Đang tải... (xem toàn văn)
Do ñoù khoaûng caùch töø B ñeán ñöôøng thaúng ( Δ) laø:.[r]
(1)(Cực Trị Trong Không Gian Toạ Độ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) đường thẳng
d : x=1 −t y=− 2+t
z=2 t ¿{ {
Trong đường thẳng qua A cắt d ; viết phương trình đường thẳng (Δ)
có khoảng cách đến điểm B : a) Nhỏ b) Lớn Bài giải đề nghị
Cách : Phương pháp hình học
Gọi (Δ) đường thẳng qua A cắt d; (Δ) d thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d) Gọi H hình chiếu B (P); K hình chiếu H (Δ) BK (Δ) Vậy BK
khoảng cách từ B đến (Δ)
* Trong tam giác vuông BKH BK BH nên BK ngắn K H Khi (Δ) qua hai
điểm A H
*Trong tam giác vng BKA BK BA nên BK lớn K A Khi (Δ) qua A
nằm (P) vng góc với BA a) Trường hợp d(B, (Δ) nhỏ
Phương trình mp(P)= mp(A,d) VTCP d a⃗❑
d=(−1 ;1;2) Hai điểm A(1;4;2) M(1;-2;0) thuộc d
AM⃗❑ =(0;− ;−2)
Do VTPT mp (P) n⃗❑
=[a
⃗ ❑
d, AM ⃗ ❑
]=(10 ; −2 ;6) Ta choïn n
⃗ ❑
=(5 ;−1 ;3)
Ta phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = ⇔ 5x-y+3z-7 = Gọi H hình chiếu B (P) Ta dễ dàng tìm H (−5
7; 68 35 ;
146
35 ) Như véctơ phương (Δ) AH
⃗ ❑
=(−12 ;−
72 ;
76
7 ) Chonï VTCP cuûa (Δ) laø a
⃗ ❑
=(15 ;18 ;−19) Ta đựoc phương trình (Δ) : x −1
15 = y − 4
18 =
z −2 −19 b) Trường hợp d(B, (Δ) lớn
Trường hợp nầy (Δ) nằm (P) , qua A vng góc với BA Ta có AB⃗❑
=(−2 ;−2 ; 2) ; VTPT (P) n
⃗ ❑
=(5 ;−1 ; 3) Do VTCP (Δ) là:
a
⃗ ❑
=[AB
⃗ ❑
, n⃗❑] =(-4;16;12) Chọn a⃗❑=(− 1; ;3) Ta phương trình đường thẳng
(Δ):x −1 −1 =
y − 4
4 =
z −2 Cách 2: Phương pháp giải tích
Gọi M = d (Δ) M( 1-t;-2+t;2t) (Δ) có VTCP AM⃗❑ =(− t ;t − ; 2t −2) Ta coù: AB⃗❑
(2)d=|[AM
⃗ ❑
, AB❑⃗ ]|
|AM
⃗ ❑
| =
√56 t2−304 t +416
√6 t2− 20t +40 =√
28t2− 152t +208
3 t2−10 t +20
Xét hàm soá f (t)=d2=28 t
2
−152+208 3 t2− 10 t+20 Ta coù
3 t2−10 t+20¿2 ¿
f ' (t)=16 (11t
2
−8 t − 60) ¿
f(t)= ⇔ t = -2 t= 30/11 Do f (−2)=12 f (30
11)=
4
15; lim f (t )x→ ±∞
=28
3 neân Max f(t)= 12 t= - vaø f(t)=
4/5
khi= 30/11
Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d=
√12 t=-2 cho AM⃗❑ =(2 ;− 8;− 6) Choïn VTCP
của (Δ) a⃗❑=(1 ;− ;−3) ta phương trình (Δ):x −1 =
y − 4 − 4 =
z −2 −3 Với f(t)= mind2=4/15 , ta có d=
√15 11 30 t
cho AM
⃗ ❑
=(−30 11 ;−
36 11 ;
38 11) Chọn VTCP (Δ) a⃗❑=(15 ;18 ;−19) Ta phương trình (Δ) là:
x −1 15 =
y − 4
18 =