3 TÍNH CHẤT CẮT NGANG TÔPÔ VÀ ỨNG DỤNG
3.2.3Phương trình y =x −F (x) và tính bất biến của miền
Trong phần này, chúng ta xét ứng dụng của tính cắt ngang tôpô đối với phương trình y=x−F(x) trên các trường compact và trường hoàn toàn liên tục.
Định nghĩa 3.2.3.1. [1] Cho f : X → Y là ánh xạ giữa các không gian mêtric. Nếu tồn tại ε > 0và δ ≥ 0 sao cho diamf−1(B(y, δ)) < ε,∀y ∈ Y, ta nói rằng f là ε-ánh xạ δ-cơ sở. Nếu δ = 0, ta gọi f đơn giản là ε-ánh xạ, còn nếu δ >0 thì f được gọi là ε-ánh xạ theo nghĩa hẹp.
Bổ đề 3.2.3.2. [1] Cho B(xo, ε) là hình cầu mở trong không gian định chuẩn E, f :B(xo, ε)→E là trường compact. Nếu f là ε-ánh xạ thì ∃η >0sao cho
f(B(xo, ε))⊃B(f(xo, η))
và nếu f là ε-ánh xạ δ-cơ sở với δ > 0thì
f(B(xo, ε))⊃B(f(xo), δ).
Chứng minh. Vì f là ε-ánh xạ δ-cơ sở nên ánh xạ compact liên kết F có tính chất
||x−y|| < ε khi ||F(x)−F(y)−(x−y)|| < δ. Không mất tính tổng quát, giả sử xo = 0, vì thế F(0) = −f(0). Ta xét ánh xạ compact G(x) = F(x)−F(0) trên hình cầu B =B(0, ε)và cần chứng minh nếu f là một ε-ánh xạ δ-cơ sở với δ≥0 thì Gcốt yếu trong K∂B(B, E).
Xét đồng luânH :B×I →E xác định bởi H(x, t) = F( x
1 +t)−F(−tx 1 +t). Ánh xạ này phi bất động trên ∂B, vì nếu
F( x 1 +t)−F(−tx 1 +t) =x= x 1 +t −(−tx 1 +t)
với x ∈ ∂B và 0 ≤ t ≤ 1 nào đó sẽ dẫn đến ||x|| < ε do f là ε-ánh xạ δ-cơ sở. Vì H(x,1) = F(x/2)−F(−x/2)bảo toàn tính xuyên tâm trên∂B (dễ kiểm tra), từ định lý 3.1.2.8 và định lý tính cắt ngang tôpô ta có H(x,0) = G(x) cốt yếu.
Xét trường hợp f là ε-ánh xạ (δ = 0). Theo hệ quả 3.1.2.6, ∃η > 0 sao cho bất kỳ toán tử compact G1 thỏa ||G1(x)−G(x)|| < η trên ∂B thì thuộc K∂B((B), E) và là cốt yếu; đặc biệt, toán tử G1(x) = G(x) +y thỏa mãn: với mỗi ||y|| < η thì phương trình x = G(x) +y có nghiệm trong B. Điều này có nghĩa là x−F(x) = −F(0) +y hay f(x) = f(0) +y có nghiệm đối với mỗi ||y||< η, vì thế, f(B(0, ε))⊃B(f(0), η). Để thấy được điều đó, ta lấyη =δkhif làε-ánh xạδ-cơ sở vớiδ >0, để ý với mỗi||y||< δ và0≤t≤1, đồng luân compact(x, t)→F(x)−F(0) +ty phi bất động trên ∂B, vì nếuF(x)−F(0)+ty=xvớix∈∂B và 0≤t≤1thì||F(x)−F(0)−(x−0)|| ≤t||x|| ≤δ dẫn đến ||x|| < ε. Do đó, F(x)−F(0) +y là cốt yếu trong K∂B(B, E),∀||y|| < δ, và
34
Định lý 3.2.3.3. [1] Cho f : E → E là trường hoàn toàn liên tục trong không gian định chuẩn E. Khi đó
(a) Nếu f là ε-ánh xạ thì f(E) mở trong E;
(b) Nếu f là ε-ánh xạ theo nghĩa hẹp thì f là toàn ánh.
Chứng minh.
(a) Suy ra từ bổ đề 3.2.3.2;
(b) Theo bổ đề 3.2.3.2, hình cầu B(y, δ)chứa trong f(E)khi δ >0với mỗi y ∈f(E)
nên f là toàn ánh.
Định lý 3.2.3.4. (Bất biến miền Schauder) [1] Cho U là tập mở trong không gian định chuẩn E,f :U →E là trường hoàn toàn liên tục, đơn ánh. Khi đó
(a) f là ánh xạ mở; (b) f(U)mở trong E;
(c) f là đồng phôi từ U lên f(U).
Chứng minh. Vì f đơn ánh nên f là ε-ánh xạ với mọi ε > 0, theo bổ đề 3.2.3.2 ta có
ngay điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.2.3.5. (Phép lựa chọn Fredholm) [1] Cho E là không gian định chuẩn bất kỳ, F :E →E là toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục. Khi đó
(a) Phương trình 0 =x−F(x) có nghiệm không tầm thường, hoặc (b) Phương trình y=x−F(x) có duy nhất một nghiệm với mỗi y∈E.
Chứng minh. Trường hoàn toàn liên tục f(x) = x−F(x)đơn ánh hoặc không là đơn ánh. Nếu f không là đơn ánh thì (a) thỏa. Nếu đơn ánh, ảnh của E qua f là không gian con của E, theo định lý bất biến miền, nằm hoàn toàn trong E. Do đó, trường đơn ánh f :E →E cũng là toàn ánh nên là song ánh.
Hệ quả 3.2.3.6. [1] Cho f : E → E là trường hoàn toàn liên tục trong không gian định chuẩn E. Nếu ||f(x)−f(y)|| ≥M||x−y||, M >0, thì f khả nghịch.
Chứng minh. Cho ε > 0, từ giả thiết ta có f là ε-ánh xạ theo nghĩa hẹp, do đó theo định lý 3.2.3.3, f là toàn ánh. Vì f cũng là đơn ánh nên f là song ánh liên tục, theo (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KẾT LUẬN
Luận văn đã hoàn thành được một số vấn đề như sau:
1. Tìm hiểu tính liên tục hoàn toàn của một số toán tử tích phân đặc biệt.
2. Nghiên cứu và sử dụng định lý xấp xỉ Schauder trong việc chứng minh các định lý điểm bất động của toán tử compact.
Tài liệu tham khảo
[1] J. Dugundji and A. Granas, Fixed point theory, SMM. Springer (2003). [2] N. V. Kính, Tôpô đại cương, Giáo trình nội bộ, ĐH Quy Nhơn.
[3] T. T. Quang, Đ. T. Đức, N. V. Kính, Giáo trình Giải tích hàm, ĐH Quy Nhơn (2004).