Phương pháp Galerkin và một số ứng dụng

20 1.4 Phương pháp chiếu và định lí về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert.. Ứng dụng của chúng vào việc giải phương trình vi phân thường cấp 2 và nghiệm Galerkin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Tuấn

Hà Nội-2012

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Nguyễn VănTuấn.

Tác giả xin được gửi lời cám ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongnhà trường, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, đặc biệt

là thầy Nguyễn Văn Tuấn đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình họctập và làm luận văn

Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồngnghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thànhbản luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Vũ Thị Mai

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Vũ Thị Mai

Mục lục

1.1 Không gian vector 8

1.1.1 Khái niệm không gian vector 8

1.1.2 Ví dụ 9

1.1.3 Cơ sở, số chiều 10

1.1.4 Toán tử trong không gian tuyến tính 11

1.2 Không gian định chuẩn 11

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 11

1.2.2 Ví dụ 12

1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 14 1.2.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn 16

1.3 Không gian Hilbert 16

1.3.1 Khái niệm không gian Hilbert 16

1.3.2 Tính trực giao 18

1.3.3 Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Parseval 20

1.4 Phương pháp chiếu và định lí về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 20

1.4.1 Phương pháp chiếu 20

1.4.2 Định lý về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 21

1.5 Số gần đúng và sai số 23

1.5.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 23

1.5.2 Sai số thu gọn 23

1.5.3 Chữ số chắc 24

1.5.4 Sai số tính toán 24

1.5.5 Sai số ngẫu nhiên 25

1.5.6 Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ 25

2 Phương pháp Galerkin 26 2.1 Định nghĩa phương pháp Galerkin 26

2.2 Cách tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin 27

2.3 Nghiệm Galerkin trên một số lớp không gian các hàm spline 30 2.3.1 Không gian các hàm spline 30 2.3.2 Nghiệm Galerkin trên không gian các hàm spline 34

3 Ứng dụng phương pháp Galerkin và phần mềm Maple 43

Bảng kí hiệu và viết tắt

C[a,b] : Không gian các hàm xác định và liên tục trên [a, b]

C[a,b]k : Không gian các hàm xác định và có đạo hàm liên tục

đến cấp k trên [a, b]

L2(E, µ) : Không gian các hàm số bình phương khả tích Lơbegơ

trên tập E theo độ đo µ

L[a,b] : Không gian các hàm xác định và khả tích trên [a, b]

L2[a,b] : Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

Lp[a,b] =





x(t), 1 6 p < +∞

l2 =

(

x = (xn) ,

... sử dụng phương pháp gần đúng.Sai số áp dụng phương pháp cụ thể

3 Sai số số liệu- Các số liệu thường thu thực nghiệm

do có sai số

4 Sai số tính tốn- Các số vốn có sai số, ... biệt hai loại phương pháp giải gần đúng: cácphương pháp giải tích phương pháp số Các phương pháp giảitích tìm nghiệm gần dạng biểu thức phương phápxấp xỉ liên tiếp Picard, phương pháp Newton –... trình bày trình bày định nghĩa, ứng dụng phương pháp Galerkintrên khơng gian hàm Spline, chứng minh số tính chất cáchàm Spline; minh họa phương pháp Galerkin cho số phương trình

vi phân thường