Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết hình giải tích trong không gian
CHƢƠNG III: PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 1) I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép tốn Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn tồn tương tự mặt phẳng Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D , ta có: AB AD AA ' AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA IB OA OB 0; 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: 0; GA GB GC GD OA OB OC OD + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a 0) + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k MA !k R:b ka 1), O tuỳ ý k MB; 4OG OM Ta có: OA kOB k Sự đồng phẳng ba vectơ Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng a , b , c , a b không Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c đồng phẳng c ma nb phương Khi đó: ! m, n R: Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc Trang Tích vơ hƣớng hai vectơ Góc hai vectơ không gian: AB u, AC (u, v ) (00 1800 ) BAC BAC v Tích vơ hướng hai vectơ không gian: + Với u u v cos(u , v ) Qui ước: u.v u.v +u v + u hoaëc v u.v + Cho u , v Khi đó: u2 II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Cho ba Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm trục gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz 2 2 i Chú ý: 2.Tọa độ vectơ: a k j x; y; z i j i.k u xi y j zk (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) (ka1; ka2; ka3 ) ka a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k R b) Tính chất: Cho k u a) Định nghĩa: a b 2 j b a1 b1 a2 b2 a3 b3 (0; 0; 0), i (1; 0; 0), j (0;1; 0), k a phương b (b 0) (0; 0;1) a kb (k a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1 R) a2 b2 a3 b3 , (b1, b2 , b3 0) Trang a.b a2 cos(a, b ) b a 2 a1 a2 a3 a a1.b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 2 a1 a2 a2 a1b1 a2b2 a3b3 a.b a.b 2 2 2 a1 a2 a3 b1 b2 b3 3.Tọa độ điểm: a) Định nghĩa: M( x; y; z) (với a, b 0) ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) OM Chú ý: M (Oxy) M z = 0; M Ox (Oyz) x = 0; M (Oxz) Oy x = z = 0; M Oz y = z = 0; M y=0 x=y=0 b) Tính chất: Cho A( xA; yA; zA ), B(xB ; yB ; zB ) ( xB AB AB ( xB x A ; yB yA ; zB zA ) x A )2 ( y B y A )2 (zB z A )2 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M x A kxB yA kyB zA kzB ; ; k k k Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M xA xB y A ; yB zA zB ; 2 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xA G xB xC y A yB ; 3 yC zA zB zC ; Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: xA G xB xC xD yA yB ; yC yD zA zB zC ; zC 4.Tích có hƣớng hai vectơ: (Chƣơng trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a, b a b a2 a3 b2 b3 ; a (a1, a2 , a3 ) b (b1, b2 , b3 ) , a3 a1 b3 b1 ; a1 a2 b1 b2 a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vô hướng hai vectơ số Trang b) Tính chất: i,j [a, b] [a, b] k; j,k i; k,i j [a, b] a; [a, b] b a b sin a, b a, b phương c) Ứng dụng tích có hƣớng: a, b c đồng phẳng Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: [a, b].c S ABCD Diện tích hình bình hành ABCD: S Diện tích tam giác ABC: Thể tích khối hộp ABCD.A B C D : ABC VABCD A ' B ' C ' D ' VABCD Thể tích tứ diện ABCD: AB, AD AB, AC [ AB, AD ] AA ' [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương a b a.b a vaø b phương a, b , c đồng phẳng a, b a , b c Trang 5.Phƣơng trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 2 2 2 Phương trình x y z 2ax 2by 2cz d với a b c d phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2 b2 c2 d VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm khơng gian – Sử dụng phép tốn vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng cơng thức toạ độ vectơ điểm khơng gian – Sử dụng phép tốn vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt: AB, AC phương A, B, C thẳng hàng AB DC ABCD hình bình hành AB, AC AB k AC Cho ABC có chân E, F đường phân giác ngồi góc AB AB EC FB FC AC AC ABC BC Ta có: , AB, AC , AD không đồng phẳng A, B, C, D không đồng phẳng A EB AB, AC AD VẤN ĐỀ 3: Phƣơng trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu 2 2 Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x a) (y b) (z c) R Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: xI xA xB ; yI yA yB ; zI zA zB Trang AB – Bán kính R = IA = Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): 2 – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x y z 2ax 2by 2cz d (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu(S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 2 với a b c d (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2 b2 c d VẤN ĐỀ 4: Vị trí tƣơng đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2) I1I R1 R2 (S1), (S2) I1I R1 R2 (S1), (S2) I1I R1 R2 (S1), (S2) tiếp xúc I1I R1 R2 (S1), (S2) tiếp xúc R1 R2 I1I R1 R2 (S1), (S2) cắt theo đường tròn VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) – Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 hoặc: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 2.Tìm tập hợp tâm mặt cầu Trang – Tìm toạ độ tâm I, chẳng hạn: x f (t ) y g(t ) z h(t ) (*) – Khử t (*) ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) III PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1.Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phƣơng mặt phẳng Vectơ n VTPT ( ) giá n vng góc với ( ) Hai vectơ a , b không phương cặp VTCP ( ) giá chúng song song nằm ( ) Chú ý: Nếu n VTPT ( ) kn (k ≠ 0) VTPT ( ) Nếu a , b cặp VTCP ( ) n a, b VTPT ( ) 2.Phƣơng trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D với A2 B2 C Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D n ( A; B; C) VTPT ( ) Phương trình mặt phẳng qua M0 ( x0; y0; z0 ) có VTPT n ( A; B; C) là: A( x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 3.Các trƣờng hợp riêng Các hệ số Phƣơng trình mặt phẳng ( ) Tính chất mặt phẳng ( ) D=0 Ax By Cz A=0 By Cz D ( ) // Ox ( ) Ox B=0 Ax Cz D ( ) // Oy ( ) Oy C=0 Ax By D ( ) // Oz ( ) Oz A=B=0 Cz D ( ) // (Oxy) ( ) (Oxy) A=C=0 By D ( ) // (Oxz) ( ) (Oxz) B=C=0 Ax D ( ) // (Oyz) ( ) (Oyz) ( ) qua gốc toạ độ O Trang Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng x a Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: y b z c ( ) cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) 4.Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ), ( ) có phương trình: ( ): A1x B1y C1z D1 ( ): A2 x B2 y C2z D2 A1 : B1 : C1 ( ), ( ) cắt A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A1 ( ) // ( ) B1 C1 D1 ( ) ( ) A2 ( ) A2 : B2 : C2 B2 C2 D2 ( ) A1A2 B1B2 C1C2 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = d M0 ,( ) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C VẤN ĐỀ 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng ( ) ta cần xác định điểm thuộc ( ) VTPT Dạng 1: ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 ( ): A x x0 Dạng 2: ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có VTPT B y C z z0 : M x0 ; y0 ; z0 A;B;C có cặp VTCP a , b : Khi VTPT ( ) n Dạng 3: ( ) qua điểm y0 n a, b song song với mặt phẳng Trang ( ): Ax + By + Cz + D = 0: ( ): A x x0 B y y0 C z z0 Dạng 4: ( ) qua điểm khơng thẳng hàng A, B, C: Khi ta xác định VTPT ( ) là: n AB, AC Dạng 5: ( ) qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M: – Trên (d) lấy điểm A VTCP u – Một VTPT ( ) là: n AM, u Dạng 6: ( ) qua điểm M vuông góc với đường thẳng (d):VTCP u đường thẳng (d) VTPT ( ) Dạng 7: ( ) qua đường thẳng cắt d1, d2: – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT ( ) là: n a, b – Lấy điểm M thuộc d1 d2 M ( ) Dạng 8: ( ) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT ( ) là: n – Lấy điểm M thuộc d1 a, b M ( ) Dạng 9: ( ) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT ( ) là: n a, b Dạng 10: ( ) qua đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng ( ): u (d) VTPT n ( ) – Xác định VTCP n u, n – Một VTPT ( ) là: – Lấy điểm M thuộc d M ( ) Dạng 11: ( ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( ), ( ): – Xác định VTPT n ,n ( ) ( ) Trang – Một VTPT ( ) là: u ,n n Dạng 12: ( ) qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử ( ) có phương trình: – Lấy điểm A, B (d) Ax By Cz+D A A, B B2 C ( ) (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d (M ,( )) k , ta phương trình (3) – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại) Dạng 13: ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I bán kính R – Một VTPT ( ) là: n IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = d M0 ,( ) Ax0 By0 Cz0 A2 D B2 C Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng MH , n phương H (P) Điểm H hình chiếu điểm M (P) MM MH Điểm M đối xứng với điểm M qua (P) VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ), ( ) có phương trình: ( ): A1x B1y C1z D1 ( ): A2 x B2 y C2z D2 Trang 10 Góc ( ), ( ) bù với góc hai VTPT cos ( ),( ) Chú ý: 00 ) ( ),( n1.n2 n1 n2 900 A1 A2 A1 ( ) n1, n2 B1B2 C1C2 2 B1 C1 A2 ( ) 2 B2 C2 A1A2 B1B2 C1C2 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tƣơng đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng ( ): Ax By Cz D mặt cầu (S): ( x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 ( ) (S) khơng có điểm chung d (I ,( )) R ( ) tiếp xúc với (S) d (I ,( )) R ( ) tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d ( ) H tiếp điểm (S) với ( ) ( ) cắt (S) theo đường tròn d (I ,( )) R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vuông góc với ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d ( ) H tâm đường tròn giao tuyến (S) với ( ) Bán kính r đường trịn giao tuyến: r R2 IH Trang 11 ... a) Định nghĩa: Cho a, b a b a2 a3 b2 b3 ; a (a1, a2 , a3 ) b (b1, b2 , b3 ) , a3 a1 b3 b1 ; a1 a2 b1 b2 a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích... mặt cầu Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2) I1I R1 R2 (S1), (S2) I1I R1 R2 (S1), (S2) I1I R1 R2 (S1), (S2) tiếp xúc I1I R1 R2 (S1), (S2) tiếp xúc R1 R2 I1I R1 R2 (S1), (S2) cắt theo đường tròn... (0 ;1; 0), k a phương b (b 0) (0; 0 ;1) a kb (k a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 a1 b1 R) a2 b2 a3 b3 , (b1, b2 , b3 0) Trang a.b a2 cos(a, b ) b a 2 a1 a2 a3 a a1.b1 a2 b2 a3 b3