3 TÍNH CHẤT CẮT NGANG TÔPÔ VÀ ỨNG DỤNG
3.2.2Trường compact
Ứng dụng rộng hơn của định lý tính cắt ngang tôpô (đặc biệt cho phương trình y =x−F(x)) là trường compact. Cho X là tập con trong không gian định chuẩn E và F : X → E là ánh xạ compact. Các hàm viết dưới dạng f(x) = x−F(x) được gọi là các trường compact. Trong không gian định chuẩn tùy ý nào đó, lớp các trường compact có đặc điểm khác mà lớp các ánh xạ compact không có. Ví dụ, ánh xạ đồng nhất của không gian định chuẩn vô hạn chiều là trường compact nhưng không là ánh xạ compact.
Định nghĩa 3.2.2.1. [1] Cho(X, A),(Y, B)là 2 cặp trong không gian định chuẩn E. Ánh xạ f : (X, A)→ (Y, B) được gọi là trường compact nếu x 7→ x−f(x) là ánh xạ compact từX vào E.
Trường compact thường được ký hiệu bằng chữ cái thường, ví dụ, f :X →Y, ánh xạ compactx7→x−f(x), ký hiệu bởi chữ cái hoa tương ứng, F(x) = x−f(x). Ta gọi F (xác định duy nhất) là ánh xạ compact liên kết với trường đã cho. Trường f được gọi là hữu hạn chiều nếu ánh xạ compact liên kết cũng hữu hạn chiều.
Rõ ràng nếu A⊂X ⊂E, trong đó,E là không gian định chuẩn thì
(a) Ánh xạ nhúng i:A→X là trường compact (hữu hạn chiều do ánh xạ liên kết là F(x) = 0);
(c) Hợp của các trường compact cũng là trường compact (Vì nếu f : X → Y và g : Y →Z có ánh xạ compact liên kết làF và G tương ứng, khi đó
g[f(x)] = f(x)−G[f(x)] =x−[F(x) +G(f(x))]
mà F +G◦f là ánh xạ compact).
Định lý 3.2.2.2. [1] Cho X ⊂E là tập đóng. Khi đó
(a) Trường compactf :X→Y là ánh xạ riêng, đóng (tức là, nghịch ảnh của mỗi tập con compact trongY cũng là tập compact trong X, ảnh của mỗi tập đóng trong X thì đóng trong Y);
(b) Trường song ánh compact f : X → Y là phép đồng phôi, ánh xạ ngược cũng là trường compact.
Chứng minh.
(a) Trước hết, ta chứng minh f là ánh xạ riêng. ChoK ⊂Y compact, khi đó f−1(K) = {x|x−F(x)∈K} ⊂ {x|x∈K+F(X)} ⊂K+F(X).
Vìf liên tục nên f−1(K) là tập đóng trong tập đóngX, do đó nó đóng trong E và chứa trong tập compact K+F(X) nên cũng là tập compact. Để chứng minh f là ánh xạ đóng, ta chỉ cần chứng minh K ∩f(A) đóng trong K với mỗi tập A⊂X đóng vàK ⊂Y compact (doY là không gian mêtric).
Chú ýf−1(K)compact, vì thếA∩f−1(K)cũng compact, do đó,f[A∩f−1(K)] = f(A)∩K là compact nên đóng.
(b) Tính đồng phôi suy ra từ (a). Vì y = f[f−1(y)] = f−1(y)−F[f−1(y)]ta có f−1 liên kết với ánh xạ compact −(F ◦f−1), do đó,f−1 là trường compact.
Định nghĩa 3.2.2.3. [1] Cho (X, A),(Y, B) là hai cặp trong E. Hai trường compact f, g: (X, A)→(Y, B)là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tụch: (X, A)×I →(Y, B) sao cho ánh xạ(x, t)7→ x−h(x, t) là ánh xạ compact từX×I vàoE, h(x,0) = f(x) và h(x,1) =g(x).
32
Rõ ràng đồng luân H(x, t) =x−h(x, t) liên kết vớihlà compact. Để mô tả khái niệm về tính cắt ngang tôpô dưới dạng các trường compact, ta xét các ánh xạ vào cặp cố định(E, E− {0}). Cho cặp (X, A) bất kỳ, để ý rằng để tạo trường compact tương ứng với ánh xạ compact liên kết thì tập hợp các trường compactf : (X, A)→(E, E− {0}) là tương ứng 1-1 với tập hợpKA(X, E)của tất cả các ánh xạ compactF :X →E phi bất động trên A; hơn nữa, đồng luân f ' g : (X, A) → (E, E − {0}) của các trường compact tương ứng với một đồng luân compact của các ánh xạ compact liên kết là phi bất động trên A.
Định nghĩa 3.2.2.4. [1] Cho(X, A)là một cặp trongE và f : (X, A)→(E, E− {0}) là trường compact. Trườngf được gọi là phi cốt yếu trênXnếu tồn tại trường compact g : X →E− {0} sao cho g|A =f|A. Trường được gọi là cốt yếu trên X nếu nó không là phi cốt yếu trên X.
Định lý 3.2.2.5. [1] Cho f, g : (X, A) → (E, E− {0}) là hai trường compact đồng luân. Khi đóf cốt yếu khi và chỉ khig cốt yếu.
(Trường hợp riêng của định lý 3.1.2.5)
Định lý 3.2.2.6. [1] Cho U là tập con mở của E, xo ∈U. Khi đó trường compact f : (U , ∂U)→(E, E− {0})
x7→x−xo
là cốt yếu trên U (Kết quả của định lý 3.1.2.7).