Đang tải... (xem toàn văn)
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC vuông tại B, AH là đường cao Bài tập mẫu 5 : Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là 7 và.. 24.[r]
(1)Chương I: Hệ thức lượng tam giác vuông
Chủ đề 1: Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông
Phương pháp:
+Trong tam giác vng, bình phương cạnh
góc vng tích cạnh huyền với hình chiếu
của cạnh góc vng lên cạnh huyền
2
' , '
b =ab c =ac
+ Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền
Cơng thức:
' '
h =b c
+ Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền
với đường cao tương ứng
Công thức: ah=bc
+ Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao tổng
nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng
Cơng thức: 2
1 1
h =b +c
Hướng dẫn giải
Bài tập mẫu 1: Cho tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH Biết: BH = 9cm CH, = 16cm
(2)a Ta có BC=BH+HC= +9 16=25(cm)
Tam giác ABC vuông A, AH ⊥BC(theo giả thiết) Sử dụng hệ thức góc
vng hình chiếu lên cạnh huyền ta có :
2
9.25 225
AB =BH BC= = ⇒ AB= 225=15(cm)
2
16.25 400
AC =CH CB= =
Từ suy AC= 400=20( )cm
Chú ý: Sau tính AB (hoặc AC) ta sử dụng định lý Pitago để tính
cạnh lại
b Theo hệ thức liên hệ đường cao thuộc cạnh huyền hai hình chiếu
hai góc vng cạnh huyền
Ta có: ( )
9.16 144 144 12
AH =BH HC= = ⇒AH = = cm
Cách khác: Trong tam giác vuông ABH, theo Pitago
Ta có : 2 2
15 225 81 144
AH =AB −BH = − = − = ⇒ AH= 144=12( )cm
Hướng dẫn giải
a Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vuông AHB vuông H
Ta có: 2 2
6 4, 56, 25
AB =AH +BH = + =
Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH
a Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC
(3)Suy ra: AB= 56, 25 =7, 5( )cm
Áp dụng hệ thức lượng tam giác
vuông ABC vuông A, AH chiều
cao ta được: 2
1 1
AH = AB + AC
Suy :
2 2
2 2 2 2
1 1 7, 20, 25
7, 2025 100
AB AH AC AH AB AB AH
− −
= − = = = =
Vậy: 100
AC = hay nói cách khác: AC= 100=10( )cm
Theo định lý Pi-Ta-Go ta có: 2 2
7, 10 156, 25
BC =AB +AC = + =
Suy : BC= 156, 25=12, 5( )cm
Theo hệ thức lượng tam giác ta có:
AC =HC BC ⇒ ( )
2
10 12,
AC
HC cm
BC
= = =
b Trong tam giác vng ABH vng H
Ta có: 2
AB = AH +BH
2 2 2
6 27
AH AB BH
⇔ = − = − =
Vậy: AH = 27≈5, 2( )cm
Trong tam giác vuông ABC vuông A, AH đường cao ta có: 2
1 1
AH = AB + AC
Suy
2
2 2 2
1 1 36 27
27.37 108
AB AH
AC AH AB AB AH
− −
= − = = =
Do đó: ( )
108 108 10, 39
AC = ⇒AC = = cm
Mặt khác: 2
36 108 144
(4)Áp dụng hệ thức lượng ta có: ( )
2 108
12
AC
AC BC CH CH cm
BC
= ⇔ = = =
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác
AHB vng H
Ta có: 2 2
9 12 225
AB = AH +BH = + =
Vậy: AB= 225=15( )cm
Trong tam giác vuông ABC vuông A, AH đường cao ta có: 2
1 1
AH = AB + AC
Suy
2
2 2 2
1 1 225 144
225.144 400
AB AH
AC AH AB AB AH
− −
= − = = =
Do đó: ( )
400 400 20
AC = ⇒ AC= = cm
Tam giác ABC tam giác vuông A, AB AC hai cạnh góc vng tam
giác nên: 1 ( )2
15.20 150
2
S= AB AC= = cm
Hướng dẫn giải
Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm
a Tam giác ABC tam giác gì? Tính đường cao AH tam giác ABC ;
b Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH
Bài tập mẫu 3: Cho tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH, tính
(5)a Tam giác ABC tam giác vuông
Thật : 2
7, =4, +6 ⇔5625=5625
Thỏa mãn hệ thức 2
BC =AB +AC
Do ∆ABC tam giác vuông A
Trong tam giác vuông ABC vng A, AH đường cao ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 4, 56, 25
4, 729 12, 96
AB AC AH AB AC AB AC
+ +
= + = = = =
Vậy
12, 96
AH = ⇒ AH = 12, 96=3, 6( )cm
b Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AHB vuông H ta được:
2 2 2 2
6 3, 23, 04
AB = AH +BH ⇒BH = AB −AH = − =
Do đó: BH = 23, 04=4,8( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆AHC vuông H ta được:AC2 = AH2+HC2
2 2 2
4, 3, 7, 29
HC AC AH
⇒ = − = − = ⇒ HC= 7, 29=2, 7( )cm
Hướng dẫn giải
Khơng tính tổng qt gọi cạnh tam giác vng có độ dài
hình vẽ
Áp dụng hệ thức lương tam giác vuông ABC vuông B, AH đường cao Bài tập mẫu 5: Cho tam giác vuông với cạnh góc vng
24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn
(6)Ta được:
2
2 2 2
1 1
AB AC
AH AB AC AB AC
+
= + =
2
2
7 24 625
7 24 28224 45,1584
+
= = = ⇒
45,1584
AH =
Do đó: AH = 45,1584 =6, 72
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành đoạn HB, HC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vng AHC vng H, ta có:
2 2 2 2
24 6, 72 530,8416
AC =AH +HC ⇔HC = AC −AH = − = ⇒ HC= 530,8416=23, 04
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vuông AHB vng H, ta có:
2 2 2 2
7 6, 72 3, 8416
AB = AH +BH ⇔BH = AB −AH = − = ⇒ BH = 3, 8416 =1, 96( )cm
Hướng dẫn giải
Không tính tổng quát gọi cạnh tam giác vng có độ dài
hình vẽ
Gọi độ dài AB=x cm( ), độ dài ( )
12
AC= x cm
Do tam giác ABC tam giác vuông A nên áp dụng định lý Pi-Ta-Go ta được:
2
2 2 2 25 2 25
26 676 676
12 144 144
BC = AB +AC ⇔ =x + x ⇔ = x + x ⇔x + =
Bài tập mẫu 6: Cho tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vng 12,
cạnh huyền 26cm Tính độ dài cạnh góc vng hình chiếu cạnh
(7)2 169
676 576
144
x x
⇔ = ⇔ = ⇔ x= 576=24( )cm
Vậy AB= 24(cm) AC = 24 10( ) 12
cm
=
Ta lại có
2
2 2 2
1 1
AB AC
AH AB AC AB AC
+
= + =
2
2
24 10 676 169
24 10 57600 14400
+
= = =
Nên: 14400 120( )
169 13
AH = = cm
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành đoạn HB, HC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vng AHC vng H ta có:
2
2 2 2 2 120 2500
10
13 169
AC =AH +HC ⇔HC =AC −AH = − =
Do đó: 2500 50 3,85( ) 169 13
HC= = ≈ cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vng AHB vng H ta có:
2
2 2 2 2 120 82944
24
13 169
AB = AH +BH ⇔BH = AB −AH = − =
Do đó: 82944 288 22,15( ) 169 13
BH = = ≈ cm
Bài tập mẫu 7: Cho tam giác ABC vuông A Biết
7
AB
AC= , đường cao
(8)Hướng dẫn giải
Ta có: 5
7
AB
AB AC
AC = ⇔ =
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông
ta có : 2
1 1
AH = AB + AC
2 2 AB AC AB AC + = 2 2 2 25
1 49 74
25 25
5
49
7
AC AC AC
AH AC AC AC AC + + ⇒ = = = Do đó: 2
2 2
1 74 74 15 74
666
25 15 25 25
AC
AH = AC ⇔ = AC ⇔ = = ⇔ 666 25,81( )
AC = ≈ cm
Suy ra: 5.25,81 18, 44( )
7
AB= AC= = cm
Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành đoạn HB, HC
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vng AHC vng H
Ta có: 2 2 2
666 225 441
AC =AH +HC ⇔HC = AC −AH = − = ⇒ HC= 441=21( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vuông AHB vuông H
Ta có: 2 2 2 2
18, 44 15 115, 0336
AB =AH +BH ⇔BH = AB −AH = − =
Do đó: BH = 115, 0336≈10, 73( )cm
Bài tập mẫu 8: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD
=10cm đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Tính diện tích
(9)Hướng dẫn giải
Gọi đỉnh hình thang cân hình vẽ
Hạ chiều cao CH hình thang cân ABCD
Do ABCD hình thang cân nên:AD=CB=10( )cm
Mặt khác: tam giác ACB tam giác vuông C(theo giả thiết )
Do đó: Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác ACB ta có:
2 2 2 2
26 10 576
AB = AC +BC ⇔ AC =AB −BC = − = ⇔ AC= 576=24( )cm
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ACB, với CH đường cao ta được:
2 2
2 2 2 2
1 1 24 10 676
24 10 57600
AC CB
CH CB AC AC CB
+ +
= + = = = ⇒ 57600 9, 23( )
676
CH = ≈ cm
Lại có: ( )
2
2 10
3,85
26
CB
CB HB AB HB cm
AB
= ⇒ = = =
Mặt khác: DC= AB−2HB=26−2.2,85=20, 3( )cm
Nên diện tích hình thang cân ABCD là: 20,3 26 ( )2
9, 23 213, 67
2
DC AB
S=CH + ≈ + ≈ cm
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có :
2
2 2 2
1 1 12 16 400
12 16 36864
AH AB AC
+
= + = =
Bài tập mẫu 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC =16cm, phân
(10)Vậy: 36864 36864 ( )
9,
400 400
AH = ⇒AH = = cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go ∆ABC , ta được:
2 2 2
12 16 400
BC = AB +AC = + = ⇒ BC=20( )cm
Ta lại có: ( )
2
2 12 144
7,
20 20
AB
AB BH BC BH cm
BC
= ⇒ = = = =
Ngoài ra: ( )
2
2 16
12,8
20
AC
AC HC BC HC cm
BC
= ⇒ = = =
Theo tính chất đường phân giác ta được: DB DC ( )1
AB = AC
Mà DC =BC−BD (2)
Thay (2) vào (1) ta hệ thức: 20
12 16
DB BC BD DB BD
AB AC
− −
= ⇔ =
( ) ( )
16BD 20 BD 12 16BD 240 12BD 28BD 240 BD 8, 57 cm
⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ⇔ ≈
Nhìn vào hình vẽ ta được: HD=BD−BH ≈8, 57−7, 2≈1, 37( )cm
Hướng dẫn giải
Ta có: BC=BD+DC= +15 20=35( )cm
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có tỉ lệ thức:
( )
15 20
1
DB DC
AB AC
AB = AC ⇔ AB = AC ⇔ AB = AC ⇔ =
Bài tập mẫu 10: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD đường cao AH
(11)Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆ABC vuông A ta được: 2 ( )
2
BC = AB +AC
Thay (1) vào (2) ta được:
2
2 2
4 16
BC = AC +AC ⇔ AC +AC =BC
2
2 2 2
9 25 35 16
1 35 35 784
16 16 25
AC AC AC
⇔ + = ⇔ = ⇔ = =
⇔ AC = 784 =28( )cm
Từ suy ra: 3.28 21( )
4
AB= AC= = cm
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH
Ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 21 28 1225 25
21 28 3345744 7056
AB AC
AH AB AC AB AC
+ +
= + = = = =
Từ suy ra: 7056 84 16,8( ) 25
AH = = = cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vuông AHC vuông H ta có:
2 2 2 2
28 16,8 501, 76
AC =AH +HC ⇔HC =AC −AH = − = ⇒ HC= 501, 76=22, 4( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác vng AHB vng H ta có:
2 2 2 2
21 16,8 158, 76
AB = AH +BH ⇔BH = AB −AH = − = ⇒ BH = 158, 76=12, 6( )cm
Hướng dẫn giải
Ta có:
4
HB
HC HB
HC = ⇔ =
Bài tập mẫu 11: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, tính chu vi
của tam giác ABC Biết AH = 14 cm,
HB
(12)Áp dụng hệ thức lượng ∆ABC, ta có :
2
AH =HB HC
2
2 14
14 49
4
HB HB HB
⇔ = ⇔ = =
Vậy HB=7( )cm HC=28( )cm
Từ suy ra: BC=28+ =7 35( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác AHB vng H, ta có:
2 2 2
14 245
AB = AH +HB = + = ⇒ AB≈15, 65( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go tam giác AHC vuông H, ta có:
2 2 2
14 28 980
AC =AH +HC = + = ⇒ AC=31, 3( )cm
Do đó: Chu vi tam giác ABC là: C=AB+BC+AC=31, 15, 65+ +35=81, 95( )cm
Hướng dẫn giải
a Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho ∆DAB vuông A
Ta có: 2 2
15 20 625
BD = AB +AD = + =
Vậy BD= 625 =25( )cm
Trong tam giác DAB vuông A, AO đường cao đường thẳng Bài tập mẫu 12: Cho hình thang vng ABCD,
90
A=D= , AB = 15cm, AD =
20cm Các đường chéo AC BD vng góc với O
a Tính độ dài đoạn thẳng OB, OD b Tính độ dài đường chéo AC
(13)Nên ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 15 20 625
15 20 90000
AB AD
OA AB AD AB AD
+ +
= + = = =
Từ suy ra: 90000 300 12( ) 625 25
OA= = = cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOD vng O, ta có:
2 2 2 2
20 12 256
AD = AO +OD ⇒OD = AD −AO = − = ⇒ OD= 256=16( )cm
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác AOB vng O, ta có:
2 2 2 2
15 12 81
AB = AO +OB ⇒OB = AB −AO = − = ⇒ OB= 81=9( )cm
b Ta có: AC= AO+OC
Do ABCD hình thang nên: ∆OBA ∽∆ODC
Từ ta có tỉ lệ thức: 12.16 21, 33( )
OB OD OA OD
OC cm
OA=OC ⇔ = OB = =
Vậy: AC=OA+OC≈ +12 21, 33=33, 33( )cm
c Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ODC vng O ta có:
2 2 2
16 21, 33 277, 33
DC =OD +OC = + = ⇒ DC = 277, 33≈16, 65( )cm
Do đó: ( ) ( ) ( )2
20 15 16, 65 316,
2
ABCD
S = AD AB+DC ≈ + = cm
Hướng dẫn giải
Bài tập mẫu 13: Cho hình chữ nhật ABCD Đường phân giác góc B
cắt đường chéo AC thành hai đoạn có độ dài 42
7m 5
(14)Trong ∆ABC gọi BE đường phân giác B
Theo tính chất đường phân giác
Ta có: AE CE AE AB ( )1
AB =CB ⇔ CE = CB
Thay vào ta được: AE AB
CE = CB
2
3
5 4
5
AB AB
CB CB
⇔ = ⇔ = ⇔ 22
16
AB
CB =
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vng B ta có: AC2 = AB2+BC2
Xét tỉ số:
2 2
2 2
9 16
16
AC AB BC
CB CB
+ +
= = = ⇒
4
AC
CB =
Mặt khác: 42 55 10
7
AC=AE+EC= + = Thay vào ta được: BC=8
⇒ 3.8
4
BC
AB= = = Vậy kích thước hình chữ nhật 6m 8m
Hướng dẫn giải
Gọi P P P1; 2; chu vi tam giác AHB, CHA CAB
Dễ thấy: ∆AHB ∽∆CHA
Nên ta có:
P AB
P = CA
⇒
2 2 2
2 2 2
3
4 4
AB AB AC AB AC AB AC BC
CA
+
= ⇒ = ⇒ = = =
+
Từ ta có tỉ lệ tương ứng :
3
AB AC BC
= =
Bài tập mẫu 14: Cho ∆ABC vuông A, vẽ đường cao AH Chu vi ∆ABH
(15)Mặt khác : ∆AHB ∽∆CHA∽ ∆CAB Ta có được:
1: 2: : : : :
P P P =AB AC BC=
Do : Khi Chu vi tam giác ABH 30cm chu vi tam giác ACH
40cm chu vi tam giác ABC 50cm
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác ABC vuông A ta được:
( )
2 2 2
6 100 10
BC = AB +AC = + = ⇒BC= cm
Theo tính chất đường phân giác ta có hệ thức: AM CM AM AB
AB = CB ⇔CM = CB
Từ suy ra:
8 16
AM AB AM
AM
AM +CM = AB+CB ⇔ = ⇔ =
Trong tam giác BMN BM, BN đường phân giác phân giác
ngồi góc B cua tam giác ABC
Do BM ⊥BN ⇒ Tam giác BMN tam giác vuông B
Trong AB đường cao ứng với cạnh huyền MN
Ta có: ( )
12
BA = AM AN ⇒AN = cm ⇒ ( )
( )
3
2
AM cm
AN cm
=
=
Bài tập mẫu 16: Cho tam giác ABC Từ điêm M tam giác kẻ
MD, ME, MF vng góc với ạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
2 2 2
BD +CE +AF =DC +EA +FB
Bài tập mẫu 15: Cho tam giác ABC vuông A có cạnh AB=6cm
AC=8cm Các đường phân giác ngồi góc B cắt đường thẳng
(16)Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi: 2
VT =BD +CE +AF =(BM2−DM2) (+ CM2−ME2) (+ AM2−MF2)
(Do tam giác BMD, CME, AMF tam giácvuông D, E, F)
⇒ VT 2 2 2
BM DM CM ME AM MF
= − + − + −
2 2 2
CM DM AM ME BM MF
= − + − + −
( 2) ( 2) ( 2)
2 2
CM DM AM ME BM MF
DC EA FB VP
= − + − + −
= + + =
(Do tam giác CMD, AME, BMF tam giác vuông D, E, F) (đpcm)
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác
vuông ABC vuông A ta được:
2 2 2
4 7, 72, 25
BC = AB +AC = + =
Do đó: BC = 72, 25=8, 5( )cm
Mặt khác: ta áp dụng hệ thức lượng tam giác ABC có:
AB =BC BH
Suy ra: ( )
2
4 16
1,88 8, 8,
AB
BH cm
BC
= = = ≈
Tương tự ta có: ( )
2
2 7,5 56, 25
6, 62
8,5 8,5
AC
AC BC HC HC cm
BC
= ⇒ = = = =
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019
Bài tập mẫu 17: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết AB =
(17)Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/