Luận văn thạc sĩ toán các phương pháp hàm spline và một số ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI L TH NG CC PHNG PHP HM SPLINE V MT Sể NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. NGUYN VN TUN H LI CAM OAN NI, 2015 Lun c hon thnh ti trng i hc s phm H Ni 2, di s hng dn ca TS. Nguyn Vn Tun. Tỏc gi xin by t s kớnh trng, lũng bit n sõu sc ti TS. Nguyn Vn Tun, ngi thy ó luụn tn tỡnh hng dn, ch bo, ng viờn v khuyn khớch tỏc gi hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun vn. ng thi, tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, trng i hoc s phm H Ni cựng vi cỏc thy cụ tham gia ging dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp tỏc gi sut thi gian hc tp. Nhõn dp ny tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố v ng nghip trng THPT a Phỳc - Súc Sn - H Ni ( ni tỏc gi ang cụng tỏc) ó luụn c v, ng viờn, to iu kin giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny. H Ni , ngy 05 t hỏng 12 nm 201 Tỏc gi Ló Th Ng Tụi xin cam oan lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi, c hon thnh di s hng dn ca TS. Nguyn Vn Tun. Trong nghiờn cu lun tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng bit n. H Ni , ngy 05 t hỏng 12 nm Ló Th Ng 2014 Tỏc gi Mc lc BNG Kí HIU N Tp s t nhiờn z Tp cỏc s nguyờn R Tp s thc Tp s phc s3 Khụng gian cỏc hm Spline bc ^[; ] Khụng gian cỏc hm s thc liờn tc trờn on [a; ệ] M U 1. Lý chn ti Trong khoa hc, k thut chỳng ta thng gp rt nhiu bi toỏn cn phi tớnh c giỏ tr ca hm s ti mt im nhng tớnh ỳng giỏ tr ca hm s ti mt im ca mt s hm gp rt nhiu khú khn vớ d nh hm s m, hm lng giỏc, hm s logarit, gii quyt ny ngi ta ó nghiờn cu nhiu phng phỏp khỏc nhau. Trong ú phng phỏp hm Spline ang c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm nghiờn cu. p dng hm spline v phng phỏp ni suy xp x hm s ngi ta chia khong xỏc nh thnh nhiu on, trờn mi on ta xp x bng mt hm spline, t ú ta xp x c hm s ó cho.Tớnh xp x giỏ tr ca hm s ti mt im bng phng phỏp hm Spline rt thun li vỡ nú l nhng hm a thc nờn vic tớnh toỏn, lp trỡnh vi hm a thc rt thun tin v d dng. Do vy, vi s hng dn ca TS. Nguyn Vn Tun, tụi ó nghiờn cu lun vn: Cỏc phng phỏp hm Spline v mt s ng dng. B cc ca lun gm chng: Chng ca lun trỡnh by mt s khỏi nim c bn s dng cho cỏc chng sau. Chng ca lun trỡnh by v cỏc khỏi nim v tớnh cht ca hm spline v B-spline. Chng ca lun trỡnh by v ni suy hm spline v ng dng phn mm Maple vo xp x hm s bng hm spline. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu nm c mt s phng phỏp hm spline, ng dng hm Spline tớnh giỏ tr ca hm s ti mt im v khỏc. mts ng dng 3. Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc khỏi nim, cỏc tớnh cht ca hm Spline v B- spline. Xp x hm s bng hm spline. ng dng phn mm Maple vo xp x hm s bng hm spline. 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Cỏc hm spline, phng phỏp spline Phm vi nghiờn cu: Cỏc khỏi nim, tớnh cht, ng dng vo xp x hm s. 5. Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu ti liu, phõn tớch, tng hp, tham kho ý kin chuyờn gia. 6. Gi thuyt khoa hc p dng phng phỏp spline xp x mt lp hm cú nhiu ng dng thc t. Chng KIN THC CHUN B 1.1 Khụng gian tuyn tớnh 1.1.1 nh ngha nh ngha 1.1.1. Cho t p hp X khỏc rng cựng vi mt phộp toỏn hai ngụi vi t t heo l i cng (+) v mt ỏnh x ỡj } : K X X ằX. Vi mi a Ê K v mi X X t hỡ phn t p(a, X ) c gi l tớ ch ca s a vi phn t X v c s cỏ c i u ki n sau c t món: 1) X + y = y + X, Vx, y e X; 2) (x + y) + z = X + ( y + z),Vx,y, z e X; kớ hi u ax. Gi 3) Tn t i nht phn t cho X + = + X, 'i x Ê X (phn t ny gi l phn t khụng) ; 4) ng v i mi phn t X e X, t n ti nht phn t X e X cho x+( x) = phn t (x) c gi l phn t i ca x; 5) X = X , Va: X ; ) a ( / 3x ) = ( a / 3) x , Va, /3 e K ,V x e X ; 7) (a + ỡ ) x = a x + ỡ x , V x E X , a , /3 K ; 8) a{x + y) ax + ot y, Vx, y Ê x,a Ê K ; Khi ú t a núi rng X l mt khụng gi an n t nh trờn tr ng K , K l t r ng s t h c hoc t r ng s ph c v mi phn t Vx X c gi l mt ve ct ; cũn cỏc i u ki n trờn gi l cỏ c t i ờn v khụng gi an n t nh. Vớ d 1.1.1. Trong mt phng t h c R2 Tp X = M2 l M = {( 21 , 22 ) : Xx v x cỏc s t h c} Vi mi s t h c a v cỏc ve ct X (xi , x ), y = (y ,2 /2 ) Ê X, phộp cng v nhõn vụ h ng c nh ngh a: x + y = (x + yi ,x + y ) OL X = (a x!, ax ) l khụng gi an n t nh. Vớ d 1.1.2. Khụng gi an C [a,b] Khụng gi an C [a,b] l khụng gi an cỏc hm li ờn tc trờn [a, 6]. Vi mi s t h c a v ) C[a, b], phộp cng v nhõn vụ h ng c nh ngh a: (/ + 9è(t ) = f (t ) + g(t ), a < t < b (af )(t ) = af (t ) l khụng gi an n t nh. Vớ d 1.1.3. P n [a,b], khụng gi an cỏc a th c bc n t rờn on [a,b] l khụng gi an t uyn t nh. 1.1.2Vect c lp tuyn tớnh, khụng gian nh ngha 1.1.2. C ho X l mt khụng gi an t uyn tớ nh. Mt t hp t uy n tớ nh ca cỏ c ve ct Xi ,z , , x n e X l mt t ng cú dng: a x + a x + . + a x n Cỏc ve ct Xi , x , , x n c gi l c lp t uy n t nh nu Oi \ X\ Oớ 2%2 t- t = ^ Oi \ = Oè2 = Oi n = Cỏc vect X i , x , , x n c gi l ph thuc tuyn tớnh nu chỳng lp tuyn tớnh, tc l tn ti nhng 0, s ô1 , a , - , a n ú cú ớt nht cho: ot \ Xi + a x + . + a n x n = khụng c mt s khỏc Vớ d, hai vect X v (x) l ph thuc tuyn tớnh vỡ : X + (x) = Nu cỏc vect x } x , , x n cú mt vect bng thỡ chỳng l ph thuc tuyn tớnh. Mt khụng gian tuyn tớnh X c gi l khụng gian chiu nu X cú vect c lp tuyn tớnh v khụng cú + vect c lp tuyn tớnh. Trong trng hp ny mt vect c lp tuyn tớnh ca X gi l mt c s ca nú. Cỏc khụng gian chiu, vi l mt s nguyờn khụng õm bt kỡ gi l khụng gian hu hn chiu. Mt khụng gian vụ hn chiu tc l cho vi mi u tỡm c vect c lp tuyn tớnh ca nú. Vớ d 1.1.4. M. k = a k ) Ia i Ê l khụng gi an chi u, vúi c s l: X = (1,0, . ,0),z2 = (0,1,0, . ,0), . = (0,0, ., 1) Khụng gi an M[a,ũ] l vụ hn chi u vỡ vi mi t a luụn cú phn t ca nú c l p t uyn t nh, ú l : X (t ) = t,x (t ) = t , .,x n (t ) = t n Nu X l khụng gian chiu v x ,x , . ,x k l mt c s ca nú thỡ mi X thuc X u c biu din nht di dng X = . + ô2 ^ + . + a k x k Cỏc s ai, , . . . ,a k l ta ca vect X i vi c s X - L, x , . . . , x k . Nu ta lm phộp ỏnh x - : ẽ (ô1 , a , , a k) thỡ ú l mt phộp ng cu gia X v . Nh vy khụng gian tuyn tớnh chiu bao gi cng ng cu vi khụng gian Mfc. nh ngha 1.1.3. Mt t p khụng rng M ca mt khụng gi an X gi l mt khụng gi an con, nu nú kớ n i v i phộp cng phn t vi phn t v phộp nhn phn t vi mt s, ngh a l : 1) ,Ê = > + Ê . 2) e M,a e M = ax G M. Cho A l mt bt kỡ, khỏc rng ca X. Khi ú, bao gi cng cú ớt nht mt khụng gian bao hm A, ú chớnh l X. Vy h cỏc khụng gian bao hm A khỏc rng, giao ca h cỏc khụng gian y cng l mt khụng gian v l khụng gian nh nht bao hm A. Khụng gian ny gi l khụng gian sinh bi A. Nh vy, khụng gian sinh bi A l tt c cỏc t hp tuyn tớnh hu hn: OL\ X\ + a x + + O k x k ca nhng phn t ca A. 1.2 Khụng gian nh chun 1.2.1 Khỏi nim khụng gian nh chun nh ngha 1.2.1. Mt khụng gi an nh chun l mt khụng gi an t uyn t nh X, t rong ú ng vi mi phn t X X, t a c ú m t s ||a;||, g i l chun ca nú,sao cho vi mi x,y Ê X, v mi s a t i u ki n sau: 1) ||x|| > n u X 0; ll^ll = n u X = 0. 2) IICKC|[ = |a| ||a;||. 3) la; + y\ \ < ||x|| + ||g/|| (bt ng t h c t am gi ỏc). Vớ d 1.2.1. Khụng gi an R2 l khụng gi an nh chun v i chun t h ng chn l chun: ||x||2 = \ x\ + x N goi cũn cú nh ng chun khỏc chng hn nh : ll^lll = l^ll + 1^2 hay IMIoo = max{|a;i|, |z2|} ú X = (xi ,x ) M . Vớ d 1.2.2. Khụng gi an C [a,b] = {/ : [a,b] > R I/ li ờn t c t rờn [a,&]} l khụng gi an nh chun vi chun ||/(ớ)|| = max |/(ớ)| a cho: 7IIiCiII < lớCaII < A^ll^ill, Vx X . Trong vớ d 1.3.1 thỡ c chun ụi mt tng ng. Chng hn: 11*2 11 < (2 IMIL ) = Mt khỏc: |||| = max{|ii|, |rr |} < ( x + x ) = |||| . Do ú chn M = V , m = 1, ta cú: IMI oo < ll^lb < / . 1.2.2 S hi t khụng gian nh chun Gi s X l khụng gian nh chun v {^nl^Li X,x X. 1) x n > X Q (dóy x n hi t ti x0) cú ngha l II IoII > 0. 2) Nu x n > x thỡ |||| > ll^oll, tc l chun |||| l mt hm liờn tc ca X . 3) Mi dóy hi t u b chn, tc l: nu x n hi t thỡ 3M e M, M > 0,Vn, ||a:|| < M. 4) Nu x n > X Q , y n > y thỡ x n + y > x + y . 5) Nu x n > Xo,a n > a thỡ x n a n > x0a0, V{a}~=1 M,a0 e M. 6) Mt dóy c bn khụng gian nh chun X l mt dóy {x n } X cho: lim ||xn x m II = 0. m , n - Ơ 00 Nu khụng gian nh chun mi dóy c bn u hi t, tc l: ||ặ 2Jm|| ằ kộo theo s tn ti X Q g X cho x n > Xo, thỡ khụng gian ú c gi l khụng gian thng gi l khụng gian Banach. Trong thc t gii quyt cỏc bi toỏn v k thut v vt lý ta thng khụng bit chớnh xỏc giỏ tr ca mt i lng no ú. s liu ban u m ta cú cỏc bi toỏn trờn c gi l s gn ỳng. Nu ỏnh giỏ c lch ca s gn ỳng vi s ỳng thỡ ta ỏnh giỏ c cht lng ca vic gii quyt bi toỏn. Do ú i nghiờn cu v ỏnh giỏ s sai khỏc gia s gn ỳng v s ỳng l yờu cu bt buc vic gii bi toỏn. nh ngha 1.2.3. s a c gi l s gn ỳng ca s a nu a sai khỏ c vi a* khụng nhi u. Kớ hi u ô * . nh ngha 1.2.4. i l ng = \ a a*| c gi l sai s th c s ca a. Núi chung ta khụng bit a* nờn ta khụng bit A. Tuy nhiờn ta cú th c lng sai s thc s Sai s tuyt i cng nh sai s tng i ca mt s gn ỳng a ca s ỳng a* l khụng nht. chớnh xỏc ca mt phộp o phn ỏnh qua sai s tng i. j l c s ca khụng gian s . ni suy Bj ! = B ( x , j ) , j = 1, , . Cỏc hm B 13 hm f bng cỏc B j trờn, ta s dng cụng thc: 14 15 H 10 ix) = j)16 3= Vớ d 3.4.1. Tỡ m ni suy cho bng hm spl i ne bc cho hm s: y = e x . 17 C h ng t rỡ nh ch y mỏy nh sau: > y := X ằ e x p { x ) \ 18 [> wi t h(pl ot s ) : 19 [> 20 [> rest art ; 21 [> w i t h ( l i n a l g ) : 22 [> w i t h ( s t u d e n t ) : 23 [> > / : = Ê > e:rp(:r); 24 / := X -> e [> /or 25 j from to 10 . (2) 26 __D l '\ ^ / 1) ^ ^ 27 ---------------------------------------------B := (x, j ) pi ec ew i se ( < X < , 28 .7 (.7 + 1) 29 -------------------------------------------------10.X j + 1, < X < , + . ) ; od : J 30 10 10 ' [> 31 ---------------------------------------------B := (X , ) > pi ec ew i se {- < -7 ,10.Ê + 1, 32 33 34 35 > X j < X and 2: < + , 7' + 10x,0); (3) 10 10 10 [ v ' " [ th cỏc hm c s tỡm hm, ni suy cho hm f n h sau: pl ot (B(x, 1), : = ) 36 and X < 11 37 > p o t ( B ( x , 2), X = ) 12 39 38 10 40 >pot(B(x,9),x = 13 41 42 >p ot (B (x, 10), = 14 43 > g : = ( x ; j ) -> f ( ^ ) . B ( x , j ) ; > [> H := x > sum(g( x, k), k = := ( x ; j ) -> f ( j ^ ) . B ( x , j ) ( 4) 44 10); H := x 45 46 -> X) s(z,fc)(5) fc=i expand(H (a;)); 47 48 52 / 56 60 64 68 72 V 49 53 65 r 57 61 69 < 89 73 76 77 78 r 81 82 85 l l 86 90 50 0 ửl := 2./(); ' ' > a := 559 [> w it h(pl ot s ) : 560 [> 561 [> restart ; 562 [> vi t hl i nal g ) : a ; 2. -/(^) - 2-Oi; (5) 563 > I [> w i t h ( s t u d e n t ) : / := X > 3. sin(2.:r) 2x 1; / := X ằ 3sin(2x ) X 564 1(1) . 565 [> for j from, to 10 a 566 j .7, / - . m. , (j + !) > > > B2 := ( X, k ) > ------.B(x, k ) ; H -----------------------------.B( x, k + 1) : > [ > . [ > dj :=a -0.84799 > (4) > > > ; fl! := 6sin(^) - ^(3) òi := evalf(ai, 6); > > > . > > > evalf(a , > > > (6 1.87249 ) a := 2./ ( >7 > ; a := ./(^) - . a ; o a := >6 sin(a :=1.431960000 2./ ( M 10 > a6 := 2./( M 10 > a7 := 2./( M 10 > a8 := 2./( 10 > d g := 2./( > > 6); J > > a : = 6sinQ - 0.464020000 > J 40 . (7) 12 sin ) > > > > > > a10 2./( ; > s e q ( e v a l f ( a i , ) , i = 10); > 0,9 > -0.84799,1.87249, -2.71713, 7.098369,-12.1480, 26.4480, (8) -50.9437,103.325, > > -206.045,411.548(8) > > > g := X ằ sum(a k .B2(x, ), = 10); > ), = > g := X -> J2 2(x, ) k = > [> Vi du 1: Ni suy cho hm s: > / := X ằ 3.sin(2.:r) 2x 1; > > / := X > s i n ( x ) X 1(1) := array ( 15,1 5) : c[l, 1] := T T : c[ 1, 2] := Bi en : = c[l, 3] := GT yc l , 4] := GT g : c[ 1, 5] := ss : i from to 10 c[i + , ] : = i : c[i + , ] := e val fi : c[i + 1,3] := e val ff (^ ) : c[i + 1,4] > : = e v a l f ( g (^)) : c[* + 1, 5] := e v a l f ( a b s ( f ( - s(^))> 6) : od : > > > T > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Bi en 0.03333 333333 0.06666 666667 0.10000 00000 0.13333 33333 0.16666 66667 0.20000 00000 0.23333 33333 0.26666 66667 0.30000 00000 0.33333 3333 > pri nt (c) - , GT y > 0.8023703372 > 0.6100730312 > 0.4239920076 > 0.2450033824 > 0.0739714656 > 0.08825 5027 > 0.24084 6753 > 0.38299 7431 > 0.51392 7420 > 0.63288 7187 > > GT g > 0.0471105556 > 0.1884422222 > 0.4239950000 > 0.5084099970 > 0.1963283215 > 0.5122 > 500270 1.0129 60302 > 0.7014 377571 > 0.422317607 > 1.151904510 KT LUN - - > >s s .75525 > .42163 > .00000 > .26340 > .12235 > .42399 > .77211 > .31843 > .93624 > .78479 > Quỏ trỡnh nghiờn cu v tỡm hiu v cỏc hm spline v cỏc phng phỏp ni suy spline, lun ó t c cỏc kt qu sau: > Trỡnh by khỏi nim v cỏc tớnh cht c bn ca spline v B- spline, cỏc v ni > suy hm spline. > Trờn c s cỏc kt lun ú tip tc nghiờn cu v trỡnh by mt s ng dng ca cỏc phng phỏp ni suy bng hm spline v B-spline xp x hm s. Trong ú cú s dng chng trỡnh tớnh toỏn vi Mapple. > Do thi gian cú hn nờn cỏc ng dng khỏc ca cỏc hm spline v phng phỏp ni suy spline tụi s tip tc nghiờn cu thi gian tip theo. > Vi kh nng v thi gian nghiờn cu cũn hn ch, lun khụng trỏnh nhng > thiu sút. Kớnh mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý lun c hon thin hn. Tụi xin chõn thnh cm n! [...]... nghĩa 2.2.2 Các tổ hỢp tuyến tính của B - spline Các hàm spline B - spline Bj d phụ thuộc các nút tj , ,t j + d + 1 Nghĩa là nếu các điểm nút cho bởi t = (t j ) n ^ + 1 với n là số nguyên dương, ta có thể tạo ra n hàm B - spline {Bj d } n = 1 bậc d liên kết với các điểm nút Một tổ hợp tuyến tính của B - spline, có n dạng: / = c j B j d với c = (Cj)"=1 là n số thực j=1 Định nghĩa 2.2.2 (Các hàm spline) ... g . bày về nội suy hàm spline và ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu để nắm được một số phương pháp hàm spline, ứng dụng hàm Spline để tính. giá trị của hàm số tại một điểm và mộtsố ứng dụng khác. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline. Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline. ứng dụng phần. Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 LÃ THỊ NGỌ CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT SÓ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • •