Phương pháp Galerkin và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— VŨ THỊ MAI PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— VŨ THỊ MAI PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn. Tác giả xin được gửi lời cám ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Tuấn đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Mai LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Mai 3 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Bảng kí hiệu và viết tắt 5 Mở đầu 6 Nội dung 8 1 Các kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Cơ sở, số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Toán tử trong không gian tuyến tính . . . . . . . 11 1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . . . 11 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . 14 1.2.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn . . . . . . 16 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Khái niệm không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 16 4 1.3.2 Tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Parseval . . . . . . 20 1.4 Phương pháp chiếu và định lí về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Định lý về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Số gần đúng và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . . 23 1.5.2 Sai số thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.3 Chữ số chắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.5 Sai số ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.6 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . 25 2 Phương pháp Galerkin 26 2.1 Định nghĩa phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Cách tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Nghiệm Galerkin trên một số lớp không gian các hàm spline 30 2.3.1 Không gian các hàm spline . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Nghiệm Galerkin trên không gian các hàm spline 34 3 Ứng dụng phương pháp Galerkin và phần mềm Maple 43 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 5 Bảng kí hiệu và viết tắt C [a,b] : Không gian các hàm xác định và liên tục trên [a, b]. C k [a,b] : Không gian các hàm xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a, b]. L 2 (E, µ) : Không gian các hàm số bình phương khả tích Lơbegơ trên tập E theo độ đo µ. L [a,b] : Không gian các hàm xác định và khả tích trên [a, b]. L 2 [a,b] : Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]. L p [a,b] =    x(t), 1  p < +∞       b  a |x(t)| p dt < +∞, ∀t ∈ [a, b]    . l 2 =  x = (x n ) ,      ∞  n=1 |x n | 2 < +∞  . span (A) : Tập hợp các tổ hợp tuyến tính các phần tử trong A. 6 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kĩ thuật, . nói chung và trong toán học nói riêng dẫn đến việc giải các bài toán và việc tìm nghiệm đúng của chúng nhiều khi rất phức tạp. Vì thế ta phải tìm cách giải gần đúng. Ngoài ra các dữ liệu trong thực tế chỉ biết gần đúng nên việc giải đúng chẳng những không thể thực hiện nổi mà nhiều khi không có ý nghĩa. Người ta phân biệt hai loại phương pháp giải gần đúng: các phương pháp giải tích và các phương pháp số. Các phương pháp giải tích tìm được nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức như phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard, phương pháp Newton – Kantorovich,. . . và ngoài ra nếu việc tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình phức tạp thì người ta có thể tìm cách đưa chúng về việc giải hệ phương trình đơn giản hơn. Vì thế, để nâng cao sự hiểu biết, trong điều kiện có hạn, ở luận văn này tôi xin trình bày về phương pháp Galerkin vào ứng dụng giải lớp các phương trình vi phân thường và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm spline. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp kiến thức về phương pháp Galerkin. Ứng dụng của chúng vào việc giải phương trình vi phân thường cấp 2 và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm spline. 7 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức liên quan đến phương pháp Galerkin. Nghiên cứu phương pháp Galerkin vào việc giải các lớp phương trình vi phân thường cấp 2 và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm spline. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp Galerkin Không gian các hàm spline, phương trình vi phân thường cấp 2. 5. Phương pháp nghiên cứu Lấy ý kiến chuyên gia. Phân tích, tổng hợp. 6. Đóng góp mới Đề tài trình bày trình bày định nghĩa, ứng dụng phương pháp Galerkin trên không gian các hàm Spline, chứng minh một số tính chất của các hàm Spline; minh họa phương pháp Galerkin cho một số phương trình vi phân thường. 8 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vector 1.1.1 Khái niệm không gian vector Định nghĩa 1.1.1. Ta nói trên X xác định một cấu trúc tuyến tính λ, nếu với mọi x, y ∈ X, với mọi t ∈ R 1 ( hoặc t ∈ C ) xác định phép cộng x + y ∈ X và phép nhân tx ∈ X, thỏa mãn các tính chất sau: 1. x + y = y + x ( giao hoán ) 2. (x + y) + z = x + (y + z) (kết hợp ) 3. s (tx) = (st) x 4. (s + t) x = sx + tx (phân phối) 5. t (x + y) = tx + ty 6. Tồn tại phần tử không: x + θ = x ∀x ∈ X 7. Tồn tại phần tử đối: x + (−x) = θ ∀x ∈ X 8. 1.x = x trong đó x, y, z là các phần tử bất kỳ thuộc X; s, t là hai số thực (phức) bất kỳ. [...]... hoá bài toán thực tế Sai số này không loại trừ được 2 Sai số phương pháp- Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này sẽ được áp dụng trong từng phương pháp cụ thể 3 Sai số các số liệu- Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai số 4 Sai số tính toán- Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán... p − s βi 9(i = p − 1, p − s); βp > 0 là những số nguyên 0 thì a là số nguyên; p − s = −m(m > 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số Nếu s = +∞, a là số thập phân vô hạn Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a Quy tắc thu gọn: 24 Giả sử a = βp 10p + + βj 10j + + βp−s 10p−s và ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ là µ, ta đặt a =... i=1 Hay N AφN , φN cj = f, φN i j j (1 i N) j=1 Nếu A là toán tử xác định dương và đối xứng thì (2.3) giải được theo phương pháp Rayleigh – Ritz Còn ngược lại nếu A không đối xứng, không dương thì ta sẽ giải bằng phương pháp Galerkin Vì thế phương pháp Galerkin tổng quát hơn so với phương pháp Rayleigh – Ritz Ví dụ: Xét phương trình vi phân sau: Au(x) = u (x) + p(x)u (x) + q(x)u(x) = f (x) (a x b) (2.4)... nếu βj là chẵn và βj = βj+1 nếu βj lẻ 1.5.3 Chữ số chắc Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả 0”, nếu kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hạng được giữ lại Khi viết số gần đúng chỉ nên giữ lại hai chữ số không chắc để khi tính toán sai số chỉ tác động đến các chữ số không chắc mà thôi 1.5.4 Sai số tính toán Trong tính toán ta thưòng gặp 4 loại sai số sau: 1 Sai số giả thiết- Do... khắp nơi trong không gian Hilbert H 1.4 Phương pháp chiếu và định lí về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 1.4.1 Phương pháp chiếu Giả sử E và F là những không gian Banach Xét phương trình Lu = f (1.4) 21 trong đó L là toán tử tuyến tính nói chung không bị chặn với miền xác định D(L) ⊂ E và miền giá trị R(L) ⊂ F Phương pháp chiếu để giải phương trình này như sau: Giả sử cho trước... lập thành một không gian tuyến tính trên trường số thực 2 Mọi trường T đều là một không gian tuyến tính trên chính nó 3 Tập hợp các hàm số thực của biến số thực x, liên tục trên một đoạn [a, b] lập thành một không gian tuyến tính đối với các luật hợp thành xác định như sau: (f + g) (x) = f (x) + g(x) (αf ) (x) = α [f (x)] trong đó x là một số thực bất kỳ của đoạn [a, b] 4 Tập hợp các đa thức một ẩn trên... xi , i = 0, n thỏa mãn: x0 = a < x1 < x2 < < xn = b Đặt h = b−a n Giả sử x là nghiệm đúng và x∗ là nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho (theo phương pháp gần đúng nào đó) Nếu có: ||x − x∗ | | = 0(hk ) thì x∗ được gọi là hội tụ bậc k về nghiệm x 26 Chương 2 Phương pháp Galerkin 2.1 Định nghĩa phương pháp Galerkin Cho X là không gian tuyến tính của không gian tuyến tính với (., ) là tích vô hướng,... Và những toán tử chiếu pn nghĩa là những toán tử chiếu không gian F lên Fn và p2 = pn , pn F = Fn với n = 1, 2, n Khi đó phương trình (1.4) được thay thế bằng phương trình xấp xỉ sau pn (Lun − f ) = 0, un ∈ En (1.5) Trong đó nghiệm của nó được tìm trong không gian En , nghĩa là un ∈ En Nghiệm của phương trình (1.5) được coi là nghiệm gần đúng của phương trình (1.4) Phương pháp này gọi là phương pháp. .. nhất 23 1.5 Số gần đúng và sai số 1.5.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính toán, ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của các √ đại lượng Ví dụ như đối với 3 không thể cho ta một con số chính xác mà ta chỉ làm trên giá trị gần đúng của nó mà thôi Khi đó ta có các khái niệm sau a là số gần đúng của a∗ , nếu a không sai khác a∗ nhiều Đại lượng ∆ = |a − a∗ | gọi là sai số thực sự của... tiêu ảnh hưởng của chúng được Bởi vậy, kết quả đo mỗi lần mỗi khác Sai số ngẫu nhiên là sai số không phát sinh theo một quy luật nhất định Nếu xét sai số ngẫu nhiên như một đại lượng ngẫu nhiên thì nó có kì vọng bằng 0 hoặc gần bằng 0 Thông thường, sai số ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn, trừ một số trường hợp ngoại lệ như sai số làm tròn tuân theo luật phân phối đều 1.5.6 Tốc độ hội tụ của nghiệm . loại phương pháp giải gần đúng: các phương pháp giải tích và các phương pháp số. Các phương pháp giải tích tìm được nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức như phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard, phương. về phương pháp Galerkin vào ứng dụng giải lớp các phương trình vi phân thường và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm spline. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp kiến thức về phương pháp Galerkin. Ứng. Galerkin. Nghiên cứu phương pháp Galerkin vào việc giải các lớp phương trình vi phân thường cấp 2 và nghiệm Galerkin trong không gian các hàm spline. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp Galerkin Không