- Đối với bất phương trình tích xét dấu các nhân tử rồi nhân các dấu đó lại. với nhau, dựa vào dấu của bất phương trình rồi kết luận nghiệm.[r]
Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Chuyên đề: TAM THỨC BẬC HAI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1/ Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai (đối với x) biểu thức dạng ax2+bx+c a, b, c số cho trước với a ≠ 2/ Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a ≠ 0) -Nếu ∆ 0 ( ∆ ' > ) f(x) có hai nghiệm x1 x2 (x10 ∀x ∈ ℝ tam thức f(x) có ∆ = - < a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x -∞ +∞ x2-x+1 + Bài tập mẫu 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3 Giải Vì a=-1 (trái dấu với a) x ∈ ( −3;1) Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x -x2-2x+3 -∞ -3 - +∞ + - Bài tập mẫu 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1 Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giải f(x)= x2-2x+1 > ∀x ≠ tam thức f(x) có ∆ =0 nghiệm kép x = 1, a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x -∞ +∞ x2-2x+1 + + Bài tập áp dụng: Xét dấu tam thức sau: 1/ f(x)= -2x2 - 2x + 2/ f(x)= 9x2 - 12x + 3/f(x)= x2 - 2x + 4/f(x)= - x2 - 4x 5/f(x)= x2 – 6/f(x)= - x2 + 7/ f(x)= 3x2 + 2x 3/ Một số ứng dụng: 1/ Tìm tham số m để tam thức bậc hai không đổi dấu ℝ a > ∀x ∈ R,ax + bx + c > ⇔ ∆ < Cách giải: dựa vào nhân xét : a < ∀x ∈ R,ax + bx + c < ⇔ ∆ < Bài tập mẫu 1: Với giá trị m đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + dương với x thuộc ℝ Giải -Với m = f(x)= -2x+1 lấy giá trị âm Do m = khơng thỏa mãn điều kiện đề - Với m ≠ 2, f(x) tam thức bậc hai với ∆ ' = m − Do đó: a > 2 − m > m < ∀x , f ( x ) > ⇔ ' ⇔ ⇔ ⇔ m 0; ≤ 0; ≥ , xét dấu vế trái dựa vào Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) dấu bất phương trình kết luận nghiệm Bài tập mẫu 2: Giải bất phương trình sau: 1/ - x2 + 2x + < 4/ 2/ x2 + 2x + > x − 16 x + 27 ≤2 x − x + 10 3/ - x2 + 2x – > 5/ (4 - 2x)(x2 + 7x + 12 ) < Giải 1/ - x2 + 2x + < Ta có: - x2 + 2x + = có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1 Ta có: x2 + 2x + =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0 Bảng xét dấu: x -∞ +∞ -1 vt + + Vậy nghiệm bất phương trình là: S= ℝ \{-1} 3/ - x2 + 2x – > Ta có: - x2 + 2x – = vô nghiệm, a=-1 3/ - 2x2 + x – > 4/- 3x2 + 2x < 5/ x2 – > 6/ - 2x2 – > 7/ 10/ x − 16 x − 27 ≤0 x2 − 7x + 8/ (4 + x)(- x2 + 7x + 6) < 9/ x − 1x − ≤3 x2 − x + 1 ≤ x − x + x − x + 10 3/Giải bất phương trình Cách giải: Giải bất phương trình sau giao nghiệm lại 3 x − x + > Bài tập mẫu 3: Giải hệ bất phương trình sau: −2 x + x + > Giải 1 Bất phương trình thứ có tập nghiệm S1= −∞; ∪ ( 2; +∞ ) 3 Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm S2= −1; 1 Tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 = −1; Bài tập mẫu 4: Tìm giá trị m để bất phương trình sau vơ nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > Giải Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m Để bất phương trình vơ nghiệm f(x) ≤ ∀x ∈ ℝ Với m = ta có f(x)=6x+4 Khi f(x) nhận giá trị dương Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện địi hỏi Với m ≠ ta có: m < a < m − < ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ − 10 f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ' m ≤ − 10 hoaëc m ≥ + 10 ∆ ≤ −m + 6m + ≤ Vậy bất phương trình vơ nghiệm m ≤ − 10 Bài tập áp dụng Bài 1: Giải hệ bất phương trình sau 3 x − < x + a/ x − x + 10 ≤ 3 x − > b/ x − x + 10 ≤ x − < c/ ( x − x + 10) ( x − 1) ≤ Bài 2:Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm a/ (m-5)x2 - 4mx + m – = b/ (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – = c/ x2 + (m-2)x - 2m + = Bài Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm dù m lấy giá trị a/ x2 - 2(m+1)x + 2m2 + m + = b/ (m2 + 1)x2 + 2(m+2)mx + = Bài 4:Tìm giá trị m để bất phương trình (m-1)x2 - 2(m+1)x + 3(m-2)> nghiệm ∀x ∈ ℝ ( m + 1) x ≥ Bài 5: Tìm giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x + x − 15 < 4/Giải số phương trình bất phương trình quy bậc hai a/ Phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối g ( x ) ≥ g ( x ) ≥ hoaëc f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = − g ( x ) Dạng 1: |f(x)|=g(x) ⇔ f ( x ) ≥ f ( x ) < hoaëc f ( x ) > g ( x ) − f ( x ) > g ( x ) Dạng 2: |f(x)|>g(x) ⇔ Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! f ( x ) ≥ f ( x ) < hoaëc f ( x ) < g ( x ) − f ( x ) < g ( x ) Dạng 3: |f(x)| x – 2/ x2 − 4x > x − 3/ x − x − 15 < x − Giải 1/ | x2 + 3x - 4| > x - x + x − ≥ x + x − < ⇔ ( I ) hoaëc ( II ) x + x − > x − − x − x + > x − x ≤ −4 ∨ x ≥ ⇔ x ≤ −4 ∨ x ≥ ⇒ S1 = ( −∞; −4 ] ∪ [1; +∞ ) Heä pt ( I ) ⇔ x + x + > ∀x −4 < x < −4 < x < Heä pt ( II ) ⇔ ⇔ ⇔ −4 < x < ⇒ S2 = ( −4;1) −6 < x < x + x − 12 < Vậy bất phương trình cónghiệm S = S1 ∪ S2 = ℝ 2/ x2 − 4x > x − x2 − 4x ≥ x − ≥ ⇔ ( I ) hoaëc ( II ) x − < x − 4x > x − 6x + x ≤ ∨ x ≥ Hệ bất phương trình ( I ) ⇔ ⇔ x ≤ ⇒ S1 = ( −∞; 0] x < x≥3 9 Hệ bất phương trình ( II ) ⇔ ⇔ x > ⇒ S2 = ; +∞ 2 x > 9 Vậy bất phương trình cónghiệm S = S1 ∪ S2 = ( −∞; ] ∪ ; +∞ 2 3/ x − x − 15 < x − x − x − 15 ≥ x ≤ −3 ∨ x ≥ ⇔ x − > ⇔ x > ⇔5≤ x − x 3/ | x2 + 2x - 1| > x2 - 6/ x − 5x − 14 ≥ x − 7/ x − ≤ x − Bài 2:Tìm tập xác định hàm số sau: Mua STK Toán(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 1/ y = | x + x − | − x + 3/ 1 − x − 7x + x + x + 2/ x2 + x + | x − 1| − x − 4/ y = x − 5x − 14 − x + Bài 3:Tìm m cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – = a/ Vơ nghiệm b/ Có hai nghiệm phân biệt c/ Có bốn nghiệm phân biệt Bài 4: Tìm giá trị a cho phương trình: (a-1)x4 - ax2 + a2 – = có ba nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phương trình x4 + 4x3 + (3m+4)x2 + 2(3m+4)x + 6(m+1) = a/Tìm m để phương trình vơ nghiệm b/ Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt c/ Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt d/Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt e/Tìm m để phương trình có nghiệm II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Khi học sinh học ứng dụng dấu tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình , hệ bất phương trình nhiều em học sinh lúng túng xét dấu sai tam thức bậc hai, kết luận nghiệm bất phương trình sai III ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP: Để em học sinh dễ hiểu, dễ nhớ ứng dụng dấu tam thức bậc hai cách thành thạo dạy phần đua lỗi thường mắc phải em thường minh họa Bài tập mẫu Cụ thể sau: 1- Đối với bất phương trình có vế trái tam thức bậc hai vô nghiệm, em thường kết luận sai nghiệm Mua STK Tốn(Free Ship) tồn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! VD: Giải bất phương trình x2+x+4>0 Sai: x2+x+4>0 Ta có x2+x+4=0 vơ nghiệm nên bất phương trình vơ nghiệm S= ∅ Đúng Ta có x2+x+4=0 vơ nghiệm a=1>0 nên x2+x+4>0 với x thuộc ℝ Vậy bất phương trình vơ số nghiệm S= ℝ Hướng khắc phục:Sau tìm nghiệm vế trái em lập bảng xét dấu so sánh với dấu bất phương trình giống kết luận vơ số nghiệm, cịn khác bất phương trình vơ nghiệm Đối với bất phương trình chứa ẩn mẫu em thường xét dấu chưa đưa bất phương trình dạng VD : Giải bất phương trình Sai : P(x) P (x) P (x) P (x) < 0 > 0, ≤ 0, ≥ 0 Q( x) Q(x) Q(x) Q(x) x − 3x −