Vấn đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác hình học lớp 10

Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60 o.. Khi tàu đỗ ở ga.[r]

(1)

Chuyên đề hệ thức lượng tam giác Biên soạn:ThS Đỗ Viết Tuân

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page

VẤN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I Định lý hàm số cosin

Định lý: Trong tam giác ABC, đặt BC = a, CA = b, AB = c, ta có: a2 = b2 + c2 -2bc.cosA

b2 = a2 + c2 – 2ca cosB

c2 = b2 + a2 – 2ab cosC

Hệ quả: Từ đẳng thức ta có:

2 2 2 2 2

cos ; cos ; cos

2 2

b c a a c b a b c

A B C

bc ac ab

     

  

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh khẳng định sau: a) Góc A nhọn a2 < b2 + c2;

b) Góc A tù a2 > b2 + c2;

c) Góc A vng a2 = b2 + c2

Bài 2: Hai tàu thuỷ xuất phát từ vị trí A, thẳng theo hai hướng tạo với góc

60o Tàu B chạy với tốc độ 20 hải límột giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai tàu

cách hải lí? (1 hải lí = 1,852 km)

Bài 3: Giải tam giác gì? Hãy giải tam giác ABC trường hợp sau:

a) a = 17,4; góc B = 44o30’; góc C = 64o

b) a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47o20’

c) a = 24, b = 13, c = 15

d) góc A = 71o30’, b = 12,9, c = 16,5;

e) c = 37; A = 101o2’; B = 31o38’

Bài 4: Các cạnh tam giác ABC a = 7, b = 24, c = 23 Tính góc A Bài 5: a) Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = Tính AC

b) Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương cạnh tổng bình phương

của hai đường chéo

Bài 6: Biết hai lực tác dụng vào vật tạo với góc 40o cường độ hai lực 3N 4N Tính cường độ lực tổng hợp

Bài 7: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

B 600 1

a b b c a b c

   

   

Bài 8: Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = Lấy điểm D đối xứng với B qua C Tính độ dài AD Bài 9: Chứng minh tam giác ABC vuông A

(2)

1 1

p a  p p b  p c

II Định lý hàm số sin

Định lý: Trong tam giác ABC, gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có: a2 sin ;R A b2 sin ;R B c2 sin R C

Bài 10: Chứng minh định lý hàm số sin tam giác

Bài 11: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = Chứng minh sinA – 2sinB + sinC = Bài 12: Từ hai vị trí A, B nhà, người ta quan sát đỉnh C

núi Biết độ cao AB = 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang

góc 30o, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15o30’ Hỏi

núi cao mét so với mặt đất (độ dài đoạn thẳng CH hình 1)?

Bài 13: Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình trang 67) Biết AH = 4m, HB = 20m, góc BAC = 45o Tính chiều cao

Bài 14: Trên tồ nhà có cột ăng ten cao 5m Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng ten góc 50o 40o so với phương nằm ngang Tính chiều cao tồ nhà?

Bài 15: Một người ngồi tàu hoả từ ga A đến ga B Khi tàu đỗ ga A qua ống nhịm người nhìn thấy tháp C Hướng nhìn từ người đến tháp tạo với hướng tàu góc 60o Khi tàu đỗ ga

B người nhìn lại thấy tháp C, hướng nhìn từ người đến tháp ngược với hướng tàu

góc 45o Biết đoạn đường AB dài km Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C bao nhiêu? (6km)

Bài 16: Hình trang 65 vẽ hồ nước nằm góc tạo hai đường Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức dự đốn khoảng cách từ B đến C 5; 6; 7; 5,5 Biết khoảng cách từ A đến B km

khoảng cách từ A đến C km góc BAC 120o Hỏi dự đốn bạn sát với thực tế

Bài 17: Gọi H trực tâm tam giác không vuông ABC Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, HBC, HCA, HAB

Bài 18: Chứng minh ba góc tam giác ABC thoả mãn hệ thức: sinA = 2sinB.cosC ABC tam giác cân

Bài 19: Chứng minh tam giác ABC cân A sin sin cos

A

B C 

Bài 20: Chứng minh  góc khoảng 0

(0 ; 180 ) sin 2 2sincos

III Cơng thức độ dài đường trung tuyến

Định lý: Trong tam giác ABC, kí hiệu ma, mb, mc độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, B

và C Ta có:

15o30’

A B

C

H 30o

70

(3)

2 2 2 2 2

2 2

; ;

2 4

a b c

b c a a c b b a c

m    m    m   

Bài 21: Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = Tính độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc ứng

với cạnh BC, CA, AB tam giác

Bài 22: Cho hai điểm phân biệt P, Q PQ = a Tìm tập hợp điểm M cho MP2 + MQ2 = k2, k số cho trước

Bài 23: Chứng minh tam giác ABC vuông A khi: 5ma2 = mb2 + mc2

Bài 24: Chứng minh tam giác ABC,BM CN b2c2 5a2 (trong BM CN đường trung tuyến hạ từ B C)

Bài 25: Cho tam giác ABC có c

m  c Chứng minh rằng:

3

( )

2

a b c

m m m  a b c 

Bài 26: Cho tam giác ABC có b c

m c

b  m  Chứng minh rằng:

1

cot (cot cot )

2

A B C

IV Cơng thức tính diện tích tam giác

Công thức:

1 1

1) ;

2 2

1 1

2) sin sin sin ;

2 2

ABC a b c

ABC

S ah bh ch

S ab C bc A ca B



  

3) ;

4

4) ;

5) ( )( )( )

ABC

abc S

R

S pr

S p p a p b p c



   

Trong

2

a b c

p   nửa chu vi, r bán kính đường trịn nội tiếp

(4)

Bài 27: Tính diện tích tam giác ABC có ba cạnh AB = 13, BC = 14, CA = 15 theo công thức khác

Bài 28: Tam giác ABC có b = 6,12, c = 5,35, góc A 84o Tính diện tích tam giác

Bài 29: Chứng minh tứ giác ABCD, ta có:

SABCD =

1

2AC.BD sin(AC BD , )

Bài 30: Trong tam giác ABC Chứng minh rằng:

2 2

cot cot cot

4

a b c

A B C

S

 

  

Bài 31: Gọi S diện tích R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh S =

2R2.sinA.sinB.sinC

Bài 32: Chứng minh tam giác ABC, ta có:

a) 1 1

a b c

r  h h h b) ;

S S S

R r

p a  p b  p c  

Bài 33: Cho tam giác ABC có độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc Chứng minh cơng thức diện tích tam giác sau:

1

( )( )( )( )

3 a b c a b c a b c c b a