C l— í0 t i— to
3.1Các phương pháp xấp xỉ địa phương
l 0, XỆ [tj Jt j_| 1]
3.1Các phương pháp xấp xỉ địa phương
3.1.1 Nội suy tuyến tính
Mệnh đề 3.1.1. Giả sử (íEị,J/ị)t^=i là một tập hợp của các điểm dữ liệu với Xị,yi £ R, X ị < Xị+1 cho i = 1m và t = ...,Xm-l,Xm,Xm) ỉà các điểm nút. Đặt g(x) = X) thì 1 =1 1) g(x)là spline bậc một 2) g(xị) = yi } với i = 1,... .,171 .
Chứng minh: Ta có Bị1 với 1 < i < m được cho bởi:
' (X - Xi_i). - ) , X ị _ 1 < X < X ị { X ị - xi_1 (x i + 1 ~ x ) < x < X i + 1 (3.1) (xi+i - X i ) 0, trường hợp khác
ở đó ta đặt x0 = Xị và Xm +1 = xm. Điều này có nghĩa là Bị
l(xj) = 1 với i < m và lim Bm i(:z) = 1 trong khi đó Bịi(xj)
suy (3.1.1) được thỏa mãn.
Mệnh đề 3.1.2. Giả sử rằng a = X\ < x2 < ■ ■.. < xm = b và đặt A = max {Xj+1 — Xi)
1) Nếu / £ C[a,b], với mọi £ > 0, tồn tại Ax > 0
sao cho Ax < ỗ thì \ f ( x ) — Iif(x)\ < £ với mọi X £ [a, b\.
If ( x ) - ự i f ) \ < ^(Ax)2 max \ f " ( x ) \ (3. 2)
О a < z < b
I f ' ( x ) - ( I l f ) ' I < о(Ла;) max |/»| (3-3)
о a < z < b
Với Iif(x) là các hàm n suy bộiậc 1.
Phần 1) của mệnh đề 3.2 diễn đạt rằng phép nội suy tuyến tính từng phần tới một hàm liên tục hội tụ đến hàm số khi khoảng cách giữa các điểm dữ liệu tiến tới 0. Cụ thể hơn cho một £, ta có thể làm sai số nhỏ hơn bằng cách chọn Ax đủ nhỏ.
Phần 2) của mệnh đề đưa ra biên trên của sai số trong trường hợp hàm số f là trơn, nghĩa là f và đạo hàm cấp một, cấp hai liên tục. Bất đẳng thức 3.2 thường được diễn đạt là: xấp xỉ tuyến tính có 2 bậc xấp xỉ, nghĩa là Ax được nâng lên lũy thừa bậc 2 trong (3.2).
3.1.2 Nội suy bậc ba Hermite
Bài toán 1. (Nội suy bậc ba Hermite). Giả sử / là hàm số liên tục và có đạo hàm trên
[а;Ь] . Chọn các điểm nút : а = X1 < x2 < ...< xm = b. Xác định một hàm số g kí
hiệu g = H3f thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Trên mỗi khoảng con ( Xi,Xị+i), hàm số g là một đa thức bậc ba.
2. Hàm số f là nội suy bởi g sao cho:
g(xị / ) = ( X ị ) và g'(xi) = f‘(xi) với i = 1 , . . . m (34)
g là lời giải cho bài toán 1 là hàm liên tục và có đạo hàm cấp một liên tục. Chọn các điểm nút
(Тг)г—1 (ïi, Ï1, ïii Ï2j 3-2j...^m-l) З'т-Ь ^m) (^’^)
Ta gọi là điểm nút bậc ba Hermite trên X = (zi, ...,x m). Từ đó cho phép ta tìm lời
giải cho bài toán 1.
Mệnh đề 3.1.3. Bài toán 1 có nghiệm duy nhất Hf trong không gian spline S 3 t , ở đó T được cho trong phương trình 3.5. Cụ thể hơn, nghiệm được cho bởi:
2 ra
Hf = E CịBị,3(3.6) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C2 Ì-1 = ỉ(xi) - 2 A£j-i/ (zj), c2i = ỉ(xi) + ^Axif'(xi) với ß = 1, ro (3.7) Trong đó AX j = X j+1 — X j v à c á c đ i ể m x0 v à Xm +1 đ ư ợ c đ ị n h n g h ĩ a b ở i xữ = X i v à Xm +1 = xm Ví dụ 3.1.1. Ta xấp xỉ hàm số f ( x ) = xi trên khoảng [0,1] với chỉ một phần đa thức
do đó m=2 và [ữ, Ö] = — [0,1]. Từ 3.7 ta thấy
(ci, c2, c3, C4) = (0, 0, , 1) và
3 № 0»)
Hình 3.2: Nội suy Hermite bậc 3 tới ĩ ( x ) = ac4 với 2 phần đa thức(a),
sai số của xấp xỉ(b)
Ví dụ 3.1.2. Ta ỉậi xắp xỉ f ( x ) = X4 trên ỊO,lỊ nhưng ỉần này ta sử dụng 2 phần đa thức đo đó m = 3 và X = ( 0 , 1 ) . Trong trttờng hợp này, các nút Hermite bậc ba ỉà _ 1 1 1 T = (0, 0, 0, 0, —, —, 1,1,1,1) và ta thấy các hệ số c = (0,0, ——, —, —, 1). Hai hàm số 2 2 48 48 3
Ị và Hf được chỉ ra trong hình 3.1(a). Vôi các nứt mở
(a) (b)
Hình 3.1: Nội suy Hermite bậc 3 tới ĩ { x ) = s4(a), sai số của xấp xỉ(b)
( H f ) ( x ) = —-.3æ2(l — x ) + X3 = 2 x3 — X2Hai hàm số ỉ và Hýđược chỉ ra trong hình 3.1.
rộng tại -,ta nhận được một xấp
xỉ có độ chinh xác nhiều hơn tâi X4. Thực tế, ta thấy
đề thị sai số trong hĩnh 3.1 (a) và
3. ì(b) là sai số lớn giảm từ 0,06 xuống 0,004} ỹiàm xuống khoảng 15 lần.
Mệnh đề 3.1.4. Giả sử rằng hàm ỉ được xấp xỉ bởi nội suy Hermite bậc 3.
0> ỉ ( X i ) - 2 A X i f ' ( X * ) -
0
với i = 1,____,771
Do đó nội suy Hermite bậc ba không âm trên [a,b].
Chứng minh: Trong trường hợp này, xấp xỉ spline Hfcho bởi mệnh đề 3.1.3 có các hệ số B - spline không âm, do đó ( H f ) ( x ) với mỗi X là một tổng của các đại lượng không âm và từ đó nó cũng không âm.
Đối với phép nội suy tuyến tính, có thể thấy mối liên hệ sai số với các bước trong X và đạo hàm của f.
Mệnh đề 3.1.5. Giả sử rằng f có các đạo hàm liên tục tôi cấp 4 trên khoảng [xi,xr :
, với X £ [a, b], a < z < b (3.8)
ước lượng này xảy ra, khi Ị là trong không gian spline Sd T cho phép Ị có một đạo hàm liên tục tại tất cả các X ị .
Ước lượng sai số trong 3.8 nói rằng nếu ta giảm một nửa khoảng cách giữa các điểm nội suy ta có thể mong đợi sai số giảm đi bởi 24 bằng 16 lần. Điều này thường được chỉ là “hội tụ cấp 4”. Điều này được chỉ ra trong ví dụ 3.1.1 và 3.1.2, khi đó sai số được giảm đi khoảng 15 lần khi Ax giảm một nửa.
3.1.3 Ước lượng các đạo hàm
Đôi khi ta có sẵn các hàm giá trị, nhưng không có đạo hàm, và ta vẫn muốn một nội suy trơn. Trong các trường hợp đó, ta có thể sử dụng nội suy bậc ba Hermite nếu có thể bằng cách này hay cách khác, ta thường chọn là sử dụng độ nghiêng của Parabol nội suy dữ liệu tại ba điểm dữ liệu liên tiếp. Để tìm độ nghiêng này, ta nhận xét rằng parabol P i sao cho P i ( x j) = f (x j ) với j = i - 1, i và i+1, được cho bởi:
P i ( x ị ) = Ỉ(X Ì-I) + ( x - Xị_i)ốị_i + ( x - a; Ể _i)(x - X ị ) 5 i ~ —, ỏ i = ỈÌĨẤ+A ~ ỉiĩủ X ị ____ J I lề 3.1.5. Giả sử rằng f có các đạo hàm li t /(*) - (//,)(*) < i(Ai)‘maX|/"-'(2)| Do đó:
f a A X ị ____ f a A X j Sau đó ta thấy rằng: í , A _ si ~ Pi = °i-1 + A xi-17---— Axj_i + A x ị Ta thu được: , Axị-Iỏi + Axịỏi-1 pAxj) = --- --- ---với i = 2,...,m-l. (3.9) Và ta sử dung điều này như môt (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
A xỂ_ i + Axị
ước lượng của f'(xị). Sử dụng nội suy Hermite bậc ba với lựa chọn 3.9 cho các đạo hàm được biết đến là nội suy bậc ba Ressel. Nó tương đương tới một quá trình đã biết gọi là sự pha trộn
parabol. Cuối cùng, các đạo hàm và
phải ước lượng riêng. Người ta thường sử dụng giá trị trong 3.9 với x0 — x3 và Xm +1 — xm_2■
Điểm bắt đầu của chúng ta là m điểm a = Xi < x2 < ...
< Xm = b với các
giá trị tương ứng Ui = f(xi). Ta thấy đa thức bậc ba từng phần, nội suy đưa ra các giá trị thuộc c2[a, 6]. Trong cách xây dựng này, ta cần hai điều kiện mở rộng để chỉ rõ nội suy một cách duy nhất. Một trong các điều kiện biên sau đây thường được sử dụng:
(i) g’(a) = F(a) và g’(b) = f’(b) H (ii) g”(a) = g”(b) = 0 N (3.10) (iii) g”’ là liên tục ở x2 và xm_i F (iv)D j g(a) = Djg(b)vóij = 1, 2 p
Để trình bày các vấn đề nội suy một cách chính xác hơn là sẽ định nghĩa các không gian spline xấp xỉ. Từ đây, ta muốn các spline có các đạo hàm liên tục từ cấp hai, ta biết rằng tất cả các phần trong nút phải đơn giản. Cho các điều kiện biên H, N và F, ta định nghĩa 4 điểm nút không đổi.
T~H TN ( т " г ) г = 1 ( x i , X i , X i j Z i j Ĩ 2 j ...( ^ ’ H )
7 ~ F (t ”í)ỉ=1 (^1 j ^1 5 ^1! ^1! ^3 j *^4 j...— 2 5 ; З'т ; З'т ; З'т ) 5
Điều này dẫn tới 3 không gian spline bậc ba S3 TỊ Ị , S3 TN , S3 TF , tất cả đều có
2 đạo hàm liên tục tại mỗi nút bên trong. Chú ý rằng x2 và
xm_i là không có trong TF.
Bài toán 2. Cho dữ liệu (Xị,f(xi))ỴL1 với a = Xi < x2 <
... < xm = b, cùng với
f'(xi)và f'(xm)nếu cần thiết. Giả sử z biểu thị một trong những H, N, hoặc F, ta đi tìm một spline g = g z = I z f trong không gian spline S3TZ sao cho g(xị) =
ỉ(xị ) với i
— 1,2,... ,m sao cho thỏa mãn điều kiện biên z.
Nếu u và V là hai vectơ trong R" thì tích có hướng của chúng được định nghĩa:
n
i= 1
Độ dài hoặc chuẩn của u có thể được định nghĩa bằng tích có hướng như sau:
||u|| =< u, V >^2= (5^ Uị)1/2. ị= 1
Vì vậy ta nói rằng 2 hàm số u và V là trực giao nếu < u,v >= f uv = 0. Kết quả đầu tiên mà chúng ta chứng minh nói rằng sai số / — IH f là trực giao đối với tập hợp các spline tuyến tính.
Bố đề 3.2.1. Kí hiệu sai số trong nội suy spline bậc 3 vôi các điều kiện kết thúc H ermite bởi e = / — IH / và giả sử T là các điểm nút.
T = (Ti)7=+
12 = (xi,x1,x2,x3, xm_i, xm, xm)
Sau đó đạo hàm cấp 2 của e là trực giao đối với không gian spline s 1T. Nói cách khác ỉà
b (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ị en(x)h(x)dx = 0,v/i G
S i T .
a
Chứng minh: Chia [a,b] thành các khoảng con [xi,xi +i\
cho i = l , . . . , m - 1 và sử dụng tích phân từng phần, chúng ta thấy:
Vậy bổ đề được chứng minh.
Định lý 3.2.1. Cho E H ( f ) = {(ỊẼ E ( f ) \ g ( x i ) = f(xi)}vổi i = l , . . . , m
EH(Ỉ) = {g € E(f)\g'(a)~ f'(a)và g'(b)-f'(b)} (3.13) Giả sử rằng g = IHf là nghiệm
bài toán 2 thì
f(g”(x))2dx < J(h”(x))2dx vớiVx e E H ( f ) , (s.lị)
a a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi h = g.
Chứng minh: Chọn h e EH( f ) và đặt e = h - g, ta có ĩ ti'2 = f(e" + /”)2 = /e"2 + 2 Ị e"g" + ĩ g"2. (3.15) Vì g e S3ỊTH
chúng ta có
C L ( L ữ ữ ữ
g" eSir , với T là điểm nút được cho trong bổ đề 3.2.1. Do g = Iỵh = IH Ỉ, chúng ta b có e = h — IHf vì vậy chúng ta có thể áp dụng bổ đề 3.2.1 và có / e"g” = 0. Chúng ta a kết luận rằng / h"2 > f g"2. a a b b
Để chỉ ra rằng ta có phương trình ở 3.14 khi h = g, giả sử rằng /
dụng 3.15, chúng ta có / e" . Nhưng do e” là liên tục, điều này có nghĩa e”=0. Do đó
a
ta cũng có được e(a) = e’(a) = 0, chúng ta kết luận rằng e = 0. ( Sử dụng công thức Taylor e(x) = e(a) + (x — a)e'(a) + f e"(t) (x — t)dt)
a
Do e = 0, nên ta có g = h.
Định lý 3.2.2. Bài toán 3.2.1H có 1 nghi ệ m duy nhất.
m + 2 Chứng minh: Chúng ta tìm 1 hàm số g = IHf = Ỵ2 CịBi 3 i = 1 Trong S3,TH , ra + 2 C j B j , Áxi ) = ĩ (xi) cho i = l , ... , m, j= 1 ra+ 2
CjB'j 3(xi) = ỉ'(Xi) cho i = l . . . m. (3.16)
j=1
Đây là một hệ tuyến tính của m+2 các phương trình trong m+2 hệ số B-spline chưa biết. Từ đại số tuyến tính, chúng ta biết rằng 1 hệ như thế có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ tương ứng với vế bên phải bằng 0 chỉ có nghiệm bằng 0. Điều này nghĩa là sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm đó sẽ theo sau nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng bài toán 3.2.1H chỉ có nghiệm 0. Giải sử rằng g £ S3T H là lời giải bài toán 3.2.1H Rõ ràng g=0 là nghiệm. Theo định lý 3.2.1, suy ra điều phải chứng minh.
Bổ đề 3.2.2. Nếu e = f — In ĩ và T điểm nút T = (ji)T=i = { x h x 2i x 3i Dạo hàm bậc2 của e là trực giao đối với Si T.
Chứng minh: Chứng minh tương tự bổ đề 3.2.1 Mối quan hệ trong 3.12 có giá trị do mọi h e Si Tthoả mãn h(a) = h(b) = 0. Bổ đề 3.2.2 cho phép chúng ta chứng minh rằng bài toán nội suy spline bậc 3 với các điều kiện biên tự nhiên có 1 nghiệm duy nhất.
Định lý 3.2.3. Bài toán 3.2.1N có nghiệm duy nhất g = /jv/- Nghiệm là hàm số duy nhất trong c2[ a , b] với ĩ(9"(x))2dx < f b(h"(x))2dx, v/i e E ( f ) , (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a a