Đang tải... (xem toàn văn)
c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1.. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:.. Trong mục này, ta áp dụng tính[r]
(1)Thành viên nhóm 1: (Mọi thành viên có vai trị nhau) - Huỳnh Thị Bích Liễu
- Võ Thị Lụa
(2)MỤC LỤC
I Phương trình bậc hai
1.1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai
1.2 Định lí viét phương trình bậc bai
1.3 Các toán liên quan
II Dấu tam thức bậc hai 10
2.1 Tam thức bậc hai 10
2.2 Dấu tam thức bậc hai 10
2.3 So sánh nghiệm tam thức bậc hai 13
III Một số ứng dụng tam thức bậc hai 21
3.1 Tìm giá trị lơn nhỏ hàm số 21
3.2 Giải bất phương trình bậc hai ần 22
3.3 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm số bậc ba 22
3.4 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm số bậc bốn 24
3.5 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm số lượng giác 26
3.6 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm mũ ham logarit 27
3.7 Ứng dụng tam thức bậc hai phương trình - bất phương trình chứa 30
Bài tập đề nghị 31
Hướng dẫn giải 33
(3)I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1.1 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai dạng ax2 bx c
a 0
Bước 1: Tính
Bước 2: Tìm nghiệm dựa vào dấu
Nếu 0: Phương trình vơ nghiệm
Nếu 0: Phương trình có nghiệm kép
2a b x x1 2
Nếu 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2a Δ b x
2a Δ b x
2
1.2 Định lí Vi-et phương trình bậc hai: 1.2.1 Định lí thuận:
Nếu phương trình bậc hai : ax2 bx c
có hai nghiệm phân biệt x1,x2
a c x x P
a b x x S
2
2
1.2.2Định lí đảo
Với hai số thực x1 , x2 thỏa:
P x x
S x x
2
2
x1 , x2 hai nghiệm phương trình:
0 P SX X2
(với địều kiện S2 4P0) 1.3 Các toán liên quan:
Bài toán 1: Giải biện luận phương trình bậc hai: Phương pháp
Nếu a có chứa tham số
+ Trường hợp 1: Xét a = biện luận
+ Trường hợp 2: Xét a0 dùng biện luận Nếu a số
Dùng để biện luận trực tiếp
Ví dụ:
Giải biện luận phuơng trình: 1)
b a
b a b a
b a x x
(1)
2)
a x
b b x
a
(2)
Giải:
1) Điều kiện x 0; điều kiện a b,ab
Phương trình (1): x
b a
b a b a
b a x2
(*)
aa bb aa bb aa bb aa bb 0, a,b
2
(4)b a
b a x , b a
b a
x1 2
(thỏa mãn điều kiện ab)
Kết luận:
Vậy, a,b;a bphương trình (1) có hai nghiệm
b a
b a x , b a
b a
x1 2
2) Điều kiện xa,xb
Phương trình (1):
a2xx2 a3abxbxb a2xb2ax0 b
(*)
a b 8a b a b
9 2
a,b
Phương trình (*) có hai nghiệm: ,x a b
b a
x1 2
Xét điều kiện:
0 a b b
x
0 b a b a a x
b a b
b a b x
b a a
b a a x
2 1
b a
Kết luận:
Nếu a = b = phương trình vơ nghiệm Nếu a = 0, b0 phương trình có nghiệm
2 b x1
Nếu a0, b = phương trình có nghiệm
2 a x1
Nếu a0, b0, a = b phương trình có nghiệm x2 2a
Nếu a0, b0, ab phương trình có nghiệm ,x a b
2 b a
x1 2
Bài tốn 2: Tìm giá trị tham số để phương trình ax2 bx c
(*) thỏa số
điều kiện liên quan đến nghiệm chúng
a Tìm giá trị tham số để phương trình: ax2bxc0 (*) có số nghiệm
định
Phương trình (*) có nghiệm kép
0 a
Phương trình (*) có nghiệm
0 Δ
0 a
0 c bx
0 a
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
0 a
Phương trình (*) có nghiệm
0 Δ
0 a
0 c bx
0 a
(5)Phương trình (*) có vô số nghiệm
0 c
0 b
0 a
Ví dụ:
Tìm m để phương trình: m 1x2 2x
(*)
a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có nghiệm
Giải:
m 1 8m 12
4
a) Để (*) có nghiệm, thì:
2 m
1 m
2 m
1 m
1 x
1 m
0 12 8m
0 m
0 2x
0 m
Vậy, với m =
2
m phương trình có nghiệm
b) Để (*) có hai nghiệm phân biệt, thì:
2 m
1 m 12 8m
0 m
Vậy, với m1
m phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Để (*) có nghiệm, thì:
2 m
1 m
1 x
1 m
0 12 8m
0 m
0 2x
0 m
Vậy, với m23 (*) ln có nghiệm
b Tìm giá trị tham số để phương trình: ax2 bx c
( a 0) (*) có
Hai nghiệm trái dấu ac0
Hai nghiệm dương phân biệt
0 Δ
0 a c
(6) Hai nghiệm âm phân biệt Δ a c a b
Bài tốn 3: Dùng định lí Vi-et tìm mối liên hệ nghiệm phương trình bậc hai
Tìm tham số để phương trình ax2 bx c
thỏa mãn điều kiện K.( K biểu thức
theo x1,x2 )
Ta thực theo bước sau:
Bước1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm x1,x2
Δ a
Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et, ta được: (I)
Bước 3: Biểu diễn điều kiện thơng qua (I)
Ta biểu thị đa thức đối xứng nghiệm x1,x2 theo S P
2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 P 2P S x x x x x x 3SP S x x x 3x x x x x P S x x x x x x 2P S x 2x x x x x
Ví dụ:
Cho phương trình: m 1x2 2m 1x m
Xác định m để phương trình hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 4x1x27x1.x2 Giải:
Phương trình có nghiệm x1,x2: Δ a m m m (*)
Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
(7) m m m m m x 7x x x
4 1 2 1 2
thỏa (*)
Vậy, với m6 thỏa điều kiện đề
Ví dụ:
Cho phương trình 1
m x m
x
Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình trên, tìm: 1) Sx12 x22
2) Sx13x23 3) S x x 4) S 1 x x x x
5) Mối liên hệ hai nghiệm theo m Giải:
m 12 4m m 12
Δ 0 m
Vậy phương trình cho ln có nghiệm m
Theo định lí Viet ta có:
m a c x x P m a b x x S 2
1) Sx12x22 x1x22 2x.1x2 S2 2P m12 2mm21 2)
m 1 m 1 3m m 1m m 1 3P S S x x x x x x x x S 2 2 2 2 3
3) S x1 x1 xx .xx PS mm 1
2 2
4) S
2 1 x x x
x
m m m 2m m x x x 2x x x x x x
x 2
2 2 x 2 2 5) m a c x x P m a b x x S 2
Suy ra: x1x2 x1.x2 1 x1x2 x1.x2 1
Mối liên hệ hai nghiệm phương trình là: x1x2 x1.x2 1 Bài tốn 4: Quan hệ nghiệm phương trình bậc hai A Vấn đề 1:
a Đặt vấn đề:
(8)
(2) c x b x a
(1) c x b x a
2 2
1
có chung nghiệm b Giải vấn đề:
Để (1) (2) có chung nghiệm hệ phương trình:
0 c x b x a
0 c x b x a
2 2
1
phải có nghiệm Ví dụ:
Tìm giá trị nguyên m để hai phương trình sau có chung nghiệm:
2m 3x (2) 6x
(1) x 3m 2x
2
Giải:
Giả sử x0là nghiệm chung hai phương trình (1) (2) Khi u cầu tốn
0 1 x 3 2m 6x
0 3 x 1 3m 2x
0
0
0
0 có nghiệm
11m 6x0 8
Nếu 11m 60 m116
Trường hợp (1) (2) khơng có nghiệm chung Nếu
6 11m
8 x
11 m
11m
Thay vào (1) rút gọn ta được:
2 m 68 164m 99m2
* Với m = (1) thành:
3 x
1 x 5x x 2
* Với m = (2) thành:
3 x
2 x x 6x2
Vậy với m= hai phương trình cho có nghiệm chung x =12 B Vấn đề 2:
a Đặt vấn đề:
Tìm điều kiện tham số để hai phương trình bậc hai tương đương:
(2) c x b x a
(1) c x b x a
2 2
1
b Giải vấn đề:
Để (1) (2) tương đương hai tập hợp nghiệm chúng phải trùng Muốn ta xét hay trường hợp:
(9)Ta giải hệ điều kiện:
0
2
Trường hợp 2: Trường hợp hai phương trình có nghiệm Ta giải hệ điều kiện:
2
2
2
P P
S S
0 Δ
0 Δ
Ví dụ: Cho hai phương trình x22x m0 (1) 2x2 mx20 (2). Tìm m để (1) (2) tương đương
Giải:
Ta có Δ1 44m; Δ2 m2 16
Trường hợp 1: Trường hợp hai phương trình vơ nghiệm
1m4 4m4 1m 016m 04m4 0Δ 0Δ
2 2 1
(10)
1m 4m
4m 4m 1m
1m 2 m 2
016m 04m4
PP SS 0Δ 0Δ
2
21 21 2 1
(vô nghiệm)
Vậy, với -4<m<-1 hai phương trình cho tương đương
II DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 2.1 Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai ( x ) biểu thức dạng ax2 + bx + c a, b ,c số cho trước với a
Ví dụ: f(x) = 2x2 + 3x + ; g(x) = x2 + tam thức bậc hai
Nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = Cũng gọi nghiệm tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c
Các biểu thức = b2 – 4ac ’ = b’2 –ac với b =2b’ theo thứ tự
gọi biệt thức biệt thức thu gọn tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c. Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có
f(x) có hai nghiệm
2a Δ b
x1,2 phân tích thành nhân tử sau: f(x) = a(x – x1)(x - x2 )
2.2 Dấu tam thức bậc hai 2.2.1 Định lý thuận:
Xét tam thức bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c Ta biến đổi f(x) dạng sau : f(x) = ax2 + bx + c = a
2
2
4a Δ 2a
b
x
Dấu tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu củavà dấu hệ số a
Trong trường hợp ta xét dấu f(x) sau: * Trường hợp: = ta có x1 = x2 =
2a b
nên f(x) = a
2
2a b
x
Vì
2
2a b
x
> ,
2a b x
nên f(x) dấu với a,
2a b x
(11)* Trường hợp: > có hai nghiệm x1 x2 Giả sử x1 < x2 , ta có bảng xét dấu sau:
x x1 x2
x – x1 - + + x –x2 - - + f(x) = a(x- x1) (x –x2) Cùng dấu a trái dấu a dấu a
* Trường hợp: <
f(x) = ax2 + bx + c = a
2
2
4a Δ 2a
b
x .
Khi - 4a2
Δ
>
2
2
4a Δ 2a
b
x >
Vậy f(x) dấu với a với x
Tổng hợp kết ta có định lý dấu tam thức bậc hai sau:
Định lí: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) Nếu < f(x) dấu với a, xR Nếu = f(x) dấu với a, x 2ab .
Nếu > f(x) có hai nghiệm x1 x2 ( x1 < x2 ) Khi f(x) trái dấu với a với x nằm khoảng( x1 ; x2 ) ( tức ( x1 < x < x2 ) f(x) dấu với a với x nằm đoạn [ x1 ; x2 ]( tức với x < x1 x > x2 ).
Từ định lí ta có bảng xét dấu tam thức bậc hai:
Dấu biệt thức Dấu f(x)
< xR : af(x) >
=
f(x) có nghiệm kép x =
a b
2
a b x
2
: af(x) > >0
f(x) có hai nghiệm x1 < x2
;x1 x2;
x : af(x) >
x1;x2
x :af(x) <
Ví dụ: Xét dấu biểu thức sau: a) f(x) = x2 +5x + 2 b) f(x) = x2 +x + 5 Giải
a) Ta có = 52 – 4.2.2 = 25 – 16 = >
Cho nên f(x) có hai nghiệm x1 = -2;x2 =
2
3
; Do a =2 >0
Vậy f(x) > Khi
;
2
;
x f(x) <
2 ;
x
(12)x -2
2
f(x) = 2x2 +5x + 2 + - + b) Ta có = 1- 4.3.5 = -60 <
Mà a = >
Cho nên xR: f(x) >
2.2.2 Một số điều kiện tương đương
Nếu ax2 + bx + c tam thức bậc hai (a ) i) ax2 + bx + c có nghiệm 4 0
b ac
ii) ax2 + bx + c có hai nghiệm trái dấu 0
a c
iii) ax2 + bx + c có hai nghiệm dương
0 0
a c a b
iv) ax2 + bx + c có hai nghiệm âm
0 0
a c a b
v) ax2 + bx + c > 0,
0 0 a x
vi) ax2 + bx + c 0,
0 0 a x
vii) ax2 + bx + c< 0,
(13)viii) ax2 + bx + c 0,
0 0 a x
Ví dụ: Xét phương trình mx2 -2(m-1)x +4m – = (1) Tìm giá trị m để (1)
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm trái dấu c) Có hai nghiệm dương d) Có hai nghiệm âm Giải
Ta thấy (1) có ’ = ( m -1)2 – m(4m-1) = -3m2 – m + ( m )
a) (1) có hai nghiệm phân biệt '0
-3m2 – m + < < m <
Kết hợp với điều kiện m ta m \ b) (1) có hai nghiệm trái dấu khi:
4 m 0 1) m(4m
m 1) (4m
c) (1) Có hai nghiệm dương
< m <
d) (1) có hai nghiệm âm
< m <
2.3 So sánh nghiệm tam thức bậc hai: 2.3.1 Định lý đảo:
Định lý:
Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c
số Nếu af( ) < f(x) có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) x1x2
Hệ quả:
Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c
hai số , cho Điều kiện cần
và đủ để f(x) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm nằm khoảng ; nghiệm nằm đoạn ; f f 0
Chứng minh: Vì a0 nên a2 > 0. Khi ta có:
f()f()< a2f( )f( )
(14)
0 )( af
0 )( af
0 )( af
0 )( af
2
2
x x
x x
0 ) f(x
có hai nghiệm, có nghiệm nằm khoảng ;
nghiệm nằm đoạn ;
2.3.2 So sánh nghiệm với số cho trước:
Cho tam thức bậc hai f(x) ax2 bx c
a 0, đó:
Để f(x) có hai nghiệm x1, x2 x1αx2, điều kiện cần đủ
af
Để f(x) có hai nghiệm x1, x2 αx1x2, điều kiện cần đủ
2 S
0 af
0
Để f(x) có hai nghiệm x1, x2 x1x2 α, điều kiện cần đủ
α S
0 af
0 Δ
Ví dụ:
Tìm m để phương trình m 1x2 4mx 3m 10
có hai nhgiêm phân biệt lớn
hơn Giải
Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt lớn
2 2 S
0 af(2)
0 Δ
1 m
0 1 m
2
0 6 m 1 m
0 10 7m m
1 m
2
1 m
6 m 1
2 m 5 m
1 m
2 m
(15)2.3.3 So sánh nghiệm tam thức bậc hai với hai số , .
Phương pháp chung:
a Điều kiện để hai nghiệm tam thức nằm khoảng ,
β S α β af α af Δ β x x
α
b Điều kiện để khoảng , tam thức có nghiệm (cịn nghiệm
khi nằm ngồi)
f α.f β x β x α β x α x 2
c Điều kiện để khoảng , nằm khoảng hai nghiệm tam thức
β af α af x β α
x1
d Điều kiện để khoảng , nằm khoảng hai nghiệm tam thức
α S α af Δ β α x x1 2
β S β af Δ x x β
α 1 2
Áp dụng:
Ví dụ 1: Tìm giá trị m để phương trình: 4x2 3m 1x m
Có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1 ; 2) Giải
Điều kiện cần đủ để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt là:
2 2 S 1 0 4f(2) 0 1) 4f( 0 Δ 16 1 3m 8 12 7m 3 2m 0 33 22m 9m2 m 12 m m m 12 m
Vậy tập giá trị cần tìm m T = 12 ;
(16)a/ f(x) có nghiệm thuộc (;): có trường hợp
i) f(x) có nghiệm:x1 < < x2 af( ) <0 ii) f(x) có nghiệm kép: < x1 = x2
0
0 S
iii) f(x) có nghiệm : x1 = < x2
0
0 ) (
S f
b/ f(x) có nghiệm thuộc (;): có trường hợp
i) f(x) có nghiệm:x1 < < x2 af( ) <0 ii) f(x) có nghiệm : x1 = < x2
0
0 ) (
S f
iii) f(x) có nghiệm : < x1 x2
0
0 ) (
0
S af
c/ f(x) có nghiệm thuộc [;]: có trường hợp
i) f(x) có nghiệm f( ) f( ) =
ii) f(x) có nghiệm thuộc (;) nghiệm ngồi [;]
f( ) f( ) <
iii) f(x) có nghiệm:
0
0
0 ) (
0 ) (
0
2
S S af af x
x
d/ f(x) có nghiệm thuộc (;): có trường hợp
i) f(x) cónghiệm nghiệm thuộc (;)
S f( )
ii) f(x) có nghiệm nghiệm thuộc (;)
S f( )
iii) f(x) có nghiệm thuộc (;) nghiệm [;]
(17)iv) f(x) có nghiệm:
0
0
0 ) (
0 ) (
0
2
S S af af x
x
Ví dụ 1:
Cho phương trình: f(x) = x2 –(m+2)x + 5m + = Tìm m cho: a/ Phương trình có nghiệm lớn
b/ Phương trình có nghiệm lớn
c/ Phương trình có nghiệm có trị tuyệt đối lớn d/ Phương trình có nghiệm thuộc [0;1]
Giải:
a/ Phương trình có nghiệm lớn 1: có trường hợp i) x1 < < x2
af(1) <0
1.(1-(m+2).1+5m+1)<0 4m<0
m<0 ii) x1 = 1< x2
0 S
0 f(1)
2a
b
4m
0 2.1
2)
(mm
0
m
m
0 m
0 m
Suy không tồn giá trị m iii) 1< x1 = x2
SΔ
0
2
m 4(5m 1)
2)
(m
0
m4 21m 4m
(18)
0 m
0 16m m2
0 m
16 m
0 m
m = 16 Vậy: m < m = 16
b/ Phương trình có nghiệm lớn 1: có trường hợp i) x1 < < x2
af(1) <0 4m < 0 m < ii) x1 =1< x2
0
0
Sf( )
0 m
0 m
Suy không tồn giá trị m iii) 1< x1 x2
0 S
0 af(1)
0 Δ
0 m
0 m
0 16m m2
0 m
0 m
16 m m
m16 Vậy: m0 m16
c/ Phương trình có nghiệm có trị tuyệt đối lớn 1: có trường hợp i) -1 = x1 < x2 <
1 1) ( S
0 1) f(
1 a b
0 5m 2) (m 1) (
2 m
4
2 m Suy không tồn giá trị m
ii) -1 < x1 < x2 =
1 S
0 f(1)
1 m
0 4m
0 m
0 m
Suy không tồn giá trị m
iii) f(x) có nghiệm thuộc (-1;1) nghiệm [-1;1] f(-1).f(1) <
(6m + ).(4m) <
3
(19)iv) S 1) ( S af(1) 1) af( Δ x x
1 1 2
2) (m 2)
(m 4m
1.f(1) 6m 1) 1.f( 16m m Δ m m m m 16 m m
Suy không tồn giá trị m
Vậy: m
3
d/ Phương trình có1 nghiệm thuộc [0;1]: có trường hợp i) f(x) có nghiệm x1 = 0, x2 [0;1]
[0;1] m a b x 5m f(0) [0;1] x m
m = -5 ii) f(x) có nghiệm x1 = 1, x2 [0;1]
[0;1] m 2) (m a b x f(1) [0;1] m x 5m 2).1 (m (1) 2 [0;1] x m
m = (loại)
iii) f(x) có nghiệm thuộc (0;1)và nghiệm ngoài[0;1] f(0).f(1) <
(5m + ).(4m) < 0
m
5
(20)
[0;1]
2 m 2a
b x
x
0 16m m
Δ
2
m =
Vậy: m
5
Ví dụ 2:
Với giá trị p phương trình:
0 p x
2px x
2x
4x
2
2
(1)
Có nghiệm thuộc [-1;1] Giải:
(1) p
x
2px x
2x
4x 2
2
2
Đặt t = 2
x
2x
, điều kiện:
1
t ( Bất đẳng thức Cauchy)
Dấu “=” xảy x =
Khi dẫn đến tốn: Tìm p để phương trình: f(t) = t2 +pt + – p2 = có nghiệm thuộc [-1;1]
Có trường hợp:
i) f(t) có nghiệm -1 f(-1) = – p – p2 = 0 p = p = -2 ii) f(t) có nghiệm
f(1) = + p – p2 = 0 p = -1 p =2
iii) f(t) có nghiệm thuộc (-1;1) nghiệm [-1;1] f(-1).f(1) < 0
(2 + p – p2)( – p – p2 )< 0 -2 < p < -1 < p < iv) f(t) có nghiệm thuộc (-1;1)
1 t t
1 1 2
1 P S
0 p p 1) f(
0 p p f(1)
0 5p Δ
2 2
1 p 5 p
1
Vậy: p
5 p
2
(21)Trong mục này, ta áp dụng tính chất định tính định hình tam thức bậc hai để xác định giá trị lớn nhỏ hàm số Cụ thể:
Với hàm số f(x) ax2 bx ca 0
xét đoạn ,.
Muốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số, ta cần phân biệt ba trường hợp: Trường hợp 1: Nếu hoành độ đỉnh parapol α,β
2a b
x0 thì:
Giá trị nhỏ hàm số fmin f x0 đạt khi: xx0
Giá trị lớn hàm số fmax maxf α ,f β Trường hợp 2: Nếu hoành độ đỉnh parapol α β
2a b
x0 thì:
Giá trị nhỏ hàm số fmin f α đạt khi: xα Giá trị lớn hàm số fmax f β đạt khi: xβ
Trường hợp 3: Nếu hoành độ đỉnh parapol αβx0 2ab thì:
Giá trị nhỏ hàm số fmin f β đạt khi: x β Giá trị lớn hàm số fmax f α đạt khi: xα
Với a<0 ta xét tương tự
Áp dụng:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f x cos2x 2cosx
Giải:
Biến đổi hàm số dạng: f x 2cos2x 2cosx
Đặt t = cosx, điều kiện t 1, ta được: f t 2t2 2t1
Hoành độ đỉnh parapol 1,1
1
t0 Vậy, ta được:
2 f t f
fmin 0
đạt khi: 2kπ
3 π x
cosx
fmax maxf 1,f 1 3 đạt khi: cosx1 xπ2kπ Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhỏ f x x4 4x2
với 1x2
Giải: Đặt t x2
, điều kiện 1t4
Ta được: f t t2 4t
Hoành độ đỉnh parapol t0 2nằm bên trái 1,4
fmin f 1 7 đạt t1 x2 1 x1
fmax f 4 34 đạt t2 x2 4 x2
3.2 Giải bất phương trình bậc hai ẩn:
Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai ẩn bất phương trình dạng :
ax2 + bx + c < (hoặc ax2 + bx +c ax2 + bx + c > ax2 + bx + c ) a, b ,c số cho trước với a ; x ẩn số
Cách giải bất phương trình bậc hai
(22)Ví dụ: Giải bất phương trình (1) 14
9x x
14 9x x
2
Giải
Tam thức bậc hai x2 -9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = ; x = 7.Tam thức bậc hai x2 +9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = -2 ; x = -7 Ta lập bảng xét dấu bất phương trình
x - -7 -2 +
x2 -9x + 14 + + + - + x2 +9x + 14 + - + + + Vế trái (1) + - + - +
Từ bảng ta suy tập nghiệm bất phương trình là:
) ; [ ] ; ( ) ;
(
3.3 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm số bậc ba:
3.3.1 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt:
Phương pháp:
Phương trình bậc ba nhóm thành tích f1(x).f2(x) = 0.để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt hai phương trình f1(x) = f2(x) = phải có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm đơn biết
Ví dụ:
Cho phương trình: (a – 1)x3 + ax2 + (a – 1)x = (1) Tìm a để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt Giải
(1) xa 1x2 ax a 1
0(2)
a ax x a f(x)
0 x
2
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác
Muốn ta tìm a thỏa hệ điều kiện:
0 Δ
0 f(0)
0 1 a
0 4 8a 3a
1 a
1 a
2
2 a 3 2
1 a
Vậy để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt
2 a 3 2
1 a
(23) Phương pháp:
Khi phương trình y = có nghiệm đặc biệt x = x0
Ta viết phương trình dạng: (x – x0)(Ax2 + Bx +C) = Khi x0 > 0, để phương trình có:
Hai nghiệm âm, nghiệm dương phương trình Ax2 + Bx +C = cần phải có hai nghiệm âm
Hai nghiệm dương, nghiệm âm phương trình Ax2 + Bx +C = cần phải có hai nghiệm trái dấu
Khi x0 < 0, để phương trình có:
Hai nghiệm âm, nghiệm dương phương trình Ax2 + Bx +C = cần phải có hai nghiệm trái dấu
Hai nghiệm dương, nghiệm âm phương trình Ax2 + Bx +C = cần phải có hai nghiệm dương
Ví dụ:
Tìm m để phương trình: x3 – 4x2 +(m+1).x – (m – 2) = (1) Có ba nghiệm phân biệt đó:
a) Có hai nghiệm âm, nghiệm dương b) Có hai nghiệm dương, nghiệm âm Giải
(1) x 1x2 3x m 2
(2) m 3x x f(x)
1 x
2
Ta thấy (1) ln có nghiệm x =
a) Để (1) có hai nghiệm âm nghiệm dương (2) phải có hai nghiệm âm, :
vô lý Hệ vô nghiệm
Vậy giá trị m thỏa mãn điều kiện tốn
b) Để (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm phương trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu khác 1, ta có hệ:
m <
Vậy với giá trị m < phương trình (1) có ba nghiệm có hai nghiệm dương nghiệm âm
3.4 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm số bậc bốn: 3.4.1 Phương trình lùi bậc bốn:
Cho phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (a 0) có:
d b
e a
(24)Vì x 0, chia vế cho x2 đặt:
d b )khi đk cân (không x
1 x t
d b ) t k (Đ x x t
Khi đó:
2 t x
1 x
2 t x
1 x
2 2
2 2
Suy ta có phương trình bậc hai t
Ví dụ: Giải phương trình: x4 - 10x3 + 26x2 – 10x + = (1) Giải:
Xét x = 0, phương trình (1) trở thành: = (vô lý) Xét x 0, chia vế (1) cho x2 ta được:
0 26 x x 10 x
1 x
0 x
1 x 10 26 10x x
2
2
Đặt t = x +
x
1
, điều kiện t 2
Phương trình (1) trở thành: (t2 – 2) -10t + 26 = 0
t2 - 10t + 24 = 0
6 t
4
t (thỏa đk
2
t )
Với t =
x x =
x2 – 6x + = 0
8 x
8 x
Với t =
x x =
x2 – 4x + = 0
3 x
3 x
Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt là:
8 x
8 x
2
3 x
3 x
4
3.4.2 Phương trình dạng : (x+a)4 + (x+b)4 = c a Phương pháp giải:
(25)b Ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phương trình: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 (1) Giải:
Đặt t = x +
Phương trình (1) trở thành: (t - 3)4 + (t + 3)4 = 272
2t4 + 108t2 +162 = 272 t4 + 54t2 - 55 = 0
55 t
1 t
2
Với t2 = -55, loại t2 Với t2 = (x + 5)2 = 1
1 x
1 x
6 x
4 x
Vậy phương trình cho có nghiệm x = -4 x = -6
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 3)4 + (x - 5)4 = 1312 (2) Giải:
Đặt t = x -
Phương trình (2) trở thành: (t + 4)4 + (t - 4)4 = 1312
t4 + 96t2 - 400 = 0
2 t
2 t
Với t = x - = x = 3 Với t = -2 x - = -2
x = -1
Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 x =
3.5 Ứng dụng đa thức bậc hai hàm lượng giác: 3.5.1 Dạng 1:
Tìm điều kiện tham số để phương trình lượng giác thỏa số điều kiện cho trước, ta thường đưa phương pháp sử dụng tam thức bậc hai Cụ thể so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số cho trước hay hai số cho trước ,
Ví dụ: Cho phương trình:
cos2x – (2m +1)cosx + (m + 1) = (1)
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng
2 ,
Giải
(1) 2cos2x (2m 1)cosx m
Đặt t = cosx
(26)Đặt f(t) = 2t2 – (2m +1)t + m
Để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ,
thì phương trình f(t) = cần phải có nghiệm t[1,0)
0 1).f(0) f( 0 2 S 1 0 2.f(0) 0 1) 2.f( 0 Δ 0 1)m (m 0 2 1 2m 1 0 m 0 1 m 0 1 2m 0 m 1 2 1 m 2 3 0 m 1 m m
1m0
Vậy với 1m0 phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ,
3.5.2 Dạng – Một số tốn dạng đặc biệt:
Ví dụ : Định m để phương trình sau có nghiệm: sinx –cosx -2m (cosx + sinx )+ 2m2 +
2
= (1) Giải
Phương trình (1) phương trình bậc hai với ẩn m (1) 2m2 - 2m (cosx + sinx )+ sinx – cosx +
2
= (2) Để (1) có nghiệm (2) phải có nghiệm:
0 1) 1)(sinx 2(cosx ) cosx 2(sinx sinx) (cosx Δ
Ta thấy: 1sinx1 ; 1cosx-1 Δ -cosx sinx
Vậy để phương trình có nghiệm thì:
1 cosx 1 sinx 0 1 cosx 0 1 sinx
Với sinx = -1 cosx =
Phương trình (2) 4m2 4m m 21
Với cosx = sinx =
Phương trình (2) 4m2 4m m 12
(27)Vậy với giá trị m =
2
phương trình cho có nghiệm
3.6 Ứng dụng tam thức bậc hai hàm số mũ hàm logarit: Bài toán 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1) 9x + m.3x – = 0 2) 4x + 2x + m = 0 Giải
1) Đặt t = 3x > 0
Phương trình trở thành t2 + mt – = (1)
Vì (1) phương trình bậc hai có a.c = -1 phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu
Vậy phương trình cho ln có nghiệm 2) Đặt t = 2x > 0
Phương trình trở thành t2 + t + m = (2)
Để phương trình cho có nghiệm phương trình (2) cần phải có nghiệm t>
Đặt f(t)= t2 + t + m = 0, t, t hai nghiệm f(t) A (vô lý)
B (vô lý) C P < m < D (vô lý)
Vậy với m < phương trình cho có nghiệm
Bài toán 2: Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm: 9x – m3x + m +3 0 (1)
Giải
Đặt t = 3x > 0
Bất phương trình (1) trở thành: t2 – mt + m +3 0 (2)
Để bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (2) phải có nghiệm t > Khi ta có hai trường hợp sau:
2
2
t t
t t
với t1, t2 nghiệm tam thức bậc hai t2 – mt + m + 3.
* Trường hợp 1: t1 < < t2
1.f(0)0 m3
* Trường hợp 2: < t1 t2
0 S
0 1.f(0)
0 Δ
0 m
0 m
0 12 4m m2
0 m
3 m
2 m 6 m
6
m
(28)Bài toán 3: Cho phương trình:
2 3x 2 3x m (1)
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm Giải
Đặt t = x
3 2 >0
t 2 x
Phương trình (1) trở thành:
m t
t t2 mt10 (2)
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt:
0 S
0 P
0 Δ
0 1
0 m
0 4 m2
m2
Vậy để phương trình cho có hai nghiệm m >
Bài tốn 4: Cho phương trình:
0 2m x log x
log
3
3 (1)
a) Giải phương trình (1) m =
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn 1,3 3. Giải
Điều kiện x > 0, đặt t = log2 1
3x
Khi phương trình (1) trở thành : t2 +t – 1- 2m - 1=0 t2 +t – 2m - 2=0 (2) a) Với m =2
Phương trình (2) trở thành :
t2 +t – =0
thoa) (
) loai (
t t
Với t =
3 log
3 log 3 log 2 1 log
3
3
3
x x x
x
3 3
x x
( thỏa điều kiện x > ) Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 3 3; 3
x
b) Ta tìm mối liên hệ x t với x [1;3 3]
2 log
3 log
0
3
(29)Vậy tương ứng với x [1;3 3] có nghiệm t[1;2]
Để phương trình cho có nghiệm x [1;3 3]
phương trình (2) phải có nghiệm
] ; [
t Ta cần xét hai trường hợp sau:
Đặt f(x) = t2 +t – 2m – 2
Gọi t1 ; t2 nghiệm f(t) =
Trường hợp 1: Nếu
2 2 1
0 2
0 1
0 2
1 1 2
S f f t t
Nhưng ta có: S =
2
2
t
t
Nên không tồn m thỏa mãn trường hợp Trường hợp2: Nếu
2
2
2
2
t t
t t
f2(1m).(f4(2)2m)00
Vậy với m [0 ; 2] phương trình cho ln có nghiệm x [1;3 3]
3.7 Ứng dụng tam thức bậc hai phương trình – bất phương trình chứa căn:
Bài tốn 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 x + 2x - (2 x)(2x ) = m
Giải:
Điều kiện
0 x 2
0 x 2
2x2 Đặt t = 2 x + 2x với t 0
Ta có : t2 = ( 2 x
+ 2x)2
t2 = + 4
t2 8 2 t 2
Khi đó, điều kiện tốn tương đương : Tìm m để phương trình:
-t2 + 2t + - 2m = có nghiệm thuộc 2,2 2 Đặt f (t) = -t2 +2t +(4 - 2m ) gọi t
1, t2 hai nghệm f(t) = Xét hai trường hợp :
Trường hợp 1: Nếu f(t) =0 có hai nghiệm 2,2 2
(30)
2 2 2 S 2
0 ) 2 f(2
0 f(2)
0
,
lý) (vô 2 2 1 2
0 ) 2 f(2
0 f(2)
0
,
Hệ vô nghiệm
Trường hợp 2: Nếu phương trình f(t) = có nghiệm t2,2 2
2
2
t 2 t
2 t t
f(2).f(2 2)
(4 - 2m)( - + - 2m) 2( 2-1)m2
Vậy: với m 2( 2 1),2 phương trình cho có nghiệm
Bài tốn 2: Tìm a để bất phương trình có nghiệm :
a x 1-x (1)
Giải:
Điều kiện: 0 1x
0x 0x 1
Đặt 0 , u,v , 1suy rau v 1
x v
x-1
u 2 2
Khi đó, BPT chuyển thành hệ:
a v u
1 v
u2
Suy ra, u2 v2 u v2 2uv u v 2u.v
Vậy, VT (1) có giá trị nhỏ uv=0, mà (1) có nghiệm a lớn giá trị nhỏ VT (1)
Vậy, ta phải có a 1 Bài tập đề nghị 1 Giải phương trình
a x4 3x33x10
b x4 3x3 14x2
x
(31)
d) 4x2 -3x -1
3 Cho phương trình mx2 m 1x 3m 1
(1)
Với giá trị cùa m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả
9 x
1 x
1
2 2
.
4 Cho phương trình mx2 x
(1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x
1 x
1
2
5 Cho phương trình x2 2mx 3m
(1) Tìm m để phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 5x1 + 3x2 =
6 Chứng minh không tồn m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: m.4x 2m 32x 3m
(1)
7 Tìm giá trị m để phương trình: (m 1)x2 3mx 4m
Có nghiệm lớn
8 Cho phương trình:
(m 1)x2 (8m 1)x 6m
9.Với giá trị m thì:
a Phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0,1) b Nghiệm lớn phương trình thuộc khoảng (0,1)
10.Giải bất phương trình sau:
a)
10
1
2
x x
x
b)
2
10
2
x x
c) xx xx1
1
11 Tìm giá trị m để phương trình sau với giá trị x a)
1
1
2
x x
mx x
b) m(m+2)x2 +2mx +2 >0
12. Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f x acos4x bsin4x
với 0ab
13 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f x cos4x sin4x asinx.cosx
14 Cho hàm số:
2 cos3x
1 asin3x cos3x
y
b Tìm GTLN GTNN
c Xác định a để GTLN hàm số lớn
(32)Hãy tìm GTLN GTNN biểu thức S = x + y +1
16. Tìm GTLN GTNN hàm số:
1 2x 3x
3 10x 20x
y 2
2
17.Giải phương trình x 26x 46 64
18 Cho phương trình x3 2mx22m21xm1 m20
Tìm m để phương trình có ba nghiệm dương phân biệt
19 Cho phương trình x 22x2 1 3ax 2
Tìm a để phương trình có ba nghiệm
phân biệt, có hai nghiệm phân biệt nhỏ 1và nghiệm lớn
20 Tìm m để phương trình: 3tan x mtanx cotx x
sin
3
2 có nghiệm
21 Xác định giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: 4x m.2x 2m
22. Định m để bất phương trình: m.9x 2m 1.6x m.4x
nghiệm với
0,1
x
Hướng dẫn giải:
1. Đáp số:
a ,x 2,x
2 x ,
5
x1 2 3 4
b ,x 3,x
4 33 -x ,
33
x1 2 3 4
3.
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
0 0 m
0 1 10m 11m
0 m
2
1 m 11
1 0 m
Ta có:
9 x
x
x 2x x
x x x
x x x
1 x
1
2 2
2 2
2
2 2
2
(33)Áp dụng định lý Viét ta có m 1 m 3 a c x x P m 1 m a b x x S 2
Thế vào (*) ta được:
m m 18m 12m 2m m 4m 5m m m m m m m 2 2
Vậy yêu cầu toán thoả với m =
2
4.
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
0 0 m 0 1 4m 4m 0 m 2 2 1 m 2 2 1 0 m Ta có:
x x
x x 2x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 1 2 1 2
x x
x 4x x x 2 2
1
(*)
Áp dụng định lý Viét ta có:
m 1 m x x P m 1 x x S 2
(34)
m m
m 4m m
1
2 2
(m1)
5 m 0 6m 5m
0
m 6m 5m
1
m
4m 4m 1
m
4m 4m
2
2 2
2
2
Vậy yêu cầu toán thoả với 0m56 m1
5.
(1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Δm2 (3m 2)0
2 m
1 m
Áp dụng định lý viét ta có:
2 3m .x x
2m x x
2
2
kết hợp với điều kiện đề ta có hệ:
(c) 2 3m .x
x
(b) 2m x
x
(a) 4 3x 5x
2
2
2
(b) x1 = 2m – x2 (d)
Thế (d) vào (a) ta x2 = 5m – 2, từ (d) ta x1 = – 3m Thế x1 = – 3m x2 = 5m – vào (c) ta được:
(2 – 3m)(5m – 2) = 3m – 15m2 – 13m + =0
5 m
3 m
(nhận)
Vậy yêu cầu toán thoả với m = 32 ; m = 51
6.
Đặt t 2x ,t
Khi đó, phương trình (1) có dang: f t m.t2 2m 3t 3m
(2)
Giả sử (1) có hai nghiệm x1,x2 với x10x2, đó:
1 x
0
x 2 2 0 t 1 t
2
(35)Vậy, (1) có hai nghiệm trái dấu (2) có hai nghiệm thỏa mãn 0t11t2 m m 0 8m 3m m af 0 af vơ nghiệm
Do khơng tồn m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
7.
Khi m = -1 Phương trình trở thành 3x =
3 x
Khi m1 Ta có trường hợp sau:
*) Phương trình có nghiệm lớn nghiệm nhỏ 1, (m + 1)f(1) < (m+1)(2m+1) <
2 m 1
*) Phương trình có hai nghiệm lơn
1 m 3m S 2m m f(1) m m 16m 9m2 1) 2(m m 3m 2m 16m 7m 2 m m m m m 16 m 16
*) Phương trình có nghiệm nghiệm lớn Ta có: f(1) = m =
2
, phương trình trở thành x2 3x 40
và có nghiệm thứ hai x = -4 khơng thoả u cầu đề Vậy giá trị cần tìm m T =
; 16 12.
Biến đổi hàm số dạng:
x acos x b(1 cos x) (a b)cos x 2bcos x b
f 2
Đặt t cos2x
, điều kiện 0t1 Ta được: f t (ab)t2 2btb
Hoành độ đỉnh parapol 0,1 b a
b
t0
Vậy, ta được:
b a ab b a b f t f fmin
đạt khi:
b a b x cos2
fmax maxf 0 ,f 1 b đạt khi: kπ
2 π x x
(36)13.
Biến đổi hàm số dạng:
sin2x
2 a 2x sin x
f
Đặt tsin2x, điều kiện 1t 1 Ta được: t
2 a t t
f
Hoành độ đỉnh parapol
2 a t0
Ta cần phân biệt ba trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu hoành độ đỉnh parapol 1,1 a 2
a
x0 thì:
8 a a f f
2
đạt khi:
2 a x
2 a ,
a max
f , f max fmax
a Với 2a 0thì
2 a
fmax đạt khi: x 1
b Với 2a 0thì
2 a fmax
đạt khi: x 1
Trường hợp 2: Nếu hoành độ đỉnh parapol 1 a 2
a
x0 thì:
2 a 1 f fmin
đạt khi: x 1
2 a 1 f
fmax đạt khi: x 1
Trường hợp 3: Nếu hoành độ đỉnh parapol a 2
a x
1 0
thì:
2 a 1 f
fmin đạt khi: x 1
a 1 f
fmax đạt khi: x 1
14.
Xem y tham số xét phương trình:
1 2y y)cos3x (1
asin3x
cos3x
1 asin3x cos3x
y
(1)
Phương trình (1) có nghiệm khi:
3 3a 1 y
3a 1 a 2y 3y
2y y) (1
a2 2 2
Vậy, ta được:
3 3a 1 y ,
3a 1 y
2 max
2
Để ymaxnhỏ 1, điều kiện là:
a
3 3a
1
.
(37)Viết lại hệ thức cho dạng:
2
y 5S S
y y x y x
(1) Như vậy, x,y ta có:
1 S 4 5S S2
Do đó:
4
Smin đạt khi:
0 y
5 x
y y x y
x 2
1
Smax đạt khi:
0 y
2 x
y y x 1 y
x 2
16.
Ta tìm y để phương trình
1 2x 3x
3 10x 20x
y 2
2
có nghiệm với ẩn x
Phương trình biến đổi dạng:
3y 20x2 2y 5xy 30 (1)
Trường hợp 1: Nếu 20
y
10 11 x x 10
1
Trường hợp 2: Nếu 20
y (1) có nghiệm
7 y
5
20 y
20 3y y y
3 20 y
Δ
20 y
2
Từ đó, (1) có nghiệm y
5
Vậy, ta được:
ymax 7 đạt 3y 20
5 y
x
2
ymin đạt
5 20 3y
5 y
x
17. Đáp số: x =2 x=4
18. Đáp số: m 1
19. Đáp số: a1 20 Đáp số: m 4
21. Đáp số: m >1
(38)DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn
(39)2 Tổng quan tam thức bậc hai ứng dụng - Nguyễn Ngọc Tân – NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.
3
4 Sách giáo khoa sách tập Đại Số 10.
5 18 chuyên đề luyện thi đại học – giáo viên Huỳnh Chí