@=.0.‰ .00•i NF>JQJA+@=D=ƒJ(ƒMƒ;Yh:J()DYYDiF>JR8L @L=HCUep5S@=86DZ@QWF>JQ=>JR4 H^DrjJ)Q86DZF>Zm;6H];Y88_DZHO)+ '@=DZF>Z(>SM4)@=DZ@^'u'4J)WF>JQ=>WF6 @5S@=8_DZ@4j5S+S).00VDZP''EQV86> 48_JF'u'4J)8_E>5K(fBDd=)S) /5..0 /| 78g Định lí cơbản của sốhọc Ðịnh lí-DZF>@C.HUF'E4H^8_6F>R=4 6DZF>Z Chứng minhkw'T5Dr3LVDZF>@C.8=SM BH^=46DZF>Z!lVDZP>'@=V^' DZ@=DZ<uRJ)6DZH+Q@=^'DZ++L•(<5(5<@= VDZ<uC!)H]l(DZ58DZ<uC''E4H^ =46DZF>Z5)6DZ(=<'E4H^=46 DZF>Z5T@=(•' . ' 9 ' J 5<•W . W 9 W D 5DJ)H+'  5‚.5955J„5W ” 5”‚.5955D„5@= VDZF>Z}HE>DF>J(•' . ' 9 ' J W . W 9 W D 5=P>m'E4 H^ =46DZF> Z UF=>8EFF B @=SM b'E4H^-EFF=>)R>JwB'T@=SM b;>J(5WF(H+S•H]4'E4H^`(8DZF>@C. bT8'E4@=F>R5(@Lc'C'6''T= Dr+(L'E4S6(F5T@=•( . ( 9 ( 8 < . < 9 < S 5J)H+(  5‚.5 9558„5< ” 5” ‚.5955S„@=VDZF>Z(FSVDZF> Z<w(F+8sJ)(B5(H^H•T ( . ( Q9 ( F •< ”. < ”9 < ” J)H+SM+DZF>Z=)+8s(BP>5BJ6(B) < ”. 5=)H+'3L8_}(DZ`(4<J6(B)< ”. UF=> @=SMb5QHE>@=46DZF>ZS6< ”. -EFF=>)R> B'T@=SMb;>J(5T@=SMb+(L'E4 S6(F]@4HOH^T8Hf>H` !I7C !F>GE [...]... toán thử tính nguyên tố và tính hợp số Trong lý thuyết mật mã, bài toán này thường được sử dụng với các dữ liệu n là số nguyên Blum, tức các số nguyên dương có dạng tích của hai số nguyên tố lớn nào đó GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 18 Bài toán RSA (Rivest-Shamir-Adleman) : Cho số nguyên dương n là tích của hai số. .. dụng khi thực thi các hệ mật mã RSA cũng như nhiều hệ mật mã khác GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 21 3.2.4 Tính bảo mật của hệ mật mã RSA Độ an toàn của RSA được thiết kế dựa trên độ khó giải bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố n = p*q với 2 số nguyên tố bí mật lớn p, q Nếu ta chọn các số p, q khoảng 100 chữ số. .. Tính an toàn của một hệ mật mã Năm 1949, C Shannon công bố công trình Lý thuyết truyền thông của các hệ bí mật, đưa ra nhiều quan niệm làm cơ sở cho việc đánh giá tính bí mật của các hệ mật mã, trong đó có khái niệm tính bí mật hoàn toàn của một hệ mật mã được định nghĩa như sau: Cho hệ mật mã: S = (P , C , K , E , D ) GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết. .. Chọn e = 3674911, và tính được d = 422191 sao cho e.d≡ 1(modφ (n)) Một người dùng A có thể chọn khoá công khai là K' =(n =6012707, e = 3674911) vàgiữ khoá bí mật K'' =d =422191 Một đối tác B muốn gửi cho A một thông báox =5234673, sẽ dùng khoá công khai để tạo bản mật mã y =x e = GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 20 52346733674911mod6012707... lập mã E cho ta ký tự mã tương ứng y =E (K', x) C , và với ký tự mã y thuật toán giải mã D sẽ cho ta lại ký tự bản rõ x : D (K'', y) = D (K'', E (K', x)) =x Để xây dựng một hệ mật mã khoá công khai RSA, ta chọn trước một số nguyên n=p.q là tích của hai số nguyên tố lớn, chọn một số e sao cho gcd(e, φ (n)) =1, và tính số d sao cho e.d ≡ 1(modφ (n)) Mỗi cặp K =(K’,K''), với K' =(n,e) và K'' = d sẽ là một. .. xamod n và verk(x, y) = true ↔ x ≡ ybmod n, với x, y ∈ Zn Giá trị nvà b được công bố, trong khi giá trị p, q, a được giữbí mật GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 27 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN 4.1 Kết quả đạt được Bài tiểu luận sau khi hoàn thành đã tìm hiểu và trình bày được các vấn đề sau: Ứng dụng cơ bản của việc mã hóa (cụ.. .Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 11 Bài toán phân tích ra thừa sốnguyên tố Phân tích nhưtrên của các sốnguyên được gọi là phân tích ra thừa sốnguyêntố Có một quy trình khá đơn giản vềmặt ý tưởng đểthực hiện việc này : chỉviệclấy số n đem chia cho các sốnguyên tốnhỏ hơn (có trong sàng Ơ-ra-tô-xten) Tuy nhiên, khi nlà một sốlớn thì cách phân tích... chẳng hạn dễ là tính được trong thời gian đa thức (với đa GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 17 thức bậc thấp), còn khó là không tính được trong thời gian đa thức! Thực tế thì cho đến hiện nay, việc tìm và chứng minh một hàm số nào đó là không tính được trong thời gian đa thức còn là việc rất khó khăn, cho nên “khó” thường... Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 13 Dùng các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp, ta có thể định nghĩa các sự kiện hợp E1∪E2, và sự kiện giao E1∩E2 của hai sự kiện E1 và E2 bất kỳ Và ta có: 1) Giả sử E là một sự kiện Khi đó 0 ≤ p (E ) ≤ 1 và p( E ) = 1 - p (E ) Ngoài ra, p (Ω) = 1 và p()=0 2) Giả sử E1 và E2 là hai sự kiện Nếu E1⊆E2 thì p(E1) ≤ p(E2) Và cấp (E1∪E2)... cho bởi S = (P , C , K , E , D ) (1) trong đó P là tập ký tự bản rõ, C là tập ký tự bản mã, K là tập các khoá K , mỗi khoá K gồm có hai phần K =(K’,K''), K' là khoá công khai dành cho việc lập mật mã, còn GVHD: PGS TS Đỗ Văn Nhơn Học viên: Lê Duy Đắc Nhân Tiểu luận Toán cho KHMT: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng Trang 19 K'' là khoá bí mật dành cho việc giải mã Với mỗi ký tự bản rõ x P , thuật toán . ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH TIẾU LUẬN MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH: Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng . !F>GE bF@FP)6)*-eF>B8P8O=8_DZTj J(• CHƯƠNG 2: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT MẬT Mà 2.1 Số học các số nguyên. Thuật toán Euclide (SeF€@=P'^'6DZF>5€•‚5ƒ95ƒ.505.595„5=€ … @=P'^'6 DZF>SME85€ … •‚05.595„J)8j=>(DdG@L8_DZSBTU DZ`(6DZF>f)JQ<=>@eF>B8P8OQHbbF@FP SMWF6=A56SBTDdH^GHB`>BF@=6S6856 8HUDdH^Drj5A6'fT8DdH^@^<? 2.1.1. -45 (‡r@LJwD(F8I@fFJQ38(@/.=/956 6J];5>5JFH^@FM)8O1,|1;…/12,>•J5=)H+SSBX6 A@s'hT6J]<•0i5B'@1(H^SBWF•/,5;•/9 =>•ƒ125s'DZh/95ƒ12i)8O1,|1/9…/12,hƒ12i•/, 2.1.2 Số nguyên tố và bái toán phân tích ra thừa số nguyên tố Số nguyên tố Ðịnh nghĩa:ZF>Z@=DZF>@C.5SM(B)DZ=) )=.=4+ZF>@C.SM'@=DZF>ZH^@=^' DZ ’]@4D(FHE>)8_FP)6HCHb;6H]6DZF>Z Ðịnh