Tóm tắt lý thuyết và các bài toán cơ bản về nguyên hàm tích phân

5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức: BB2 : Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi: • Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

NGUYÊN HÀM

VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:

ĐN 1 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b)

ĐN 2 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]

Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích

phân bất định của hàm f(x)

1- x 2

dx d(arc cosx) = -

1- x 2

dx d(arc tgx) =

1+ x

2

dx d(arc cotgx) = -

1+ x NHÓM HÀM LƯỢNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM

d(sinx) = cosxdx

d(cosx) = -sinxdx

2 2

dx d(tgx) = = (1+ tg x)dx

cos x 2

dx d(cotgx) = -

sin x

dx d(lnx) =

x a

dx d(log x) =

xlna d(e x ) = e x dx d(a x ) = a x lnadx

A BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN:

NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA

14/∫cotgxdx = ln sinx +C NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM

NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0)

B BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG:

NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

∫

22/ a - (ax + b) dx = 2 2 (ax + b) a - (ax + b) + 2 2 a 2 arcsin (ax + b) + C

∫

23/ (ax + b) ± a dx = 2 2 (ax + b) (ax + b) ± a ± ln (ax + b) + (ax + b) ± a + C 2 2 2 2

2a

∫

VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN

TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN:

Biến đổi hàm tích phân về dạng: ∫[Af(x) ± Bf(x) + ]dx = A f(x)dx ± B g(x)dx + ∫ ∫

BB1 : Cụ thể phải

1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd

2/ Khai triển các hằng đẳng thức:

4/ Nhân lượng liên hợp: A ± B←⎯→llh A m B;

5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức:

BB2 : Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi:

• Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích

• Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau:

BB3 : Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp

f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C

∫ với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và

gọn

Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn Ta có định

nghĩa: 1 khi x > 0 mở rộng 1 khi f(x) > 0

Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x 0 ∈[a;b]

( ∫f(x)dx) = F(x ) + C (1)

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = f(x)dx∫ mà vẫn không mất

tính tổng quát của nguyên hàm so với định nghĩa họ nguyên hàm

Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích

Dùng định nghĩa nguyên hàm và ứng dụng cách xác định hằng số C qua 4 bước:

• Xem biểu thức A(x, a, b, c, ) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và

đặt f(x) = A(x, a, b, c, )

• Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số

• Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x)

• Tìm hằng số C bằng cách thay x = x 0 là giá trị cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên,

lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung

Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c )

Dạng 3: Tính tổng hữu hạn

BB1 : Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà

số hạng đầu là a 1 , có n hạng tử và công bội q thì: F(x) = a 1 1- q n

1- q

BB2 : So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm

VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ:

f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕ ϕ

∫

Với x = ϕ(t) f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕ ϕ

∫ Với t = ϕ(x) là biến mới

A BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x)

4.∫f(cosx)sinxdx Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx

5.∫f(sinx)cosxdx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx

10 2

2

1 f(arc tgx) dx

1+ x 1 f(arc cotgx) dx

1- x 1 f(arc cosx) dx

B ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t)

(*) hay ∫uv'dx = uv - u'vdx∫

Các dạng tích phân từng phần:

∫ Trong đó P n (x) là đa thức bậc n

Ta đặt u = P n (x) và (ax+b)

sin(ax + b) cos(ax + b)

e

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

ln(ax + b) arcsin(ax + b);arccos(ax + b)

u =

arctg(ax + b);arccotg(ax + b)

I DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN:

O

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm

xác định trên đoạn [a;b] Khi đó hình

phẳng giới hạn bở trục hoành, đường

cong y = f(x) và các đường thẳng có

phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là

hình thang cong (Hình thang hỗn

tuyến AA’B’B)

2 Diện tích hình thang cong:

Định lý: Nếu hàm số y = f(x) xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ

x = b có giá trị là: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên

[a;b]

b a

S = F(b)- F(a) = S

II ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:

III

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm

chia: a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b Trên mỗi đoạn [x k-1 ;x k ] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξ k bất

kỳ Ký hiệu: Δx k = x k - x k-1 Nghĩa là: Δx 1 = x 1 - x 0 , Δx 2 = x 2 - x 1 ,

Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số

Ta gọi tích phân xác định của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích

phân khi maxΔx k → 0

Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ k Ký hiệu:

k

0 k 1 a

• a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên

• Ý nghĩa hình học của tích phân xác định: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là

diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và

b a f(x)dx

1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bị chặn trên đoạn

[a;b] đó

2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn

[a;b] đó

• Khi tính tích phân bằng định nghĩa cần thực hiện:

BB1 : Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia x = a + k k b - a

n Với k = 0, 1, 2, ., n

BB2 : Chọn ξ k bằng x k (hoặc x k-1 ) trong đoạn [x k-1 ,x k ]

BB3 : Lập tổng tích phân n n k k-1 k

k=1

S =∑(x - x ).f(x )

BB4 : Ta có b n

n a

6 3) 1 + 2 + 3 + + n = 3 3 3 3 n(n +1) 2

2

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4) =∫b x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x)

a

dt)

t()

x

(

F

Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann

ĐL 1 : (Điều kiện cần: suy ra từ định nghĩa ∫b )

a

dx)x(

Mọi hàm f không bị chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó

ĐL 2 : (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó

ĐL 3 :Mọi hàm f bị chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm

x 0 ∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó

0 0

Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bị chặn trên đoạn [a;b]

ĐL 4 :Mọi hàm f bị chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó

Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz Công thức Newton - Leibnitz:

khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện:

b

a

f(x)dx = F(b)- F(a)

∫

• Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b]

• Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b]

Ghi chú:

Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b]

ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c

∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn:

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

∫ ∫ ∫ (*) (*) còn sử dụng khi x 0 = c là điểm gián đoạn của f(x) và

F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng)

Thuật đổi biến số:

Khi đã quan sát b và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]:

a f(x)dx

∫

• PP 1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức ( )

( ) f[ (x)] '(x)dx f(t)dt

• Với các ghi nhớ:

) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới

) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm

Với các ghi nhớ:

) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới

) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên

[a;b]

1 1

Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) < hay t = ϕ -1 (x) > là quan trọng như tính liên tục và

khả đạo hàm của t trên [α;β] < hay [a;b] >

Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà (1) Lúc đó (1) không còn đúng!

VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC

Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất

a a

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

BB2 : Tính I 2 và I 2 phụ thuộc vào 3 trường hợp của I 1 2 b

∫ ; trong đó P(x) và Q(x) là những đa thức

Ta để ý hai trường hợp:

TH 1 : Bậc P(x) ≥ bậc Q(x) thì đem chia P(x) : Q(x) để đưa về trường hợp 2

TH 2 : Bậc P(x) < bậc Q(x) thì ta đã có 2 phương pháp nhân tích thành tổng các tích phân

phân thức thành phần mà phép giải khả thi như sau:

• Phân tích theo yêu cầu đề bài hướng dẫn

• Phân tích theo định lý Taylor

TH 1 : Q(x) = 0 có các nghiệm đơn x 1 ; x 2 ; x 3 thì phân tích

Q(x) x x= − +x x− + x x− + ∀ ∈ là hằng số

Tìm A i bằng phương pháp thế giá trị riêng (nghiệm mẫu)

TH 2 : Q(x) = 0 có các nghiệm bội x 1 ; x 2 Thì ta phân tích, thí dụ:

TH 3 : Q(x) chứa các tam thức bậc hai α 1 x 2 + β 1 x + γ 1 có nghiệm x 1 ; x 2 hay có nghiệm kép hay

α2 x 2 + β 2 x + γ 2 (vô nghiệm) thì ta phân tích, thí dụ:

CHUYÊN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1:

• Cho hàm f xác định trên [a;+∞) và khả tích trên đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞ Ta định

nghĩa: Khi giới hạn ở vế phải hữu hạn ta nói hội tụ,

ngược lại ta nói phân kỳ

b b

+∞

∫

a f(x)dx

Hay c

c f(x)dx f(x)dx f(x)dx; c R

• Việc sử dụng công thức Newton - Leibnitz cũng không khác mấy khi gọi F(x) là

a f(x)dx lim F(b) F(a) f(x)dx F(b) lim F(a)

II TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2:

Cho hàm f giới nội và khả tích trong đoạn [a + ε; b] nhưng không giới nội hoặc không khả

tích trong toàn bộ [a; b] ta định nghĩa: b b khi

∫ ∫ ∫ 2 dx Và ta chứng minh được I = 0

III TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:

Dạng 1: b m n

a

sin x cos xdx

∫

1) Nếu ít nhất một trong 2 số m hay n lẻ:

• m lẻ (⇒) Đặt t = cosx

• n lẻ (⇒) Đặt t = sinx

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Sử dụng các phép thế sau:

1) Phép thế tổng quát (Phép thế vạn năng):

2dt dx

2) Ba phép thế đặc biệt:

• R(-sinx; cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = cosx

• R(sinx; -cosx) = -R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = sinx

• R(-sinx; -cosx) = R(sinx; cosx) (⇒) Đặt t = tgx

Dạng 3: Các dạng khác

2) Biến đổi tổng thành tích

3) Các dạng khác trên

IV TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC:

Dạng 1: b m n p q r s

a

R(x;x ;x ; ;x )dx

∫

1) Đặt t=k x ⇒t k = x với k = MSC (n; q; ; s) Nhớ để ý tính khả tích của f trên [a;b]

2) Phương pháp vẫn khả thi khi gặp các hàm hợp của hàm: f(x) R(x;x ;x ; ;x )dx= m n p q r s

BB2 : Phân biệt ba trường hợp sau khi đưa 1

α ra ngoài dấu tích phân và đặt X x

3)

b b

a a

0 Áp dụng: dX arcsin X (H 0)

I=∫R x; α + β + γx x d x Sử dụng một trong 3 phép thế sau khi biến đổi và quan sát điều kiện khả tích:

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net Đặt t arccos m kx h m

I=∫R x; α + β + γx x d x Một cách khác phép thế Euler như sau tỏ ra tiện lợi:

Dạng 6: Giới thiệu các dạng chuẩn và các thuật đổi biến đặc trưng

Xử lý đúng thuật đổi biến đặc trưng cho từng dạng chuẩn được giới thiệu ở sau: ta luôn

được cách giải quyết tích phân bằng phương pháp tích phân đặc trưng cho các hàm căn

thức đã biết (chú ý điều kiện khả tích)

1) Dạng 1 b 2

a

dx I

= + δ α + β + γ

x

=+ δ

2) Dạng 2 b 2 2

a

Ax dx I

=

ω + δ α + γ

∫ Đặt t= α + γx 2 3) Dạng 3 b

a

Bdx I

=

α + β + γ

∫ Với P n (x) đa thức bậc n ≥ 2

Bằng cách biến đổi Euler, tích phân I 6 tính được một cách tổng quát nhưng rất phức tạp

Người ta đã chứng minh được công thức sau và nếu áp dụng nó thì việc tính tích phân I 6 có

phần đơn giản hơn:

2 n

Trong đó Q n-1 (x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số cần được xác định và λ là một số thực

cũng cần được xác định

Để xác định λ và các hệ số của Q n-1 (x) ta đạo hàm hai vế đẳng thức (*) Rồi đồng nhất hệ số

hai vế để suy ra hệ phương trình đặc trưng mà việc giải hệ phương trình đặc trưng đó sẽ

cho ta λ và các hệ số của Q n-1 (x) (Gọi là phương pháp đạo hàm đẳng lập)

VẤN ĐỀ 3: CẬN TRUNG GIAN:

Cơ sở của phương pháp là áp dụng hợp lý công thức (1): qua hai

bước (để tính các tích phân xác định mà hàm dưới dấu tích phân có chứa | |; max; min và cả

trường hợp đoạn lấy tích phân không áp dụng được công thức Newton - Leibnitz)

f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx

BB1 : Chọn cận trung gian c thích hợp (đôi khi phải chọn hai, ba giá trị cận trung gian khác

nhau tùy điều kiện bài toán)

BB2 : Áp dụng công thức Newton - Leibnitz

f(x)dx F(c) F(a) và= − f(x)dx F(b) F(c)= −

Chú ý: Thận trọng khi f(c) ∉ R (trường hợp tích phân suy rộng loại 2)

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ CÁC THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ

RÀNG BUỘC HAI CỰC

Chứng minh (VT = VP) Đôi khi ta cần chứng minh đẳng thức trung gian Ví dụ:

Ở đây ta lưu ý đến phép đổi biến số kết hợp cận trung gian, tính chẵn lẻ tuần hoàn - liên

tục Ngoài ra tính chất không phụ thuộc biến và tính chất hoán đổi cực cũng rất thường

Ghi chú: Khi hai vế không cùng cực ta phải đổi biến số để tính cực là đồng nhất

10 ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN ĐÁNG NHỚ

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

biết f liên tục trên R

f có chu kỳ T

Dạng 1: Tính tích phân bằng thuật tích phân phụ trợ

• Muốn tính tích phân I ta sử dụng tích phân phụ trợ J và việc chọn J (khả tích) như các

tiêu chuẩn sau đã tỏ ra là tiện lợi:

1) Hệ phương trình g(I;J) 0 là giải được

2) Chứng minh I = J và giải phương trình: 2I = I + J ⇒ I =

(Hiển nhiên tính được cả J vì J = I)

• Cũng có thể chọn J sao cho: (1) và (2) với chú ý cả hai

tích phân ở (1) và (2) đều khả thi

b a

I J+ =∫h(x)dx b

a

I J− =∫g(x)dx

Dạng 2: Tính tích phân bằng thuật hàm phụ trợ

• Muốn tính tích phân mà trong đó hàm f(x) khả tích trên [a;b] nhưng không

tính được nguyên hàm bằng các phương pháp đã nêu (hay không tính được một cách

đơn giản bằng tính chất hàm sơ cấp) Người ta chọn một hàm phụ trợ g(x) khả tích cho

f(x) như sau tỏ ra hiệu quả:

b a

I=∫f(x)d x

(1) h(x) ≡ f(x) + g(x) = const; ∀x ∈ [a; b]

• Thông thường tìm f’(x) để dự đoán g(x) cần tìm

VẤN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng đại số và giải tích

Cho các hàm liên tục trong đoạn [a; b]; ∀b > a, như sau:

• Xét một bất đẳng thức mà cả hai vế đều chứa dấu tích phân ta lưu ý:

) Khi hai cận hai vế như nhau ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức xảy ra giữa hai

hàm dưới dấu tích phân

) Khi hai cận hai vế khác nhau ta cần chọn biến số để đổi ở một trong hai vế để hai

cận hai vế như nhau và làm tương tự như trên

• Vậy muốn chứng minh b Ta tìm hàm g(x) thỏa

a f(x)dx A≤

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net

O

Cho hai hàm f(x) và g(x) liên tục trên

[a;b], diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đồ thị y = f(x); y = g(x) và hai

đường tung x = a và x = b (a < b) như

trong hình vẽ được tính bởi:

b

a

S= ∫ f(x) g(x) dx−

VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN VÀ CÔNG THỨC TRUY HỒI (QUY NẠP)

Xét n b Nếu lập được một quan hệ giữa các I

Thông thường ta sử dụng:

1) Phương pháp tích phân từng phần; Phương pháp đổi biến

2) Phương pháp lùi dần các số hạng của dãy (I n ) để rút gọn các số hạng ở khoảng giữa

của dãy, để rồi từ đó tìm ra số hạng tổng quát tùy ý của dãy (I n )

VẤN ĐỀ 8: HÀM TÍCH PHÂN

Xét tích phân với hai cận a = a(x), b = b(x) thì I không là một hằng số thực Lúc

đó I là một hàm số thực theo biến số thực x : I(x) gọi là một hàm số - tích phân hay gọn hơn

hàm tích phân Thường ta xét:

b a

Ta có: x là một nguyên hàm của f(x) thỏa điều kiện I(a) = 0

a I(x)=∫f(t)dt