Các đề thi đại học Hình giải tích trong Không gian

Trong tr−ờng hợp hai đ−ờng thẳng x, y vuông góc với nhau và mn ≠ 0 , hãy xác định m, n theo k và d để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.. Gọi O là trực tâm củ[r]

Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Các đề thi đại học Hình giải tích Không gian C©u 1(§H AN GIANG_00D) Cho hình chóp tam giác OABC đỉnh O, dáy là tam giác ABC, AB=a, góc các cạnh bên OA, OB, OC với mặt phẳng đáy (ABC) và 45o CMR : OA=OB=OC H·y tÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp theo a C©u 2(§H AN GIANG_01B) Cho hình lập ph−ơng ABCD.A1B1 C1D1 có các cạnh bên AA1, BB1,CC1, DD1 và độ dài cạch AB=a Cho c¸c ®iÓm M, N trªn c¹nh CC1 cho CM = MN = NC1 XÐt mÆt cÇu (K) ®i qua bèn ®iÓm: A, B1 ,M vµ N CMR các đỉnh A1 và B thuộc mặt cầu (K) Hãy tính độ dài bán kính mặt cầu (K) theo a C©u 3(§H AN GIANG_01B) Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh Các cạnh bên AA’, BB’, CC’ ,DD’ Đặt hệ trục toạ độ Oxyz cho A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) H·y viÕt ph−¬ng tr×nh chïm mÆt ph¼ng chøa ®−êng th¼ng CD’ KÝ hiÖu (P) lµ mÆt ph¼ng bÊt k× chøa ®−êng th¼ng CD’ cßn α lµ gãc gi÷a mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt ph¼ng (BB’D’D) h·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña α C©u 3(§H AN NINH_98A) ⎧x + y + z + = Trong kh«ng gian Oxyz cho ®−êng th¼ng (d): ⎨ ⎩x − y + z − = Vµ hai mÆt ph¼ng (P1 ) : x + 2y + 2z + = (P2 ) : x + 2y + 2z + = ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m I trªn ®−êng th¼ng (d) vµ tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng (P1 ),(P2 ) C©u 4(§H AN NINH_99A) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA=x, BC=y, các cạnh còn lại 1 TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo x vµ y Víi x, y nµo th× thÓ tÝch h×nh chãp lµ lín nhÊt? C©u 5(§H AN NINH_00A) Cho gãc tam diÖn Oxyz vµ đ−ờng tròn đơn vị x + y + z = , x ≥ 0, y ≥ 0,z ≥ gãc tam diÖn Êy MÆt ph¼ng (P) tiÕp xóc víi mÆt cÇu Êy t¹i M, c¾t Ox, Oy, Oz lÇn l−ît t¹i A, B, C cho OA=a>0, OB=b>0, OC=c>0 Chøng minh r»ng: 1 1 + + = a b c (1 + a )(1 + b2 )(1 + c2 ) ≥ 64 Tìm vị trí điểm M để đạt dấu đẳng thức Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m C©u 5(§H AN NINH_01A) Cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz Trên các nửa trục toạ độ Ox, Oy, Oz lấy các điểm t−¬ng øng A(2a;0;0), B(0;2b;0), C(0;0;c) víi a>0, b>0, c>0 Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c Tính thể tích khối đa diện OABE đó E là chân đ−ờng cao AE tam giác ABC C©u 6(§H AN NINH_01D) Cho gãc tam diÖn vu«ng Oxyz Trªn Ox, Oy, Oz lÊy lÇn l−ît c¸c ®iÓm A, B, C cã OA = a, OB = b, OC = c (a,b,c>0) CMR tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC H·y tÝnh OH theo a, b, c CMR b×nh ph−¬ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng tæng b×nh ph−¬ng diÖn tÝch c¸c mÆt cßn l¹i cña tø diÖn OABC C©u 7(§H BK HN_97A) Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuân Oxyz cho M(1;2;-1) và đ−ờng thẳng (d) cã ph−¬ng tr×nh : x +1 y − z − = = −2 Gọi N là điểm đối xứng M qua đ−ờng thẳng (d) Hãy tính độ dài MN C©u 8(§H BK HN_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cã ph−¬ng tr×nh: ⎧ x = + 2t ⎪ (d) : ⎨ y = − t (P) : 2x − y − 2z + = ⎪z = 3t ⎩ Tìm toạ độ các điểm thuộc (d) cho khoảng cách từ điểm đó tới (P) Gọi K là điểm đối xứng với I(2;-1;3) qua đ−ờng thẳng (d) Hãy xác định toạ độ K C©u 9(§H BK HN_99A) Trong không gian với hệ toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cã ph−¬ng tr×nh: x +1 y −1 z − (d) : = = −2 (P) : 2x − 2y + z − = Tìm toạ độ giao điểm A (d) và (P) Tính góc (d) và (P) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc (d’) cña (d) trªn mÆt ph¼ng (P) lÊy ®iÓm B n»m AB + AM với điểm M di động trªn (d) cho AB=a, víi a lµ sè d−¬ng cho tr−íc XÐt tØ sè BM trên mặt phẳng (P) CMR tồn vị trí M để tỉ số đó đạt giá trị lớn và tìm giá trị lín nhÊt Êy C©u 9(§H BK HN_00A) Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm S(3;1;-2), A(5;3;1), B(2;3;-4), C(1;2;0) Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m CMR hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác và ba mặt bên là các tam giác vuông c©n Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đ−ờng thẳng AB M là điểm bất kì trên mặt cầu có tâm là D, bán kính R = 18 (điểm M không thuộc mặt phẳng (ABC)) Xét tam giác có độ dài các cạnh độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC Hỏi tam giác có đặc điểm gì? C©u 10(§H BK HN_01A) Trong không gian với hệ trục toạ độ đề các trực chuẩn Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D(0;0;m) víi m lµ tham sè TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AC vµ BD m=2 Gọi H là hình chiếu vuông góc O trên BD Tìm các giá trị tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn C©u 11(PV BC TT_98A) Trong kh«ng gian Oxyz cho ®−êng tr¼ng (∆) cã ph−¬ng tr×nh : ⎧2x + y + = ⎨ ⎩x − y + z − = ⎧3x + y − z + = vµ ®−êng th¼ng (∆’) cã ph−¬ng tr×nh ⎨ ⎩2x − y + = CMR hai đ−ờng thẳng đó cắt Tìm giao điểm I chúng ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (β) ®i qua hai ®−êng th¼ng (∆) vµ (∆’) Tìm thể tích phần không gian giới hạn (β) và ba mặt phẳng tọa độ C©u 12(PV BC TT_99A) Cho hai ®−êng th¼ng (∆) vµ (∆’) cã ph−¬ng tr×nh sau ®©y: x +1 y −1 z − (∆) : = = x−2 y+2 z (∆ ') : = = −2 CMR hai ®−êng th¼ng (∆) vµ (∆’) chÐo ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«nmg gãc chung cña (∆) vµ (∆’) C©u 13(§H CS NN_00A) Cho hai ®−êng th¼ng (d1 ) vµ (d2 ) cã ph−¬ng tr×nh: ⎧x = + t ⎧x = ⎪ ⎪ (d1) : ⎨ y = (d ) : ⎨ y = − 2t ' ⎪ z = −5 + t ⎪z = + 3t ' ⎩ ⎩ CMR hai ®−êng th¼ng chÐo Gọi đ−ờng vuông góc chung (d1 ) và (d2 ) là MN ( M ∈ (d1 ), N ∈ (d )) Tìm toạ độ M,N vµ viÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng MN C©u 14(§H CÇn Th¬_98B) Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Lấy M,N lần l−ợt trên các cạnh SM SN = = SB,SD,sao cho BM DN SP MÆt ph¼ng (AMN) c¾t c¹nh SC t¹i P TÝnh tØ sè CP TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAMPN theo thÓ tÝch V cña h×nh chãp SABCD C©u 15(§H CÇn Th¬_98D) Trong kh«ng gian Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh x+y+z+1=0 vµ ®−êng th¼ng (d) x −1 y − z −1 cã ph−¬ng tr×nh = = ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn mÆt ph¼ng (P) C©u 16(HV BCVT_98A) Cho hình nón đỉnh S, đáy là đ−ờng tròn C bán kính a, chiều cao h=3a/4 Và cho hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác lồi ngoại tiếp C TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp BiÕt thÓ tÝch khèi chãp b»ng4 lÇn thÓ tÝch khèi nãn, h·y tÝnh diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp C©u 17(HV BCVT_99A) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD A1B1C1D1 mµ D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D1 (0;0;a) Gäi M lµ trung ®iÓm cña AD, N lµ t©m cña h×nh vu«ng CC1D1D T×m b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ®i qua c¸c ®iÓm B, C1 , M, N C©u 18(HV BCVT_00A) Trong kh«ng gian cho hai ®−êng th¼ng : x − y −1 z −1 x −7 y−3 z−9 (∆1) : = = (∆ ) : = = −7 −1 Hãy lập ph−ơng trình chính tắc đ−ờng thẳng (∆ ) đối xứng với (∆ ) qua ( ∆1 ) XÐt mÆt ph¼ng ( α ) : x+y+z+3=0 a) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu cña ( ∆ ) theo ph−¬ng ( ∆1 ) lªn mÆt ph¼ng ( α ) JJJJJG JJJJJG b) Tìm điểm M trên mặt phẳng ( α ) để MM1 + MM đạt đ−ợc giá trị nhỏ nhất, biết M1 (3;1;1) vµ M (7;3;9) C©u 19(HV BCVT_01A) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a, AD=2a,AA’=a TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AD’ vµ B’C AM = Tính khoảng cách từ M đến (AB’C) Gäi M lµ ®iÓm chia ®o¹n AD theo tØ sè MD TÝnh thÓ tÝch tø diÖn AB’D’C C©u 20(§H D−îc HN_98A) Cho A(0;1;1) vµ hai ®−êng th¼ng (d1 ),(d ) Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m ⎧x + y − z + = x −1 y + z = = (d ) ⎨ 1 ⎩x + = LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi (d1 ) vµ c¾t (d ) C©u 20(§H D−îc HN_99A) Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8).Tính độ dài đ−ờng cao tứ diện xuất phát từ A C©u 21(§H D−îc HN_01A) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a S lµ ®iÓm bÊt k× trªn ®−êng th¼ng At vu«ng gãc víi (P) tai A TÝnh theo a thÓ tÝch h×nh cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD SA=2a M, N lần l−ợt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD(M∈ CB, N∈ CD) và đặt CM=m, CN=n Tìm biểu thức liên hệ m và n để các mặt phẳng (SMA) và (SAN) tạo với mét gãc 45o C©u 22(§H §µ L¹t_99B) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy Độ dài c¸c c¹nh AB=a, AD=b, SA=2a Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diÖn g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Êy C©u 23(§H §µ L¹t_01D) Cho h×nh hép ch÷ nhËt cã thÓ tÝch b»ng 27, diÖn tÝch toµn phÇn b»ng 9a vµ c¸c c¹nh lËp thµnh cÊp sè nh©n TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt a=6 XĐ a để tồn hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên C©u 23(§H §µ N½ng_01A) Cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh x − 2y − 3z + 14 = vµ ®iÓm M(1;-1;1) H·y viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua M vµ song song víi (P) Hãy tìm tọa độ hình chiếu H M trên (P) Hãy tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P) C©u 24(§H §µ N½ng_01A) Cho tø diÖn S.ABC cã SA=CA=AB= a SC vu«ng gãc víi (ABC), Tam gi¸c ABC vu«ng tai A, c¸c ®iÓm Mthuéc SA vµ N thuéc BC cho AM=CN=t (0<t<2a) Tính độ dài đoạn thẳng MN Tìm giá trị t để MN ngắn Khi MN ng¾n nhÊt h·y chøng minh MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña BC vµ SA C©u 25(§H GTVT_97A) Trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho ba điểm 1 H( ;0;0),K(0; ;0), I(1;1; ) 2 a) ViÕt ph−¬ng tr×nh giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (HKI) víi mÆt ph¼ng x+z=0 ë d¹ng chÝnh t¾c b) Tính cosin góc phẳng tạo (HKI) với mặt phẳng tọa độ Oxy C©u 26(§H GTVT_97A) Cho tam gi¸c ABC n»m mÆt ph¼ng (P) Trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i A lÊy ®iÓm S Gäi H vµ K lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SB vµ SC (d1) : Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m CMR c¸c ®iÓm A, B, C, H, K cïng n»m trªn mét mÆt cÇu n = 60o T×nh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu trªn biÕt AB=2, AC=3, BAC C©u 27(§H GTVT_98A) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu cã ph−¬ng tr×nh x − 2x + y − 4y + z − 6z − = vµ song song víi mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh 4x+3y12z+1=0 C©u 28(§H GTVT_99A) Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) có ph−ơng trình 16x − 15y − 12z + 75 = Lập ph−ơng trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm H (P) với (S) Tìm điểm đối xứng gốc tọa độ O qua (P) C©u 29(§H GTVT_00A) Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’, các cạnh nó có độ dài Trên các cạnh BB’, CD , A’D’ lÇn lÊy c¸c ®iÓJJJJ mM JJJJ G JJJGl−îtJJJG G , N, P cho: B’M=CN=D’P=a(0<a<1) CMR: MN = −a.AB + AD + (a − 1)AA ' JJJJG AC' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (MNP) C©u 30(§H GTVT_01A) Cho hình chóp S.ABC đỉnh S có các cạnh đáy a, đ−ờng cao SH=h XĐ thiết diện tạo hình chóp với mặt phẳng (P) qua cạnh đáy BC và vuông góc với c¹nh bªn SA h NÕu tØ sè = th× mÆt ph¼ng (P) chia thÓ tÝch h×nh chãp theo tØ sè nµo? a C©u 31(HV HCQG_01A) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a, AD=2a, AA’= a vµ M lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n AD, K lµ trung ®iÓm cña B’M Đặt AM=m (0 ≤ m ≤ 2a) Tính thể tích khối tứ diện A’KID theo a và m đó I là tâm hình hộp Tìm vị trí M để thể tích đó đạt giá trị lớn Khi m lµ trung ®iÓm cña AD: a, Hái thiÕt diÖn cña h×nh hép c¾t bëi mÆt ph¼ng (B’KC) lµ h×nh g×? Tính diện tích thiết diện đó theo a b, CMR ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’ C©u 32(§H HuÕ_98A ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng: ⎧ x = + 2t ⎧x = ⎪ ⎪ (∆1 ) : ⎨ y = −1 + t (∆ ) : ⎨ y = + t ⎪z = ⎪z = − t ⎩ ⎩ Chøng tá r»ng ( ∆1 ) vµ (∆ ) chÐo ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) chøa ( ∆1 ) vµ song song víi ( ∆ ) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (∆1 ) vµ ( ∆ ) C©u 33(§H HuÕ _98A) Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a và chiều cao a Dùng thiÕt diÖn cña l¨ng trô t¹o bëi mÆt ph¼ng ®i qua B’ vµ vu«ng gãc víi c¹nh A’C tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn nãi trªn C©u 34(§H HuÕ_00A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết ph−ơng trình tham số đ−ờng thẳng nằm mÆt ph¼ng y+2z=0 vµ c¾t hai ®−êng th¼ng: ⎧x = − t ⎧x = − t ⎪ ⎪ (∆1 ) : ⎨ y = t (∆ ) : ⎨ y = + 2t ⎪z = 4t ⎪z = ⎩ ⎩ C©u 35(§H HuÕ_00A) Cho S.ABC là tứ diện có tam giác ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC=2a; Cạnh SA vu«ng gãc víi (ABC) vµ SA=a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC) C©u 36(§H HuÕ _00D) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng (OAB), (OBC), (OCA) vµ (ABC) XĐ toạ độ tâm I hình cầu nội tiếp tứ diện OABC Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua (ABC) C©u 37(§H HuÕ_01A) Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA=OB=OC=a Kí hiệu M, N, K lần l−ợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K vµ I lµ giao ®iÓm cña CE víi (OMN) Chøng minh CE vu«ng gãc víi (OMN) TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c OMIN theo a C©u 38(§H HuÕ_01D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a, BC=a các cạnh bên h×nh chãp b»ng vµ b»ng a TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp S.ABCD Gäi M, N, E, F lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, CD, SC, SD Chøng minh SN vu«ng gãc víi (MEF) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) C©u 39(§H KTQD_97A) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đ−ờng cao SO=1 và đáy ABC có cạnh §iÓm M, N lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC, AB t−¬ng øng TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp SAMN vµ b¸n kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó C©u 40(§H KTQD_98A) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng: ⎧ x + 2y − z = x −1 y − z − = = (d1) : (d ) : ⎨ ⎩2x − y + 3z − = C©u 41(§H KTróc_97A) Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac Oxyz cho điểm A(1;2;1) và đ−ờng thẳng x y −1 (D): = = z + 3 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm A vµ chøa ®−êng th¼ng (D) Tính khoảng cách từ điẻm A đến đ−ờng thẳng (D) C©u 42(§H KTróc_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các trực chuẩn Oxyz cho tứ diện S.ABC với các đỉnh S(2;2;4), A(-2;2;0), B(-5;2;0), C(-2;1;1) Tính khoảng cách giũă hai cạnh đối SA và BC C©u 43(§H KTróc_99A) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho hình tứ diện có bốn đỉnh O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) Chøng minh SB vu«ng gãc víi OA CMR h×nh chiÕu cña SB lªn (OAB) vu«ng gãc víi OA Gäi K lµ giao ®iÓm cña h×nh chiÕu đó với OA Hãy tìm tọa độ K Gọi P, Quyền lần l−ợt là điểm các cạnh SO và AB Tìm tọa độ điểm M trên SB cho PQ vµ KM c¾t C©u 44(§H KTróc_01A) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho các điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) C¸c ®iÓm M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña OA vµ BC, P vµ Q lµ hai ®iÓm trªn OC vµ AB OP = vµ hai ®−êng th¼ng MN, PQ c¾t ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (MNPQ) vµ t×m tØ cho OC AQ sè AB C©u 45(HV KTQS_97A) Tam gi¸c ABC cã A(1;2;5) vµ ph−¬ng tr×nh hai trung tuyÕn lµ: x − y − z −1 x−4 y−2 z−2 = = = = (d1) : (d ) : −2 −4 1 1 ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c c¸c c¹nh cña tam gi¸c ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng ph©n gi¸c gãc A C©u 46(HV KTQS_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc cho A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn mÆt ph¼ng (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè ®−êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD C©u 47(HV KTQS_00A) Cho hai ®−êng th¼ng: x y−2 z+4 x + y − z − 10 (d1) : = = (d ) : = = −1 2 −1 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) song song víi Ox vµ c¾t (d1 ) t¹i M, c¾t (d ) t¹i N T×m tọa độ M, N A lµ ®iÓm trªn (d1 ) , B lµ ®iÓm trªn (d ) , AB vu«ng gãc víi c¶ (d1 ) vµ (d ) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®−êng kÝnh AB Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m C©u 48(HV KTQS_01A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho A(4;0;0), B(x o ; yo ;0) (với x o , y o > ) n O B = 60 o cho OB=8 vµ A Xác định C trên Oz để thể tích OABC Gọi G là trọng tâm tam giác OAB và điểm M trên AC có AM=x Tìm M để OM vuông gãc víi GM C©u 49(§H LuËt HN_99A) Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho mặt phẳng (P) x + y + z = vµ mÆt cÇu (C) x + y + z = 12 MÆt ph¼ng (P) c¾t (C) theo giao tuyÕn ®−êng tròn Tìm tâm và bán kính đ−ờng tròn đó Trong hệ toạ độ đề các Oxyz cho A(-1;2;3) và các mặt phẳng (P): x+2=0 vµ (Q): y-z-1=0 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vu«ng gãc víi c¶ (P) vµ (Q) C©u 50(§H LuËt HCM_01A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m;0;0), N(0;n;0) thay đổi cho m+n=1 và m>0, n>0 CMR thÓ tÝch h×nh chãp S.OMAN kh«ng phô thuéc vµo m vµ n Tính khoảng cách từ A đến (SMN) Từ đó suy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu cố định C©u 51(§H Má §Þa ChÊt_98A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz xét đ−ờng thẳng có ph−ơng trình x y − z +1 (∆) = = −2 Vµ mÆt ph¼ng cã ph−¬ng tr×nh x-y+3z+8=0(P) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (∆) trªn (P) C©u 52(§H Má §Þa ChÊt_99A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho mặt cầu (C) đ−ờng thẳng (∆) và măt ph¼ng (Q) lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh: (C) : x + y + z − 2x − 4y − 6z − 67 = ⎧2x − y + z − = (∆) : ⎨ ⎩2x − y + = (Q) : 5x + 2y + 2z − = ViÕt ph−¬ng tr×nh tÊt c¶ c¸c mÆt ph¼ng chóa (∆) vµ tiÕp xóc víi (C) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (∆) lªn (Q) C©u 53(§H Má §Þa ChÊt_00A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho tam giác ABC có C(3;2;3), đ−ờng cao AH n»m trªn ®−êng th¼ng (d1 ) cã ph−¬ng tr×nh: x −2 y−3 z−3 (d1) : = = 1 −2 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Vµ ®−êng ph©n gi¸c BM n»m trªn ®−¬ng th¼ng (d ) cã ph−¬ng tr×nh: x −1 y − z − (d ) : = = 1 −2 Tính độ dài các cạnh tam giác ABC C©u 54(HVNg©n Hµng_98D) Trong không gian cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB, vu«ng gãc t¹i O, n»m mÆt ph¼ng (xOy) mµ ®−êng th¼ng AB song song víi trôc Ox vµ AB=2a Xác định toạ độ điểm A, điểm B, biết A có hoành độ x>0 và tung độ y>0 Viết ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm C(0;0;c), c>0, vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng ®i qua O vµ träng t©m G cña tø diÖn OABC C©u 55(HVNg©n Hµng_99D) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a vµ mét ®iÓm M trªn c¹nh AB,AM=x, 0<x<a XÐt mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M chøa ®−êng chÐo A’C’ cña h×nh vu«ng A’B’C”D’ TÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph−¬ng c¾t bëi mÆt ph¼ng (P) Mặt phẳng (P) chia hình lập ph−ơng thành hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích hai khối đa diện đó gấp đôi thể tích khối đa diện C©u 56(HVNg©n Hµng HCM_01D) Cho tø diÖn ABCD Gäi A’, B’, C’, D’ t−¬ng øng lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c BCD, ACD, ABD, ABC Gäi G lµ giao ®iÓm cña AA’, BB’ AG = Chøng minh r»ng: AA ' Chứng minh rằng: AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy C©u 57(§H Ngo¹i Ng÷_97D) Cho hai ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh: ⎧ x = −2 + t ⎧ x + y + 2z = ⎪ (D1) : ⎨ (D ) : ⎨ y = − t x y z − + + = ⎩ ⎪z = + t ⎩ Chøng minh ( D1 ) vµ (D ) chÐo TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a ( D1 ) vµ (D ) Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng (∆) qua điểm M(1;1;1) và cắt đồng thời ( D1 ) và (D ) C©u 57(§H Ngo¹i Ng÷_99D) Bên hình trụ tròn xoay cho hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đ−ờng tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đ−ờng tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính diện tích xung quanh vµ thÓ tÝch cña h×nh trô C©u 58(§H Ngo¹i Ng÷_00D) Trong kh«ng gian cho hai ®−êng th¼ng chÐo nhau: ⎧ x = −1 + 3t ⎧2x + 3y − = ⎪ (a) : ⎨ (b) ⎨ y = + 2t ⎩y + z + = ⎪z = ⎩ 10 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B C©u 59(§H Ngo¹i Ng÷_01D) Trong kh«ng gian Oxyz cho bèn ®iÓm A(2a;0;0), C(0;2a;0), D(0;0;2a), B(2a;2a;0), (a>0) Gọi E là trung điểm đoạn BD, hãy tìm toạ độ giao điểm F đoạn thẳng OE với mặt ph¼ng (ACD) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp D.OABC Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với O qua đ−ờng thẳng DB C©u 60(§H Ngo¹i Th−¬ng_98A) Cho gãc tam diÖn vu«ng Oxyz Trªn Ox, Oy, Oz lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A, B, C TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo OA=a, OB=b, OC=c Giả sử A, B, C thay đổi nh−ng luôn có OA+OB+OC+AB+BC+CA=k (k:hằng số) Hãy xác định giá trị lớn thể tích tứ diện OABC C©u 61(§H Ngo¹i Th−¬ng HCM_01A) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng a Gi¶ sö M vµ N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña BC vµ DD’ Chøng minh MN song song víi (A’BD) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng BD vµ MN theo a C©u 62(§H NN I_97A) Cho hai điểm A(1;2;3) và B(4;4;5) không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB T×m giao ®iÓm P cña nã víi mÆt ph¼ng xOy Chøng tá r»ng víi mäi ®iÓm Q thuéc mp(xOy), biÓu thøc QA − QB cã gi¸ trÞ lín nhÊt Q trïng P Tìm điểm M trên mp(xOy)sao cho tổng các độ dài MA+MB nhỏ C©u 62(§H NN I_99A) Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có ph−ơng trình x −1 y + z (d) : = = 1 (P) : 2x + y − 2z + = LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (C) cã t©m n»m trªn ®−êng th¼ng (d), tiÕp xóc víi mp(P) vµ cã b¸n kÝnh b»ng Gäi M lµ giao ®iÓm cña (P) víi (d), T lµ tiÕp ®iÓm cña mÆt cÇu (C) víi (P) TÝnh MT C©u 63(§H N«ng L©m HCM_01A) Cho hai ®−¬ng th¼ng: ⎧ x = + 3t ⎧2x + 3y − = ⎪ (d) : ⎨ (d ') : ⎨ y = + t ⎩y + z − = ⎪z = −1 + 2t ⎩ CMR hai ®−¬ng th¼ng (d) vµ (d’) chÐo Tính khoảng cách hai đ−ờng thẳng đó Hai điểm A, B khác và cố định trên đ−ờng thẳng (d) cho AB = 117 Khi C di động trên (d’), tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác ABC C©u 64(HV QHQT_97A) 11 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ víi AA’=a, AB=b, AD=c TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ACB’D’ theo a, b, c C©u 65(HV QHQT_98A) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ víi c¹nh b»ng a H·y tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA’ vµ BD’ CMR ®−êng chÐo BD’ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (DA’C’) C©u 66(HV QHQT_99A) Cho tứ diện ABCD cạnh a Giả sử I là điểm thay đổi trên cạnh CD Hãy xác định vị trí I để diện tích tam giác IAB lµ nhá nhÊt Gi¶ sö M lµ mét ®iÓm thuéc c¹nh AB Qua ®iÓm M dùng mÆt ph¼ng song song víi AC vµ BD MÆt ph¼ng nµy c¾t c¸c c¹nh AD vµ DC, CB lÇn l−ît t¹i N, P, Q Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh gì? Hãy xác định vị trí M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn C©u 67(HV QHQT_00A) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ víi c¹nh b»ng a Gi¶ sö M, N, P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh A’D’, D’C’, C’C, AA’ CMR bèn ®iÓm M, N, P, Q cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng TÝnh chu vi cña tø gi¸c MNPQ theo a TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a C©u 68(HV QHQT_01A) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ víi AB=a, BC=b, AA’=c TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ACD’ theo a, b, c Gi¶ sö M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC H·y tÝnh thÓ tÝch tø diÖn D’DMN theo a, b, c C©u 69(HV QY_00A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC) Qua B kÎ BH vu«ng gãc víi SA, BK vu«ng gãc víi SC Chøng minh SC vu«ng gãc víi (BHK) vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BHK biÕt r»ng AC=a, BC = a vµ SB = a C©u 70(HV QY_01A) Cho hai nöa mÆt ph¼ng (P), (Q) vu«ng gãc víi theo giao tuyÕn (∆) Trªn (∆) lÊy AB=a (a là độ dài cho tr−ớc) Trên nửa d−ờng thẳng Ax vuông góc với (∆) và (Q) lấy điểm N cho BN = a2 b2 Tính khoảng cách từ A đền (BMN) theo a, b Tính MN theo a, b Với giá trị nào B thì MN có độ dài cực tiểu Tính độ dài cực tiểu đó C©u 71(HV QY_01A) Trong hệ tọa độ Oxyz cho đ−ờng thẳng (d m ) có ph−ơng trình ⎧mx − y − mz + = ⎨ ⎩ x + my + z + m = ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆) lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d m ) lªn mp(xOy) CMR đ−ờng thẳng (∆) luôn tiếp xúc với đ−ờng tròn cố định có tâm là gốc tọa độ 12 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m C©u 72(§H QGHN_97A) AB lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña hai ®−êng th¼ng x vµ y chÐo nhau, A thuéc x, B thuéc y Đặt AB=d, m là điểm thay đổi thuộc x, N là điểm thay đổi thuộc y Đặt AM=m, BN=n (m ≥ 0,n ≥ 0) Giả sử ta luôn có m + n = k > , k không đổi Xác định m, n để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Trong tr−ờng hợp hai đ−ờng thẳng x, y vuông góc với và mn ≠ , hãy xác định m, n (theo k và d) để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn và tính giá trị đó C©u 73(§H QGHN_97B) Cho tam giác ABC cân A Một điểm M thay đổi trên đ−ờng thẳng vuông góc với (ABC) t¹i A (M kh«ng trïng víi A) T×m quü tÝch träng t©m G vµ trùc t©m H cña tam gi¸c MBC Gọi O là trực tâm tam giác ABC, hãy xác định vị trí M để thể tích tứ diện OHBC đạt gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 74(§H QGHN_97D) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m I C¸c nöa ®−êng th¼ng Ax, Cy vu«ng gãc víi (ABCD) và cùng phía với mặt phẳng đó Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trïng víi C trªn Cy §Æt AM=m, CN=n TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp B.AMNC Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện a, m, n để góc MIN vuông C©u 75(§H QGHN_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (a, b, c>0) Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉng O hình hộp đó Tính khoảng cách từ C đến (ABD) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc C xuống mặt phẳng (ABD) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu đó nằm mặt phẳng (xOy) C©u 76(§H QGHN_98B) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz xét tam giác OAB mp(Oxy) cã c¹nh b»ng a, ®−êng th¼ng AB song song víi trôc Oy, ®iÓm A thuéc gãc phÇn t− thø a nhÊt cña mp(Oxy) XÐt ®iÓm S(0;0; ) XĐ tọa độ các điểm A, B và trung điểm E OA, sau đó viết ph−ơng trình mp(P) chøa SE vµ xong xong víi Ox Tính khoảng cách từ O đến (P), từ đó suy khoảng cách hai đ−ờng thẳng Ox và SE C©u 77(§H QGHN_98D) Cho ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R XÐt c¸c h×nh chãp S.ABCD cã SA vu«ng gãc víi mÆt phẳng đáy (S và A cố định), SA=h cho tr−ớc, dáy ABCD là tứ giác tuỳ ý nội tiếp đ−ờng tròn đã cho mµ c¸c ®−êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD Đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất? C©u 78(§H QGHN_99B) 13 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho các điểm A(a;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(0;0;d) (a>0, d>0) Gäc A’, B’ theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A xuèng c¸c ®−êng th¼ng DA, DB Viết ph−ơng trình mặt phẳng chứa các đ−ờng thẳng OA’, OB’ CMR mặt phẳng đó vuông gãc víi ®−êng th¼ng CD Tính d theo a để góc A’OB’ có số đo 45o C©u 79(§H QGHN_99D) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ Dùng mÆt ph¼ng chøa ®−êng chÐo AC cña h×nh vuông ABCD và qua trung điểm M cạnh B’C’ Mặt phẳng đó chia hình vuông thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phân đó C©u 80(§H QGHN_00A) Cho hai ®iÓm A(0;0;-3), B(2;0;-1) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: 3x − 8y + − = Tìm tọa độ giao điểm I mặt phẳng (P) và đ−ờng thẳng qua hai điểm A, B Tìm tọa độ C nằm trên (P) cho tam giác ABC là tam giác C©u 81(§H QGHN_00B) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai điểm A(1; −3;0) , B(5; −1; −2) và mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh: x+y+z-1=0 CMR đ−ờng thẳng qua A và B cắt (P) điểm I thuộc đoạn AB Tìm toạ độ điểm I T×m trªn (P) ®iÓm M cho MA − MB cã gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 82(§H QGHN_00D) n = α , BC’ hîp Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, ABC n lµ gãc vu«ng với đáy (ABC) góc β Gọi I là trung điểm AA’ Biết BIC CMR tam gi¸c BIC vu«ng c©n CMR: tg 2α + tg 2β = C©u 83(§H QGHN_01A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song (P1 ),(P2 ) cã c¸c ph−¬ng tr×nh t−¬ng øng lµ: (P1 ) : 2x − y + 2z − = (P2 ) : 2x − y + 2z + = và điểm A(-1;1;1) nằm khoảng hai mặt phẳng đó Gọi (S) là mặt cầu bất kì qua Avà tiếp xóc víi c¶ hai mÆt ph¼ng (P1 ),(P2 ) CMR bán kính hình cầu (S) là số và tính bán kính đó Gọi I là tâm hình cầu (S) Chứng minh I thuộc đ−ờng tròn cố định XĐ tọa độ tâm và bán kính đ−ờng tròn đó C©u 84(§H QGHN_01B, D) Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB=AC=3a, BC=2a Biết các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60o Kẻ đ−ờng cao SH hình chãp 14 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Chøng tá r»ng H lµ t©m vßng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC vµ SA vu«ng gãc víi BC TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp C©u 85(§H QGHCM_98A) Trong không gian với hệ tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cã ph−¬ng tr×nh ⎧x + z − = (d) : ⎨ (P) : x + y + z − = − = 2y 3z ⎩ T×m ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) C©u 86(§H QGHCM_98D) Cho hai nöa ®−êng th¼ng Ax, By chÐo vµ vu«ng gãc víi nhau, cã AB lµ ®−êng vu«ng gãc chung, AB=a TalÊy c¸c ®iÓm M trªn Ax, N trªn By víi AM=x, BN=y CMR c¸c mÆt cña tø diÖn ABMN lµ c¸c tam gi¸c vu«ng TÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña tø diÖn ABMN theo a, x, y C©u 87(§H QGHCM_01A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh A, SA vuông góc với (ABCD), SA = a Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt góc ACM α Hạ SN vuông góc với CM Chứng minh N luôn thuộc đ−òng tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a vµ α H¹ AH vu«ng gãc víi SC, AK vu«ng gãc víi SN Chøng minh SC vu«ng gãc víi (AHK) vµ tính độ dài HK C©u 88(§H SPHN I_00A) Trong kh«ng gian cho c¸c ®iÓm A, B, C theo thø tù thuéc c¸c tia Ox, Oy, Oz vu«ng gãc víi đôi cho OA=a (a>0), OB = a , OC=c (c>0) Gọi D là đỉnh đối diện với O h×nh ch÷ nhËt AOBD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BC (P) lµ mÆt ph¼ng ®i qua A, M vµ c¾t (OCD) theo mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng AM Gọi E là giao điẻm (P) với OC, tính độ dài đoạn OE TÝnh tØ sè thÓ tÝch cña hai khèi ®a diÖn ®−îc t¹o thµnh c¾t khèi h×nh chãp C.AOBD bëi (P) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) C©u 89(§H SPHN I_00B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ cho A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Gọi M là trung điểm đoạn AB, N là tâm cña h×nh vu«ng ADD’A’ ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua c¸c ®iÓm C, D’, M, N TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn giao cña (S) víi mÆt cÇu ®i qua c¸c ®iÓm A’, B, C’,D TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph−¬ng c¾t bëi mp(CMN) C©u 90(§H SPHN I_01A) Cho hai h×nh ch÷ nhËt ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m mét mÆt ph¼ng vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: AB=a, AD = AF = a , ®−êng th¼ng AC vu«ng gãc víi BF Gäi KH lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AC vµ BF (H thuéc AC, K thuéc BF) 15 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng DF víi mÆt ph¼ng chøa AC vµ song song víi BF TÝnh tØ DI sè DF Tính độ dài đoạn HK TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn ABHK C©u 91(§H SPHN I_01B) Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a, AD=2a, AA ' = a , M lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n AD, K lµ trung ®iÓm cña B’M Đặt AM=m ( ≤ m < 2a ) Tính thể tích khối tứ diện A’KID theo a và m, đó I là tâm hình hộp Tìm vị trí điểm M để thể tích tứ diện đó đạt giá trị lớn Khi M lµ trung ®iÓm cña AD: a) Hái thiÕt diÖn cña h×nh hép c¾t bëi mÆt ph¼ng (B’KC) lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diện đó theo a b) CMR ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’ C©u 92(§H SPHN II_98A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho hai đ−ờng thẳng có ph−ơng trình t−ơng øng: ⎧x = + t ⎧ x + 2z − = ⎪ (d) : ⎨ y = − t (d ') : ⎨ ⎩y − = ⎪z = 2t ⎩ Chøng minh r»ng (d) vµ (d’) chÐo H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña (d) vµ (d’) Viết ph−ơng trình dạng tổng quát mặt phẳng cách (d) và (d’) C©u 93(§H SPHN II_00A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho A(1;-1;1) và hai đ−ờng thẳng theo thứ tù cã ph−¬ng tr×nh: ⎧x = t ⎧3x + y − z + = ⎪ (d1) : ⎨ y = −1 − 2t (d ) : ⎨ ⎩2x − y + = ⎪z = −3t ⎩ Chøng minh r»ng (d1 ),(d ) vµ A cïng thuéc mét mÆt ph¼ng C©u 94(§H SPHN II_01A) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đ−ờng cao SH và mặt phẳng (α) qua A vuông góc SH1 = vµ c¾t c¸c c¹nh bªn SB, SC, SD víi c¹nh bªn SC BiÕt mÆt ph¼ng (α) c¾t SH tai H1 mµ SH lÇn l−ît t¹i B’, C’, D’ Tính tỉ số diện tích thiết diện AB’C’D’ và diện tích đáy hình chóp Cho biết cạnh đáy hình chóp a Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’ C©u 95(§H SPHP_01B) Trong hệ toạ độ Oxyz cho hai đ−ờng thẳng 16 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m ⎧ x + y + 2z = x+2 y z−2 = = (d ) : ⎨ 1 −2 ⎩x − y + z + = Xét vị trí t−ơng đối hai đ−ờng thẳng (d1 ),(d ) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d1 ) trªn mp(Oxy) vµ viÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d ) trªn: (P) : x − 2y + z + = C©u 96(§H SP Quy Nh¬n_99D) Trong kh«ng gian cho hai ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh: ⎧ x = + 3t ⎧x + y = ⎪ (d1) : ⎨ (d ) : ⎨ y = − t x y z − + − = ⎩ ⎪z = + t ⎩ H·y chøng tá hai ®−êng th¼ng (d1 ),(d ) chÐo TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng (d1 ),(d ) C©u 97(§H SP Quy Nh¬n_99D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác với AD=2a, AB=BC=CD=a và đ−ờng cao SO = a , đó O là trung điểm AD TÝnh thÓ tÝch cña S.ABCD Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SD Hãy xác định thiết diện hình chóp c¾t bëi ( α ) C©u 98(§H SPHCM_00A) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các đ−ờng thẳng ⎧ x + 2y − z = x −1 y − z − = = (d1) : (d ) : ⎨ ⎩2x − y + 3z − = TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng (d1 ) vµ (d ) C©u 99(§H SPHCM_00D) Trong không gian với hệ trục tọa độ đề các vuông góc Oxyz cho đ−ờng thẳng (d): x +1 y + z + = = 2 và điểm A(3;2;0) XĐ điểm đối xứng A qua (d) C©u 99(§H SPHCM_00D) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD=a TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp S.ABCD theo a tÝnh cosin cña gãc nhÞ diÖn (SAB,SAD) C©u 100(§H SPHCM_01D) Cho tam diÖn vu«ng Oxyz Trªn ba c¹nh Ox, Oy, Oz ta lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A, B, C cho OA=a, OB=b, OC=c (a, b, c > 0) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn (ABC) Chøng minh H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC TÝnh OH theo a, b, c (d1) : 17 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m Chøng minh r»ng (SABC ) = (SOAB ) + (SOBC ) + (SOAC ) víi SABC , SOAB , SOBC , SOAC lÇn l−ît lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC, OAB, OBC, OAC C©u 101(§H SP Vinh_97A) Cho hệ trục Oxyz và hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc toạ độ, đỉnh B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Các điểm M, N thay đổi trên các đoạn thẳng AB’, BD t−ơng ứng cho AM=BN=a( < a < ) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng MN Tìm a để đ−ờng thẳng MN đồng thời vuông góc với hai đ−ờng thẳng AB’ và BD Xác định a để đoạn thẳng MN có độ dài bé và tính độ dài bé đó CMR: Khi a thay đổi thì đ−ờng thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định Hãy viết ph−ơng trình mặt phẳng đó C©u 102(§H SP Vinh_98A) Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) đó a, b, c là các số d−ơng CMR tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän XĐ bán kính và tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) C©u 103(§H SP Vinh_99A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I cho giao ®iÓm cña (S) vµ (P) lµ ®−êng trßn cã chu vi b»ng 8π CMR mÆt cÇu (S) nãi phÇn tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: 2x2=y+3=z LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d) vµ tiÕp xóc víi (S) C©u 104(§H SP Vinh_99B) Cho tø diÖn ABCD Mét mp( α ) song song víi AD vµ BC c¾t c¸c c¹nh AB, AC, CD, DB t−¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm M, N, P, Q CMR tø gi¸c MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh XĐ vị trí (α) để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn C©u 105(§H SP Vinh_00D) Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh b»ng Gäi E, F t−¬ng øng lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ DD’ CMR đ−ờng thẳng EF song song với (BDC’) và tính độ dài EF Gọi K là trung điểm C’D’ Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mp(EKF) và XĐ góc hai ®−êng th¼ng EF vµ BD C©u 106(§H SP Vinh_01A) Trong mÆt ph¼ng (P) cho nöa ®−êng trßn (C) ®−êng kÝnh AC, B lµ mét ®iÓm thuéc (C) Trªn nöa ®−êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi (P) ta lÊy ®iÓm S cho AS=AC, gäi K, H lÇn l−ît lµ c¸c ch©n ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng SB, SC CMR c¸c tam gi¸c SBC, AHK lµ tam gi¸c vu«ng Tính độ dài HK theo AC và BC 18 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m X§ vÞ trÝ cña B trªn (C) cho tæng diÖn tÝch hai tam gi¸c SAB vµ CAB lín nhÊt T×m gi¸ trị lớn đó C©u 107(§H SP Vinh_01D) Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Hai điểm M, N chuyển động trên hai ®o¹n BD vµ B’A t−¬ng øng choBM=B’N=t Gäi α vµ β lÇn l−ît lµ c¸c gãc t¹o bëi MN víi c¸c ®−êng th¼ng BD vµ B’A Tính độ dài MN theo a và t Tìm t để MN đạt giá trị nhỏ TÝnh α vµ β MN nhá nhÊt Trong tr−êng hîp tæng qu¸t CM hÖ thøc: cos α + cos β = C©u 108(§H TCKT_99A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có ph−¬ng tr×nh: x +1 y −1 z − (d) : (P) : x − y − z − = = = T×m ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng th¼ng (∆) qua A(1;1;-2) song song víi (P) vµ vu«ng gãc víi (d) C©u 109(§H TCKT_00A) Cho ®iÓm A(2;3;5) vµ (P) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 3y + z − 17 = ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãc víi (P) CMR ®−êng th¼ng (d) c¾t Oz, t×m giao diÓm M cña (d) víi Oz Tìm A’ đối xứng với A qua (P) C©u 110(§H TNguyªn_97A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ víi A’(0;0;0), B’(0;2;0), D’(2;0;0) Gäi M,N, P, Q theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n D’C’, C’B’, B’B, AD Tìm tọa độ hình chiếu C lên AN CMR hai ®−êng th¼ng MQ vµ NP cïng n»m mét mÆt ph¼ng vµ tÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ C©u 111(§H TNguyªn_01A) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2) Chứng minh ABCD là tứ diện và có các cặp cạnh đối TÝnh kho¶ng c¸nh gi÷a hai ®−êng th¼ng AB vµ CD ViÕt ph−¬ng tr×nh ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD C©u 112(§H TM_97A) Cho hai ®−êng th¼ng chÐo cã ph−¬ng tr×nh: ⎧x = ⎧ x = −3u ⎪ ⎪ (m) : ⎨ y = −4 + 2t (n) : ⎨ y = + 2u ⎪z = + t ⎪z = −2 ⎩ ⎩ TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng (m) vµ (n) 19 Lop12.net Tr−êng THPT ViÖt Yªn - ViÖt Yªn - B¾c Giang Gv Th©n V¨n §¶m ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung cña hai ®−êng th¼ng (m) vµ (n) C©u 113(§H TM_98A) Trong kh«ng gian Oxyz cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua ba ®iÓm A(0;0;1), B(-1;-2;0), C(2; 1;-1) ViÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña ®−êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m cña tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi (P) X§ ch©n ®−êng cao h¹ tõ A xuèng BC vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn OABC C©u 114(§H TM_99A) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có ph−ơng tr×nh ⎧2x − y − 2z − = (d) : ⎨ (P) : x − 2y + z − = ⎩2x − 2y − 3z − 17 = Tìm điểm đối xứng A(3;-1;2) qua đ−ờng thẳng (d) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) trªn (P) C©u 115(§H TM_00A) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;-1;0) vu«ng gãc vµ c¾t ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh: ⎧5x + y + z + = ⎨ ⎩ x − y + 2z + = C©u 116(§H TM_01A) Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho đ−ờng thẳng (d) có ph−ơng trình: ⎧ x.cos α + y.sin α + z.sin α = 6sin α + 5cos α ⎨ ⎩ x.sin α − y.cos α + z.cos α = 2cos α − 5sin α Víi α lµ tham sè Chøng minh r»ng (d) song song víi mÆt ph¼ng: x.sin 2α − y.cos 2α + z − = Gọi (d’) là hình chiếu vuông góc (d) trên mặt phẳng (xOy) CMR α thay đổi, đ−ờng thẳng (d’) luôn tiếp xúc với đ−ờng tròn cố định C©u 117(§H Tlîi_97A) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−ßng th¼ng ®i qua A(3;-2;-4), song song víi mÆt ph¼ng cã ph−¬ng tr×nh 3x-2y-3z-7=0, đồng thời cắt đ−ờng thẳng x − y + z −1 = = −2 C©u 118(§H Tlîi_98A) Trong kh«ng gian cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng tr×nh 2x + 5y + z + 17 = Vµ ®−êng th¼ng (d) cã ph−¬ng tr×nh ⎧3x − y + 4z − 27 = ⎨ ⎩6x + 3y − z + = X§ giao ®iÓm A cña ®−êng th¼ng (d) víi mÆt ph¼ng (P) 20 Lop12.net