Thể tích khối đa diện
HH KG trong các đề thi TN THPT – www.mathvn.com 1 1. Đáy của một hình chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền vuông góc với đáy mổi mặt bên còn lại tạo với đáy một góc 45 0 . a. Chứng minh rằng chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh huyền. b. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp. 2. Cho hình chóp tam giác đều trong đó cạnh đáy bằng m và mặt bên có góc ở đáy bằng α. a. Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp. b. Chứng minh rằng chiều cao hình chóp đã cho bằng: ( ) ( ) 0 0 sin 30 sin 30 3 cos m a a a + - 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là các giao điểm các đường chéo của đáy dưới ABCD, biết OA’ = a. a. Tính thể tích hình chóp A’.ABD, từ đó suy ra khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD). b. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(A’BD). 4. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng α. a. Tính diện tích xung quanh của hình chóp. b. Chứng minh rằng đường cao của hình chóp bằng : 2 cot 1 2 2 a a - . c. Gọi O là giao điểm các đường chéo của đáy ABCD. Xác định I của mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D. 5. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 và cạnh đáy bằng a. a. Tính thể tích hình chóp. 45 a B C A S HH KG trong các đề thi TN THPT – www.mathvn.com 2 b. Tính góc do mặt bên tạo với đáy. c. Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp và tính bán kính mặt cầu đó. 6. Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC. a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. Tính thể tích hình lăng trụ. b. Chứng minh rằng mặt bên AA’C’C là hình vuông. 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông tại B. Biết BB’=AB=h và góc của B’C làm với mặt đáy một góc α. a. Chứng minh rằng · · ' BCA B CB = và tính thể tích hình lăng trụ trên. b. Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng (ACB’) cắt hình lăng trụ. 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và bằng a. a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Từ A dựng , AM SB AN SD ^ ^ . Chứng minh rằng ( ) SC mp AMN ^ . c. Gọi K là giao điểm của SC và mp(AMN). Tính diện tích tứ giác AMKN. 9. Cho hình thang vuông ở A và D, AD = AB = a, CD = 2a. ( ) SD mp ABCD ^ , SB tạo với mp(ABCD) một góc j . a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là những tam giác vuông. b. M là trung điểm của SB. Mặt phẳng qua M và CD cắt SA tại N. Chứng tỏ rằng NMCD là hình thang vuông. Tính diện tích hình thang vuông đó. K O N M D S B A C C' B' A' C B A C' A' B' I C A B HH KG trong các đề thi TN THPT – www.mathvn.com 3 10. Tất cả các mặt bên và mặt đáy của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là các hình thoi bằng nhau cạnh bằng a và · · · ( ) 0 ' ' 90 BAD BAA DAA a a = = = < . a. Tính đường cao của hình hộp hạ từ đỉnh A’ xuống đáy ABCD theo a và α. b. Tính diện tích mặt chéo AA’C’C theo a và α. c. Tính thể tích hình hộp theo a và α. 11. Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30 0 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 12. Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một hình vuông. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Tính thể tích khối tứ diện SBCD, biết rằng SA = AB = a. I O D S B A C D C I O A B S H D' C' B' C B D A' A N M S C A D B HH KG trong các đề thi TN THPT – www.mathvn.com 4 13. Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cũng có độ dài bằng a. a. Chứng minh rằng SAC và SBC là những tam giác vuông bằng nhau. Tính diện tích tam giác SAC. b. Tính thể tích khối tứ diện SABD. 14. Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng a 3 . Cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 60 0 . a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp. b. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy. 15. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. a. Tính diện tích các mặt bên của hình chóp, biết rằng SA = AB = a. b. Trong DSAB kẻ đường cao AE. Chứng minh rằng AE vuông góc với SC. 16. Cho khối tứ diện ABCD có ba mặt DAB, DAC, DBC là những tam giác vuông cân tại D và cùng có cạnh góc vuông là a. a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều và tính diện tích của nó theo a. b. Với a = 5, hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên SA vuông góc với đáy. a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Tính thể tích của khối chóp khi biết AB = 7dm, AC = 25dm, SA = 20dm. c. Tính diện tích toàn phần của hình chóp khi biết AB = SA = 3a, AC = 5a. N M C A B S E O D S B A C HH KG trong các đề thi TN THPT – www.mathvn.com 5 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán kính r. Đáy ABC của lăng trụ là tam giác vuông tại C, góc ABC bằng a (0 0 < a < 90 0 ) và cạnh bên AA’ bằng cạnh AB của đáy. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối lăng trụ theo r và a . 19. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc ABC bằng 30 0 và AA’=AB=2. a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối lăng trụ. b. Chứng minh rằng 6 đỉnh của hình lăng trụ cùng nằm trên một mặt cầu. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu. The end http://www.mathvn.com O D S B A C r A' B' C' A I B C r A' B' C' A I B C