Đang tải... (xem toàn văn)
Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x với A là điểm cố định của Cm có hoành độ dương... 3 Phương trình tiếp [r]
(1)Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Chương I: Đạo hàm I) Định nghĩa đạo hàm: Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau đây điểm x0 đã ra: a) y = x2 + x x0 = b) y = x0 = x x 1 c) y = x0 = x1 Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau đây (tại điểm x R) a) y = x -x b) y = x3 - x + 2x c) y = x 1 c) y = x3 + 2x Bµi3: TÝnh f'(8) biÕt f(x) = x Bài4: Cho đường cong y = x3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết: a) TiÕp ®iÓm lµ A(-1; -1) b) Hoành độ tiếp điểm c) TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng y = 3x + x d) TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = +1 12 Bµi5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004) Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000) II) các phép tính đạo hàm: Bài1: Tính các đạo hàm các hàm số sau: 2) y = 2x 13x 24x 35x 4 3) y = x 3x 3x 1 2x 13 4) y = 2x 14 3x 24 x 4x 3 1) y = x 3x x 2x 5x 3 5) y = x 1 x 2 x 3 7) y = 2x x 6) y = 3x 4 x3 x 8) y = x3 x 2x 1 x 9) y = x 1 1 x x 1 x2 x 10) y = x x2 1 x x x2 x x x2 Trang:1 Lop12.net (2) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 11) y = 1 x x 13) y = 23 3x 1 x 12) y = x 15 x x 26 x 14) y = x3 sin x cos x sin x cos x 1 x x2 16) y = sin x cos x e x 15) y = sinsinsin x 3 3 2 17) y = x ln x Bài2: Tính các đạo hàm các hàm số sau: 1) y = x ln x 2) y = sin x cos x 3) y = x 5) y = 2x x 4) y = x x xx x xx x x3 x4 x x 47 x III) đạo hàm phía và điều kiện tồn đạo hàm: Bµi1: Cho f(x) = x 1 x Bµi2: Cho f(x) = x x TÝnh f'(0) TÝnh f'(0) 1 cos x nÕu x Bµi3: Cho f(x) = x 0 nÕu x 1) XÐt tÝnh liªn tôc cña f(x) t¹i x = 2) XÐt tÝnh kh¶ vi cña f(x) t¹i x = x2 x Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 3x Chứng minh f(x) liên tục x = -3 không có đạo hàm x = -3 x 1e x nÕu x Bµi5: Cho f(x) = Tìm a để f'(0) - x - ax nÕu x a cos x b sin x nÕu x Bµi6: Cho f(x) = nÕu x ax b IV) đạo hàm cấp cao: Trang:2 Lop12.net (3) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng x 3x Bµi1: Cho f(x) = TÝnh: f(n)(x) 2x x 3x x Bµi2: Cho f(x) = x 6x 11x 2x x x Bµi3: Cho f(x) = x x 10 3x 5x 11 Bµi4: Cho f(x) = x 9x 18 Bµi5: Cho f(x) = cosx Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b) Bµi7: Cho f(x) = x.ex Bµi8: Cho f(x) = x ln x Bµi9: Cho f(x) = lnax b TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) V) đẳng thức, phương trình, bất phương trình với các phép toán đạo hµm: Bµi1: Cho y = ln 1 x CMR: xy' + = ey Bµi2: Cho y = e x sin x CMR: y'' + 2y' + 2y = Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + xy' + x2y" = Bài4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x Giải phương trình: f'(x) = g(x) 2x Bµi5: Cho f(x) = ; g(x) = x 4x ln Giải bất phương trình: f'(x) < g'(x) x2 x x ln x x Bµi6: Cho y = 2 CMR: 2y = xy' + lny' IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn: T×m c¸c giíi h¹n sau: 3 x2 x x3 1) A = lim x x0 3) lim x0 2) lim x0 2x 2x x cos x x2 2x sin x x0 3x x 4) lim x2 Trang:3 Lop12.net (4) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Chương II: Khảo sát hàm số và các ứng dụng II) Tính đơn điệu hàm số: 1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu: 2) Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (-1; 1) Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến trên (- ; -1] [2; + ) mx Bài3: Tìm m để hàm số: y = 2m 1x m 1x m đồng biến trên (- ; 0) [2; + ) m1 x mx 3m 2x đồng biến trên R Bài4: Tìm m để hàm số: y = Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + đồng biến các kho¶ng tho¶ m·n: x 2) Phương pháp hàm số giải các bài toán chứa tham số: Bài1: Cho phương trình: x2 - (m + 2)x + 5m + = 1) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn: x > 2) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn: x > 3) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn: x < 4) Tìm m để phương trình có nghiệm (-1; 1) Bài2: Tìm a để phương trình: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = có đúng nghiệm (0;1) Bài3: Tìm m để phương trình: 2x x m.6 2x x 3m 4 2x x cã nghiÖm tho¶ Bài4: Tìm m để phương trình: x x 3 x 6 x = m có nghiệm m·n: x Bài5: Tìm m để phương trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + = có nghiệm 3 x ; 2 Trang:4 Lop12.net (5) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 2 Bài6: Tìm m để phương trình: log x log x 2m có ít nghiệm x 1;3 Bài7: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) x 1x 2 x 3x m 2) x 2mx m x 2mx 3x Bài8: Tìm a để: 2x + ax cã nghiÖm nhÊt 2x Bài9: Tìm m cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) m nghiệm đúng với x Bài10: Xác định a để bất phương trình: -4 4 x 2 x x2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng víi x [-2; 4] x 3x Bài11: Tìm m để: m 1 2 Bài12: Tìm m để 2x x cos x < x 21 sin 2m 1.6 2x 2 x x 2m m4 x x nghiệm đúng với x thoả Bài13: Tìm m để bất phương trình: mx x m + có nghiệm m·n: x 3) Sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình: Bài1: Giải các phương trình và các bất phương trình sau: 1) x 2x 2 2) log x 5x log x 5x 3x 2x Bài2: Giải hệ bất phương trình: x 3x log 22 x log x Bài3: Giải hệ bất phương trình: x 3x 5x x y y y Bài4: Giải hệ phương trình: x z z z z x x x 4) Chứng minh bất đẳng thức: Trang:5 Lop12.net (6) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Chứng minh các bất đẳng thức sau: x2 x x4 cos x 1) 2 24 x > x2 xn 2) e x n! x > 0; n N* x 3) - x e x2 1-x+ x x [0; 1] x e x 4) - x 1-x+ 21 x 1 x 5) ln1 x x 6) ln x x [0; 1] x x > x 1 x x > III) cùc trÞ vµ c¸c øng dông: Bµi1: T×m c¸c ®iÓm cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau ®©y: ex e x x 4x 1) y = + 4x 2) y = 3) y = 4) y = x3(1 - x)2 x2 Bµi2: T×m cùc trÞ nÕu cã cña mçi hµm sè sau ®©y (biÖn luËn theo tham sè a) a 1) y = x3 - 2ax2 + a2x 2) y = x - + x 1 x3 Bµi3: Chøng minh r»ng hµm sè: y = x 2x m x 2 luôn có cực đại và cực tiểu víi mäi m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c hµm sè: 1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 3) y = 5cosx - cos5x víi x ; 4 4) y = Bài2: Cho phương trình: 12x2 - 6mx + m2 - + 12 m2 sin x cos x sin x cos x =0 3 Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình Tìm Max, Min của: S = x x Bµi3: Cho a.b T×m Min cña: y = a4 b4 b4 a2 b2 a b a a b a b Trang:6 Lop12.net (7) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng y x Bµi4: Cho x, y 0; x + y = T×m Max, Min cña: S = y1 x1 Bµi5: Cho x, y 0; x + y = T×m Min cña: S = y x 1 x 1 y Bµi6: Tuú theo a t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: y = sin6x + cos6x + asinx.cosx IV) tiÖp cËn: Bµi1: T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè: 1) y = 4) y = x 3x 2 2x x 2x 2) y = 5) y = x3 x x 1 x x 1 3) y = x 2x 6) y = x2 2 x 9x Bµi2: T×m c¸c tiÖm cËn cña hµm sè (biÖn luËn theo tham sè m) 1) y = x2 x mx 2) y = x2 x 2mx ax 2a 1x a Bµi3: Cho (C): y = , a -1; a Chøng minh r»ng tiÖm cËn xiªn x2 (C) luôn qua điểm cố định 2x 3x Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x 1 1) Chứng minh tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi 2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhÊt V) Khảo sát và vẽ đồ thị: Bài1: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 1) y = 2x3 + 3x2 - 2) y = x3 + 3x2 + 3x + 3) y = x3 - 3x2 - 6x + 4) y = -x3 + 3x2 - 4x + x3 - x2 + 3x - Bài2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 1) y = x4 - 2x2 2) y = -x4 + 2x2 - 5) y = - 3) y = x4 + x +1 10 x4 4) y = - x2 + Trang:7 Lop12.net (8) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Bài3: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 2x 2x 1) y = 2) y = x1 x3 Bài4: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 2 x 3x 1) y = x2 x 2) y = x 1 x 2x x 6x 13 3) y = 4) y = x1 2x Bài5: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 1) y = x x x 3 3) y = 5) y = 2x x 2) y = 4) y = x2 x 2x 2x 8x 11 x 4x x 9x 14 x 15x 50 6) y = x + 2x 2x 2x VI) phép biến đổi đồ thị: Vẽ đồ thị các hàm số: x2 x 2) y = x 2 x x1 1) y = x1 x 3x 3) y = x2 4) y = x x 5) y = x 1 7) y x x x 6) y = Trang:8 Lop12.net x 5x x 1 x 1 x 1 (9) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng VII) tiÕp tuyÕn: 1) Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bµi1: Cho hµm sè: y = x3 - - k(x - 1) (1) 1) Tìm k để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành; 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) giao điểm nó với trục tung Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ tam giác có diện tích Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x 2x cos x giao điểm ®êng cong víi trôc tung Bµi3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E b) Tìm m để các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với (C) : y f x x 12 x 12 Bài4: Cho đồ thị (P) : y gx 2x m 1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung các tiếp điểm chung (C) với (P) Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - 3x2 + 2 1) Gọi t là tiếp tuyến (C) M có xM = a CMR: hoành độ các giao điểm t với (C) là nghiệm phương trình: x a 2 x 2ax 3a 2) Tìm a để t cắt (C) P và Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm K PQ Bài6: Tìm m để giao điểm (C): y = 3m 1x m m víi trôc Ox tiÕp tuyÕn xm (C) song song với (): y = x - 10 Viết phương trình tiếp tuyến đó 2x Bµi7: Cho (C) : y = vµ M bÊt kú thuéc (C) Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai tiÖm cËn x 1 tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A vµ B 1) CMR: M lµ trung ®iÓm cña A vµ B 2) CMR: SIAB không đổi Trang:9 Lop12.net (10) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ 2x 3x m Bµi8: Cho (C): y = (m 0, 1) xm Chứng minh tiếp tuyến giao điểm (C) với Oy cắt tiệm cận đứng điểm có tung độ 3x mx 4x m Tìm m để tiếp tuyến điểm có hoành độ x = vuông góc với tiệm cận đồ thị (C) Bµi9: Cho (C): y = x 2x Bài10: Cho đồ thị (C): y = x1 1) Điểm M (C) với xM = m Viết phương trình tiếp tuyến (tm) M 2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0) CMR: có hai giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng vuông góc với 3) Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn TiÕp tuyÕn t¹i M víi (C) c¾t hai ®êng tiÖm cËn t¹i A vµ B CMR: M lµ trung ®iÓm cña AB vµ diÖn tÝch IAB kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M trªn (C) 2) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 3x2 biết tiếp tuyến vuông góc víi ®êng th¼ng: y = x x4 Bµi2: Cho hµm sè (C): y = f(x) = - x3 - 3x2 + Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx x 3x Bµi3: Cho (C): y = Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với x2 ®êng th¼ng (): 3y - x + = 2x 3x Bài4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = vu«ng gãc víi ®êng 4x x th¼ng: y = - + x 2x Bài5: Cho đồ thị (C): y = x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với tiệm cận xiên nó Chứng minh r»ng tiÕp ®iÓm lµ trung ®iÓm cña ®o¹n tiÕp tuyÕn bÞ ch¾n bëi hai tiÖm cËn Bµi6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - Trang:10 Lop12.net (11) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đường thẳng y = 2x với A là điểm cố định (Cm) có hoành độ dương x 3x a Bài7: Cho đồ thị (Ca): y = x1 Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hệ toạ độ 2x x Bµi8: Cho (C): y = CMR: trªn ®êng th¼ng y = cã ®iÓm cho tõ mçi x1 điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với góc 450 3) Phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước đến đồ thị 19 Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến qua A ;4 đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 12 Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến qua A(0; -1) đến (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m 2)x - Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 23 1) Viết phương trình tiếp tuyến qua A ;2 đến (C) 2) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với Bµi4: Cho (C): y = -x3 + 3x + Tìm trên trục hoành các điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - x2 + Tìm các điểm A Oy kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) 2x Bài6: Tìm trên đường thẳng x = các điểm kẻ tiếp tuyến đến (C): y = x1 ViiI) ứng dụng đồ thị: 1) Xét số nghiệm phương trình: Bài1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3 Bài2: Tìm m để phương trình: x3 - 3x + + m = có nghiệm phân biệt Bài3: Tìm a để phương trình: x3 - 3x2 - a = có ba nghiệm phân biệt đó có đúng nghiÖm lín h¬n Bài4: Biện luận theo b số nghiệm phương trình: x4 -2x2 - 2b + = Bài5: Biện luận theo a số nghiệm phương trình: x2 + (3 - a)x + - 2a = và so sánh các nghiệm đó với -3 và -1 Trang:11 Lop12.net (12) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng Bài6: Tìm m để 2x 10x = x2 - 5x + m có nghiệm phân biệt 2) Sự tương giao hai đồ thị hàm số: Bµi to¸n vÒ sè giao ®iÓm x 4x Bài1: Tìm k để đường thẳng y = kx + cắt đồ thị: y = t¹i hai ®iÓm ph©n x2 biÖt Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x3 + 3x2 + mx + cắt đường thẳng y = ba điểm phân biÖt Bµi3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương Bµi4: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - (m2 - 1) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương Bµi5: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - (m3 + 1) Tìm m để (Cm) cắt Ox đúng điểm Bài6: Tìm m để (Cm): y = x3 + m(x2 - 1) cắt Ox điểm phân biệt Bài7: Tìm m để (Cm): y = x - x + m cắt Ox ba điểm phân biệt Bài8: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 - 9x + m cắt Ox điểm phân biệt Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - cắt Ox đúng điểm Bµi to¸n vÒ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c giao ®iÓm Bài1: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt đường thẳng y = x ba điểm phân biÖt lËp thµnh cÊp sè céng Bài2: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox ba điểm phân biệt lập thµnh cÊp sè céng Bài3: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x4 - 5x2 + A, B, C, D ph©n biÖt mµ AB = BC = CD 3) Các điểm đặc biệt: Bài1: Tìm điểm cố định (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) Bài2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - có điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua ba điểm cố định đó Bài3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + có điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua ba điểm cố định đó Trang:12 Lop12.net (13) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng x 2mx m Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y = xm Tìm các điểm trên Oy mà không có đồ thị nào (Cm) qua x 2mx m Bµi5: Cho hä (Cm): y = xm Tìm các điểm Oxy mà không có đồ thị nào (Cm) qua Bµi6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + CMR: trªn Parabol (P): y = x2 + 14 cã điểm mà không có đồ thị nào (Cm) qua x mx m Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y = xm Tìm các điểm Oxy có đúng đường cong họ (Cm) qua x2 x Bµi8: T×m M (C): y = có toạ độ là các số nguyên x2 4) quỹ tích đại số: Bµi1: Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + (C): y = x3 + 2x2 + CMR: (Cm) lu«n c¾t (C) t¹i A, B ph©n biÖt T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB x 4x vµ ®êng th¼ng (D): y = mx + x2 Tìm m để (D) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I Bµi2: Cho (C): y = AB x 2m 3x Bài3: Tìm m để (Cm): y = có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, x2 cùc tiÓu Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y = x 2m 1x m m T×m quü tÝch giao ®iÓm cña x m 4m (Cm) với các trục Ox, Oy m thay đổi Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 và đường thẳng d: y = mx Tìm m để d cắt (C) ba điểm ph©m biÖt A, O, B T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB x mx m Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu y = x1 Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m - 5) tâm đối xứng, trục đối xứng: Trang:13 Lop12.net (14) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng x3 Bài1: Tìm m để (C): y = + 3mx2 - Nhận I(1; 0) là tâm đối xứng m Bài2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + Tìm m để trên (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ x2 x Bµi3: T×m trªn (C): y = các cặp điểm đối xứng qua I 0; 2 x 1 x 1 Bài4: CMR: đường thẳng y = x + là trục đối xứng đồ thị: y = x1 x2 x 1 Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng qua đường thẳng: y = x - Bµi5: Cho hµm sè: y = Chương III: Tích phân I) nguyªn hµm: 1) Xác định nguyên hàm công thức: Bµi1: CMR hµm sè: F(x) = x ln1 x lµ mét nguyªn hµm cña hsè: f(x) = Bµi2: CMR hµm sè: y = x a x a ln x x a 2 lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè: f(x) = x2 a x 1 x víi a Bài3: Xác định a, b, c để hàm số: F(x) = ax bx c 2x là nguyên hàm 20x 30x hµm sè: f(x) = 2x Bµi4: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: x 3x 1 1) x dx x 2) 3 3) x dx x 4) 5) x x - x dx 1 7) x dx x x dx 3 x 23 x dx 3 6) x dx x x 4x 8) dx x Trang:14 Lop12.net (15) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 9) ax b dx 10) 2 e x dx x -x 15) e e 17) x-1 dx x 1 x3 dx 12) e dx 2 x x x 11) x x a x b dx 13) x4 x4 14) 2dx x 16) 18) e e -x e 2-5x ex 2dx dx - cos2xdx 4sin x 19) dx cosx 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: 2x 1) 3x 14 dx 2) dx x 4x dx 2x 3) 4) dx xlnx x x 1 5) x x 1dx 7) 9) 11) x 1 x dx x3 x 2x xdx x 1 16) 2x 13 x 2dx x 2x dx x1 x dx dx sin xcos x x dx x 42 cos x x4 18) sin x cos xdx 19) tg xdx 14) 15) x 2x - 1dx 21) 8) 12) x x 1dx e tgx e x 13 dx 10) dx 13) cos xdx 17) 6) dx 20) e x 22) 1 x x dx ln 1 x dx 1 x Trang:15 Lop12.net (16) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng dx 23) x x dx 24) x ln x lnln x 25) x x - 1dx 3) Phương pháp nguyên hàm phần: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: x 1) 2x 1 cos xdx 2) x e dx 3) ln xdx 4) e sin xdx 5) cosln x dx 6) xe x 7) dx ln x ln x 1 x 9) x ln dx 1 x 8) e 2x x dx sin xdx 4) Nguyªn hµm hµm h÷u tû: Bµi1: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: 1) 3) 5) x2 x2 x dx x2 x dx dx x 3x x 1 7) dx (a 0) x a x1 9) dx x 1 x1 11) dx x x - 1 13) 15) x3 4x x x x7 1 dx Bµi2: 1) Cho hµm sè y = 2) 4) 6) 8) dx x2 x dx x2 a2 x2 x x 3x dx x3 10) 12) 14) dx 3x 3x x 3x a) Xác định các số A, B, C để: Trang:16 Lop12.net dx dx x 4x dx x 2x - xdx x 3x (17) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng A B C y= x 1 x 1 x b) T×m hä nguyªn hµm cña hµm y Bài3: a) Xác định các số A, B cho 3x A B x 1 x 1 x 1 b) Dựa vào kết trên để tìm họ nguyên hàm hàm số : f(x) = 3x x 1 5) Nguyên hàm hàm lượng giác: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: dx 2) sin xdx 1) sin x cos x 3) cosx 5) 4sinx 2cosx dx x 4) cos x cos dx dx 6) sin x 2sinxcosx - cos x dx 7) cos xdx 9) 11) 8) tg xdx dx cos x cos2x dx cos x.sin x 13) sin2x.cos3xdx 10) 12) dx sin x dx sin x cos x 14) cosx.cos2x.sin4xdx 16) cos xdx 18) tg xdx 20) 15) cos x sin 8xdx 17) sin xdx 19) sin x.cosxdx tgx cos x dx cos x 21) sin x cos x 6) Nguyªn hµm hµm v« tû: 1) dx x2 TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y: dx 2) x 1 x 1 Trang:17 Lop12.net (18) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng dx dx 4) x 1- x x x 3) 5) 3 x dx x-1 x 1 6) 7) dx x13 x1 8) 9) x dx 11) 10) x12 x 1 x dx dx x 1 x 1 4x x dx dx 3x x II) tÝch ph©n : 1) Dùng các phương pháp tính tích phân: Bµi1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 0 sin x cos x dx 3) sin x cos x 4) x cos x cos 5xdx 5) cos x sin xdx 6) sin xdx Bµi2: Cho f(x) = sin x sin x cos x cos x sin x 1) T×m A, B cho f(x) = A + B cos x sin x 2) TÝnh: I = f x dx Bµi3: Cho hµm sè: h(x) = 4 2) cos 2x cos x sin x dx 1) cos xdx sin 2x 2 sin x 1) Tìm A, B để h(x) = A cos x 2 sin x B sin x Trang:18 Lop12.net (19) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng 2) TÝnh: I = hx dx Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 4cosx + 3sinx ; 1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x) 2) TÝnh: I = g(x) = cosx + 2sinx g x f x dx Bµi5: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1) 0x 2 1 4) 5) x e x 5 2) x x dx 3) x x dx xdx 6) dx e x e dx 1e x e ln x dx x 1 Bµi6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1) cos x 1 sin x 2) sin x cos xdx dx 4) tg xdx 3) cos xdx 5) 7) sin 2 0a 9) dx 2 6) x 2 8) cos x b sin x x2 dx sin x dx 1 x x dx dx 10) cos xdx cos 2x Bµi7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 2x 2) e sin 3xdx 1) x cos x dx 0 Trang:19 Lop12.net (20) Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phòng e 3) x 1 e 2x dx 4) x ln x dx 5) x ln x dx 6) cos x ln1 cos x dx 0 7) e ln x x 1 e 9 x 3x 8) dx x sin x 0 dx 2) Tính phân và đẳng thức: a f x dx Bµi1: CMR: NÕu f(x) lµ hµm lÎ liªn tôc trªn [-a; a] th×: I = =0 a VD: TÝnh: I = ln x x dx 1 Bµi2: CMR: NÕu f(x) lµ hµm ch½n liªn tôc trªn [-a; a] th×: I = Bµi3: CMR: NÕu f(x) lµ hµm ch½n liªn tôc trªn R th×: I = VD: TÝnh: I = 2 a a a f x dx 2 f x dx a f x dx a bx a f x dx x 2x x 1 dx Bµi4: Cho f(x) lµ hµm sè liªn tôc trªn [0; 1] CMR: xf sin x dx f sin x dx 20 VD: TÝnh: I = x sin x cos x dx Bµi5: (Tæng qu¸t ho¸ bµi4) b b ab NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = f(x) th× I = xf x dx f x dx a a b Bµi6: NÕu f(x) liªn tôc vµ f(a + b - x) = -f(x) th×: I = f x dx a sin x VD: TÝnh: I = ln dx cos x J = ln1 tgx dx Trang:20 Lop12.net (21)