Tiểu luận môn toán học cho khoa học máy tính Lý thuyết mật mã và một số ứng dụng

Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ường Đại họcng Đ i h cại học ọc viên thực hiện:Công Ngh Thông Tin, ĐHQG TP.HCM đã t n tình hện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ướng dẫn:ng d n, cung c

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NG Đ I H C CÔNG NGH THÔNG TIN ẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Ệ THÔNG TIN

TIẾU LUẬN MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH:

Lý thuyết mật mã

và một số ứng dụng

Gi ng viên hảng viên hướng dẫn: ướng dẫn:ng d n:ẫn: PGS TS Đ VĂN NH NỖ VĂN NHƠN ƠN

H c viên th c hi n:ọc viên thực hiện: ực hiện: ện: LÊ DUY Đ C NHÂNẮC NHÂN

L p: Cao h c Khóa 8ớng dẫn: ọc viên thực hiện: MSHV: CH1301045

TP H Chí Minh, tháng 01 năm 2014ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014

Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n PGS TS Đ Văn Nh n, trỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ỗ Văn Nhơn, trường Đại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ường Đại họcng Đ i h cại học ọc viên thực hiện:Công Ngh Thông Tin, ĐHQG TP.HCM đã t n tình hện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ướng dẫn:ng d n, cung c p ki n th c,ẫn: ấp kiến thức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ức,truy n đ t nh ng kinh nghi m quí báu giúp em hoàn thành t t bài thu ho ch này.ại học ện: ốt bài thu hoạch này ại họcXin cám n cha, m , các anh, ch em trong gia đình đã h tr , lo l ng và đ ng viên.ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ỗ Văn Nhơn, trường Đại học ợ, lo lắng và động viên ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ộng viên.

Đ ng th i, xin cám n t t c các b n l p cao h c khóa 08 đã ng h , giúp đ tôiồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ờng Đại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ại học ớng dẫn: ọc viên thực hiện: ủng hộ, giúp đỡtôi ộng viên ỡtôitrong quá trình th c hi n bài ti u lu n này.ực hiện: ện: ểu luận này ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,

Dù đã có nhi u c g ng nh ng ch c ch n sẽ không tránh kh i nh ng thi uốt bài thu hoạch này ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ư ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcsót,em r t mong nh n đấp kiến thức, ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c s đóng góp ý ki n c a các Th y giáo, Cô giáo và cácực hiện: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ủng hộ, giúp đỡtôi ầy giáo, Cô giáo và các

b n đ đ tài này đại học ểu luận này ượ, lo lắng và động viên.c hoàn thi n h n.ện: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

Em xin chân thành c m n!ảng viên hướng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

Tp H Chí Minh, tháng 12 năm 2013ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014

H c viênọc viên thực hiện:

Lê Duy Đ c Nhânắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

(C a gi ng viên h ủng hộ, giúp đỡtôi ảng viên hướng dẫn: ướng dẫn: ng d n) ẫn:

L I C M N ỜI CẢM ƠN ẢM ƠN ƠN 3

CH ƯƠN NG 1: T NG QUAN ỔNG QUAN 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Ý nghĩa 1

1.3 Nội dung thực hiện 1

CH ƯƠN NG 2: C S TOÁN H C C A LÝ THUY T M T MÃ ƠN Ở TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT MẬT MÃ ỌC CỦA LÝ THUYẾT MẬT MÃ ỦA LÝ THUYẾT MẬT MÃ ẾT MẬT MÃ ẬT MÃ 3

2.1 Số học các số nguyên Thuật toán Euclide 3

2.1.1 Tính chia hết của các số nguyên 3

2.1.2 Số nguyên tố và bái toán phân tích ra thừa số nguyên tố 5

2.1.3 Đồng dư và phương trình đồng dư tuyến tính 7

2.2 Xác suất và thuật toán xác suất 8

2.2.1 Khái niệm xác suất 8

2.2.2 Tính an toàn của một hệ mật mã 9

2.2.3 Thuật toán xác suất 11

2.3 Độ phức tạp thuật toán 12

2.3.1 Khái niệm về độ phức tạp tính toán 12

2.3.2 Hàm một phía và cửa sập một phía 12

CH ƯƠN NG 3: H M T MÃ KHÓA CÔNG KHAI - RSA Ệ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI - RSA ẬT MÃ 13

3.1Giới thiệu mở đầu 13

3.1.1 Sự ra đời của mã hóa công khai 13

3.1.2 Một số bài toán cơ bản 13

3.2 Hệ mật mã khóa công khai RSA 14

3.2.1 Một số bài toán cơ bản 14

3.2.2 Thuật toán sinh khóa 15

3.2.3 Thực hiện hệ mật mã RSA 15

3.2.4 Tính bảo mật của hệ mật mã RSA 16

3.2.5 Chi phí và tốc độ thực hiện của thuật toán RSA 16

3.2.6 Một số phương pháp tấn công hệ mã RSA 16

3.3 Chữ ký điện tử - Ứng dụng thuật toán RSA 20

CH ƯƠN NG 4: K T LU N ẾT MẬT MÃ ẬT MÃ 22

4.1 Kết quả đạt được 22

4.2 Hạn chế 22

CH ƯƠN NG 1: T NG QUAN ỔNG QUAN

B o m t thông tin luôn là v n đ quan tr ng hàng đ u trong các lĩnh v c tìnhảng viên hướng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ấp kiến thức, ọc viên thực hiện: ầy giáo, Cô giáo và các ực hiện:báo, quân s , ngo i giao, và đây cũng là m t v n đ đã đực hiện: ại học ộng viên ấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c nghiên c u hàng nghìnức,năm nay B o m t thông tin là duy trì tính b o m t, tính toàn v n và tính s n sàngảng viên hướng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ẵn sàng

c a thông tin B o m t nghĩa là đ m b o thông tin ch đủng hộ, giúp đỡtôi ảng viên hướng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ảng viên hướng dẫn: ỉ được tiếp cận bởi những ượ, lo lắng và động viên.c ti p c n b i nh ngết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ởi những

ngường Đại học ượ, lo lắng và động viên ấp kiến thức,i đ c c p quy n tươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng ng Tính toàn v n là b o v s chính xác, hoàn ch nhức, ảng viên hướng dẫn: ện: ực hiện: ỉ được tiếp cận bởi những

c a thông tin và thông tin ch đủng hộ, giúp đỡtôi ỉ được tiếp cận bởi những ượ, lo lắng và động viên.c thay đ i b i nh ng ngổi bởi những người được cấp quyền Tính ởi những ường Đại học ượ, lo lắng và động viên ấp kiến thức,i đ c c p quy n Tính

s n sàng c a thông tin là nh ng ngẵn sàng ủng hộ, giúp đỡtôi ường Đại học ượ, lo lắng và động viên.i đ c quy n s d ng có th truy xu t thôngử dụng có thể truy xuất thông ụng ểu luận này ấp kiến thức,tin khi h c n V n đ b o m t đang đọc viên thực hiện: ầy giáo, Cô giáo và các ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c nhi u ngường Đại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,i t p trung nghiên c u và tìmức,

m i gi i pháp đ đ m b o an toàn, an ninh cho h th ng ph n m m, đ c bi t là cácọc viên thực hiện: ảng viên hướng dẫn: ểu luận này ảng viên hướng dẫn: ảng viên hướng dẫn: ện: ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ặc biệt là các ện:

h th ng thông tin trên m ngện: ốt bài thu hoạch này ại học

Internet cho phép m i ngọc viên thực hiện: ường Đại họci truy c p, khai thác và chia s thông tin M t khác nóận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ẻ thông tin Mặt khác nó ặc biệt là cáccũng là nguy c chính d n đ n thông tin b rò r ho c b phá ho i Lúc này vi c b oơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ỉ được tiếp cận bởi những ặc biệt là các ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ại học ện: ảng viên hướng dẫn:

m t an toàn d li u là v n đ th i s , là m t ch đ r ng có liên quan đ n nhi uận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ện: ấp kiến thức, ờng Đại học ực hiện: ộng viên ủng hộ, giúp đỡtôi ộng viên ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họclĩnh v c và trong th c t có nhi u phực hiện: ực hiện: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp đượ, lo lắng và động viên.c th c hi n đ đ m b o dực hiện: ện: ểu luận này ảng viên hướng dẫn: ảng viên hướng dẫn:

li u Nh m tìm hi u m t trong nh ng phện: 3 ểu luận này ộng viên ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp b o v an toàn thông tin có tínhảng viên hướng dẫn: ện:

an toàn cao hi n nay là dùng h m t mã khoá công khai RSA và đ a ra m t vài ngện: ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ư ộng viên ức,

d ng c a m t mã khoá công khai: S d ng ch ký s trong vi c xác th c, mã hóa vàụng ủng hộ, giúp đỡtôi ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ử dụng có thể truy xuất thông ụng ốt bài thu hoạch này ện: ực hiện:

gi i mã các t p tin ảng viên hướng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,

phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp mã hoá khóa công khai Nêu đượ, lo lắng và động viên.c các u đi m và như ểu luận này ượ, lo lắng và động viên.c đi m c a haiểu luận này ủng hộ, giúp đỡtôi

phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp này, trình bày chi ti t h m t mã khóa công khai RSA, lý thuy t chungết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

v mô hình ch ký s , các lốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c đ ch ký s c th , đồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ốt bài thu hoạch này ụng ểu luận này ượ, lo lắng và động viên.c xây d ng trên m t mã hoáực hiện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,khoá công khai

Bài ti u lu n sẽ tìm hi u và trình bày v các v n đ chính sau:ểu luận này ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ểu luận này ấp kiến thức,

a) Tìm hi u v m t s đ nh nghĩa trong ểu luận này ộng viên ốt bài thu hoạch này ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên lý thuy t m t mã ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, nh :ư

o Khát quát v m t mã, khái ni m v h m t mã khoá bí m t và h m t mãận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ện: ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,khoá công khai

o Lý thuy t chung v các phết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp mã hoá: phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp mã hoá khóa bí

m t và phận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp mã hoá khóa công khai, nêu đượ, lo lắng và động viên.c các u đi m vàư ểu luận này

nhượ, lo lắng và động viên.c đi m c a hai phểu luận này ủng hộ, giúp đỡtôi ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp này Trình bày chi ti t h m t mã khóaết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,công khai RSA…

b) C s lý thuy t toán h c c a lý thuy t m t mãơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ởi những ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ọc viên thực hiện: ủng hộ, giúp đỡtôi ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, :

o S nguyên t và phân tích ra th a s nguyên tốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ừa số nguyên tố ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này

o Tính toán đ ng d và tính logarit r i r c.ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư ờng Đại học ại học

o Ướng dẫn:c chung c a hai s và nh ng v n đ liên quanủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức,

c) H m t mã công khai RSAện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, :

o Phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp mã hóa RSA

o Ưu khuy t đi m ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ểu luận này

o Đ an toàn khi mã hóa d li u b ng phộng viên ện: 3 ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp RSA

-CH ƯƠN NG 2: C S TOÁN H C C A LÝ THUY T M T MÃ ƠN Ở TOÁN HỌC CỦA LÝ THUYẾT MẬT MÃ ỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ỦA LÝ THUYẾT MẬT MÃ ẾT MẬT MÃ ẬN XÉT

2.1 S h c các s nguyên Thu t toán Euclide ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ọc các số nguyên Thuật toán Euclide ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ật toán Euclide

Ta ký hi u Z là t p h p các s nguyên, Z = { ,-2,-1,0,1,2, }, và Zện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này + là t p h pận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên.các s nguyên không âm, Zốt bài thu hoạch này += {0,1,2, } Trong m c này ta sẽ nh c l i m t s ki nụng ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ại học ộng viên ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

th c v s h c c a các s nguyên c n cho vi c trình bày lý thuy t m t mã Vì đức, ốt bài thu hoạch này ọc viên thực hiện: ủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ện: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ểu luận này

ti u lu n không quá dài dòng, các ki n th c sẽ đểu luận này ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ức, ượ, lo lắng và động viên.c nh c đ n ch y u là cácắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ủng hộ, giúp đỡtôi ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họckhái ni m, các m nh đ sẽ đện: ện: ượ, lo lắng và động viên ử dụng có thể truy xuất thông ụngc s d ng, v.v còn các ph n ch ng minh sẽ đầy giáo, Cô giáo và các ức, ượ, lo lắng và động viên.c

lượ, lo lắng và động viên.c b ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

2.1.1 Tính chia h t c a các s nguyên ết của các số nguyên ủa các số nguyên ố học các số nguyên Thuật toán Euclide

T p h p Z là đóng kín đ i v i các phép c ng, tr và nhân, nh ng không đóngận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ộng viên ừa số nguyên tố ưkín đ i v i phép chia: chia m t s nguyên cho m t s nguyên không ph i bao giốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ộng viên ốt bài thu hoạch này ộng viên ốt bài thu hoạch này ảng viên hướng dẫn: ờng Đại họccũng đượ, lo lắng và động viên.c k t qu là m t s nguyên! Vì v y, trết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ộng viên ốt bài thu hoạch này ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ường Đại họcng h p chia h t, t c khi chia sợ, lo lắng và động viên ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ức, ốt bài thu hoạch này.nguyên a cho s nguyên b đốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c thươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng là m t s nguyên q, a = b.q, có m t ýộng viên ốt bài thu hoạch này ộng viên.nghĩa đ c bi t Khi đó, ta nói a chia h t cho b, b chia h t a, a là b i s c a b, b làặc biệt là các ện: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ộng viên ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi

c s c a a, và ký hi u là b|a D th y ngay r ng s 1 là c s c a m i sướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ện: ễ thấy ngay rằng số 1 là ước số của mọi số ấp kiến thức, 3 ốt bài thu hoạch này ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này.nguyên b t kỳ, s 0 là b i s c a m i s nguyên b t kỳ, m i s nguyên a là ấp kiến thức, ốt bài thu hoạch này ộng viên ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ướng dẫn:c

s , đ ng th i là b i s , c a chính nó.ốt bài thu hoạch này ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ờng Đại học ộng viên ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi

Cho hai s nguyên b t kỳ a và b, b>1 Th c hi n phép chia a cho b ta sẽ đốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ực hiện: ện: ượ, lo lắng và động viên.chai s q và r sao cho: ốt bài thu hoạch này

a = b.q + r , 0 < r < b

S q đốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c g i là s thọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng c a phép chia a cho b, ký hi u a div b, và s r đủng hộ, giúp đỡtôi ện: ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c

g i là s d c a phép chia a cho b, ký hi u a mod b ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ư ủng hộ, giúp đỡtôi ện:

Ví

dụ : 25 div 7 = 3 và 25 mod 7 = 4, -25 div 7 = -4 và -25 mod 7 = 3.

M t s nguyên d động viên ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên ọc viên thực hiện:c g i là ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung c a hai s nguyên a và b n u d|a vàủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcd|b S nguyên d đốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên ọc viên thực hiện:c g i là ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung l n nh t c a a và b n u d > 0, d là ớng dẫn: ấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn:c

s chung c a a và b, và m i ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ọc viên thực hiện: ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung c a a và b đ u là ủng hộ, giúp đỡtôi ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôic s c a d Ta ký

hi u ện: ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung l n nh t c a a và b là gcd(a,b) ớng dẫn: ấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi

Ví dụ: gcd(12,18) = 6, gcd(-18, 27) = 3.

D th y r ng v i m i s nguyên dễ thấy ngay rằng số 1 là ước số của mọi số ấp kiến thức, 3 ớng dẫn: ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng a ta có gcd(a,0)=a, ta cũng sẽ qui ướng dẫn:cxem r ng gcd(0, 0) = 0.3

M t s nguyên a>1 động viên ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên ọc viên thực hiện:c g i là s nguyên t , n u a không có ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s nào ngoài

1 và chính a; và đượ, lo lắng và động viên ọc viên thực hiện:c g i là h p s , n u không ph i là nguyên tợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này

V í dụ : Các s 2 ,3 , 5, 7 là s nguyên t ; các s 4, 6, 8, 10,12, 14, 15 là h p s ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này.Hai s a và b đốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c g i là nguyên t v i nhau, n u chúng không có ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn:c sốt bài thu hoạch này.chung nào khác 1, t c là n u gcd(a,b) =1.ức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

M t s nguyên n > 1 b t kỳ đ u có th vi t dộng viên ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ểu luận này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn: ại họci d ng:

n= p1α1 p2α2 pk α k

trong đó p1, p2, , pk là các s nguyên t khác nhau; ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này α1, α2, , αk là các s mũốt bài thu hoạch này.nguyên dươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng N u không k th t các th a s nguyên t , thì d ng bi u di nết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ểu luận này ức, ực hiện: ừa số nguyên tố ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ại học ểu luận này ễ thấy ngay rằng số 1 là ước số của mọi số

đó là duy nh t, ta g i đó là d ng khai tri n chính t c c a n Thí d d ng khaiấp kiến thức, ọc viên thực hiện: ại học ểu luận này ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ủng hộ, giúp đỡtôi ụng ại họctri n chính t c c a 1800 là 2ểu luận này ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ủng hộ, giúp đỡtôi 33252

V i hai s nguyên dớng dẫn: ốt bài thu hoạch này ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng a và b b t kỳ ta có quan h lcm(a,b).gcd(a,b) = a.bấp kiến thức, ện:

T đ nh lý 2.1.1 ta suy ra thu t toán sau đây th c hi n vi c tìm ừa số nguyên tố ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ực hiện: ện: ện: ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung

l n nh t c a hai s nguyên b t kỳ:ớng dẫn: ấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức,

Thu t toán Euclide tìm ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung l n nh tớng dẫn: ấp kiến thức, :

INPUT: hai s nguyên không âm a và b, v i a ≥b ốt bài thu hoạch này ớng dẫn:

OUTPUT: ướng dẫn: ốt bài thu hoạch này.c s chung l n nh t c a a và b.ớng dẫn: ấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôiB1 Trong khi còn b > 0, th c hi n:ực hiện: ện:

1.1 đ t r ←a mod b; ặc biệt là các1.2 đ t a ←b;ặc biệt là các

1.3 đ t b ← r;ặc biệt là cácB2 Cho ra k t qu (a).ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn:

V í dụ : Dùng thu t toán Euclide tìm gcd(4864, 3458), ta l n lận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ầy giáo, Cô giáo và các ượ, lo lắng và động viên ượ, lo lắng và động viên.t đ c các giá

tr gán cho các bi n a, b và r nh sau:ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ư

4864345814066461147638

3458140664611476380

140664611476380

Và thu t toán cho ta k t qu : gcd(4864, 3458) = 38.ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn:

Ta bi t r ng n u gcd(a,b) = d, thì phết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học 3 ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình b t đ nh a.x + b.y = d có ấp kiến thức, ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên

nghi m nguyên (x,y), và m t nghi m nguyên (x,y) nh v y có th tìm đện: ộng viên ện: ư ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ểu luận này ượ, lo lắng và động viên.c b i ởi nhữngthu t toán Euclide m r ng nh sau:ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ởi những ộng viên ư

Thu t toán Euclide m r ng: ật toán Euclide mở rộng: ở rộng: ộng:

INPUT: hai s nguyên không âm a và b v i a ≥bốt bài thu hoạch này ớng dẫn:

OUTPUT: d = gcd(a,b) và hai s x,y sao cho a.x + b.y = dốt bài thu hoạch này

1) N u b = 0 thì đ t d← a; x ←1; y ← 0; và cho ra (d,x,y)ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ặc biệt là các

2) Đ t x2 = 1, x1 = 0 , y2 = 0 , y1 = 1.ặc biệt là các

3) Trong khi còn b > 0, th c hi n:ực hiện: ện:

3.1 q←a div b; r ← a mod b; x ← x2 − q.x1; y ← y2 − q.y1;

3.2 a ←b; b ←r; x2 ← x1; x1← x; y2← y1 và y1←y;

4) Đ t d ← a, x ←x2, y ← y2, và cho ra k t qu (d, x, y)ặc biệt là các ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn:

Ví dụ: Dùng thu t toán Euclide m r ng cho các s a = 4864 và b =3458, ta l nận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ởi những ộng viên ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các

lượ, lo lắng và động viên ượ, lo lắng và động viên.t đ c các giá tr sau đây cho các bi n a, b, q, r, x, y, xị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học 1, x2, y1, y2 (sau m i chu ỗ Văn Nhơn, trường Đại họctrình th c hi n hai l nh 3.1 và 3.2):ực hiện: ện: ện:

thúc các vòng l p ( ng v i giá tr b = 0), th c hi n ti p l nh 4 ta đặc biệt là các ức, ớng dẫn: ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ực hiện: ện: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện: ượ, lo lắng và động viên.c k t qu d ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn:

= 38, x = 32 và y = -45, c p s (32,-45) tho mãn: 4864.32 + 3458 (-45) = 38ặc biệt là các ốt bài thu hoạch này ảng viên hướng dẫn:

2.1.2 S nguyên t và bái toán phân tích ra th a s nguyên t ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ừa số nguyên tố ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ố học các số nguyên Thuật toán Euclide

S nguyên t ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ố học các số nguyên Thuật toán Euclide

Ð nh nghĩa: ịnh nghĩa: S nguyên t là s nguyên l n h n 1, không chia h t cho s t nhiênốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ực hiện:nào ngoài 1 và chính nó S nguyên l n h n 1 không ph i là s nguyên t đốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c g iọc viên thực hiện:

là h p s ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này

Ð nh lí sau đây cho m t thu t toán đ n gi n đ xác đ nh các s nguyênị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ộng viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ểu luận này ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này

t ốt bài thu hoạch này

Ð nh lí ịnh nghĩa: : H p s nph i có ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ảng viên hướng dẫn: ướng dẫn:c nguyên t không l n h n n.ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

Th t v y, khi nlà m t h p s thì ta có th vi t n = ab, trong đó avà blà cácận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ộng viên ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ểu luận này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

s nguyên th a mãn 1 abn <£< Rõ ràng ta ph i có aho c bkhông vốt bài thu hoạch này ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ặc biệt là các ượ, lo lắng và động viên.t quá n(vìtrong trường Đại họcng h p ngợ, lo lắng và động viên ượ, lo lắng và động viên ại họcc l i thì ab > n ) Gi s s không l n h n nlà a, khi đó ảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn:cnguyên t c a akhông th l n h n nvà rõ ràng cũng là ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ểu luận này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn:c nguyênt c a n Tốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ừa số nguyên tố

đ nh lí trên, ta có thu t toán sau đây ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,

Thu t toán tìm các s nguyên t nh h n ho c b ng s n ật toán Euclide mở rộng: ố nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số n ố nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số n ỏ hơn hoặc bằng số n ơn hoặc bằng số n ặc bằng số n ằng số n ố nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số n

Ta vi t dãy các s t nhiên t 1 đ n n Trết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ực hiện: ừa số nguyên tố ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ướng dẫn:c h t, ta g ch đi s 1, vì nó khôngết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ại học ốt bài thu hoạch này

ph i là s nguyên t S nguyên t đ u tiên c a dãy là 2 Ti p theo đó ta g ch kh iảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ủng hộ, giúp đỡtôi ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ại học ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcdãy t t c nh ng s l n h n 2 nh ng chia h t cho 2 (cũng t c là g ch đi toànấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ư ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ức, ại học

b s ch n l n h n 2) S đ u tiên trong các s còn l i (không chia h t cho 2) là 3:ộng viên ốt bài thu hoạch này ẵn sàng ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ốt bài thu hoạch này ại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

đó chính là s nguyên t Gi l i s 3, ta l i g ch kh i dãy còn l i nh ng s nào chiaốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ại học ốt bài thu hoạch này ại học ại học ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ại học ốt bài thu hoạch này

h t cho 3 nh ng đ ng sau s 3, s đ u tiên trong các s còn l i là s 5 : cũng chínhết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ư ức, ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ốt bài thu hoạch này ại học ốt bài thu hoạch này

là s nguyên t Gi l i s 5, ta l i g ch đi kh i dãy nh ng s đ ng sau s 5 và chiaốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ại học ốt bài thu hoạch này ại học ại học ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ức, ốt bài thu hoạch này.

h tcho 5 S đ u tiên trong các s còn l i cũng sẽlà m t s nguyên t Ti p t cết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ốt bài thu hoạch này ại học ộng viên ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ụngquá trình trên, ta g ch đi kh i dãy nh ng s l n h n s này l i mà chia h t cho nó.ại học ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcQuátrình này ti p di n cho t i khi s đ u tiên còn l i (sau m t l n g ch nào đó)ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ễ thấy ngay rằng số 1 là ước số của mọi số ớng dẫn: ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ại học ộng viên ầy giáo, Cô giáo và các ại học

là m t s nguyên t không nh h n n Khi y, t t c nh ng s còn l i c a dãy đ uộng viên ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ấp kiến thức, ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ại học ủng hộ, giúp đỡtôi

là nh h n hay b ng nvà không có ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học 3 ướng dẫn:c nguyên t vốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.t quá n Theo đ nh lí trên,ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên

nh ng s còn l i này không th là h p s , hay nói cách khác, chúng đ u là cácốt bài thu hoạch này ại học ểu luận này ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này

s nguyên t Rõ ràng, đ nh lí này giúp ta gi m đốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ảng viên hướng dẫn: ượ, lo lắng và động viên.c kh i lốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.ng công vi c m tện: ộng viên.cách đáng k Ví d , v i n= 100 ta ch c n ti n hành công vi c cho t i g ch h tểu luận này ụng ớng dẫn: ỉ được tiếp cận bởi những ầy giáo, Cô giáo và các ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện: ớng dẫn: ại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

nh ng s là b i c a 7 (vì s đ u tiên còn l i sau l n g ch này đã là 11 > 10 = ốt bài thu hoạch này ộng viên ủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ại học ầy giáo, Cô giáo và các ại học √100); v i n=10000 ta ch c n ti n hành công vi c cho t i khi g ch xong các các s làớng dẫn: ỉ được tiếp cận bởi những ầy giáo, Cô giáo và các ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện: ớng dẫn: ại học ốt bài thu hoạch này

b i c a 97 (vì s đ u tiên còn l i sau l n g ch này đã là 101> 100 = ộng viên ủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ầy giáo, Cô giáo và các ại học ầy giáo, Cô giáo và các ại học √10000 ).Quy trình trên còn có tên g i là sàng -ra-tô-xten (Eratosthenes) Tuy r tọc viên thực hiện: ƠN ấp kiến thức,

m ch l c và đ n gi n v ý tại học ại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ưởi nhữngng, nh ng khi làm vi c v i các s l n thì quy trìnhư ện: ớng dẫn: ốt bài thu hoạch này ớng dẫn:này r t ít đấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c s d ng trong vi c tìm các s nguyên t cũng nh xác đ nh xemử dụng có thể truy xuất thông ụng ện: ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ư ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên

m t s đãcho có ph i là s nguyên t hay không Lí do là s lộng viên ốt bài thu hoạch này ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.ng phép tính trongquy trình này quá l n, khi nlà m t s l n Ví d , khi ncó kho ng 100 ch s th pớng dẫn: ộng viên ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ụng ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,phân thì v i nh ng máy tính th c hi n m t tri u phép tính trong m t giây, th iớng dẫn: ực hiện: ện: ộng viên ện: ộng viên ờng Đại họcgian c n thi t sẽvào kho ng 3,1.10ầy giáo, Cô giáo và các ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: 36năm!

Đ nh lí c b n c a s h c ịnh nghĩa: ơbản của sốhọc ản của sốhọc ủa các số nguyên ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ọc các số nguyên Thuật toán Euclide

Ð nh lí ịnh nghĩa: M i s nguyên l n h n1 đ u phân tích đọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ượ, lo lắng và động viên.c m t cách duy nh t thànhộng viên ấp kiến thức,tích

các s nguyên t ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này

Ch ng minh ứng minh : B ng ph n ch ng, gi s t n t i nh ng s nguyên l n h n 1 mà3 ảng viên hướng dẫn: ức, ảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ại học ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họckhông vi t đết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ượ, lo lắng và động viên.c thành tích các s nguyên t Dĩnhiên nh ng s nh v y ph i làốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ư ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn:

nh ng h p s G i nlà s bé nh t trong các s đó Vì nlà h p s nên nó có d ng n =ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ốt bài thu hoạch này ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ại học

ab, v i a, blà nh ng s t nhiên bé h n n Do đ nh nghĩa s n, m i s bé h n nph iớng dẫn: ốt bài thu hoạch này ực hiện: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ọc viên thực hiện: ốt bài thu hoạch này ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn:phân tích đượ, lo lắng và động viên.c thành tích các s nguyên t , cho nên các s avà bphân tích đốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.cthành tích các s nguyên t , t c làốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ức, a = p 1 p 2 p r , b = q 1 q 2 q s, strong đó pi, i ∈ {1,2, ,r} ,qj, j ∈ {1, 2, ,s}, là nh ng s nguyên t T đây suy raốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ừa số nguyên tố n = p 1 p 2 p r q 1 q 2 q s, và

nh v y ncũng phân tích đư ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c thành tích các s nguyên t Đi u này mâu thu nốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ẫn:

v i gi thi t là nkhông th phân tích đớng dẫn: ảng viên hướng dẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ểu luận này ượ, lo lắng và động viên.c Mâu thu n này cho th y r ng gi thi tẫn: ấp kiến thức, 3 ảng viên hướng dẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

ph n ch ng là không th x y ra, qua đó kh ngđ nh tính phân tích đảng viên hướng dẫn: ức, ểu luận này ảng viên hướng dẫn: ẳngđịnh tính phân tích đượccủa mọi ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ượ, lo lắng và động viên ủng hộ, giúp đỡtôicc a m iọc viên thực hiện:

s nguyên l n h n 1.ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

Đ ch ng minh phân tích là duy nh t, ta l i dùng phểu luận này ức, ấp kiến thức, ại học ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng pháp ph n ch ng vàảng viên hướng dẫn: ức,

gi s ncó hai d ng phân tích khác nhau, t c là ảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ại học ức, n = a 1 a 2 a m b 1 b 2 b k, trong đó ai, i ∈

{1, 2, ,m}, bj, j ∈ {1, 2, ,k}là nh ng s nguyên t Sau khi gi n ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ảng viên hướng dẫn: ướng dẫn:cnh ng

s nguyên t b ng nhau có m t trong hai v , ta đốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này 3 ặc biệt là các ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ượ, lo lắng và động viên.c đ ng th c ẳngđịnh tính phân tích đượccủa mọi ức,

a i1 a ì2 a iu = b j1 b j2 b jv

trong đó không có s nguyên t nào có m t c hai v Nh v y, v trái chia h t ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ặc biệt là các ảng viên hướng dẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ư ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họccho

bj1 , và do đó ph i t n t i m t th a s c a tích bên trái chia h t cho bảng viên hướng dẫn: ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ại học ộng viên ừa số nguyên tố ốt bài thu hoạch này ủng hộ, giúp đỡtôi ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học j1 Đi u nàylàkhông th , vì đây là tích các s nguyên t khác v i bểu luận này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: j1 Mâu thu n này cho th yẫn: ấp kiến thức,

gi thi t ph n ch ng là không th x y ra, t c là nkhông th có hai d ng phân tíchảng viên hướng dẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ức, ểu luận này ảng viên hướng dẫn: ức, ểu luận này ại họckhác nhau.Đ nh lí đã đị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ượ, lo lắng và động viên.c ch ng minh đ y đ ức, ầy giáo, Cô giáo và các ủng hộ, giúp đỡtôi

Bài toán phân tích ra th a s nguyên t ừa số nguyên tố ố học các số nguyên Thuật toán Euclide ố học các số nguyên Thuật toán Euclide

Phân tích nh trên c a các s nguyên đư ủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ượ, lo lắng và động viên.c g i là phân tích ra th aọc viên thực hiện: ừa số nguyên tố

s nguyênt Có m t quy trình khá đ n gi n v m t ý tốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ộng viên ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ặc biệt là các ưởi nhữngng đ th c hi n vi cểu luận này ực hiện: ện: ện:này : ch vi cl y s n đem chia cho các s nguyên t nh h n ỉ được tiếp cận bởi những ện: ấp kiến thức, ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học √n(có trong sàng -ƠNra-tô-xten) Tuy nhiên, khi nlà m t s l n thì cách phân tích này là không kh thi.ộng viên ốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ảng viên hướng dẫn:Nói chung,bài toán phân tích m t s ra các th a s nguyên t cho đ n hi n nayộng viên ốt bài thu hoạch này ừa số nguyên tố ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện:

v n là m t bàitoán h t s c khó khăn Ð hình dung đẫn: ộng viên ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ức, ểu luận này ượ, lo lắng và động viên.c ph n nào tính ph c t pầy giáo, Cô giáo và các ức, ại học

c a v n đ , ta xem b ng dủng hộ, giúp đỡtôi ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ướng dẫn:i đây đ bi t kho ng th i gian c n thi t cho vi cểu luận này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ảng viên hướng dẫn: ờng Đại học ầy giáo, Cô giáo và các ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện:phân tích m t s nguyên nra th a s nguyên t b ng thu t toán nhanh nh t động viên ốt bài thu hoạch này ừa số nguyên tố ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này 3 ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c

bi t hi n nay (ta xem r ng máy tính s d ng vào vi c này có t c đ 1 tri u phépết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ện: 3 ử dụng có thể truy xuất thông ụng ện: ốt bài thu hoạch này ộng viên ện:tính trong 1 giây)

S ch s th p phân ốt bài thu hoạch này ốt bài thu hoạch này ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, Th i gian ờng Đại học

200 3,8 t năm ỉ được tiếp cận bởi nhữngTuy nhiên, m t đi u kì di u là chính s "hóc búa" c a bài toán này l i mangộng viên ện: ực hiện: ủng hộ, giúp đỡtôi ại học

đ nm t gi i pháp đ c đáo trong ng d ng c a s h c vào mã hóa thông tin hi nết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ộng viên ảng viên hướng dẫn: ộng viên ức, ụng ủng hộ, giúp đỡtôi ốt bài thu hoạch này ọc viên thực hiện: ện:

đ i,đại học ượ, lo lắng và động viên.c xem nh là cu c cách m ng trong l ch s công ngh m t mã.ư ộng viên ại học ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ử dụng có thể truy xuất thông ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,

2.1.3 Đ ng d và ph ồng dư và phương trình đồng dư tuyến tính ư và phương trình đồng dư tuyến tính ư và phương trình đồng dư tuyến tínhơbản của sốhọc ng trình đ ng d tuy n tính ồng dư và phương trình đồng dư tuyến tính ư và phương trình đồng dư tuyến tính ết của các số nguyên

Cho n là m t s nguyên dộng viên ốt bài thu hoạch này ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng Ta nói hai s nguyên a và b là đ ng d v iốt bài thu hoạch này ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư ớng dẫn:nhau theo môđun n , và vi t a ≡ b (ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học mod n ), n u n|a−b (t c cũng là n u a − b chiaết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ức, ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

h t cho n, hay khi chia a và b cho n ta đết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ượ, lo lắng và động viên.c cùng m t s d nh nhau)ộng viên ốt bài thu hoạch này ư ư

Ví d : ụ 23 ≡ 8 (mod 5 ), vì 23 − 8 = 5.3, -19 ≡ 9 (mod 7) vì -19 − 9 = -4.7

Quan h đ ng d (theo m t môđun n) trên t p h p các s nguyên có các tínhện: ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư ộng viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này

ch t ph n x , đ i x ng và b c c u, t c là m t quan h tấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ại học ốt bài thu hoạch này ức, ắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ầy giáo, Cô giáo và các ức, ộng viên ện: ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng đươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng, do đó nó

t o ra m t phân ho ch trên t p h p t t c các s nguyên Z thành ra các l pại học ộng viên ại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ốt bài thu hoạch này ớng dẫn:

tươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng đươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng: hai s nguyên thu c cùng m t l p tốt bài thu hoạch này ộng viên ộng viên ớng dẫn: ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng đươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng khi và ch khiỉ được tiếp cận bởi nhữngchúng cho cùng m t s d n u chia cho n M i l p tộng viên ốt bài thu hoạch này ư ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ỗ Văn Nhơn, trường Đại học ớng dẫn: ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng đươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng nh v y đư ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c

đ i di n b i m t s duy nh t trong t p h p Zn = {0, 1, 2, 3, , n -1}, là s dại học ện: ởi những ộng viên ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ưchung khi chia các s trong l p đó cho n Vì v y, ta có th đ ng nh t Zn v i t pốt bài thu hoạch này ớng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ểu luận này ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ấp kiến thức, ớng dẫn: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,

h p t t c các l p tợ, lo lắng và động viên ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ớng dẫn: ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng đươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng các s nguyên theo ốt bài thu hoạch này mod n; trên t p đó ta có thận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ểu luận này.xác đ nh các phép tính c ng, tr và nhân theo ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ộng viên ừa số nguyên tố mod n

a.x 1 (mod n)

n u có s x nh v y thì ta nói a kh ngh ch, và ký hi u x là aết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ốt bài thu hoạch này ư ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ện: -1(mod n)

Ví d : ụ 22-1 mod 25 =8, vì 22.8=176  1(mod 25) T đ nh nghĩa ta có th suy raừa số nguyên tố ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ểu luận này

r ng a là kh ngh ch theo 3 ảng viên hướng dẫn: ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên mod n khi và ch khi gcd(a,n)=1, t c là a và n nguyên tỉ được tiếp cận bởi những ức, ốt bài thu hoạch này.cùng nhau

Ta đ nh nghĩa phép chia trong Zị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên n nh sau: a:b (ư mod n) = a.b-1 mod n Phép chia

ch th c hi n đỉ được tiếp cận bởi những ực hiện: ện: ượ, lo lắng và động viên.c khi b là kh ngh ch theo ảng viên hướng dẫn: ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên mod n

Ví dụ 15 : 22 (mod 25) = 15.22-1mod 25 = 20

Bây gi ta xét các phờng Đại học ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình đ ng d tuy n tính.ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học

Phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình đ ng d tuy n tính có d ng:ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ại học

trong đó a, b, n là các s nguyên, n>0, x là n s Phốt bài thu hoạch này ẩn số Phương trình đó có nghiệm khi ốt bài thu hoạch này ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình đó có nghi m khiện:

và ch khi d=gcd(a,n )|b, và khi đó nó có đúng d nghi m theo ỉ được tiếp cận bởi những ện: mod n

Th t v y, đ t a’ = a/d , b= b/d , n= n/d, ta th y phận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ặc biệt là các ấp kiến thức, ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình đ ng d (1)ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư

tươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng đươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng v i phớng dẫn: ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình:

a x ≡ b (mod n )

Vì gcd(a ,n) = 1, nên phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình này có m t nghi m theo ộng viên ện: mod n:

x = x0 ≡ b a-1(mod n )

Đ nh lý 2.2.1 ịnh nghĩa: (Đ nh lý s d Trung qu c)ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ốt bài thu hoạch này ư ốt bài thu hoạch này

Gi s các s nguyên nảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ốt bài thu hoạch này 1, n2, ,nk là t ng c p nguyên t v i nhau Khi đó,ừa số nguyên tố ặc biệt là các ốt bài thu hoạch này ớng dẫn:

h phện: ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình đ ng d tuy n tính (2) có m t nghi m duy nh t theo mod n.ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ư ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ộng viên ện: ấp kiến thức,Nghi m duy nh t nói trong đ nh lý 2.2.1 đện: ấp kiến thức, ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ượ, lo lắng và động viên.c cho b i bi u th cởi những ểu luận này ức,

Ví d : ụ C p phặc biệt là các ươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng trình x ≡ 3 (mod 7) và x ≡ 7 (mod 13) có m t nghi m duyộng viên ện:

đó V sau ta ch xét các không gian r i r c, t c t p Ω là h u h n, gi s Ω= {sỉ được tiếp cận bởi những ờng Đại học ại học ức, ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ại học ảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông 1 , s2, , sn}

M t phân b xác su t P trên Ω động viên ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ượ, lo lắng và động viên.c đ nh nghĩa là m t t p các s th c khôngị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ộng viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ốt bài thu hoạch này ực hiện:

âm P = { p1, p2, ,pn} có t ng ∑pổi bởi những người được cấp quyền Tính i = 1 S pốt bài thu hoạch này i đượ, lo lắng và động viên.c coi là xác su t c a s ki n s c p sấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi ực hiện: ện: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ấp kiến thức, i

M t t p con Eộng viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức,  đượ, lo lắng và động viên.c g i là m t s ki n Xác su t c a s ki n E đọc viên thực hiện: ộng viên ực hiện: ện: ấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi ực hiện: ện: ượ, lo lắng và động viên.c đ nhị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên

nghĩa b i p(E)= ởi những ∑

s∈E

p(s)

Gi s E là m t s ki n trong không gian xác su t Ω Ta đ nh nghĩa s ki n bù ảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ộng viên ực hiện: ện: ấp kiến thức, ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ực hiện: ện:

c a E, ký hi u ủng hộ, giúp đỡtôi ện: E , là s ki n g m t t c các s ki n s c p trong Ω mà không ực hiện: ện: ồ Chí Minh, tháng 01 năm 2014 ấp kiến thức, ảng viên hướng dẫn: ực hiện: ện: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ấp kiến thức,

thu c E Dùng các thu t ng c a lý thuy t t p h p, ta có th đ nh nghĩa các s ộng viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ợ, lo lắng và động viên ểu luận này ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ực hiện:

ki n h p Eện: ợ, lo lắng và động viên 1E2, và s ki n giao Eực hiện: ện: 1E2 c a hai s ki n Eủng hộ, giúp đỡtôi ực hiện: ện: 1 và E2 b t kỳ Và ta có:ấp kiến thức,1) Gi s E là m t s ki n ảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ộng viên ực hiện: ện: Khi đó 0 ≤ p (E ) ≤ 1 và p( E ) = 1 - p (E )

Ngoài ra, p (Ω) = 1 và p()=0

2) Gi s Eảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông 1 và E2 là hai s ki n N u Eực hiện: ện: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học 1⊆E2 thì p(E1) ≤ p(E2)

Và c p (Eấp kiến thức, 1∪E2) + p(E1 ∩E2) =p(E1) + p(E2) Do đó p(E1∪E2)=p(E1) + p(E2) khi và

ch khi Eỉ được tiếp cận bởi những 1 ∩E2 = , t c là khi Eức, 1 và E2 là hai s ki n lo i tr l n nhau.ực hiện: ện: ại học ừa số nguyên tố ẫn:

Cho E1 và E2 là hai s ki n, v i p(Eực hiện: ện: ớng dẫn: 2) > 0 Ta đ nh nghĩa xác su t có đi u ki nị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên ấp kiến thức, ện:

c a Eủng hộ, giúp đỡtôi 1 khi có E2 , ký hi u p( Eện: 1| E2 ), là:

Ta nói hai s ki n Eực hiện: ện: 1 và E2 là đ c l p v i nhau, n u ộng viên ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ớng dẫn: ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học p( E1∩E2) =

p( E1) p( E2) Khi đó p( E1|E2) =p(E1) và p( E2|E1) =p(E2)

Gi s Ω là m t không gian m u v i m t phân b xác su t P Ta g i m t đ iảng viên hướng dẫn: ử dụng có thể truy xuất thông ộng viên ẫn: ớng dẫn: ộng viên ốt bài thu hoạch này ấp kiến thức, ọc viên thực hiện: ộng viên ại học

lượ, lo lắng và động viên.ng ng u nhiên trên Ω là m t ánh x gán cho m i sẫn: ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s ộng viên ại học ỗ Văn Nhơn, trường Đại học  m t s th c ộng viên ốt bài thu hoạch này ực hiện: (s) Hi nểu luận này.nhiên, n u và là các đ i lết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s : ại học ượ, lo lắng và động viên.ng ng u nhiên trên Ω, thì + , đẫn: ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s : ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s : ượ, lo lắng và động viên ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên.c đ nh nghĩa

E( )=ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s ∑

s∈

ξ( s) p(s)

Phươn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại họcng sai c a đ i lủng hộ, giúp đỡtôi ại học ượ, lo lắng và động viên.ng ng u nhiên có giá tr trung bình ẫn: ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s ị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên  đượ, lo lắng và động viên.c đ nhị em trong gia đình đã hỗ trợ, lo lắng và động viên.nghĩa là Var( )=E(( -ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s )2)

Căn b c hai không âm c a Var( ) đận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s ượ, lo lắng và động viên ọc viên thực hiện:c g i là đ l ch chu n c a ộng viên ện: ẩn số Phương trình đó có nghiệm khi ủng hộ, giúp đỡtôi ξ trên Ω là một ánh xạ gán cho mỗi s

2.2.2 Tính an toàn c a m t h m t mã ủa các số nguyên ội dung thực hiện ện ật toán Euclide

Năm 1949, C Shannon công b công trình Lý thuy t truy n thông c a các h ốt bài thu hoạch này ết ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ủng hộ, giúp đỡtôi ện:

bí m t, đ a ra nhi u quan ni m làm c s cho vi c đánh giá tính bí m t c a các ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ư ện: ơn sâu sắc đến PGS TS Đỗ Văn Nhơn, trường Đại học ởi những ện: ận tình hướng dẫn, cung cấp kiến thức, ủng hộ, giúp đỡtôi