3 TÍNH CHẤT CẮT NGANG TÔPÔ VÀ ỨNG DỤNG
3.2.1 Nguyên lý Leray Schauder Định lý Birkhoff-Kellogg
Trong phần này, ta áp dụng định lý tính cắt ngang tôpô cho phương trìnhx=F(x), trong đó F là toán tử compact hoặc hoàn toàn liên tục.
Định lý 3.2.1.1. (Nguyên lý Leray-Schauder) [1] Cho C ⊂ E là tập lồi và U là tập mở trong C, Ht : U → C là đồng luân compact chấp nhận được sao cho H0 =F và H1 =G, trong đó Glà ánh xạ hằng từ U đến một điểm uo ∈U. Khi đó F có điểm bất động.
Chứng minh. Theo định lý 3.1.2.7, G là ánh xạ cốt yếu, kết hợp định lý 3.1.2.5, ta có
F cốt yếu nên F có điểm bất động.
Định lý 3.2.1.2. (Phép lựa chọn phi tuyến) [1] Cho C ⊂E là tập lồi, và U mở trong C sao cho 0 ∈U. Khi đó mỗi ánh xạ compact F :U →C có ít nhất một trong hai tính chất sau:
(a) F có điểm bất động;
(b) Tồn tại x∈∂U và λ∈(0,1)sao cho x=λF(x).
Chứng minh.Ta có thể giả sử F|∂U phi bất động vì nếuF|∂U không là phi bất động thì ta có tính chất (a). Cho G:U →C là ánh xạ hằng u7→0, và xét đồng luân compact Ht : U ×I →C cho bởi công thức H(u, t) = tF(u) nối G và F. Nếu H phi bất động trên ∂U, theo định lý 3.2.1.1, F phải có điểm bất động. Nếu H không phi bất động trên ∂U thì tồn tại điểm x∈∂U sao cho x=H(x, λ) =λF(x), vì λ 6= 0 (do 0 ∈/ ∂U) và λ6= 1 (do F|∂U phi bất động) nên ta có (b).
Rất nhiều định lý điểm bất động truyền thống có thể xuất phát từ phép lựa chọn phi tuyến, bằng cách đặt điều kiện để tránh xảy ra tính chất (b). Chẳng hạn, ta đặt p : E → R+ là hàm (không nhất thiết phải liên tục) sao cho p−1(0) = 0 và p(λx) =λp(x),∀λ >0. Khi đó ta có hệ quả sau:
28
Hệ quả 3.2.1.3. [1] ChoC⊂E là tập lồi vàU là tập con mở chứa 0 củaC, F :U →C là ánh xạ compact. Nếu
1. (Điều kiện Rothe) p[F(x)]≤p(x),∀x∈∂U, hoặc
2. (Điều kiện Altman) [pF(x)]2 ≤[p(F(x)−x)]2+ [p(x)]2,∀x∈∂U
thì F có điểm bất động.
Chứng minh.Dễ kiểm tra F không có tính chất (3.2.1.2b) nênF có điểm bất động.
Định lý 3.2.1.4. (Phép lựa chọn Leray-Schauder) [1] Cho C là tập con lồi của E và giả sử0∈C, F :C→C là toán tử hoàn toàn liên tục. Đặt
ε(F) ={x∈C|x=λF(x),0< λ <1}.
Khi đóε(F) không bị chặn hoặc F có điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử ε(F) bị chặn, đặt B(0, r) là hình cầu mở chứa ε(F). Khi đó F|C∩B(0,r) : C∩B(0, r) → C là ánh xạ compact và không có điểm x ∈ ∂[C ∩B(0, r)] thoả tính chất (b) của định lý 3.2.1.2 (theo cách xây dựng B(0, r)) nênF|C∩B(0,r) phải
có điểm bất động hayF có điểm bất động.
Định lý 3.2.1.5. [1] Cho F : E ×I → E là toán tử hoàn toàn liên tục sao cho
∃% >0, F(x,0) =−F(−x,0),∀x∈E thỏa ||x|| ≥% . Đặt
ε(F) = {x∈E|x=F(x, t), t∈(0,1)}.
Khi đóε(F) không bị chặn hoặc x7→F(x,1) có điểm bất động.
Chứng minh. Giả sửε(F)bị chặn,B =B(0, r)là hình cầu mở trongE chứaε(F)thỏa r≥%.
Xét phép đồng luân compact Ft(x) = F(x, t)với (x, t)∈B ×I, ta có thể giả sử {Ft} phi bất động trên ∂B. Khi đó F0 ' F1 trong K∂B(B, E). Vì F0 bảo toàn tính xuyên tâm trên ∂B nên F0 cốt yếu (định lý 3.1.2.8), vì thế theo định lý 3.1.2.5, ta có F1 là
Toán tử F :E →E được gọi là bán bị chặn nếu |F |= lim ||x||→∞ ||F(x)|| ||x|| = inf%>0 sup ||x||≥% ||F(x)|| ||x|| <∞.
Ví dụ 3.2.1.1. Mọi toán tử tuyến tính bị chặnF đều là bán bị chặn và |F|=||F||. Định lý 3.2.1.6. [1] ChoF :E →E là toán tử hoàn toàn liên tục, bán bị chặn. Khi đó với mỗi số thực |λ| < |F1| (và cho mọi số thực λ nếu |F| = 0), toán tử λF có ít nhất một điểm bất động. Tổng quát hơn, với mỗi y ∈ E và |λ| < |F1|, phương trình y=x−λF(x) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh. Cho y ∈ E, và xét toán tử hoàn toàn liên tục G(x) = y +λF(x). Dễ nhận thấy |G| = |λ||F|. Vì thế nếu |λ| < |F1|, ta có |G| < 1,∃r > 0 sao cho
||G(x)||/||x||<1,∀||x|| ≥r. Bằng phép lựa chọn phi tuyến cho G trên {x| ||x|| ≥ r}, ta có Gcó một điểm bất động x. Do đó, x=G(x) = y+λF(x).
Ta áp dụng định lý tính cắt ngang tôpô đối với phương trình x = λF(x), trong đó λ
là tham số thực, cho bài toán tồn tại phương bất biến của ánh xạ compact. Ta chứng
minh rằng, với một số điều kiện nhất định thì phương bất biến luôn luôn tồn tại.
Định lý 3.2.1.7. (Birkhoff-Kellogg) [1] Cho U là lân cận mở, bị chặn của 0 trong
không gian định chuẩn vô hạn chiều, F :∂U → E là ánh xạ compact thỏa ||F(x)|| ≥
α > 0,∀x ∈ ∂U. Khi đó F có phương bất biến, tức là, ∃x ∈ ∂U và µ > 0 sao cho x=µF(x).
Chứng minh. Theo định lý 2.2.2.5, ta có thể giả sử F xác định trên U. Ta cần chỉ ra tồn tại ánh xạ compact G : U → E, trùng với F trên ∂U sao cho 0 ∈/ G(U). Do E là vô hạn chiều nên F(U) compact không phủ được hình cầu B(0, α/2). Vậy tồn tại vo ∈ B(0, α/2)−F(U). Xây dựng đồng cấu h : (E, B(0, α/2)) → (E, B(0, α/2)) giữ nguyên trênE−B(0, α/2)và biếnvo thành 0 như sau: mỗi z ∈B(0, α/2)− {vo}được biểu diễn duy nhất dưới dạngz = (1−t)vo+t˙z, ˙z ∈B(0, α/2),0< t <1. Đặt
h(z) = 0, z =vo h((1−t)vo+t˙z) = t˙z, z ∈B(0.α/2)− {vo} z, z ∈E−B(0, α/2).
30
Khi đóG=h◦F là ánh xạ cần tìm, và G|∂U =F|∂U do||F(x)|| ≥α,∀x∈∂U. Chọn N ∈N đủ lớn sao cho U ⊂B(0, N), xét ánh xạ compact H :U →E cho bởi
H(x) =N G(x)
||G(x)||.
Ánh xạ này không thể có điểm bất động vì U ⊂B(0, N) trong khiH(U)⊂∂B(0, N). Sử dụng định lý lựa chọn phi tuyến choH, ta có ||G(x)λN ||G(x) = x, với x∈∂U, λ∈(0,1) và do G|∂U =F|∂U ta có điều phải chứng minh.
