Tam thức bậc hai và một số ứng dụng.

Header Page of 133 MỤC LỤC CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI 1.1 Bài toán tìm nghiệm phương trình bậc hai 1.1.1 Nghiệm phương trình bậc hai 1.1.2 Định lý Vi - ét 1.2 Bài toán dấu tam thức bậc hai 1.2.1 Định lý thuận dấu tam thức bậc hai 1.2.2 Định lý đảo dấu tam thức bậc hai 10 1.3 So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số biện luận phương trình bậc hai 11 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 15 2.1 Hệ phương trình hỗn hợp phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 15 2.1.1 Hệ phương trình hỗn hợp 15 2.1.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 16 2.2 Dấu tam thức bậc hai miền toán giải biện luận bất phương trình 18 2.3 Phương trình vô tỷ phương trình bậc cao 23 2.3.1 Phương trình vô tỷ 23 2.3.2 Phương trình bậc cao 26 2.4 Phương trình mũ phương trình lôgarit 31 2.4.1 Phương trình mũ 31 2.4.2 Phương trình lôgarit 33 2.5 Một số phương trình lượng giác 35 Footer Page of 133 Header Page of 133 2.6 Một số sai lầm học sinh sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai 37 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC THAM SỐ 39 3.1 Tìm miền xác định miền giá trị hàm số 39 3.2 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến miền 40 3.2.1 Hàm số bậc 3: 41 3.2.2 Hàm phân thức: 43 3.3 Cực trị dạng đồ thị hàm số 44 3.4 Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thỏa mãn điều kiện cho trước 46 3.5 Sự tương giao đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng 48 3.6 Giao điểm đường thẳng với hàm số bậc bốn với nhánh hypebol 52 3.6.1 Giao điểm đường thẳng với đồ thị hàm bậc 52 3.6.2 Giao điểm đường thẳng với nhánh hypebol 53 CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 55 4.1 Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai việc chứng minh bất đẳng thức 55 4.2 Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai việc giải toán hình học 57 KẾT LUẬN 59 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined Footer Page of 133 Thang Long University Libraty Header Page of 133 MỞ ĐẦU Trong chương trình môn toán trường phổ thông trung học có chương sách đại số lớp 10 viết tam thức bậc hai Các kết đề cập ứng dụng nhiều liên quan đến giải biện luận phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số… Là giáo viên giảng dạy môn toán trường phổ thông, muốn sâu tìm hiểu nghiên cứu kỹ vấn đề để công việc giảng dạy môn toán nói chung giảng dạy môn đại số nói riêng thân tốt Xuất phát từ lý luận văn chọn đề tài “ Tam thức bậc hai số ứng dụng” Nội dung luận văn gồm phần sau: Chương I Một số dạng toán tam thức bậc hai Trong chương này, hệ thống hóa lại cách ngắn gọn dạng toán phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số cho Chương II Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai vào việc giải phương trình, bất phương trình Trong chương nêu lên số ứng dụng trực tiếp định lý đảo tam thức bậc hai toán áp dụng gián tiếp định lý Đó giải hệ phương trình hỗn hợp phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ phương trình bậc cao, giải phương trình mũ phương trình lôgarit, giải số phương trình lượng giác, dấu tam thức bậc hai miền toán giải biện luận bất phương trình, số sai lầm học sinh sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai Chương III Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai vào việc khảo sát hàm số Tôi sử dụng định lý đảo tam thức bậc hai vào số toán khảo sát hàm số đồ thị như: hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến miền, cực trị dạng đồ thị hàm số, xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thỏa mãn điều kiện cho trước,… Footer Page of 133 Header Page of 133 Chương IV Ứng dụng định lý đảo tam thức bậc hai vào việc chứng minh bất đẳng thức toán hình học Trong chương trình bày ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai việc chứng minh bất đẳng thức số toán hình học Luận văn hoàn thành trường Đại học Thăng Long với hướng dẫn bảo tận tình TS Bùi Huy Hiền Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn Thầy Đồng thời, xin cảm ơn Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau đại học trường đại học Thăng Long tạo điều kiện thuận lợi, động viên hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng kinh nghiệm thời gian có hạn, nên luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến Thầy Cô độc giả Hải Phòng, ngày tháng năm 2015 Người thực Ngô Kim Trang Footer Page of 133 Thang Long University Libraty Header Page of 133 CHƯƠNG I MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI 1.1 Bài toán tìm nghiệm phương trình bậc hai 1.1.1 Nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = (a, b, c  f( x)  x  a  0) b c x a a b  b2 c  x    2a  4a a  b  b  4ac  x   2a  4a  Đặt  = b – 4ac, ta có: * Nếu  < phương trình (1) vô nghiệm * Nếu  = phương trình (1) có nghiệm kép x   b 2a * Nếu   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,  b  2a Để ý thấy ac <   tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt b '   ' Nếu b số chẵn, b = 2b x1,2  với a '  '  b '  ac,   ' Ví dụ 1.1 Giải biện luận theo tham số m phương trình sau (m-1)x - 2(m-3)x + m - = (1.1) Lời giải a) Nếu m = (1.1) trở thành phương trình bậc 4x = có nghiệm x = b) Nếu m    m   ta có phương trình bậc hai với '  (m  3)2  (m  1)2   4(m  2) Nếu '   4(m  2) 0 m >2 : Phương trình (1.1) vô nghiệm Footer Page of 133 Header Page of 133 Nếu '   4(m  2)  0 m  : Phương trình (1.1) có nghiệm kép x1,2  m3  1 m 1 Nếu '   4(m  2)   m  : Phương trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt: x1  m3 2 m m3 2 m ; x2  m 1 m 1 Kết luận: m = 1: Phương trình có nghiệm x = m>2: Phương trình vô nghiệm m = 2: Phương trình có nghiệm kép x1,  1 m Footer Page 54 of 133 54 Thang Long University Libraty Header Page 55 of 133 CHƯƠNG IV ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 4.1 Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai việc chứng minh bất đẳng thức Việc chứng minh bất đẳng thức học sinh phổ thông học nhiều phương pháp Ở mục này, ta đề cập tới toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào định lý đảo dấu tam thức bậc hai Dưới dạng toán mà ta áp dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai để giải Ví dụ 4.1 Cho dãy số a1, a2, , an < < 1; i = 1, , n chứng minh (1+ a1 + a2 + + an)2 > 4( a12  a22   an2 ) Lời giải Xét hàm số f(x) = x2 - 1(1+ a1 + a2 + + an) x + ( a12  a22   an2 ) Ta có: f (1)  (a12  a1 )  (a22  a2 )   (an2  an ) Do < ak < k  1, , n nên ak2  ak  ak2  ak   f (1)  Vậy theo định lý đảo tam thứ bậc hai nên  > hay (1  a1  a2   an )  4(a12  a22   an2 )  toán chứng minh Ví dụ 4.2 Cho số thực a, b, c chứng minh tồn số thực m thỏa mãn: am2  c  bm b  4ac Lời giải Xét f ( x)  ax  bx  c +) Nếu a = b2 – 4ac > +) Nếu a  từ giả thiết am2  c  bm  ( am2  c)2  (bm)2   (am2  c  bm)(am2  c  bm)  (1) Footer Page 55 of 133 55 Header Page 56 of 133 +) Nếu m = từ giả thiết  c =  b2 – 4ac  +) Nếu m   m  -m Ta có: f(m) = am2 + bm + c f(-m) = am2 – bm + c Từ suy f(m) f(-m)   từ (1)  ax2 + bx + c = có nghiệm (theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai)   = b2 – 4ac   điều phải chứng minh Ví dụ 4.3 Cho a > Chứng minh a  a   a   4a  (có n dấu bậc hai vế trái với n số tự nhiên) Lời giải Đặt xn = a  a   a (có n dấu bậc hai với n số tự nhiên) xn2  a  a  a  a (có n–1 dấu bậc hai với n số tự nhiên) Do a > nên xn > xn-1 (có thể chứng minh điều quy nạp) => xn2  a  xn1  a  xn  xn2  xn  a  Xét tam thức f(t) = t2 – t – a f(xn) < Như theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai t1 < xn < t2 với t1, t2 hai nghiệm f(t) với t2   4a  1  4a  Vậy xn  2 Ví dụ 4.4 Cho   x    y  chứng minh: x2  3xy   Lời giải Đặt f(x) = x2 + 3xy + Ta có x = 9y2 – +) Nếu   y  x < => f(x) >  x  R +) Nếu   y   Ta có x > Xét a.f ( ) = Footer Page 56 of 133 6y  5 6y  Ta có a.f ( ) =  với y > 56 Thang Long University Libraty Header Page 57 of 133 2 s  3y 1  3y      với y  2 2     x1  x2 (x1, x2 hai nghiệm f(x)) Vậy với -1  x  ta có f(x) >  điều phải chứng minh 4.2 Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai việc giải toán hình học Với ứng dụng dạng tổng quát Vì vậy, ta xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 4.5 Cho tam giác ABC có cạnh Gọi O tâm tam giác M điểm di động AB MO cắt AC N chứng minh: 3  SAMN  A Lời giải x Đặt AM = x; AN = y Ta có: M S AMN  S AMO  S AON  y O 1 xy sin 600  AO sin300.( x  y) 2 Vì AO = AH  3 B Thay vào ta có: x + y = 3xy Ta có S AMN  N H C (1) xy nên SAMN max  xy đạt max SAMN  xy đạt Đặt xy = t (2) Từ (1), (2) theo định lý Vi – et ta có x, y hai nghiệm phương trình: f(X) = X2 – 3tX + t = (3) Bài toàn cho trở thành: Tìm giá trị lớn t (3) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện < X1 < X2 < Footer Page 57 of 133 57 Header Page 58 of 133 Theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai ta có: t  a f (0)  1  2t  a f (1)       9t  4t    t    s t 0   0      Từ suy ra: SAMN lớn t = 1 tức x = 1, y = 2 (hoặc x = , y  1) Còn SAMN bé t = SMax = tức x = y = Vậy ta có kết luận sau: 3 M = B, N = N1 (hoặc M = M1; N = C) Trong M1, N1 tương ứng trung điểm AB AC Smin = Khi MN qua O song song với BC Hiển nhiên Smin < SAMN < Smax hay Footer Page 58 of 133 3  SAMN  58 Thang Long University Libraty Header Page 59 of 133 KẾT LUẬN Luận văn đưa ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai vào giải toán trường THPT Mỗi ứng dụng minh họa ví dụ cụ thể (45 ví dụ) Trong số 45 ví dụ có 10 toán thuộc việc tìm nghiệm so sánh nghiệm với số cho 17 toán ứng dụng định lý đảo tam thức bậc hai vào việc giải phương trình, bất phương trình, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vô tỷ, phương trình bậc cao, phương trình mũ, phương trình lôgarit phương trình lượng giác 13 ứng dụng định lý đảo tam thức bậc hai vào việc khảo sát hàm số Cuối ứng dụng vào việc chứng minh bất đẳng thức số toán hình học Footer Page 59 of 133 59 Header Page 60 of 133 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính nhiều tác giả, Các giảng luyện thi môn toán, tập 1, tập NXB GD 1996 Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình NXB GD 1999 Nguyễn Tiến Quang, Phương pháp tam thức bậc hai trường phổ thông NXB GD 1999 Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan,các chuyên đề toán PTTH đại số 10 NXB GD 1999 Nguyễn Viết Diễn, Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ loogarit NXB ĐHQGHN 1999 SGK toán lớp 10 NXB GD 2000 SGK toán lớp 11 NXB GD 2000 Nguyễn Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, Tuyển chọn ôn luyện thi vào đại học, cao đẳng NXB GD 2001 Nguyễn Đức Tấn, Phương trình bậc hai số ứng dụng NXB GD 2005 10 Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển toán NXB GD 2005 11 Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề toán NXB GD 2005 12 SGK toán lớp NXB GD 2006 Footer Page 60 of 133 60 Thang Long University Libraty ... phương trình bậc hai, so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số cho Chương II Ứng dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai vào việc giải phương trình, bất phương trình Trong chương nêu lên số ứng dụng.. . tam thức bậc hai vào việc khảo sát hàm số Tôi sử dụng định lý đảo tam thức bậc hai vào số toán khảo sát hàm số đồ thị như: hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến miền, cực trị dạng đồ thị hàm số, ... 133 2.6 Một số sai lầm học sinh sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai 37 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC THAM SỐ