Số phức ôn thi tốt nghiệp

MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -1- Naêm hoïc: 2009 – 2010 MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -2- A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn 2 1 i = - . Kí hiệu z a bi = + · i: đơn vò ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo. Chú ý: o z a 0i a = + = được gọi là số thực (a ) Ỵ Ì ¡ £ o z 0 bi bi = + = được gọi là số ảo o 0 0 0i = + vừa là số thực vừa là số ảo Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z = a + bi 2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z a bi = + và z' a ' b'i = + với a,b,a ',b' Ỵ ¡ a a' z z' b b' = ì = Û í = ỵ 3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z a bi = + và z' a ' b'i = + với a,b,a ',b' Ỵ ¡ ( ) ( ) z z' a a' b b' i + = + + + ( ) ( ) z z' a a' b b' i - = - + - o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b ) Ỵ ¡ 4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức z a bi = + và z' a ' b'i = + với a,b,a ',b' Ỵ ¡ ( ) ( ) z.z' aa' bb' ab' a 'b i = - + + 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi = - o '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= o z là số thực zz =Û ; z là số ảo zz -=Û 6. Môđun của số phức z = a + bi o 2 2 z a b zz OM = + = = uuuur o 00,0 =Û=Ỵ"³ zzCzz o z.z' z z' , z z' z z' z,z' = + £ + " Ỵ £ 7. Chia hai số phức. o Số phức nghòch đảo của z (z )0 ¹ : z z z 2 1 1 = - x y a b O M MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -3- o Thương của z’ chia cho z (z 0) ¹ : zz zz z zz zz z z '' ' ' 2 1 === - o Với z .' ' ,0 wzzw z z =Û=¹ , z z z z z z z z ' ' , '' == ÷ ø ư ç è ỉ II. CÁC DẠNG TOÁN Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a. z i (2 4i)(3 2i) = + - + ; b. 3 3 z ( 1 i) (2i) = - + - ; c. ( ) 2 z 1 i 1 i = + + - Giải. a. z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i = + - + = + - = - Phần thực a = 14; Phần ảo b = 7 - ; môđun z 7 5 = b. 3 3 z ( 1 i) (2i) 2 2i ( 8i) 2 10i = - + - = + - - = + Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 2 26 = c. ( ) 2 z 1 i 1 i 1 i 2 1 i = + + = + + - = - Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 2 = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: a. (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b. (2 + i) 3 – (3 – i) 3 c. - 1 2 3i d. - 3 (2 3i) e. (1 + i) 2 – (1 – i) 2 f. ( ) ( ) + - - 2 2 3 i 3 i g. (2 + i) 3 – (3 – i) 3 h. + - - + - - 2 3 3 2 (1 2i) (1 i) (3 2i) (2 i) i. ( ) 2 4 5 3 2 2 - - + + i i i j. ( 1- 2 i ) + i i + + 2 1 k. - 3 2i i l. ( ) ( ) [ ] .)25(223 3 iii + m. - - - + 3 2 1 i i i i n. i i i i - - + - 2 1 3 o. + + + - - 3 2i 1 i 1 i 3 2i p. ( ) )32(41 43 ii i +- - 2. Tính a. i 2 1 3 + b. i i - + 1 1 c. mi m h. ai bia + i. (2 – i) 4 j. i 2 3 2 1 1 - n. (2 + 3i) 2 o. (2 – 3i) 3 p. i i + + 1 24 q. 2 i (1 i)(4 3i) 3 2i + + + - + MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -4- d. aia aia - + e. )1)(21( 3 ii i +- + f. 2i(3 + i)(2 + 4i) g. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) k. i i i 6 3 45 34 + + +- l. ( ) ( ) i ii + - + 2 21 32 m. (3 – 2i)(2 – 3i) r. (3 4i)(1 2i) 4 3i 1 2i - + + - - s. 3 i i - + (5 – i) 2 t. 2 2i 1 2i 1 2i 2 2i + + + - - Bài toán 2. Tính 2012 (1 i) + Giải. 1006 2012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006 (1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2 é ù + = + = = = = - = - ë û BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính. a. 2 3 2009 1 i i i i + + + + + b. 100 (1 ) i- c. 2008 2008 (1 ) (1 ) + + - i i Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết 2x yi 3 2i x yi 2 4i + - + = - + + Giải. 2x 3 x 2 x 4 2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i y 2 4 y y 1 - = + = ì ì + - + = - + + Û - + + = + + - Û Û í í + = - = ỵ ỵ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm các số thực x và y biết: a. (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i b. (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i c. (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i d. (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a. z i z 2 3i + = - - ; b. z 3 1 + £ Giải. Đặt z x yi = + , khi đó: a. z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i + = - - Û + + = + - - Û + + = - + - 2 2 2 2 x (y 1) (x 2) (y 3) x 2y 3 0 Û + + = - + - Û + - = Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 2y 3 0 + - = b. 2 2 2 2 z 3 1 x yi 3 1 x 3 yi 1 (x 3) y 1 (x 3) y 1 + £ Û + + £ Û + + £ Û + + £ Û + + £ MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -5- Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn 2 2 (x 3) y 1 + + £ tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a. 43 =++ zz b. 2|z – i| = izz 2+- c. 3 4 z z i = - + d. 1 z i z i - = + e. 1 2 z i - + = a. z + 2 z = 2 – 4i b. 0 2 =- zz f. 0 2 =+ zz g. 2 z i z + = - h. z = 1 i. z = iz 43+- j. 10)_2( =- iz và '.zz = 25 k. z £ 1 l. z =1 và phần ảo của z =1 m. ( ) 243 = iz n. 1 4 = ÷ ø ư ç è ỉ - + iz iz o. 1= + - iz iz p. 1< z £ 2 q. 1222 -=- zzi r. phần thực của z thuộc đọan [0;1], phần ảo của z thuộc đoạn [-1;2] c. izz 422 -=+ d. 0 2 2 =+ zz B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Căn bậc hai của số phức o z 0 = có một căn bậc hai là 0 o z a = là số thực dương có 2 căn bậc 2 là a ± o z a = là số thực âm có 2 căn bậc hai là a .i ± o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho 2 2 2 x y a w z 2xy b ì - = = Û í = ỵ (a, b, x, y ) Ỵ ¡ 2. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, A 0 ¹ ). Tính 2 B 4AC D = - o 0 D > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 B z , 2A - ± D = o 0 D < : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 B i z , 2A - ± D = MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -6- o 0 = D : Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2 B z z 2A = = - 3. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A 0 ¹ ). Tính 2 B 4AC D = - o 0 ¹ D : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 B z , 2A - ± d = , ( d là 1 căn bậc hai của ) D o 0 = D : Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2 B z z 2A = = - II. CÁC DẠNG TOÁN. Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a. 4 - ; b. 3 4i - (NC) Giải. a. Hai căn bậc hai của 4 - là 4 .i 2i ± - = ± b. Gọi w x yi = + là căn bậc hai của 3 4i - , ta có: 2 2 2 4 2 2 2 2 x 2 x 1 ( ) x 2 x y 3 x 3x 4 0 y 1 x y 3 x 2 x 4 2 2 2xy 4 x 2 y y 2 2 y x x y y 1 x x é = ì ì é = - ì = é í ê ì ì - = - - = ï ê ï ê = - ì - = ï ï ï ï ỵ= - = ê ë ë Û Û Û Û Û í í í í í ê = - = - = - = - ì ỵ ï ï ï ï ê = - ỵ ỵ í = - ï ï = ỵ ê ỵ ỵ ë loại Vậy 3 4i - có hai căn bậc hai là 2 i - và 2 i - + BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 8;3; 9 - ; 11 - ; -I; -2i; 2i; 4i 2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC) 5 12i - + ; 8 6i + ; 33 56i - ; 3 4i - + ; 3+4i; 5 – 12i Bài toán 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. (3 2i)z 4 5i 7 3i - + + = - ; b. z 2 3i 5 2i 4 3i + - = - - Giải. a. 3 8i 25 18 (3 2i)z 4 5i 7 3i (3 2i)z 3 8i z i 3 2i 13 13 - - + + = - Û - = - Û = = - - b. z z 2 3i 5 2i 3 i z (3 i)(4 3i) 15 5i 4 3i 4 3i + - = - Û = + Û = + - = - - - BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. i i z i i + + - = - + 2 31 1 2 h. 3 5i 2 4i z + = - MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -7- b. 2iz + 1 – i = 0 c. (1 – i )z + 2 – i = 2z + i d. ( iz –1 )( z + 3i )( z – 2 + 3i) = 0 e. ( 2 i) z – 4 = 0 f. ( ) 4 5i z 2 i - = + g. ( ) ( ) 2 3 2i z i 3i - + = s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i) i. (2 3 ) 5 2 4 3 z i i i + - = - - j. (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) k. (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i l. (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i. m. 1 1 z 3 i 3 i 2 2 - = + ỉ ư ç ÷ è ø n. 0) 2 1 ](3)2[( =+++- i izizi Bài toán 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) a. 2 7z 3z 2 0 + + = ; b. 2 3x 2x 1 0 - + - = Giải. a. 2 7z 3z 2 0 + + = 2 b 4ac 47 0 D = - = - < Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 b i 3 47.i 3 47 z i 2a 14 14 14 - + D - + = = = - + 2 b i 3 47.i 3 47 z i 2a 14 14 14 - - D - - = = = - - b. 2 3x 2x 1 0 - + - = 2 ' b' ac 2 0 D = - = - < Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 b' i ' 1 2.i 1 2 x i a 3 3 3 - + D - + = = = - - 2 b' i ' 1 2.i 1 2 x i a 3 3 3 - - D - - = = = + - BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. 01.3 2 =+- xx b. 02.32.23 2 =+- xx c. 2 3 2 0 x x - + = d. 2 3 2 0 + + = x x e. 2 1 0 + + = x x f. z 4 –8 = 0 g. x 3 – 1 = 0 h. z 3 + 1 = 0 i. z 4 + 4 = 0 j. 5z 2 – 7z + 11 = 0 k. z 2 - 2 3 z + 7 = 0 l. z 3 – 8 = 0 m. z 2 + z +7 = 0 n. z 2 – z + 1 = 0 o. z 2 + 2z + 5 = 0 p. 8z 2 – 4z + 1 = 0 q. x 2 + 7 = 0 r. x 2 – 3x + 3 = 0 s. x 2 –5x +7=0 t. x 2 –4x + 11 = 0 u. z 2 – 3z + 11 = 0 MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -8- 2. Giải phương trình sau trên trường số phức a. z 4 – 5z 2 – 6 = 0 b. z 4 +7z 2 – 8 = 0 c. z 4 – 8z 2 – 9 = 0 d. z 4 + 6z 2 + 25 = 0 e. z 4 + 4z – 77 = 0 f. 8z 4 + 8z 3 = z + 1 g. z 4 + z 3 + 2 1 z 2 + z + 1 = 0 h. z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =0 i. 4 3 7 2 z i z i z i - - = - - j. 3 2 1 1 1 0 2 2 2 z z z + + - = Bài toán 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) a. 2 x (3 4i)x 5i 1 0 - + + - = ; b. 2 z 2iz 2i 1 0 - + - = Giải. a. 2 x (3 4i)x 5i 1 0 - + + - = 2 2 b 4ac 3 4i (1 2i) 0 D = - = - + = + ¹ Gọi d là một căn bậc hai của D , ta có 1 2i d = + Do 0 D ¹ , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 b 3 4i 1 2i x 2 3i 2a 2 - + d + + + = = = + 2 b 3 4i (1 2i) x 1 i 2a 2 - - d + - + = = = + b. 2 z 2iz 2i 1 0 - + - = 2 2 ' b' ac 2i (1 i) 0 D = - = - = - ¹ Gọi ' d là một căn bậc hai của ' D , ta có ' 1 i d = - Do ' 0 D ¹ , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 1 b' ' i 1 i z 1 a 1 - + d + - = = = 2 b' ' i (1 i) z 1 2i a 1 - - d - - = = = - + BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC) 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. x 2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 b. (z 2 + i)(z 2 – 2iz - 1) = 0 c. ( ) 2 1 2 0 + + - - = x i x i d. 2z 2 – iz + 1 = 0 e. z 2 + (-2 + i)z – 2i = 0 f. z 2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 g. z 2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0 h. ( ) 2 2 8 14 23 0 x i x i - + + - = j. 2 80 4099 100 0 - + - = z z i k. ( ) ( ) 2 3 6 3 13 0 + - - + - + = z i z i l. ( ) 2 cos sin cos sin 0. - + + = z i z i j j j j m. ( ) 4 2 8 1 63 16 0 - - + - = z i z i n. ( ) 4 2 24 1 308 144 0 - - + - = z i z i o. ( 1 – i)x 2 – 2x – (11 + 3i) = 0 p. ( 1 + i)x 2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -9- i. ( ) ( ) 2 5 14 2 12 5 0 - - - + = z i z i q. z 2 + 18z + 1681 = 0 2. Giải các hệ phương trình : a. ỵ í ì -=+ +=+ izz izz 25 4 2 2 2 1 21 b. ỵ í ì +-=+ = izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 c. 2 2 1 2 1 2 5 2 4 ì + = + í + = - ỵ z z i z z i d. 2 2 4 0 2 ì + + = í + = ỵ u v uv u v i e. 2 1 ì - = ï í - = - ï ỵ z i z z i z C. DẠNG LƯNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. (NC) I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Dạng lượng giác của số phức. z = r(cos isin ) j + j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b , z 0) Ỵ ¹ ¡ o 2 2 r a b = + là môđun của z o j là một acgumen của z thỏa a cos r b sin r ì j = ï ï í ï j = ï ỵ 2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos isin ) , z' r'(cos ' isin ') j + j = j + j thì : o z.z' r.r'[cos( ') isin( ')] = j+ j + j + j o z r [cos( ') isin( ')] z' r' = j - j + j- j 3. Công thức Moa-vrơ : * NnỴ thì n n [r(cos isin )] r (cosn isin n ) j + j = j + j Nhân xét: n (cos isin ) cosn isin n j + j = j + j 4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức z = r(cos )sin j j i + (r > 0) là (cos sin ) 2 2 r i j j + và (cos sin ) [cos( ) sin( )] 2 2 2 2 r i r i j j j j p p - + = + + + II. CÁC DẠNG TOÁN. Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau: a. z 2 2i = - ; b. z 1 3.i = - - Giải. a. z 2 2i = - o Mô đun 2 2 r a b 2 2 = + = MATHVN.COM – www.mathvn.com www.mathvn.com -10- o Gọi j là một acgumen của z ta có 1 cos 2 1 4 sin 2 ì j = ï p ï Þ j = - í ï j = - ï ỵ Dạng lượng giác z 2 2 cos isin 4 4 é p p ù ỉ ư ỉ ư = - + - ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û b. z 1 3.i = - - o Mô đun 2 2 r a b 2 = + = o Gọi j là một acgumen của z ta có 1 cos 2 2 3 3 sin 2 ì j = - ï p ï Þ j = - í ï j = - ï ỵ Dạng lượng giác 2 2 z 2 cos isin 3 3 é p p ù ỉ ư ỉ ư = - + - ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: a. i.322 +- b. 4 – 4i c. 1 – i.3 d. 4 sin. 4 cos p p i- e. 8 cos. 8 sin p p i f. )1)(3.1( ii +- g. 1 3 1 - + i i 2. Thực hiện phép tính a. 5 ) 4 sin. 4 (cos3). 6 sin. 6 (cos p p p p ii ++ b. )15sin.15(cos3 )45sin.45(cos2 00 00 i i + + c. 3(cos20 o + isin20 o )(cos25 o + isin25 o ) d. ) 2 sin. 2 (cos2 ) 3 2 sin. 3 2 (cos2 pp pp i i + + 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: a. 31 i- b. 1 + i c. )1)(31( ii +- d. i i + - 1 31 e. )3.(.2 ii - f. i 2 2 1 + g. z = j j cos.sin i + Bài toán 2. Tính: a. ( ) 6 10 (1 i) 3 i - + ; b. ( ) 10 9 (1 i) 3 i + + Giải. a. ( ) 6 10 (1 i) 3 i - + ( ) 10 10 5 5 5 (1 i) 2 cos isin 2 cos isin 32 0 i 32i 4 4 2 2 é ù ỉ p p ư é p p ù ỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư - = - + - = - + - = - = - ê ú ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø è ø è ø è ø ë û ë û [...]... ø 2010 h ỉ ç è i ø 21 ỉ ư f ç 5 + 3i 3 ÷ ç 1 - 2i 3 ÷ è ø g ỉ cos p - i sin p ư i5 (1 + 3i)7 ç ÷ 3 3ø è i (1 + i )25 50 j (1 + i ) 49 ( 3+i ) k (cos12o + isin12o)5 Bài toá n 3 Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a Giải a -1 - i z = -1 - i 3 ; b z= 1- i 3 1+ i 3 Dạng lượng giác: é ỉ 2p ư ỉ 2p ư ù z = 2 êcos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ú è 3 øû ë è 3 ø Hai căn bậc hai của z là ỉ1 é ỉ pư 3 ư 1 3 2 6 ỉ p ứ w1... é ỉ 17 p ư ỉ 7p ư ù ỉ 17p ư ù w 2 = - 4 2 êcos ç - ÷ + i sin ç - ÷ ú = 4 2 êcos ç ÷ + i sin ç ÷ú è 24 ø û è 24 ø û ë è 24 ø ë è 24 ø Hai căn bậc hai của z là BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : 2004 ỉ i ư a –1 + 4 3.i f ç ÷ è1+ i ø b 4 + 6 5.i g - 11 + 4 3i c –1 – 2 6 i h 2 (1 - i ) d 1+ 4 3 i e ( 3 - i)6 www.mathvn.com 2 -12- i j p p - i sin 4 4 p p cos - i sin 3 3 cos k 4 + 6 5i