Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC và MN.[r]
(1)KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 MƠN : TỐN LỚP
(Thời gian :120 phút không kể thời gian chép đề )
ĐỀ RA :
Bài : (3điểm )
Cho đa thức P(x) = x4 + x3 - x2 + ax + b Q(x) = x2 + x - 2 Xác định a b để P(x) ⋮ Q(x)
Bài 2: ( điểm )
Giải hệ phương trình sau :
¿
x + y +z=1(1) x+2 y +4 z=8(2) x+3 y +9 z =27(3)
¿{ {
¿ Bài : (2điểm )
Giải phương trình : 2 x√y − 1+4 y√x −1=3 xy
Bài 4: (3điểm )
Tính giá trị biểu thức : a) A = 2
√1+1√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ .+
1
25√24 +24√25
b) B =
√2−√5+√32+√5
Bài : ( điểm )
Cho a, b, c, d > Chứng minh : √(a+c)(b+d )≥√ab+√cd
Bài : (4điểm )
Cho Δ ABC ( AB AC ) Trên cạnh BA CA , lấy hai điểm M
N di động cho BM = CN Gọi I J theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng BC MN Đường thẳng IJ cắt đường thẳng AB AC E F
Chứng minh : góc BEI góc CFI Bài : (4điểm )
Cho Δ ABC vuông A , đường cao AA’ ; E F hình
Chiếu A’ AC AB Chứng minh : AC3
AB3= CF BE
(2)ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1: ( 3điểm )
Lấy P(x) : Q(x) = (x2 + 1) dư R(x) = ax - x + b + (1đ) Để P(x) ⋮ Q(x) R(x) =0
(1đ)
R(x) = x ( a -1 ) + ( b + ) = ⇔
¿
a −1=0 b +2=0
⇔
¿a=1
b=−2
¿{
¿
(1đ)
Bài : ( điểm )
Lấy (2) trừ (1) ta có : y + 3z = ( 0,5đ)
Lấy (3) trừ (2) ta có : y + z = 19 ( 0,5đ) Ta có hệ phương trình :
¿
y +3 z =7 y +5 z=19
¿{
¿
⇔
¿
−2 z=−12 y +3 z=7
¿{
¿
⇔
¿
z=6 y=− 11
¿{
¿ (1đ)
Thay x = 6, y = -11 vào phương trình (1) hệ ta có :
x - 11 + = ⇔ x = (0,5đ)
Vậy nghiệm hệ phương trình : x = 6, y = - 11, z = (0,5đ) Bài : ( điểm )
2 x√y − 1+4 y√x −1=3 xy ( điều kiện : x ≥ 1 ; y ≥ 1 )
⇔3 xy
2 − x√y − 1− y√x −1=0 (0,5điểm)
⇔(xy
2 − x√y −1)+(xy − y√x −1)=0 (0,5điểm)
⇔x
2(y −1 −2√y − 1+1)+ y (x −1− 2√x −1+1)=0 (0,5điểm)
√x −1 −1¿2=0
√y − 1−1¿2+y¿
⇔ x
2¿
(0,5điểm)
√x −1 −1¿2=0
√y − 1−1¿2=y¿ ⇔ x
2¿
(0,5điểm)
(3)Bài 4: ( điểm ) a) A=
√1−
√2+
√2−
√3+
√3−
√4+ +
√24−
√25=1− 5=
4
5 ( 1.5 đ)
b)
5 2+√¿
¿
5 2−√¿
¿ ¿
B3=2 −√5+2+√5+3√3¿
(0,5đ)
= +3√34 −5 B=4 −3 B
(0,25đ)
⇔ B3
+3 B − 4=0⇔(B− 1)(B2
+B+4 )=0 (0,5đ)
⇔ B −1=0 ⇔B=1 (0.25 đ)
Bài 5:
√ab+√cd¿2 ¿
√ad −√bc¿2≥ 0 ¿
¿
√(a+ c)(b+d )≥√ab+√cd⇔(a+c)(b+d )≥¿
Bất đẳng thức cuối nên ta có ĐPCM ( đ ) Bài : (4điểm)
Nối MC gọi K trung điểm MC Nối IK KJ
Trong Δ CMB , IK đường trung bình Suy IK // BE IK = 12 BM Trong Δ MCN , KJ đường trung bình Suy KJ // CA KJ = 12 NC Mà MB = NC ( gt)
Suy Δ KIJ cân K ( KI = KJ) ⇒ góc KIJ góc KJI
góc KIJ góc BEI ( so le ) góc KJI góc CFI (( đồng vị ) Vậy góc BEI góc CFI (đpcm) Bài 6: (4điểm )
Δ ABC vuông A , đường cao AA’ Ta có :
AC2 = CA’ BC AB2 = BA’ BC
⇒ AC
2 AB2=
CA '
BA ' (1)
(4)Vì EA’ // AB nên ta có :
CA ' BA '=
CE
EA (2)
Mặt khác ta có :
AC AB=
A ' F
BF ⇒ AC AB=
EA
BF (3)
Từ (1), (2) (3) ta có :
AC3 AB3=
CE
BF (đpcm)