Tiểu luận môn Toán học cho khoa học máy tính MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ LOGIC MỜ

Nếu cácmệnh đề được nối với nhau bằng liên từ: “và” sẽ được ký hiệu ∧, “hoặc” ký hiệu là ∨, “không” ký hiệu là ¬, “nếu…thì” ký hiệu là ⇒, “khi và chỉ khi…” ký hiệu là ⇔ Hai công thức đượ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



BÀI TIỂU LUẬN MÔN TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH TÊN ĐỀ TÀI:

CHƯƠNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ, LOGIC VỊ TỪ VÀ

LOGIC MỜ

I LOGIC MỆNH ĐỀ

1 Khái niệm mệnh đề

Mệnh đề là một phát biểu có thể khẳng định tính đúng hoặc sai.

Mệnh đề sơ cấp là mệnh đề không thể tách nhỏ hơn, nói cách khác nếu ta bỏ đi mộtphần của nó thì không còn là mệnh đề nữa

Ví dụ: "6 là một số chẵn" là một mệnh đề sơ cấp nhận giá trị "đúng" hay nói mệnh

đề sơ cấp này có giá trị chân lý là 1.

"Với mọi số nguyên dương n, đều có số nguyên lớn hơn nó" là một mệnh đề sơ cấp nhận giá trị "đúng" hay giá trị 1.

"Mua hai vé xem ca nhạc vào tối mai " không phải là một mệnh đề.

"2000 là một số chẵn và chia hết cho 10 " không phải là một mệnh đề sơ cấp, vì nó

có thể tách thành hai mệnh đề đơn giản hơn

2 Các kí hiệu

Các ký hiệu mệnh đề (propositional symbol) biểu thị các mệnh đề (proposition) haycác phát biểu về thế giới thực mà giá trị của chúng có thể là đúng hoặc sai

Khi thành lập mệnh đề phức hợp từ các mệnh đề đã có, ta thường dùng các liên từ

"hay", "và", "không", "nếu thì " các liên từ cũng dùng để biểu diễn các phép toánlogic

Các mệnh đề sơ cấp ta kí hiệu bằng các chữ cái A, B, C, Các mệnh đề phức tạpđược xây dựng từ các mệnh đề sơ cấp gọi là công thức Giá trị của công thức là giá trị củacác phép toán cho các trường hợp, sau khi các mệnh đề sơ cấp đã có những giá trị xácđịnh Giá trị của công thức thường được mô tả dạng bảng, theo các trường hợp tương ứng

của các mệnh đề sơ cấp, bảng này còn gọi là bảng "chân lý" của công thức Giá trị chân

lý của mệnh đề bao gồm: true (đúng) nhận giá trị 1, false (sai) nhận giá trị 0 Nếu cácmệnh đề được nối với nhau bằng liên từ: “và” sẽ được ký hiệu ∧, “hoặc” ký hiệu là ∨,

“không” ký hiệu là ¬, “nếu…thì” ký hiệu là ⇒, “khi và chỉ khi…” ký hiệu là ⇔

Hai công thức được gọi là đồng nhất bằng nhau, nếu chúng cùng nhận giá trị như

nhau cho mọi trường hợp giá trị của các mệnh đề sơ cấp tương ứng

Ví dụ: “Cỏ màu xanh”

“ Heo không biết bay”

 Hai mệnh đề trên là hai mệnh đề sơ cấp, và đều nhận giá trị đúng

“Cỏ màu xanh và heo không biết bay”

 Mệnh đề trên là mệnh đề phức hợp, được tạo từ hai mệnh đề sơ cấp và được nối

với nhau bằng liên từ “và” Giá trị chân lý của mệnh đề phức hợp này 1.

3 Các phép toán trên mệnh đề

3.1 Phép phủ định

Phủ định của một mệnh đề là một mệnh đề, nhận giá trị đúng nếu mệnh đề đã cho

sai và nhận giá trị sai nếu mệnh đề đã cho đúng Nếu A là mệnh đề, kí hiệu A là phủ

A = “Lan có tiền” khi đó A sẽ là “Lan không có tiền”

B= “Sinh viên trường Đại học Cảnh sát nhân dân giỏi võ thuật”,

B = “Sinh viên trường Đại học Cảnh sát nhân dân không giỏi võ thuật”

3.2 Phép “hoặc” hay còn gọi là phép cộng logic

Cho A và B là hai mệnh đề, liên kết A hoặc B là một mệnh đề chỉ nhận giá trị sai nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng sai, kí hiệu A B

AB = “n là một số chẵn hoặc chia hết cho 3”

Khi đó với n= 4 mệnh đề trên đúng, n= 9 mệnh đề trên đúng, n= 6 mệnh đề trên đúng, n= 7 mệnh đề trên sai

3.3 Phép “và ” hay còn gọi là phép nhân logic

Cho A và B là hai mệnh đề, liên kết A và B là một mệnh đề chỉ nhận giá trị đúng nếu

cả hai mệnh đề đã cho cùng đúng, kí hiệu A  B.

AB =” n là một số chẵn và chia hết cho 3”

Khi đó với n= 4 mệnh đề trên sai, n= 9 mệnh đề trên sai, n= 7 mệnh đề trên sai, n=

1 1 1

Ví dụ:

1 A= “n là một số chẵn”, B= “n là một số chia hết cho 2”,

A  B = “n là một số chẵn ” suy ra “n chia hết cho 2”

2 A= “Lan là một sinh viên chăm chỉ”, B= “Lan là một sinh viên giỏi”,

A  B = Nếu “Lan là một sinh viên chăm chỉ ” thì ” Lan là một sinh viên giỏi”

3.6 Phép tương đương (còn gọi là mệnh đề khi và chỉ khi)

Cho A và B là hai mệnh đề, liên kết A tương đương B là một mệnh đề nhận giá trị

đúng nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng đúng, hoặc cùng sai, kí hiệu AB.

A B A  B

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 1

Ví dụ:

A= “n là một số chẵn”, B= “n là một số chia hết cho 2”,

A  B = “n là một số chẵn” khi và chỉ khi “n là một số chia hết cho 2”

4 Các tính chất

- Các công thức sau được gọi là công thức De Morgan logic

A∨B ⇔ A∧B, A∧B⇔ A∨B

Để chứng minh các công thức này ta chỉ cần kiểm tra bảng chân lý sau: A B A∨B A∧B A B A∧B A∨B 1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

- Một số công thức biến đổi tương đương của các mệnh đề được cho dưới đây:

¬(¬P) ⇔ P

(P∨Q) ⇔ (¬P ⇒Q)

Luật tương phản: (P ⇒Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P)

1 Khái niệm logic vị từ bậc nhất

- Tương tự như logic mệnh đề, nhưng ở logic vị từ có bổ sung các lượng từ như: Tất

cả (∀), tồn tại (∃) để xác định các biến vị từ

- Logic vị từ là một ngôn ngữ đặc tả có thể dùng diễn đạt một sự việc nào đó

Ví dụ: nếu nói "Peter cao" thì ta có thể diễn đạt dưới dạng logic vị từ như sau:

∃X: (Cao X)

- Trong logic vị từ ta có thể suy ra giá trị đúng của mệnh đề bằng các luật suy diễn,

ví dụ như luật Modus Ponens

Ví dụ: Từ Tất cả mọi người đều phải chết (Modus Ponens)

Chẳng hạn, đặt mệnh đề “Hôm qua trời mưa” là P, từ đó ta có thể tạo ra một vị từchỉ thời tiết mô tả quan hệ giữa một ngày và thời tiết trong ngày ấy: thời_tiết (hôm_qua,

mưa) Thông qua các luật suy diễn, chúng ta sẽ có thể thao tác trên các biểu thức phéptính mệnh đề, truy xuất và suy ra những câu mới

3 Ký hiệu vị từ

Là tập hợp gồm các chữ cái, chữ số, ký hiệu “_”, và được bắt đầu bằng chữ cái

Ví dụ: X3, tom_and_jerry

Ký hiệu vị từ có thể là:

- Ký hiệu chân lý: true, false

- Hằng: dùng để chỉ một đối tượng/thuộc tính trong thế giới Hằng được ký hiệu bắtđầu bằng chữ thường: helen, yellow, rain, …

- Biến: dùng để chỉ một lớp tổng quát các đối tượng/thuộc tính Biến được ký hiệubắt đầu bằng chữ hoa: X, People, Students, …

- Hàm: dùng để chỉ một hàm trên các đối tượng Hàm được ký hiệu bắt đầu bằngchữ thường: father, plus, …

Mỗi ký hiệu hàm có một ngôi n, chỉ số lượng các đối số của hàm

- Vị từ: dùng để định nghĩa một mối quan hệ giữa không hoặc nhiều đối tượng Vị

từ được ký hiệu bắt đầu bằng chữ thường: likes, equals, part_of, …

3.1 Biểu thức hàm: là một ký hiệu hàm theo sau bởi n đối số

Ví dụ: father(david) price(bananas) like(tom, football)

3.2 Mục (term): là một hằng, một biến hay một biểu thức hàm

3.3 Câu sơ cấp: là một hằng vị từ với n ngôi theo sau bởi n thành phần nằm trong

cặp dấu ( ), cách nhau bởi dấu ‘,’, và kết thúc với dấu ‘.’

- Trị chân lý true, false là các câu sơ cấp

- Câu sơ cấp còn được gọi là: biểu thức nguyên tử, nguyên tử hay mệnh đề

Ví dụ: friends(helen, marry), Likes (hellen, mary), likes (helen, sister(mary)), likes(X, ice-cream)

Ký hiệu vị từ trong các câu này là friends, likes

Câu: được tạo ra bằng cách kết hợp các câu sơ cấp sử dụng:

- Các phép kết nối logic: ¬, ∧, ∨, ⇒, =

- Các lượng tử biến:

+ Lượng tử phổ biến ∀: dùng để chỉ một câu là đúng với mọi giá trị của biến lượnggiá Ví dụ: ∀X likes(X, ice-cream)

+ Lượng tử tồn tại ∃: dùng để chỉ một câu là đúng với một số giá trị nào đó của biếnlượng giá Ví dụ: ∃Y friends(Y,tom)

Ví dụ: likes(helen, chocolat) ∧ ¬likes(bart, chocolat)

∃X foo(X,two,plus(two,three)) ∧ equal(plus(three,two),five)

(foo(two, two,plus(two,three))) ⇒ (equal(plus(three,two),five )= true

4 Ngữ nghĩa - Phép tính vị từ

Tương tự như phép tính mệnh đề, ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở

để xác định chân trị của các biểu thức dạng chuẩn Chân trị của các biểu thức phụ thuộcvào ánh xạ từ các hằng, các biến, các vị từ và các hàm vào các đối tượng và quan hệtrong lĩnh vực được đề cập

Sự thông dịch (cách diễn giải) của một tập hợp các câu phép tính vị từ: là một sựgán các thực thể trong miền của vấn đề đang đề cập cho mỗi ký hiệu hằng, biến, vị từ vàhàm

Giá trị chân lý của một câu sơ cấp được xác định qua sự thông dịch Đối với các câukhông nguyên tố, sử dụng bảng chân lý cho cho các phép nối kết, và:

- Giá trị của câu ∀X <câu> là true nếu <câu> là True cho tất cả các phép gán có thểđược cho X

- Giá trị của câu ∃X <câu> là true nếu tồn tại một phép gán cho X làm cho <câu>cógiá trị True

Ví dụ 3: Cho trước một tập hợp các quan hệ gia đình như sau :

mother (eve,abel) mother(eve,cain)

father(adam,abel) father(adam,cain)

∀X, ∀Y father(X,Y) ∨mother(X,Y) ⇒parent(X,Y)

∀X, ∀Y, ∃Z parent(Z,X) ∧parent(Z,Y) ⇒sibling(X,Y)

Ta có thể suy luận:

parent(eve,abel) parent(eve,cain)

parent(adam,abel) parent(adam,cain)

sibling(abel,cain) sibling(cain,abel)

sibling(abel,abel) sibling(cain,cain) ! Không có nghĩa

5 Phép tính vị từ bậc nhất (First – order predicate calculus)

Phép tính vị từ bậc nhất cho phép các biến lượng giá tham chiếu đến các đối tượngtrong miền của vấn đề đang đề cập nhưng không được tham chiếu đến các vị từ và hàm

Thí dụ 1: Ví dụ không hợp lệ: ∀(Likes) Likes(helen, ice-cream)

Ví dụ hợp lệ:

Nếu ngày mai trời không mưa, Tom sẽ đi biển

¬weather(rain, tomorrow) ⇒go(tom, sea)

Tất cả các cầu thủ bóng rổ đều cao

6 Các luật suy diễn

Ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở cho lý thuyết hình thức về suydiễn logic Khả năng suy ra những biểu thức đúng mới từ một tập hợp các khẳng địnhđúng là một đặc trưng quan trọng của phép tính vị từ Logic vị từ dùng các luật suy diễnsau :

6.1 Luật Modus Ponens (MP):

- Logic mệnh đề và logic vị từ (hay còn gọi là logic truyền thống) chỉ quan tâm đến

2 giá trị tuyệt đối (đúng hoặc sai) Logic truyền thống luôn tuân theo 2 giả thuyết Một làtính thành viên của tập hợp: Với một phần tử và một tập hợp bất kỳ, thì phần tử hoặc làthuộc tập hợp đó, hoặc thuộc phần bù của tập đó Giả thiết thứ hai là định luật loại trừtrung gian, khẳng định một phần tử không thể vừa thuộc một tập hợp vừa thuộc phần bùcủa nó

Ví dụ: Nếu nhiệt độ trên 35 độ C thì nóng, ngược lại là không nóng Hình bên dướiminh họa tập hợp “NÓNG” gồm tất cả các nhiệt độ từ 35 độ C trở lên

Hình: Biểu diễn tập nhiệt độ“NÓNG”.

- Từ hình vẽ ta thấy logic truyền thống không thể hiện được sự khác biệt giữa cácthành viên trong cùng một tập hợp Giữa hai nhiệt độ 45 và 55 độ C, logic này không thểhiện được nhiệt độ nào nóng hơn nhiệt độ nào

- Ngoài ra, logic này còn có một nhược điểm khác quan trọng hơn đó là chúngkhông thể biểu diễn được các dữ kiện mang tính mơ hồ, không chính xác mà trong thực

tế lại có rất nhiều phát biểu bằng ngôn ngữ tự nhiên ở dạng này; chẳng hạn như:

Chiến sĩ công an thì khá cao => như vậy chiến sĩ công an có thuộc tập hợp nhữngngười cao hay không?

Hoặc: Nữ an ninh thì rất cao => như thế nào là rất cao?

- Vì vậy, logic truyền thống không thể hỗ trợ cho những suy luận trên những thôngtin mang tính mơ hồ, thiếu chính xác như vậy

1 Khái niệm logic mờ

Để khắc phục khuyết điểm của logic truyền thống, Lotfi Zadeh đã đưa ra lý thuyếtmới về logic gọi là logic mờ (fuzzy logic)

Lý thuyết của Zadeh biểu diễn tính mờ hay tính thiếu chính xác trong các phát biểu(như đã đề cập ở trên) theo cách định lượng bằng cách đưa ra một hàm tư cách thành viêntập hợp (set membership function) nhận giá trị thực giữa 0 và 1

- Tìm các giá trị tương ứng trên đồ thị (nếu μ A(x )

được biểu diễn dạng đồ thị )Trong nhiều tài liệu để biểu diễn tập mờ người ta cũng thường dùng ký hiệu sau:

Cho các tập hữu hạn và A=∫μ A x(x )

cho tập vô hạn

Phép cộng (+) được hiểu là phép hợp

Ví dụ: Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ

Hình: Đồ thị hàm liên thuộc của tập mờ

Các hàm liên thuộc μ A(x )

có dạng “trơn” như ở hình vẽ được gọi là hàm liên

thuộc kiểu S Đối với hàm liên thuộc kiểu S do các công thức biểu diễn có độ phức tạp

lớn nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lâu Bởi vậy trong kỹ thuật điều

khiển mờ thông thường các hàm liên thuộc kiển S hay được thay gần đúng bằng một hàm

tuyến tính từng đoạn

Một hàm liên thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm liên thuộc cómức chuyển đổi tuyến tính Hàm liên thuộc μ A(x )

như ở hình vẽ với m1=m2 và m3=m4 chính là hàm thuộc của một tập kinh điển

1.2 Khái niệm hàm liên thuộc

Như trên đã trình bày, nếu A là một tập hợp trong không gian nền X, khi đó phần tử

x bất kỳ của X, chỉ có thể có hai khả năng xảy ra, hoặc xA hoặc xA , như vậy để đánh giá khả năng thuộc vào tập A của các phần tử x trong không gian nền X, người ta có thể xây dựng một ánh xạ hàm gọi là hàm liên thuộc (Membership Function).

Hàm liên thuộc μ A(x) định nghĩa cho tập A trên không gian nền X trong khái niệm tập hợp kinh điển chỉ có hai giá trị là 1 nếu xA hoặc 0 nếu xA.

μ A(x ) = { 1 nÕu x∈ A¿¿¿¿

Ví dụ A = { xR/ 2 < x< 6 }

Hình sau mô tả hàm thuộc của tập A :

Miền tin cậy

2 6

1.3 Một số khái niệm liên quan của tập mờ

Trong những ví dụ trên các hàm liên thuộc đều có độ cao bằng 1 Điều đó nói rằng các tập mờ đó đều có ít nhất một phần tử với độ phụ thuộc bằng 1

Trong thực tế không phải tập mờ nào cũng có phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 Tương ứng với điều đó thì không phải mọi hàm liên thuộc đều có độ cao là 1

Định nghĩa 1: Độ cao của một tập mờ A trên không gian nền X là giá trị

chỉ giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên của hàm

μ( x) Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ

chính tắc tức là h =1 ngược lại một tập mờ A với h < 1 được gọi là tập mờ không chính

tắc

Bên cạnh khái niệm về độ cao mỗi tập mờ A còn có hai khái niệm quan trọng khác là: miền xác định và miền tin cậy

Định nghĩa 2: Miền xác định của tập mờ A trên không gian nền X được ký hiệu bởi

S là tập con của X thoả mãn

Định nghĩa 3: Miền tin cậy của tập mờ tập mờ A trên không gian nền X được ký

hiệu bởi T là tập con của X thoả mãn

T ={x ∈X / μ

A(x )=1}

Định nghĩa 4: Miền biên của tập mờ tập mờ A trên không gian nền X được ký hiệu

bởi U là tập con của X thoả mãn U={x ∈X /0< μ A(x )<1}

13

Đặng Thị Mỹ Hạnh – CH1301012

Tiểu luận Môn Toán học cho khoa học máy tính GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ

và được gọi là tập cắt mạnh nếu A+ = {x / A (x) <  }

Định nghĩa 6: Tập mức, hay là tập các nhát cắt của tập mờ tập mờ A trên không gian nền X được ký hiệu bởi (A) là tập các tập con của X thoả mãn

A = {x / A (x) =  } với  [0,1]

Định nghĩa 7: Tập mờ A trên không gian nền X tuyến tính được gọi là tập mờ lồi

nếu A (x) thoả mãn

A (x 1 +(1-)x 2 )  min{A (x 1 ), A (x 2 )}I với  x 1 , x 2 X,  [0,1]

Định nghĩa 8: Lực lượng của tập mờ A trên không gian nền X được biểu diễn như

sau: N ( A ,μ A(x))=∑

x∈A

μ A(x )

1.4 Tính chất

- Hai tập mờ bằng nhau: A = B nếu ∀x ∈X, μA (x) = μB (x) A (x) = μA (x) = μB (x) B (x)

- Tập con: A ⊆B nếu ∀x ∈X, μA (x) = μB (x) A (x) ≤ μA (x) = μB (x) B (x)

- Một phần tử có thể thuộc về nhiều hơn một tập mờ Một người đàn ông cao 1m60

có thể thuộc về cả hai tập “trung bình” và “cao”

- Tổng các giá trị mờ của một phần tử khác 1:

μA (x) = μB (x) Thấp(x) + μA (x) = μB (x) Trungbình(x) + μA (x) = μB (x) Cao(x) ≠1

- Từ hàm thành viên cho trước, ta có thể suy ra được mức độ một thành viên thuộc

về một tập hợp, hay có thể xác định được giá trị mờ của nó đối với một tập mờ

Ví dụ: Một hàm thành viên cho tập mờ thể hiện một người là “Trẻ”, “Trung niên”và

“Già”