Ứng dụng phần mềm Maple vào giải bài toán biên của phương trình

phân cấp 2

Xét bài toán biên

-x”(t) + c(t)x(t) = y(t), 0 < t < l x(0) = x( l) = 0

điều kiện này bảo đảm cho bài toán biên (3.1) - (3.2) có nghiệm duy nhất trên đoạn [0, l].

Sơ đồ giải bài toán:

A x = y

A := - x”(t) + c(t)x(t) x(0) = x(l) = 0

An xn = yn

x_n = A^-1_n y_n

Quá trình giải bài toán được tiến hành theo các bước sau:

1. Xây dựng không gian Xn và các toán tử Tn đồng thời rời rạc hóa các hàm

c(t) và y (t).

2. Lập các phương trình xấp xỉ

An xn = yn.

3.Giải phương trình xấp xỉ

xn = A^-1n yn.

4. Lập chương trình giải bài toán trên phần mềm Maple. Ví dụ 3.1: Với bài toán biên:

- x”(t) + c(t)x(t) = y(t), 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 c(t) = 1, y(t) = - t² + 3.

Gọi chu trình :

Nhập n = 10, l = 1 ta được các giá trị gần đúng của nghiệm như sau:

x₀ = 0 x₄ = 0,291702252878 x₈ = 0,181598208863 x₁ = 0,114794447981 x₅ = 0,298868260311 x₉ = 0,100297616350 x₂ = 0,200860297233 x₆ = 0,282109370099 x₁₀ = 0

x3 = 0,259428576617 x7 = 0,242616018033

Nghiệm đúng của bài toán là:

. 1 ) ( ₁ ² 1 1 t e e e e e e e e t X t t       _   

Đồ thị của nghiệm đúng (đồ thị đường màu đỏ) và các giá trị gần đúng của nghiệm (các điểm màu xanh) trên đoạn [0, 1]:

Hình 3.1

So sánh giữa các giá trị gần đúng của nghiệm x(t) với nghiệm đúng X(t)

ta thấy chênh lệch khoảng 0,03. Nếu lấy n càng lớn thì sai số trên càng nhỏ tức là giá trị gần đúng của nghiệm càng gần với nghiệm đúng hơn.

x0 = 0 x17 = 0,280121076456 x34 = 0,259162535742 x₁ = 0,025601822554 x₁₈ = 0,286810942195 x₃₅ = 0,249422615610 x₂ = 0,050014052434 x₁₉ = 0,292469509820 x₃₆ = 0,238786546157 x₃ = 0,073246954324 x₂₀ = 0,297105206856 x₃₇ = 0,227261901359 x4 = 0,095310654371 x21 = 0,300726384876 x38 = 0,214856232959 x₅ = 0,116215144237 x₂₂ = 0,303341322837 x₃₉ = 0,201577073483 x6 = 0,135970285091 x23 = 0,304958230397 x40 = 0,187431939255 x₇ = 0,154585811560 x₂₄ = 0,305585251195 x₄₁ = 0,172428333405 x8 = 0,172071335619 x25 = 0,305230466111 x42 = 0,156573748868 x9 = 0,188436350436 x26 = 0,303901896494 x43 = 0,139875671381 x10 = 0,203690234171 x27 = 0,301607507378 x44 = 0,122341582479 x₁₁ = 0,217842253724 x₂₈ = 0,298355210661 x₄₅ = 0,103978962490 x12 = 0,230901568447 x29 = 0,294152868274 x46 = 0,084795293518 x13 = 0,242877233801 x30 = 0,289008295321 x47 = 0,064798062447 x14 = 0,253778204984 x31 = 0,282929263213 x48 = 0,043994763929 x₁₅ = 0,263613340510 x₃₂ = 0,275923502769 x₄₉ = 0,022392903384 x₁₆ = 0,272391405754 x₃₃ = 0,267998707311 x₅₀ = 0

Đồ thị nghiệm đúng và các giá trị gần đúng của nghiệm được mô tả trên hình 3.2.

Với n = 100, l = 1 thì sai số giữa các giá trị của nghiệm gần đúng và nghiệm đúng khoảng 0,001. Đồ thị nghiệm đúng và các giá trị gần đúng của nghiệm được mô tả trên hình 3.3.

Hình 3.3

Ví dụ 3.2: Với bài toán biên:

-x”(t) + c(t)x(t) = y(t), 0 < t < 2 x(0) = x(2 )= 0 c(t) = 1, y(t) = 3.

Gọi chu trình:

Nhập n = 10, l = 2 ta được các giá trị gần đúng của nghiệm như sau:

x₀ = 0 x₄ = 1,014447620390 x₈ = 0,693582355841 x1 = 0,398814880314 x5 = 1,053380019990 x9 = 0,398814880314 x2 = 0,693582355841 x6 = 1,014447620390 x10 = 0

x3 = 0,896093125602 x7 = 0,896093125602

Nghiệm đúng của bài toán là: 2 2 2 2 2 2 3 ( 1 ) 3 ( 1) ( ) 3 t t e e e e X t e e e e               

Đồ thị của nghiệm đúng (đồ thị đường màu đỏ) và các giá trị gần đúng của nghiệm (các điểm màu xanh) trên đoạn [0, 2]:

Hình 3.4

So sánh giữa các giá trị gần đúng của nghiệm x(t) với nghiệm đúng X(t)

ta thấy chênh lệch khoảng 0,002. Nếu lấy n càng lớn thì sai số trên càng nhỏ Nhập n = 50, l = 2 thì các giá trị gần đúng của nghiệm là:

x0 = 0 x17 = 0,955353427652 x34 = 0,928400935287 x₁ = 0,089006215114 x₁₈ = 0,979034485501 x₃₅ = 0,898133884419 x₂ = 0,173354840173 x₁₉ = 0,999481998527 x₃₆ = 0,864503847766 x₃ = 0,253180832976 x₂₀ = 1,016728682750 x₃₇ = 0,827457017269 x₄ = 0,328611915112 x₂₁ = 1,030802132870 x₃₈ = 0,786934118000 x₅ = 0,399768776312 x₂₂ = 1,041724866390 x₃₉ = 0,742870313319 x6 = 0,466765267554 x23 = 1,049514359710 x40 = 0,695195101140 x7 = 0,529708583224 x24 = 1,054183076000 x41 = 0,643832201123 x₈ = 0,588699432627 x₂₅ = 1,055738485210 x₄₂ = 0,588699432627 x9 = 0,643832201123 x26 = 1,054183076000 x43 = 0,529708583224 x10 = 0,695195101140 x27 = 1,049514359710 x44 = 0,466765267554 x11 = 0,742870313319 x28 = 1,041724866390 x45 = 0,399768776312 x12 = 0,786934118000 x29 = 1,030802132870 x46 = 0,328611915112 x₁₃ = 0,827457017269 x₃₀ = 1,016728682750 x₄₇ = 0,253180832976 x14 = 0,864503847766 x31 = 0,999481998527 x48 = 0,173354840173 x₁₅ = 0,898133884419 x₃₂ = 0,979034485501 x₄₉ = 0,089006215114 x₁₆ = 0,928400935287 x₃₃ = 0,955353427652 x₅₀ = 0

Đồ thị của nghiệm đúng và các giá trị gần đúng của nghiệm được mô tả trên hình 3.5.

Hình 3.5

Nhập n = 100, l = 2 thì sai số giữa các giá trị của nghiệm gần đúng và nghiệm đúng khoảng 0,001. đồ thị của nghiệm đúng và các giá trị gần đúng của nghiệm được mô tả trong hình 3.6

Hình 3.6

KẾT LUẬN

Phương pháp sai phân là một phương pháp cơ bản của toán học, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong toán học. Luận văn này đã nghiên cứu lược đồ xấp xỉ phương trình toán tử (sự xấp xỉ, sự ổn định, sự hội tụ) cùng ứng dụng của lược đồ sai phân và phần mềm Maple trong giải bài toán biên của phương trình vi phân cấp 2.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng song chắc chắn luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến và nhận xét để luận văn được đầy đủ và hoàn thiện hơn, đồng thời để tác giả cũng có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này.

Một lần nữa cho tác giả được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy cô trong Khoa Toán, các thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn bè đồng nghiệp, người thân trong gia đình, đặc biệt là TS. Nguyễn Văn Khải đã nhiệt tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, NXB giáo dục.

[2] Nguyễn Minh Chương,Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB khoa học kỹ thuật Hà Nội.

[3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên MAPLE, NXB khoa học và kỹ thuật.

[4] Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn, NXB khoa học kĩ thuật.

[5] Dương Minh Đức(2000), Giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh.

[6] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục.

[7] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân và một số ứng dụng, NXB giáo dục.

[8] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2003), Phương pháp sai phân và một số ứng dụng, NXB giáo dục.

[9] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

[10] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng,

NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

[11] Phạm Huy Diển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng (1998), Practice Computation on MAPLE V, Education Publ. House, Hanoi.