Đang tải... (xem toàn văn)
Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương cạnh a2. và đường chéo của một mặt bên (nếu chúng không cắt nhau)..[r]
(1)§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I> Lý thuyết
1) Hệ trục tọa độ không gian: Một hệ gồm trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian.
2) Tọa độ véc tơ: u(x,y,z) u(x,y,z) u xiyjzk
Tính chất: Cho véc tơ u1(x1,y1,z1),u2 (x2,y2,z2) số k tùy ý, ta có: ); z z ; y y ; x (x u u ) ; z z , y y , x x u u )
1 2 2
0 2 2 ; z y x u ) ; z z y y x x u u ) ); kz ; ky ; (kx u k ) 2 1 2 2 1 1
; ) u u u u x x y y z z
z y x z y x z z y y x x u , u cos )
6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2
3) Tọa độ điểm: M(x,y,z) OM(x,y,z)
4) Liên hệ tọa độ véc tơ tọa độ hai điẻm mút:
A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB)
) z -z ( ) y -(y ) x -(x AB ) ); z -z , y -y , x -(x AB ) A B A B A B A B A B A B
5) Tích có hướng hai véc tơ: Tích có hướng hai véc tơ u(a,b,c) v(a',b',c') véc tơ,
ký hiệu
b' s' b a ; a' c' a c ; c' b' c b
v ,u Tích có hướng có tính chất ứng dụng sau:
u,v.u u,v.v 0; ) u,v u.v.sinu,v; ) u,v u // v;
)
10 0
w , v , u )
40 đồng phẳng
AB ,AC.AD
6 V ) ; AC , AB S ) 0; w v ,
u ABCD
ABC
6) Phương trình mặt cầu tâm I(x0; y0; z0) bán kính R là: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
Ngược lại, pt x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = pt mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính d
-c b a
R 2
a2 b2 c2-d > II> Bài tập áp dụng.
VD1: Trong kg với hệ tọa độ oxyz cho tgABC với A(1;0;1) ,B(-1;1;2) , C(-1;1;0)
a) Tính độ dài AB AC
b) Xác định góc BAC góc hai đ/t AB AC Giải: Ta có AB= (-2;1;1) , AC= (-2;1;-1)
a) AB = AC =
(2) nhọn , là góc hai đ/t AB AC
Ví dụ :Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) , B(-1,1,2) , C(-1,1,0) vàD(2,-1,-2) a)Chứng minh điểm A,B,C,D đỉnh tứ diện
b) Tính đường cao DK tam giác BCD
c)Tính góc CBD góc tạo hai đường thẳng AB CD
d)Tính thể tích tứ diện ABCD tính đường cao AH tứ diện ABCD
Hướng dẫn giải:
a/Chứng minh véctơ AB, AC, AD khơng đồng phẳng Ta có : , 20
AB AC AD đpcm
b) Ta có S = ½ BC.DK DK = 2S/BC
Maø S = BC,DK
1
= 13 , BC = Vậy : DK = 13
c/Góc BCD = (CB,CD) = 429 Góc AB CD cos = |cos(AB,CD)|=
102 10
d) Ta tích tứ diện ABCD = 1/6 thể tích hh có ba cạnh xuất phát từ A AB,AC,AD Vậy : V ABCD = 1/3
Ta coù AH =
13 13
S VABCD
III>Bài Tập tự làm.
1 Cho ba véc tơ a(-1;0;3), b(2;2;-3), a(-2;5;-5) Tìm tọa độ véc tơ x biết:
c b -a x d) ;
c -b -a x c) ;
c -b a -x b) ; c -b a x )
a
c -b x -a h) ; c b -x a g) ; c b x a f) ; c -b -x a )
e
2 Bộ ba điểm A, B, C sau thẳng hàng:
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1); c) A(0; -2; 5), B(3; 4; 4), C(2; 2; 1); d) A(1; -1; 5), B(0; -1; 6), C(3; -1; 5); e) A(1; 2; 4), B(2; 5; 0), C(0; 1; 5); f) A(1; 1; 1), B(0; -1; 0), C(3; 5; 3); Cho điểm M(x; y; z) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M:
a) Trên mặt phẳng tọa độ b) Trên trục tọa độ
4 Cho điểm M(x; y; z) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua: a) Gốc tọa độ; b) mp(Oxy; c) Trục Oy
5 a) điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7) Tìm M mp(Oxy) để MA + MB nhỏ c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11) Tìm M mp(Oxy) để MA + MB nhỏ
6 a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại
b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x1, y1, z1), C(x3, y3, z3), B’(x’2, y’2, z’2), D’(x’4, y’4, z’4) Tìm tọa độ đỉnh lại
7 CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) đỉnh hình chữ nhật Tính độ dài đường chéo, tọa độ tâm góc hai véc tơ AC vàBD
8 CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) đỉnh hình bình hành Tính độ dài đường chéo diện tích hình bình hành
(3)10 Cho ba véc tơ a(1;-1;1),b(4;0;-1),c(3;2;-1) Tính:
abc; b) a bc; c) a b b c c a; d) 3a-2 ab b c b; e) 4ac b -5c
)
a 2 2
11 Tính góc hai véc tơ a b trường hợp sau:
3) -2; -(1; b 1), -3; -(4; a ) c 3); -0; (6; b 4), 5; (2; a ) b 3); 2; (-1; b 1), 3; (4; a )
a
12 a) Trên trục Oy, tìm điểm cách hai điểm A = (3; 1; 0) B(-2; 4; 1)
b) Trên mp(Oxz), tìm điểm cách ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) 13 Tính tích có hướng u,v Biết rằng: a) u1;1;-1,v3;-1;-3;
0;-1;-1,v -3;0;3; c) u 0;1;1,v 4;1;2; d) u 1;-1;1,v 4;4;0 u
)
b
14 Tính u,v.w Biết rằng: a) u1;-1;-1,v4;1;3, w(0;3;1);
0;-1;-2,v 3;1;-3,w -2;1;-1; c) u -2;1;-1,v -4;0;4,w -4;-1;3 u
)
b
15 Xét đồng phẳng ba véc tơ a,b vàc trường hợp sau:
1;-1;1,b 0;1;2,c 4;2;3; b) a 4;3;4,b 2;-1;2,c 1;2;1; a
)
a
4;2;5,b 3;1;3,c 2;0;1; d) a -3;1;-2,b 1;1;1,c -2;2;1; a
)
c
16 Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1)
a) CMR: ABC; b) Tính chu vi diện tích ABC; c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC hình bình hành;
d) Tính độ dài đường cao AH góc ABC e) Tính độ dài đường phân giác góc B
17 Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1) a) tứ diện ABCD; b) Tính góc tạo cặp cạnh đối; c) Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A
18 Hãy chứng minh tính chất sau tích có hướng hai véc tơ:
a,b -b,a; b) a,a 0; c) ka,b ka,b a,kb;
a)
c,a b c,a c,b; e) a.b,c a,b.c; f) a,b a b a.b
d) 2
19 Tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) D thuộc trục Oy Biết VABCD = Tìm tọa độ đỉnh D
20 Cho điểm A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0), D(1; 2; 1)
a) CMR: ABC vuông tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác b) CMR: tứ diện ABCD tính thể tích tứ diện
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
21 Cho hình lậpphương ABCD cạnh a M, N trung điểm AD, BB’ a) CMR: A’C (AB’D’) A’C MN
b) Tính cosMN,AC' VA'CMN
22 Tứ diện ABCD có SC = CA = AB = a 2, SC (ABC), ABC vuông A Các điêm M SA, N BCAM = CN = t (0 < t < 2a)
a) Tính độ dài MN tìm t để MN ngắn
b) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN đường vng góc chung BC SA
$2 :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1 Phương trình mặt cầu
* Giả Sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R>0
Điểm M(x;y;z) (S) IM2 = R2 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (1)
Phương trình (1) gọi phương trình mặt cầu y I(a;b;c)
z
(x;y;z) M
R
(4)Đặc biệt I O (góc tọa độ)
Phương trình (1) trở thành : x2 + y2 + z2 = R2
* Ngược lại phương trình dạng :
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = (2)
với A2+B2+C-D>0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) bán kính R= A2 B2 C2 D
2 GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp () mặt cầu (s) có phương trình : () : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2
Gọi H hình chiếu vuông góc tâm I (a,b,c) (S) treân mp IH = d(I,())
Ta xét trường hợp :
a) Nếu IH<R : giao ()(S) đưong tròn tâm H coù bk r =
IH
R ; xác định
heä pt :
y( )b z( )c R
)a x(
D Cz By Ax
với đk : d(I, ()) <R
b) Nếu IH = R ()(S)=
*Tìm bán kính r tâm H đường trịn:
+ bán kính 2( , ) I
d R
r
+ Tìm tâm H ( hchiếu tâm I mp())
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp() : ta có ad n
Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()
3.Giao điểm đường thẳng mặt cầu
ta z z
ta y y
ta x x d
3 o
2 o
1 o
: (1) vaø (S): x a2 y b2 z c2 R2
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I ñi qua A
ª S(I,R): x a2 y b2 z c2 R2
(1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
Tâm I trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1) Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
(5)2 2
) (
C B A
D I z C I y B
S
I
A.x ) d(I, R
I tâm cầu mặt Pt
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Duøng (2) S(I,R): x2 y2 z2 2ax 2by 2czd0 A,B,C,D mc(S)
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu qua A,B,C taâm I € (α)
S(I,R): x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d
(2)
A,B,C mc(S): tọa tọa A,B,C vào (2) I(a,b,c) (α): a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A.
Tiếp diện () mc(S) A : () qua A,vtpt nIA
3 Bài t ập áp dụng.
Ví dụ1 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) tiếp xúc với mp () có phương trình : x+2y-2z+5=0
Giải :Bán kính R mặt cầu : R =
( )
) ( ) ( ) (
Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1
Trong kg (Oxyz) cho mặt cầu (S) & mp () có pt
Ví duï2 : (S) : x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 () : 2x+y-2z-8=0
a Tìm tâm bán kính mặt cầu (S)
b Viết pt tiếp diện mặt cầu (S) M(4;3;0)
c C/m () cắt (S) Viết phương trình đường trịn giao tuyến Tìm tâm & bán kính đường trịn giao
tuyến
Giải :
a Đưa phương trình : (x-3)2+(y-1)2+(z+2)2=9
Tâm I (3;1;-2) ; bk R=3
b M0 (S) ; IM = (1;2;2) Phương trình tiếp diện : x+2y+2z-10=0
c/ d(I;() =1<R=3 () cắt (S) phương trình đường tròn giao tuyến
y( ) z( )
) x(
z y x
* Đường thẳng I, có pt tham số ;
t z
t y
t x
; (t R tham số) tham số giao điểm () : t=
toạ độ tâm đường tròn ; H
; ;
.BK: r =
IH
R =
Ví d
ụ : Lập pt mặt cầu tâm I(2;3;-1) cắt đt (d)là giao tuyến hai mp : 5x–4y+3z+20=0 3x –
4y + z –8 = hai điểm A B cho AB=16
(6)Từ R2 = IA2 = IH2 + AH2 = IH2 +
AB
Gọi (P) mp qua I & vng góc với (d) (nhận vtcp (d) làa =(2,1,-2) làm vtpt) có phương trình : 2x+y-2z-9=0 Ta có H giao điểm d (P) H (-3,-7,-11) IH =15 suy R2 =289
Vậy phương trình mặt cầu lập :(x-2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 289
4)
t Bài ập nhà.
Bài 1: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây:
1. 2
y z x y
x 2. 2
y z x y z
x
3. 2
x y z x y z 4.3x2 3y23z2 6x3y 9z30 Bài 2: Viết phương trình mặt cầu:
1.Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 2.Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1) 3.Hai đầu đường kính A(-1;2;3), B(3;2;-7)
4.Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) 5.Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0x
Bài 3.
1.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R cho trường hợp sau: a) I(1; 0; -1), 2R = 8; b) 2R = AB với A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3); c) I O tiếp xúc với S1(I1, r) Với I1(3; -2; 4), r = 1;
d) I(3; -2; 4) qua A(7; 2; 1); e) I(2; -1; 3) tiếp xúc mp(Oxy); f) I(2; -1; 3) tiếp xúc mp(Oxz); g) I(2; -1; 3) tiếp xúc mp(Oyz) Phương trình sau phương trình mặt cầu mà ta phải tìm I R
a) x2 + y2 + z2 - 2x - 6y - 8z + = 0; b) x2 + y2 + z2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0; c) x2 + y2 + z2 - y = 0; d) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2x - 3y + 5z - = 0;
e) x2 + y2 + z2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0; f) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 3x + 4y - 2z - = 0; Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau:
a) Đi qua A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) có tâm thuộc mp(Oxy); b) Đi qua A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) có tâm thuộc trục Oz;
c) Đi qua điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1)
4 Cho điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A’(a’; 0; 0), B’(0; b’; 0), C’(0; 0; c’) với aa’ = bb’ = cc’ ≠ 0; a ≠ a’, b ≠ b’, c ≠ c’
a) CMR: có mặt cầu qua điểm nói trên;
b) CMR: đ.thẳng qua gốc O trọng tâm ABC vng góc với mp(A’B’C’)
5 a) Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua điểm A(a; b; c) cho trước có bán kính R khơng đổi b) Cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Tìm tập hợp điểm M khơng gian cho MAMBMCMD4
c) Cho điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Tìm tập hợp điểm M không gian cho MA2 + MB2 + MC2 = MO2 (O gốc tọa ).
Bài 4 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: Sm:x2y2 z2 4mx 2my 6zm24m0
a) Tìm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu
b) CMR tâm (Sm) nằm đờng thẳng cố định
Bài 5 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: Sm:x2 y2z2 4mx 2m2y8m2 50
a) Tìm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu
(7)c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) qua
Bài 6 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: Sm:x2y2z2 2xsinm 2ycosm 30
a) Tỡm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu
b) CMR tâm (Sm) ln chạy đờng trịn (C) cố định mặt phẳng 0xy m thay đổi
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y A B Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m0) ,cắt (C) T, S , đờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S P Tìm tập hợp điểm P m thay đổi
Bµi 7 : Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết : a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1)
c) i qua im A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0x d) Hai đầu đờng kính A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bµi 8 Tìm tâm bán kính đường trịn sau:
. 0 z
2y 2x
0 24 6z -4y 12x - z y x a) ; 0 2z
-2y x
0 10 2z 2y 6x z y x a)
22 2 22
2
Bµi 9 Lập phương trình tiếp diện () mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 biết () song song với mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D =
Bµi 10 b) Viết p.trình mặt cầu tâm I(-2; 1; 1) tiếp xúc với mp x + 2y – 2z + =
c) Cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(BCD)
d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) có tâm I nằm mp(): x + y + z – =
§3PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HĐ
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.
Vectơ pháp tuyến mp :
n≠0 véctơ pháp tuyến n
2.
Cặp véctơ phương mp : a b cặp vtcp a,b cuøng //
Quan hệ vtpt n cặp vtcp a,b: n = [a,b]
Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : axbycz 1
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z =
7 Vị trí tương đối hai mp (1) (2) :
° caét A1:B1:C1 A2 :B2:C2 °
2
2
2
2
//
D D C C B B A
A
°
2 2
D D C C B B A A
ª A1A2 B1B2 C1C2 0
(8)9.KC từ M(x0,y0,z0) đến ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
o 2 o 2 o2 C B A
D Cz By Ax
) d(M,
10.Góc hai mặt phẳng:
2
2
n n
n n
) , cos( HĐ
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1:Mặt phẳng qua điểm A,B,C :
°
] ) (
[AB ,AC
n vtpt qua
C hay B hay A
Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
AB
vtpt
AB điểm trung M qua
n
Dạng 3:Mặt phẳng ( ) qua M d (hoặc AB)
°
)
(AB
n
d a vtpt nên (d) Vì
M qua
Dạng 4: Mp qua M // ( ): Ax + By + Cz + D = 0
°
Vì // nênvtpt n n
M qua
Dạng 5: Mp( ) chứa (d) song song (d/ )
Điểm M ( chọn điểm M (d)) Mp() chứa (d) nên ad a
Mp() song song (d/) neân ad/ b
■ Vtpt nad,ad/
Dạng 6Mp( ) qua M,N :
■ Mp () qua M,N neân MN a
■ Mp () mp () neân n b
°
] , [
n n
vtpt
N) (hay M qua
MN
Dạng 7Mp( ) chứa (d) qua M
■ Mp() chứa d nên ad a
(9)°
] , [ AM
n vtpt
A qua
d a
HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ
Viết PT mp()đi qua điểm P(1,-2,3)và song song với mặt phẳng()có PT :2x + y–z +1= ø
Giải : Vì mp() có PT 2x + y – z +1 = nên có VTPT n1(2,1,-1)
Do mp() song song với ømp() nên mp( )cũng nhận n1(2,1,-1) làm VTPT.Do mp() có PT
là:2(x-1) + y+2 –(z-3) = hay 2x+y-z+3=
Ví dụ .Viết PT mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(1,3,-2) B(1,2,1)
Giải : HD: Mp trung trực AB qua trung điểm AB nhận ABlàm véc tơ pháp tuyến
Ví dụ 3.Viết PT mp() qua hình chiếu điểmM(2,-2,1) lên trục tọa độ
Giải:Hình chiếu M trục Ox,Oy,Oz
M1(2,0,0) ,M2(0,-2,0), M3(0,0,1) Vậy PT mp cần tìm : 2 211
y z
x
Ví dụ 4 : Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau :
a Đi qua điểm M=(1,3,-2) vng góc với Oy
b Đi qua điểm M=(1,3,-2) vng góc với đường thẳng MN với M=(0,2,-3) ; N=(1,-4,1) c Đi qua điểm M=(1,3,-2) song song với mặt phẳng 2x –y +3z +4=0
Giaûi :
a Mặt phẳng qua điểm M0=(1,3,-2) vng góc với Oy mặt phẳng qua điểm M=(1,3,-2) nhận n =(0,1,0) làm VTPT nên có phương trình : y=3
b Mặt phẳng qua điểm M=(1,3-2) vng góc với đường thẳng MN mặt phẳng qua điểm M=(1,3-2) nhận MN
=(1,-6,4) VTPT nên có phương trình : x-6y+4z +25=0 c Phương trình mặt phẳng cần tìm : 2x-y+3z+7 =0
Ví dụ 5: Cho hai điểm M=(2,3,-4) , N=(4,-1,0) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn
thaúng MN
Giải :Mặt phẳng trung trực qua trung điểm I=(3,1,-2) MN nhận MN
làm VTPT Do phương trình mặt phẳng x-2y+2z + 3=0
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC với A=(-1,2,3) ; B=(2,-4,3) ; C=(4,5,6) Hãy viết phương trình mặt phẳng
(ABC)
Giải :Ta có mặt phẳng qua A,B,C qua A nhận n =[ AB
.AC
] =(-18,-9,-39) laøm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình mp : 6x +3y +13z –39 =
Ví dụ7 : Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm P=(3,1,-1) , Q=(2,-1,4) vng góc với mặt
phẳng 2x-y+3z –1=0
Giải :Ta có n =(2,-1,3) ; PQ
=(-1,-2,5) làm cặp vectơ phương Nên có vectơ pháp tuyến
n =(-1,13,5) qua P nên có phương trình : -x+13y +5z –5=0
Bài tập v nh.
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M có vtpt n biết
a, M 3;1;1 , n 1;1;2
b, M2;7; , n 3; 0;1
(10)c, M 4; 1; , n 0;1;3 d, M 2;1; , n 1; 0; 0
e, M 3; 4;5 , n 1; 3; 7
f, M 10;1;9 , n 7;10;1
Bài 2: Lập phơng trình mặt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c, A 1; 1; , B 1; 1;5
2
c,
2 1
A 1; ; , B 3; ;1
3
Bµi 3: Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M song song với mặt phẳng biÕt:
a, M 2;1;5 , Oxy b, M1;1; , :x 2y z 100
c, M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 d, M 3;6; , : x z 10
Bài 4 Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;3;2) cặp VTCP a(2;1;2); (3;2; 1)b
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;1) và:
a) Song song với trục 0x 0y b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z
c) Song song với trục 0y, 0z
Bài 6: Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M(1;-1;1) B(2;1;1) và:
a) Cùng phơng với trục 0x b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y
c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z
Bµi 7: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD) b Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song vói CD C.ViẾT PTTQ MP trung trực cạnh AB
Bµi 8:Cho hai đt d d’ có PTTS
x 3t
d : y 2t
z 3t
x t ' ;d ' y 2t '
z 12 t '
Viết PT mp chứa d song song với d’
Bài 9: Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) nhận n(2,3,4); làm VTPT b) (P) qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0
Bài 10: Lập PTTQ mặt phẳng qua I(2;6;-3) song song với mặt phẳng toạ độ
Bài11: (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0 Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua điểm A vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q)
Bài 12 Vit phng trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a) Đi qua M(-1; 3; 2) () Oy; b) Đi qua M(1; 3; 2) () // mp(Oxz); c) Đi qua M(1; -2; -3) vuông góc với đường thẳng AB với A(5; -4; 1), B(2; 0; 3) d) Đi qua M(0; 4; -1) vuông góc với mp(): 2x – y + 3z + =
Bµi 13 Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2) Viết phương trình mp(ABC)
Bµi 14 Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) vuông góc với mp(): 2x – y + 3z – =
Bµi15 Cho điểm A(2; 3; -4) Hãy viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu điểm A các
trục tọa độ
Bµi16 Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm M0(2; -1; 2), song song với trục Oy vuông góc với mặt phẳng (): 2x – y + 3x + =
Bµi 17 Cho hai đt d d’ có PTTS
x 3t
d : y t
z 4t
x 3t ' ;d ' y t '
z 18 4t '
Viết PT mp chứa d d’
(11)a) x + 2y - z + = 2x + 3y – 7z - = 0; b) x – 2y + z + = 2x – y + 4z – = 0; c) x + y + z – = 2x + 2y – 2z + = 0;
Bµi 19 Xác định l m để () // (), biết:
a) (): 2x + ly + 2z + = (): mx + 2y – 4z + = 0; b) (): 2x + y + mz – = (): x + ly + 2z + =
Bµi 20 Hai mp (): 2x - my + 3z - + m = 0; (): (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z - 10 = Với giá trị m thì: a) () // (); b) () (); c) () cắt ();() ()
Bµi 21 Trong khơng gian 0xyz cho đt d :x 1 y 2 z 3
2 mp (P) có PT :3x+y+2z+2=0 Viết PT mp chứa đt d vng góc với mp (P)
Bµi 22 .Cho hai đt d d’ có PTTS
x 2t
d : y 3t
z 13 2t
x 3t '
;d ' y 2t '
z
Viết PT mp tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2+y2+z2-10x+2y+26z+170=0 song song với hai đường thẳng
Bµi 23 .Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6;2;-5) B(-4;0;7).Viết PTMP tiết xúc với mặt cầu
(S) A
Bµi 24 a) Cho mặt cầu có phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = điểm M0(4; 3; 0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M0
Bµi 25 a) Cho mp(): 2x + y - 7z = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mp() góc 600.
b) Viêt phương trình mặt phẳng (Q) qua A(3; 0; 0), B(0; 0; 1) tạo với mp(Oxy) góc 600.
Bµi 26 a) Tìm Oy điểm cách hai mặt phẳng: (): x + y - z + = (): x – y + z – = b) Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c số thực dương thay đổi thỏa a2 + b2 + c2 = Tìm a, b, c để d(O, (ABC)) lớn nhất.
Bµi 27 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vng cạnh a, chiều cao AA’ = b, M
trung điểm CC’ Bằng phương pháp tọa độ, hãy: a) Tính thể tích tứ diện BDA’M; b) Tìm tỷ số
b a
để mp(A’BD) mp(MBD)
Bµi 28 Viết PT mp qua điểm M(1;2:4) cắt trục tọa độ 0x,0y,0z điểm A,B,C
cho OA=OB=OC ≠0 ( Chia làm trường hợp dấu khác dấu)
Bµi 29 Cho điểm A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3) CMR: ABCD tứ diện lập
phương trình mặt phẳng cách đỉnh tứ diện
Bµi 30 Viết PT mp qua điểm M(1;1:1) cắt tia 0x,0y,0z điểm A,B,C cho thể
tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.(x+y+z-3=0)
Bµi 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm
của SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI)
Bµi 32 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N, P trung điểm A’B’,
BC, DD’
a) Tính góc (AC’, A’B); b) CMR: AC’ mp(MNP); c) Tính VAMNP
Bµi 33 Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA tam giác vuông đỉnh O; OA =
(12)Bµi34 Cho điểm A(1; 1; -1), B 3; 4; 5) mp(): x + y – 2z + = Tìm mp() điểm M cho MA + MB nhỏ
§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I>Lý thuyết
1) Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng:
Đường thẳng qua M0(x0; y0; z0) với véc tơ phương u(a;b;c)có phương trình tham số
ct z z bt y y at x x 0
phương trình tắc
c z z b y y a x
x 0 0 0
2) Phương trình tổng quát đường thẳng: Hai mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = có véc tơ pháp tuyến n(A;B;C)và (): A’x + B’y + C’z + D’ = có véc tơ pháp tuyến n'(A';B';C') với A:
B: C ≠ A’: B’: C’ () cắt () theo giao tuyến có phương trình tổng quát
0 D' z C' y B' x A' 0 D Cz By Ax
Khi u n, n' véc tơ phương
3) Vị trí tương đối hai đường thẳng: Hai đường thẳng d (đi qua M0 có véc tơ phương u ) d’ (đi qua M’0 có véc tơ phương u') Khi đó:
d d’ đồng phẳng u, u'.M M'
0
0 Trong trường hợp có khả xảy ra:
u M ,M 0 3 ; ) 0
'u , u 'd // d ) 2 0; M M , u 'u , u d' d )
1 0 ' 0 0 0 ' 0 0 0
d cắt d’
0 ' u ,u 0 M M .' u ,u ' 0
d d’ chéo u, u'.M M'
0
0
4) Góc: Xét hai đường thẳng d, d’ mp() có phương trình Ta có:
c b a C B A Cc Bb Aa n u n u ) ( d, sin ; ' c ' b ' a c b a ' cc ' bb ' aa ' u u ' u u ' d d, cos 2 2 2 2 2 2
5) Khoảng cách: Vẫn xét hai đường thẳng d, d’ mp() có phương trình Ta có: Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d
u u , M M d , M
(13) Khoảng cách cách hai đường thẳng chéo d d’
u,u'
M M ' u , u ' d d, d
' 0
II>CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) qua A,B
AB
a Vtcp
hayB quaA
d
d
) ( )
(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A song song ( )
a
d a vtcp neân ) ( // (d) Vì qua
A
d)
(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vng góc mp( )
)neânvtcp a d n
( (d) Vì qua
A
d) (
Daïng4:PT d’ hình chiếu d lên : d = /
Viết pt mp chứa (d) vng góc mp
] ; [ ) ( ) (
) (
n a n
b n
a a d
d quaM
d d
ª
) (
) ( ) ( /
d
Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A vuông góc (d1),(d2)
] d a , d a [ a vtcp qua
1 2
)
(
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 :
+ Tìm ad = [a
d1, a
d2]
+ Mp () chứa d1, (d); mp() chứa d2 , (d) d =
Daïng 7: PT qua A d cắt d1,d2 : d = ( ) ( )
với mp() = (A,d1) ; mp() = (A,d2)
Daïng 8: PT d // cắt d 1,d2 : d = ( 1) ( 2)
với mp (1) chứa d1 // ; mp (2) chứa d2 //
Daïng 9: PT d qua A d 1, cắt d2 : d = AB
với mp () qua A, d1 ; B = d2 ()
Dạng 10: PT d (P) cắt d1, d2 : d = ( ) ( ) với mp() chứa d1 ,(P) ; mp() chứa d2 , (P)
Dạng 11:Hình chiếu điểm M
H hình chiếu M mp :
(14)Tọa độ H(x ;y ;z) thỏa hpt : Ptr d
Ptr ( )
2.H hình chiếu M(M x y z( ; ; )1 1 đường thẳng d :
0 0
x x at
y y bt
z z ct
. B1
:Tìm VTCP d
B2 : Lấy H x( 0at y, 0bt z; 0ct)d ; Tính MH
B3 : H hình chiếu M lên d MH ud
d
MH u
.Giải pt tìm t thay vào H ta hình
chiếu H
Dạng 12 : Điểm đối xứng
a/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua mp(P) :
Lập pt đt (d) qua điểm M vng góc mp(P) Tìm toạ độ giao điểm H đt(d) mp(P)
A/ đối xứng với A qua (P) H trung điểm MM/ nên : / / / 2 H M M H M M H M M
x x x
y y y
z z z
b/ Tìm điểm M / đối xứng với điểm M qua đt(d) :
Tìm toạ độ giao điểm H đt(d) mp(P)
A/ đối xứng với A qua (d) H trung điểm MM/ nên :
/ / / 2 H M M H M M H M M
x x x
y y y
z z z
Dạng 13: Xét tương đối hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d:
1
1
1
x x ta
y y ta
x z ta
, d’:
2 2 ' ' ' ' ' '
x x t a
y y t a
x z t a
Ta có :
1( ; ; )1 1 :
d
qua M x y z d VTCP u
d’: 2 2 2 '
M x , y , z VTCP d
Qua u
TH1 : d//d’ ' d d u ku M d TH2 : : dd’ '
2 d d u ku M d TH3: d caét d’ ud kud'
hệ pt sau có nghiệm nhất:
1
1 2
1 3
' ' ' ' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
TH4: d d’chéo nhau ud kud'
hệ pt sau vô nghiệm:
1
1 2
1 3
' ' ' ' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(15)Cách CM hai đường cắt chéo nhau:
B1: Tìm VTCP d d’: Nếu vàu d ud' không phương
B2: Xét hệ :
1
1 2
1 3
' ' ' ' ' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
-Nếu hệ có nghiệm d cắt d’.Tìm giao điểm d d’ ta thay t vào pt d thay t’ vào pt d’
-Nếu hệ vô nghiệm d d’ chéo b/ Cm ñt(d) // mp(P) :
đt(d) qua điểm M1(x1 , y1 , z1) coù VTCP a( , , )a a a1
mp(P) : Ax + By + Cz + D = coù VTPT n( , , )A B C ñt(d) // mp(P)
1 1
0 a n
Ax By Cz D
Dạng 14 : CM vng góc :
a/ Cm ñt(d) ñt(d/ ) :
đt(d) có VTCP a( , , )a a a1
đt(d/) có VTCP b( , , )b b b1
ñt(d) ñt(d/) a b1 1a b2 2a b3 0
b/ Cm ñt(d) mp(P) :
đt(d) có VTCP a( , , )a a a1
mp(P) coù VTPT n( , , )A B C
ñt(d) mp(P) a a a1: 2: 3A B C: :
III
.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A(1,0,-1); B(2,-1,3) Viết pt t/số đường thẳng AB
Giải : pttsố đường thẳng AB :
R t t z
t y
t x
( ; 1
tham số)
Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số,chính tắc,của đường thẳng d qua điểm A(2,0,-1) có vectơ phương u= (-1;3;5)
Giải : pttsố :
t z
t y
t x
; t R tham soá
pt tắc :
y z
x
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d giao hai mặt phẳng có phương trình tổng
quát :( )2 x y z 0; x y z 1 0
Hãy viết phương trình tham số tìm vectơ phương d
(16)
) ( z
y t
)( z
y t
cộng (1) (2) ta y=
t thay vào (2) ta z= t
Phương trình tham số d :
t z
t y
t x
(t R tham soá)
Vectơ phương : u = (1; - ;
) hay a = (2,3,1)
Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ M(2,3,1) đến đường thẳng
:x y z
Giải: Ta có ĐT
:x y z đi qua Mo(-2,1,-1);và có VTCP u=(1,2,-2)) coù MM0
=(4,2,2)
=> d(M,)=
2 10
Ví dụ 5:Tính khoảng cách hai đt chéo : x11 y 11 z01; :'x 32y32 z3
Giaûi: Đường thẳng đi qua điểm ù Mo(1,1,1) có VTCP u=(1,-1,0) Đường thẳng ’ qua điểm M’o(2,-2,0) có VTCPu’=(-3,3,3) Ta có: MoM’o=(1,-3,-1)
2 2
1 0 1
( 1) (3) (1)
3 3 3
( , ')
2
1 0 1
3 3 3
d
IV.BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trờng hợp sau : a) (d) qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3)làm VTCP b) (d) qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát giao tuyến mặt phẳng
( ) : - 3P x y2 - z mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm M(2;3;-5) song song với đờng thẳng (d) có phơng
tr×nh: t, R
21 22 :
t z
t y
t x d
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) mặt phẳng (P) có phơng trình : t, R
21 22 :
t z
t y
t x
d vµ
(17)Bài 5: Cho mặt phẳng (P) qua điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác
Bài6: Lập phơng trình tham số, tắc đờng thẳng (d) qua điểm A(2;1;3) vng góc với mặt phẳng (P) trờng hợp sau:
a) ( ) : P x2y3 - 0z b) P x: 2y3z1 0
Bài 7 : (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
3 4 2 4 3 7 : t z t y t x
d R
t z t y t x d 1 1 tt,
12 29 1 :
a) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
b) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung (d1),(d2)
Bµ
i8 : Cho hai đường thẳng d:
2 1 1
y z
x d’: t z t y t x 2 4
a.Tìm phương trình tổng quát mp(P) qua điểm M (1; 2; 3) vng góc với d b.Tìm phương trình tổng quát mp(Q) chứa d song song với d’
c.Chứng minh d chéo d’.Tính độ dài đoạn vng góc chung d d’ d.Tìm phương trình tổng qt đường vng góc chung d d’
Bµi 9 : : Cho đường thẳng (d) :
2 1
y z
x
hai mặt phẳng (P): x + 2y - z + = 0, (Q): 2x + y + z + =
a.Chứng tỏ (P) (Q) cắt nhau.Tính góc (P) (Q) b.Tính góc d (Q)
c.Gọi giao tuyến (P) (Q).Chứng minh d vng góc chéo d.Tìm giao điểm A, B d với (P) (Q).Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
Bµi 10 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz mp( ): x + 2y + z + = đường thẳng d:
0 3 0 2 2 z y y x
a.Tính góc d ( )
b.Viết phương trình hình chiếu d’ d mp( ) c.Tìm tọa độ giao điểm d d’
Bµi 11 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d: 0 1 0 1 2 z y x y x d’: 0 1 2 0 3 3 y x z y x
a.Chứng tỏ d cắt d’ I.Tìm tọa độ điểm I b.Viết phương trình mp( ) chứa d d’
c.Tính thể tích phần khơng gian giới hạn mp( ) mặt phẳng tọa độ
Bµi 12 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết PT mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d:
0 14 5 4 0 7 4 2 z y x z y x
đồng thời tiếp xúc với ( ): x + 2y - 2z - = và(): x + 2y - 2z + = 0.
(18)d:
0 2 2
0 3 2
z y
z x
d’:
0 10 4
0 23 8
z y
y x
a.Tính khoảng cách d d’
b.Viết phương trình mp( ) chứa d song song với d’
c.Viết PT đường thẳng vng góc với mp(Oxy) cắt hai đường thẳng d, d’
Bài 14 : Lập phơng trình tham số, tắc đờng thẳng (d) qua điểm A(1;2;3) song song vi
đ-ờng thẳng () cho :
2
: t
3
x t
y t R
z t
Bài 15 : Xét vị trí tơng đối đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) ,biết:
a) t, R
2 3 1 :
t z
t y
t x
d (P): x-y+z+3=0 b) t, R
1 9
4 12
:
t z
t y
t x
d (P): y+4z+17=0
Bài 16 : (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0
3
2 :
y z
x
d
a) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P)
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) qua A vng góc với (d) nằm mặt phẳng (P)
Bài 1 7 : Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
1
1
2 :
1
y z
x
d t
31 2 21 :
2 R
t z
ty t x
d
a) CMR hai đờng thẳng cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm b) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
Bµi 18 Viết p.trình tham số, p.trình tắc p.trình tổng qt đ.thẳng sau:
a) Đi qua điểm M(2; 0; -1) có véc tơ phương u(-1;3;5);
b) Đi qua điểm M(-2; 1; 2) vng góc với mp(): 2x – y – x + = 0; c) Đi qua hai điểm A(2; 3; -1) B(1; -2; 4)
Bµi 19.Viết phương trình đường thẳng () trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M(4; 3; 1) song song với đường thẳng ;
2t - 3 z
3t - y
2t x : (d)
b) Đi qua điểm M(-2; 3; 1) song song với đ.thẳng ;
1 z
-1 y
2 -x :
(19)c) Đi qua điểm M(2; -3; 3) song song với đ.thẳng .
0 5z y -2x
0 z -y x :) d(
d) Đi qua M(2; -3; 3) v.góc với đ.thẳng: . 0 - z y x
0 z y -x :)d( ; 0 - z y -x
0 z -y x
:)d( 2
1
Bµi20.Viết phương trình tham số đường thẳng sau:
0 3z y 3x 0 2z -4y -x :)d( ; 0 - 2z 3y x 0 z -2y -3x :)d( ; 0 - z y -2x
0 3z -2y x
:)d( 2 3
1
Bµi 21 Viết phương trình hình chiếu vng góc mặt phẳng tọa độ đường thẳng
sau: .
0 z -2y 2x
0 3 2z y -x :)d ( ;
1-3 - z 3
2 y 2
1 -x :)d
( 1 2
Bµi 22.Viết phương trình hình chiếu vng góc mặt phẳng (): x + y + z – = đường thẳng
sau: .
0 3 z -2x
0 5 z y -2x :)d ( ; 1
3 - z 3
-2 y 2
1 x :)d
( 1 2
(20)Bµi 23.Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(3; -2; 1) vng góc với hai đường thẳng
. 0 - z y x
0 10 z -2y -3x :)d( ; 0 - 2z 2y -3x
0 z -3y x :)d( 2 1
Bµi 24.Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d’ sau đây:
; z -1 y -x : ) ' (d , z y -x : (d)
a)
; z y -x : ) ' (d , z -2 -y -x : (d)
b)
; 12 z y -7 -x : ) ' (d , -1 z -y -x : (d)
c)
Bµi 25 Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng () sau đây:
; z -5y 3x : ) ( , 1 z y 12 -x : (d)
a)
; 2z 3y 3x : ) ( , z y x : (d)
b)
Bµi 26.Tìm giao điểm đ.thẳng: x = 2t, y = - t, z = + 2t mp: x + y + z - 10 =
Bµi 27 Viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng
0 - 5z y -2x 0 z y x :)
d( song song với đường
thẳng (d’): x = – t, y = + 2t, z = + 2t
Bµi 28 Viết p.trình đ.thẳng song song với đ.thẳng (d): x = 3t, y = – t, z = + t cắt hai đường
thẳng .
1 z y x2 0 3 4z y x :) d( , 3 2 z 4 2 y 1 1 -x :)
(d1 2
Bµi 29 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; -1; 1) cắt hai đường thẳng
(21)Bµi 30 Viết phương trình đường thẳng mp(): y + 2z = cắt hai đường thẳng .
1 z 2t y t x :)'(d và 4t z ty
t x :(d)
Bµi 31.Cho hai đường thẳng
2
-z
2 y
2 -x : ) ' (d ,
2 -z
1 -y
1 x :
(d) CMR: d d’
chéo viết phương trình đường vng góc chung d d’
Bµi 32 Với giá trị k đ.thẳng .
0 - z ky -x
0 z -y 2kx :) d(
nằm mp(Oyz)
Bµi33.Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng:
a) (): 2x – y + 4z + = (): x + 2y + 2z – 10 = 0; b) (): x + 2y - 3z + 15 = (): 2x + 4y - 6z – 50 =
Bµi 34 Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1), N(1; -1; 1), P(1; 1; 1) đến đường thẳng
-1 z
1 y
2 x :
(d)
Bµi 35 Tính khoảng cách từ điểm M(-2; 3; -1), N(1; -4; 1), P(-1; 5; 1) đến đường thẳng
. 0 2z 3y x
0 - 2z -y x : (d)
(22); 3t - z t - y 3t x :)'(d và 2t - z
t - y 4t x :(d) b) ; 3t z
3t - y 3t x :)'(d và 1 z
t- - y t x :(d) a)
Bµi 37 Bằng phương pháp tọa độ, tính khoảng cách đường chéo hình lập phương cạnh a
và đường chéo mặt bên (nếu chúng không cắt nhau)
Bµi 38 Tìm góc tạo đường thẳng
1 z
1 y
3 x : )
( với trục tọa độ
Bµi 39 Tính góc tạo cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD với A(3; -1; 0,),
B(0; -7; 3), C(-2; 1; -1), D(3; 2; 6)
Bµi40 .Tìm góc đường thẳng (d) mặt phẳng () sau đây:
x 2t,y -1 3t,z 2- t, ( ):2x -y 2z-1 0; :
(d)
a)
; z y x : ) ( ,
-3 z
1 y
2 x : (d)
b)
; 1 - z y -3x : )( ; 0 2 z y x
0 - 3z y 2x :(d)
c)
Bµi41. Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d mp (), với x 3t,y -1 3t,z 2-2t, ( ):2x -y -2z-10 0;
: (d)
a)
; z -y x : ) ( ,
-3 z
-1 -y
2 x : (d)
b)
; 4 - 2z y -3x : )( ; 0 2 z 2y x
0 - 3z y 2x :(d)
c)
(23)Bµi42 Viết pt đường thẳng () qua M(0; 1; 1), vng góc với đ.thẳng (d) cắt đ.thẳng (d’), biết
. 0 z x
0 2 z -y x :)' (d , 1 z 1
2 y 3
1 -x :(d)
Bµi43 Viết pt đường thẳng () qua M(0; 1; -1), v.góc cắt đ.thẳng . 0 z x
0 -4y x
Bµi44 Viết pt đường thẳng () qua giao điểm đ.thẳng d mp(), nằm () v.góc với d, biết (): x + y + z – = 0, .
z
1 y
Bµi45. Lập phương trình đường thẳng () vng góc với mp(Oxz) cắt hai đường thẳng (d): x = t, y = - + t, z = – t (d’): x = – 2y, y = - + t, z = – 5t
BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)
1 Chứng minh tam giác ABC vng Viết phương trình tham số đương thẳng AB
2 Gọi M điểm cho MB2MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng BC (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng ()có phương trình x + 2y – 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm góc tọa độ O tiếp xúc mặt phẳng ()
2 Viết phương trình tham số đường thẳng () qua điểm E vng góc mặt phẳng () (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) đường thẳng (d) có phương trình
t z
t y
t x
6 3
2 1
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đương thẳng qua hai điểm M N
(Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2)
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC
(24)Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): 12 22 22 36
y z
x (P): x + 2y + 2z +18 = 0.
1 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình tham số đương thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm d (P) (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình 6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số đường thằng d qua hai điềm M N
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng () qua ba điểm A,B,C
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A có đường kính
Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; ;0)
1. Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mp(ABC)
2. Viết phương trình tham số đường thẳng BC
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho điểm A( ; -3 ; -1), B( -2; ; 3) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ vng góc AB
Bài 11: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) đường thẳng d có phương trình x21y11z21. 1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc d
2) Tìm tọa độ giao điểm d mặt phẳng
Bài 12: Trong không gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) mp (Q) : x + 3y - z + = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A vng góc với (Q)
2 Tìm tọa độ H hình chiếu A (Q).Suy tọa độ A' đối xứng A qua (Q)
Bài 13: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;2;0 , B0;2;1 , C1;1;2 , (3; 2; 2) D Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy DABC tứ diện
2 Viết phương trình mặt cầu ( )S tâmD tiếp xúc mặt phẳng (ABC)
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
(25)2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( ).
Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
1.Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d 2.Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 16: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :x y z
1 2
điểm A(3;2;0) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên d
2 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài 17: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2 Gọi (d) đường thẳng qua C vng góc mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (Oxy)
Bài 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – = đường thẳng :
2
3
x t
y t
z t
( t tham số)
1 Tìm giao điểm I ()
2 Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ()
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đường thẳng (d) có
phương trình
x 2t
y t
z t
1 Viết phương trình mp(P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm hai điểm M N
B i 20.à
1 Cho bốn điểm A(0; 0; 3), B(1; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0)
a) Tính AB.BC.CACD2.AB; b) Tính diện tích tam giác ABC; c) CMR: bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
2 Giả sử A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4) ba đỉnh hình bình hành ABCD Tìm: a) Tọa độ điểm
D; b) Tọa độ giao điểm hai đường chéo;
(26)3 Trong k.gian tọa độ Oxyz cho hai đ.thẳng
0 z -y x
0 z 3y x :)(D' ; 4 z
2t - y
t x
:(d) a) Xét vị trí tương đối (d) (d’);
b) Viết phương trình mặt phẳng qua (d’) song song với (d);
c) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1; 1; 0) vng góc với (d) d) Tính khoảng cách (d) (d’);
e) Viết phương trình đường vng góc chung (d) (d’) Cho đường thẳng (d) mặt phẳng () có phương trình:
0 -z -5y 3x : ) ( ;
1 -x
9 -x
12 -x :
(d)
a) CMR: đường thẳng (d) cắt mặt phẳng () tìm giao điểm chúng; b) Viết p.trình mặt phẳng () qua điểm M(1; 2; -1) vng góc với (d); c) Viết phương trình hình chiếu (d) mặt phẳng ();
d) Cho điểm A(1; 0; -1) Hãy tìm tọa độ điểm A’ cho () mặt phẳng trung trực AA’; e) Viết phương trình mặt phẳng phân giác góc chứa điểm M1(1; 2; 1) tạo hai mặt phẳng () ()
5 Cho hai điểm M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) mp (): Ax + By + Cz + D = CMR: M1, M2 hai phía mặt phẳng () khi:
(Ax1 + By1 + Cz1 + D)( Ax2 + By2 + Cz2 + D) < Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
a) CMR: đường chéo A’C vng góc với mặt phẳng (A’B’D’); b) CMR: giao điểm A’C mp(AB’D’) trọng tâm AB’D’; c) Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD); d) Tìm góc hai mặt phẳng (DA’C) (ABB’A’)
7 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Các điểm M AD’, N BD cho AM = DN = k 0k a 2
a) Tìm k để độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất;
b) CMR: MN song song với mp(A’D’BC) k thay đổi;
c) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN đường vuông góc chung AD’ BD MN // A’C Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:
x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0
a) Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu (S);
b) Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mp(): x + y – z + k = theo k;
c) Tìm tọa độ giao điểm (S) đ.thẳng qua hai điểm M(1; 1; 1) N(2; -1; 5) viết p.trình mặt phẳng tiếp xúc (S) giao điểm
9 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) a) CMR: A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện tính VABCD
(27)a) CMR: IJ AC’ tính độ dài đoạn IJ;
b) CMR: D’B mp(A’C’D), D’B mp(ACB’); c) Tính góc hai đường thẳng IJ A’D
11 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(5; -4, 3) cắt ba trục tọa độ ba điểm cách gốc tọa độ
12 Ba điểm A(2; -1; -1), B(-1; 3; -1), M(-2; 0; 1) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng AB
13 Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) đường thnẳng (d):
2 -z
-2 -y
1 x
Tìm điểm I AB cho IA + IB nhỏ
14 Trong không gian Oxyz, xét điểm S(2; 0; -1) véc tơ u (1;0;1) Gọi đường thẳng qua S có véc tơ phương u
a) CMR: tập hợp điểm M mp(Oxy) mà góc đường thẳng SM 600 hypebol (H) Tìm tọa độ tiêu điểm (H);
b) Gọi (), () mặt phẳng qua S chứa hai đường tiệm cận (H) CMR: tích khoảng cách từ điểm thuộc (H) đến hai mặt phẳng (), () đại lượng không đổi
15 Cho hai điểm A(1; 0; 0), A’(-1; 0; 0), đường thẳng qua A song song với Oz, ’ đường thẳng qua A’ song song với Oy
a) Tìm tập hợp điểm M mp(Oxy) cách ’; b) Tìm tập hợp điểm M mp(Oyz) cách ’
16 Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = 1, AD = 2, AA’ = Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, B’C’, C’D’, D’D
a) CMR: M, N, P, Q đồng phẳng viết p.trình mặt phẳng () chứa chúng;
(28)