So sánh nghiệm tam thức bậc hai với một số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT  ---SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI MỘT SỐ THỰC KHÔNG DÙNG ĐỊNH LÝ ĐẢO Lĩnh vực: Toán THPT Tác giả: Giáo viên môn: T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT 

-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI MỘT SỐ THỰC KHÔNG DÙNG ĐỊNH LÝ ĐẢO

Lĩnh vực: Toán THPT

Tác giả:

Giáo viên môn: Toán

Năm học

PHẦN MỞ ĐẦU

I.Bối cảnh của đề tài

Trong quá trình đổi mới công tác giáo dục, việc đổi mới chương trình, nội dung sách giáo khoa và đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục là việc làm hết sức cần thiết Với lý do giảm tải nên trong chương trình Toán THPT không còn định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, tuy nhiên ta vẫn còn gặp một số bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai

II Lý do chọn đề tài

Giải bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai như trước khi thay sách ta phải dùng đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, dạy theo chương trình và sách giáo khoa đổi mới, không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nên giáo viên ít nhiều còn lúng túng

III Phạm vi và đối tượng của đề tài

Do thời gian có hạn và quá trình nghiên cứu chưa nhiều, nên bài viết chỉ nêu các bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT mà không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai

IV Mục đích nghiên cứu

Bài viết này sẽ giải các bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, giúp bản thân tôi định hướng cách giải, không còn lúng túng khi gặp các bài toán dạng này, qua kinh nghiệm này tôi muốn trao đổi cùng đồng nghiệp các vấn đề tuy không mới nhưng ta ít gặp, ít dùng

V Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Qua đề tài này ta có thêm phương pháp giải bài tập liên quan đến định lý đảo

về dấu tam thức bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số

PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận:

Để dễ dàng theo dõi đề tài này tôi xin nêu lại định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của định lý.

Định lý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a≠0) và số thực α Nếu af( ) 0 α <

thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2) và x1<α < x2

Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a≠

0) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2) là tồn tại số α sao cho af( ) 0 α <

Hệ quả 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a≠0) và hai số thực α ,β sao

cho α <β Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = 0 có hai nghiệm,

trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (α;β), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [α ;β]

là f( ) ( ) 0 α f β < .

Chú ý: Phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a≠0) có hai nghiệm phân

biệt x1, x2 ( x1< x2 ) và α nằm ngoài đoạn [x1; x2] 0

( ) 0

∆ >



⇔  >



Phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a≠0) có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 và α< x1< x2

0 ( ) 0 0 2

af S

α α



∆ >



⇔ >



 − >



Phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 ( a≠0) có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 và x1< x2 <α

0 ( ) 0 0 2

af S

α α



∆ >



⇔ >



 − <



Phương pháp đặt ẩn phụ:

So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a≠0)

ta đặt t = x– α ta được tam thức bậc hai g(t) = a’t2 + b’t + c’ (2) và ta so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai g(t) với số 0.

Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu P c 0

a

′

⇔ = <

′

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

0 0

c P a

∆ >





⇔  = > ′

′



Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

0 0 0

c P a b S a



∆ >

 ′



⇔ = >

′



′

 = − >

 ′



Phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt

0 0 0

c P a b S a



∆ >

 ′



⇔ = >

′



′

 = − <

 ′



Phương pháp hàm số:

Ký hiệu K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn chứa trong ¡

Định lý 1: Cho hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f / (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) đồng biến trên K.

b) Nếu f / (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K Nếu f / (x) ≥ 0 ( f / (x) ≤

0) với mọi x thuộc K và f / (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f( x) đồng

biến (nghịch biến ) trên K

II Thực trạng của vấn đề:

Giải một số bài tập bằng phương pháp sử dụng định lý đảo

về dấu tam thức bậc hai ( theo chương trình không phân ban)

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm

thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.

1

y x

− −

= + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1 Tìm

giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:

1 1

mx

x− − = −

2

⇔ = − + = (2) ( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)

⇔phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1< x2 ) và x1< x2<–1 hoặc

–1< x1< x2

⇔

2 0 ( 1) ( 1) 0

m

∆ = >

 − − >



0

1 0

m m

≠



⇔  − <



0 1

m m

≠



⇔  <



Vậy m < 1 và m≠ 0

x y x

+

= + tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2

x x

+ + = mx + m – 1 (1)

2

⇔ = + − + − = (2)

( do 1

2

x= − không là nghiệm của phương trình)

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)

⇔phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1< 1

2

− < x2

2

⇔ − ÷< ⇔ >

 

Vậy m > 0

Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2mx – m cắt đồ thị hàm số

2

2

y

x

−

=

− tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt.

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3

2

x

−

− = 2mx – m (1)

2

( do x = 2 không là nghiệm của phương trình)

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)

⇔phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1< 2< x2

2(m 1) (2) 0f

⇔ − < ⇔ >m 1

Vậy m > 1

Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số

3 1

3

x

y

x

−

=

− tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 1

3

x x

−

− = mx – 1 (1)

2

⇔ = − + + = (2)

( do x = 3 không là nghiệm của phương trình)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)

⇔phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1< x2 ) và x1< x2< 3 hoặc

3 < x1< x2

(3) 0

mf

⇔ > ⇔ m < 0

Vậy m < 0

Tuy nhiên có một số bài tập áp dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai rất khó:

Giải: Đặt t= 2 sin 2x với 1 ≤ ≤t 2, phương trình trở thành t 2 m

t

+ =

2

⇔ = − + = (1)

Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

[1 ; 2 ]

Có 3 trường hợp:

Phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2 và 1< t1 ≤ t2 <2

0 (1) 0

1 0 2

(2) 0

2 0 2

af S

af S



∆ >

 >





⇔ − >



>





 − <



Phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2 và t1 ≤1 ≤ t2<2 hoặc 1< t1 ≤2 ≤t2

(1) (2) 0

⇔ ≤

Phương trình (1) có hai nghiệm t1, t2 và t1 ≤1< 2 ≤t2

(1) 0 (2) 0

af af

≤



⇔  ≤



Giải 3 hệ bất phương trình trên và tìm hợp 3 tập nghiệm của 3 hệ bất phương trình trên ta được kết quả Đây là việc làm hết sức vất vả, tốn rất nhiều thời gian và công sức Đối với học sinh trung bình thì không thể giải được

III Các biện pháp giải quyết vấn đề:

1.Giải các bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh Trường hợp 1: Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung.

1

y x

− −

= + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1 Tìm

giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1

1

mx

x− − = −

2 (m 1)x mx 0

⇔ − + = ( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình)

0 (2) 1

x

m x

m

=





⇔

 =

−



(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)

⇔phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn –1 và khác 0

⇔

1 1

0 1

1 0 0

1

m m

m m

m m

 > − 

 >

 − ⇔ −

 

 ≠  ≠

 −



⇔m < 1 và m≠ 0

Vậy m < 1 và m≠ 0

x y x

+

= + tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2

x x

+ + = mx + m – 1 (1)

2

2mx 3(m 1)x m 3 0

⇔ + − + − = ( do 1

2

x= − không là nghiệm của phương trình)

1 3 (2) 2

x

m x

m

= −





⇔ −

 =



(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)

⇔phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn 1

2

−

0

m

−

⇔ > − ⇔ > ⇔m > 0

Vậy m > 0

Trường hợp 2 : Đường thẳng và đồ thị hàm số không có điểm chung.

Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2mx – m cắt đồ thị hàm số

2

2

y

x

−

=

− tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt.

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3

2

x

−

− = 2mx – m

2 2(m 1)x (3 5 )m x 2m 0

⇔ − + − + = (1) ( do x = 2 không là nghiệm của phương

trình)

Đặt t = x –2 hay x= t + 2, ta được phương trình:

2 2(m− 1)t + (3m− 5)t− = 2 0 (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)

⇔phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 và x1 < 2 < x2

⇔phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 và t1 < 0 < t2

2 0 2( 1)

P

m

−

⇔ = <

− ⇔m > 1

Vậy m > 1

Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số

3 1

3

x

y

x

−

=

− tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 1

3

x x

−

− = mx – 1

2 (3 4) 4 0

⇔ − + + = (1) ( do x = 3 không là nghiệm của phương trình) Đặt t = x – 3 hay x = t +3, ta được phương trình:

2 (3 4) 8 0

mt m t

⇔ + − − = (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)

⇔phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 và x1< x2<3 hoặc x1> x2>3

⇔phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 phân biệt và cùng dấu

2

8 0

P

m

∆ = − + >



⇔  = − >

Vậy m < 0

2.Giải các bài toán bằng phương pháp hàm số

Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.

1

y x

− −

= + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1 Tìm

giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).

( Ví dụ 1, mục III )

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1

1

mx

x− − = −

Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = 0 với mọi m.

Với x≠ 0, phương trình (1)

1

x m x

⇔ = + (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)

⇔Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x > –1 và x≠0

Xét hàm số ( )

1

x

f x

x

= + với x > –1

Ta có: ( )2

1 ( )

1

f x

x

′ =

+ > 0 với mọi x > –1

Bảng biến thiên:

x – 1 0 +∞

f / (x) + +

f (x)

1 0

– ∞ Vậy yêu cầu bài toán ⇔m < 1 và m ≠ 0

Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương

trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt lớn hơn –1

x y x

+

= + tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt ( Ví dụ 2, mục III )

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2

x x

+ + = mx + m – 1 (1)

Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = –1 với mọi m.

Với x≠–1, phương trình (1) 3

2x 1 m

⇔ = + (2)

Yêu cầu bài toán ⇔Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x > 1

2

−

Xét hàm số ( ) 3

f x

x

= + với x >

1 2

−

Ta có: ( )2

6 ( )

f x

x

−

′ =

+ < 0 với mọi x >

1 2

−

Bảng biến thiên:

2

− +∞

f / (x) –

f (x)

+∞

0 Vậy yêu cầu bài toán ⇔m > 0

Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương

trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 và x1 < 1

2

− < x2

Bài tập tương tự:

1)Tìm m để đường thẳng y= mx + m+ 1 cắt đồ thị hàm số 2 1

2

x y x

−

=

− tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt

2)Tìm m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số 2 3

3

y x

− −

= + tại hai

điểm thuộc hai nhánh phân biệt

3)Tìm m để đường thẳng y= mx + m cắt đồ thị hàm số 1

2

x y x

−

= + tại hai điểm

phân biệt cùng thuộc một nhánh

4) Tìm m để đường thẳng y= mx + m – 2 cắt đồ thị hàm số 2 3 3

1

y

x

− −

= + tại

hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh

Bài toán 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình, hệ phương trình

Giải: Đặt t= 2 sin 2x với 1 ≤ ≤t 2, phương trình trở thành t 2 m

t

+ = (*)

Xét hàm số f t( ) t 2

t

= + với 1 ≤ ≤t 2

Bài toán trở thành tìm miền giá trị của hàm số f(t) trên đoạn [1; 2]

2

2 ( ) 1

f t

t

′ = −

f t′ = ⇔ =t hoặc t = – 2( loại)

Bảng biến thiên

t 1 2 2

f / (t) – 0 +

f(t)

3 3

2 2

Vậy với m ∈[ 2 2; 3] phương trình đã cho có nghiệm

Ghi chú: Nếu từ (*) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương

trình bậc hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 1; 2]

3 x− + 1 m x+ = 1 2 x − 1

Giải: Điều kiện x≥ 1

Phương trình đã cho 1 4 1

m

− −

⇔ − + =

+ +

Đặt 4 1

1

x t

x

−

= + với 0≤ <t 1 do 4 4

x

−

≤ = − <

+ +

Khi đó (1) trở thành –3t2 + 2t = m ( 2)

Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm trong đoạn [ 0; 1]

Xét hàm số f(t) = –3t2 + 2t với 0 ≤ <t 1

Ta có f /(t) = –6t + 2 , f /(t) = 0 1

3

t

⇔ =

Bảng biến thiên

t 0

1

3 1

f /(t) + 0 –

f(t)

1

3

0 – 1

Phương trình đã cho có nghiệm⇔(2) có nghiệm [0;1) 1 1

3

t∈ ⇔ − < ≤m

Ghi chú: Nếu từ (2) mà ta chuyển vế thì dẫn đến bài toán tìm m để phương trình bậc

hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 0; 1]

log x+ log x+ − 1 2m− = 1 0 (1) ( m là tham số thực)

Giải: Điều kiện: x > 0

Đặt 2

3

t = x+ , với x∈1 ; 3 3 ⇒ ∈t [1 ; 2]

Phương trình (1) trở thành t2 + −t 2m− = 2 0 1( 2 )

2

⇔ + − = (2)

Yêu cầu bài toán ⇔Tìm m để phương trình (2) có nghiệm t∈[1 ; 2]

Xét hàm số 1( 2 )

2

Ta có ( ) 1(2 1)

2

f t′ = t+ > 0, ∀ ∈t [1 ; 2] và f(1) = 0, f( 2) = 2

Bảng biến thiên:

t 1 2

f / (t) +

f (t)

2

0

Vậy yêu cầu bài toán ⇔Phương trình (2) có nghiệm t∈[1 ; 2] ⇔ ≤ ≤ 0 m 2

Ví dụ 10: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

sin sin

sin sin

 + =



 + =



Giải: Ta có : –1≤ sinx ≤1, –1 ≤ siny ≤ 1

Đặt u= 2 sinx, v= 2 sinyvới 1 2

2 ≤ ≤u , 1 2

2 ≤ ≤v

Hệ phương trình trở thành

2

2

2

u v

m uv

+ =

 + = + =

 + =  + − =  = −

t − + − = ⇔ − + =t t t (*)

Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có nghiệm t 1;2

2

 

∈   

Xét hàm số f t( ) = − +t2 2t 2 với t 1; 2

2

 

∈   

( ) 2 2

′ = −

′ = ⇔ =

Bảng biến thiên

t 12 1 2

f / (t) – 0 +

f (t)

5

4 2

1 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 5 2 5

m

m

⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Bài tập tương tự:

1) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực

phân biệt:

4 2x+ 2x+ 2 6 4 − +x 2 6 − =x m m∈ ¡

3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng một nghiệm

thực:

2

4 x + 2x+ − 4 x+ = 1 m m∈ ¡

4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

5) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

5

15 10

 + + + =





 + + + = −



Bài toán 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch

Phương pháp

+ Tính f / (x)

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K ⇔ f x′ ( ) 0, ≥ ∀ ∈x K

+ Biến đổi f x′ ( ) 0, ≥ ∀ ∈x Ktương đương g x( ) ≤ ∀ ∈m x K,

hoặc g x( ) ≥ ∀ ∈m x K,

+ Tính g/(x) và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên K

+ Ta có g x( ) ≤ ∀ ∈m x K, max ( )

x K

m g x

∈

⇔ ≥ → kết luận

Hoặc g x( ) ≥ ∀ ∈m x K, ⇔ ≤m min ( )x K∈ g x → kết luận

đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2)

Giải: Tập xác định ¡

y/ = –3x2 +6x +m

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2)⇔ ≥ ∀ ∈y′ 0, x ( )0; 2

⇔ 3x2 − 6x m x≤ ∀ ∈ , ( )0; 2

Xét hàm số g(x) = 3x2 – 6x với x∈( )0; 2

g/(x) = 6x – 6; g/(x) = 0 ⇔x = 1

Bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng ( 0 ; 2)

x 0 1 2

g/(x) – 0 +

g(x)

0 0

–3 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2)⇔ ≥m 0

Chú ý: Có thể thay khoảng ( 0 ; 2) bởi đoạn [ 0 ; 2] ta giải tương tự.