hàm số và ứng dụng của hàm số

Ebooktoan.com HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Chương I ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM Nhóm Đạo hàm của các hàm số hợp (u = u(x)) Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đa thức Lượng giác (sinu) ’ = u ’ .cosu (cosu) ’ = - u ’ .sinu (tgu) ’ = (cotgu) ’ = - (sinx) ’ = cosx (cosx) ’ = - sinx (tgx) ’ = (cotgx) ’ = - Mũ (e u ) ’ = u ’ .e u (a u ) ’ = u ’ .a u .lna (e x ) ’ = e x (a x ) ’ = a x .lna CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com Lôgarit (ln|u|) ’ = u u ' (ln|x|) ’ = x 1 II. VI PHÂN: 1. Định nghĩa: df(x) = f ’ (x).dx 2. Qui tắc: • d(u ± v) = du ± dv • d(uv) = udv + vdu • Chương II ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong (a ; b) thì tồn tại điểm c ∈ (a ; b) sao cho: f ’ (c) = II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Hàm số không đổi: f ’ (x) = 0 ⇔ f(x) = c 2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f ’ (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a ; b) b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f ’ (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a ; b) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com 3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) a) Nếu f ’ (x) > 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b) b) Nếu f ’ (x) < 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b) • Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f ’ (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng. III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x) Qui tắc 1: 1) Tính đạo hàm y ’ = f ’ (x) 2) Tìm các điểm tới hạn x i- : Là nghiệm của phương trình f ’ (x) = 0 hoặc tại các điểm đó f ’ (x) không xác định 3) Lập bảng xét dấu của f ’ (x) 4) Tại mỗi điểm x i mà qua đó nếu: a) f ’ (x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’ (x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’ (x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó Qui tắc 2: 1) Tính f ’ (x), f ’’ (x) 2) Tìm các điểm x i tại đó f ’ (x) = 0 (nghiệm của phương trình này) 3) Tính f ’’ (x i ): a) Nếu f ’’ (x i ) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) Nếu f ’’ (x i ) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com CHÚ Ý: • Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x 1 và x 2 , f ’ (x) luôn giữ nguyên một dấu • Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số: - Trong trường hợp điểm cực trị x 0 (x CĐ , x CT ) là số vô tỉ thì: 1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ thì 2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3 f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ta chia f(x) cho f ’ (x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có: f(x) = f ’ (x).(px + q) + (mx + n) thì f(x 0 ) = (mx 0 + n) (vì f ’ (x 0 ) = 0) VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau: 1) 2) f(x) = IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b) - Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý: + Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x 0 thì f(x 0 ) = Min y + Nếu chỉ có một điểm cực đại x 0 thì f(x 0 ) = Max y + Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp. 2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b] - Giải phương trình f ’ (x) = 0, tìm các nghiệm x 1 , x 2, …, x n CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com (Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b]) - Tính f(a),f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) , …, f(x n ) - So sánh f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ) , …, f(x n ) Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: M = Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: m = CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f ’ (x) = 0 vô nghiệm ⇒ f(x) đơn điệu trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và số nhỏ là Min y. • Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau: Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số (xem chuyên đề bất đẳng thức) Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b] V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG 1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’ (x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’ (x) < 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên khoảng đó b) Nếu f ’’ (x) > 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên khoảng đó CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com 2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’ (x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’ (x) đổi dấu khi đối số x đi qua x 0 thì M 0 (x 0 ; f(x 0 )) là một điểm uốn của đồ thị b) Nếu f ’’ (x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x 0 thì điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) không phải là điểm uốn của đồ thị. VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) 1. Tiệm cận đứng • Nếu thì đường thẳng x = x o là tiệm cận đứng của (C) 2. Tiệm cận ngang • Nếu y o thì đường thẳng y = y o là tiệm cận ngang của (C) 3. Tiệm cận xiên • Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) ⇔ [f(x) – (ax +b)] = 0 • Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công thức: a = , b = [f(x) – ax ] 4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x): - Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó - Tính giới hạn của hàm số tại các mút + Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com + Nếu thì ta tính a = : • Nếu a ≠ 0, thì ta tính b = [f(x) – ax ]. Nếu b ≠ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b. VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Các bước khảo sát 1 hàm số: B 1 : Tìm TXĐ B 2 : Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) B 3 : • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ) • Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ B 4 : Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức) B 5 : Lập bảng biến thiên B 6 : Đồ thị: + Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được) + Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…) + Vẽ đồ thị + Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị. 2. Khảo sát một số hàm số thường gặp a) Hàm đa thức • y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) • y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) • y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com b) Hàm phân thức hữu tỉ • y = (c ≠ 0, D = ad – bc ≠ 0) B. CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐIỂM 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) y = 5) y = 6) y = VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: 1) y = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 4 (ĐH KA – 2006) 2) y = -x 3 + 3x 2 - 4 (ĐH KB – 2007) Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương sau: 1) y = x 4 - 8x 2 + 10 (ĐH KB – 2002) 2) (ĐH DB KA – 2006) Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com 1) (ĐH KD – 2002) 2) (ĐH KB – 2007) VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP: Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì: • Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. • Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. • Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này. Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|) ♦ Hàm số dạng: y = |f(x)| - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox - Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox. Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C ’ ) của y = |f(x)| ♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy) - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C 0 ) - Lấy đối xứng phần (C 0 ) qua trục Oy ta có (C 1 ) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý Ebooktoan.com Hợp hai phần (C 0 ) và (C 1 ) trên lại ta có đồ thị (C ’ ) của y = f(|x|) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) y = b) y = c) y = d) y = 3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng) CHỦ ĐIỂM 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý [...]... Bài 4: Cho hàm số Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn m (ĐS : m < -2) Bài 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x > m CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý Ebooktoan.com Bài 6: Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1) Bài 7: Định m để hàm số có ba điểm cực trị ĐS : Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số trên... hàm số: (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) CMR với mọi m, (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng (ĐH KB – 2005) Bài 12: Cho hàm số: (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng (ĐH K A – 2005) Bài 13: Cho hàm. .. phân biệt Bài 7: Cho hàm số: y = - 2x2 + 3x (C) (ĐH KB – 2004) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất Bài 8: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (Cm) (ĐH KD – 2004) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2) Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường... tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng Bài 17: Cho hàm số: y = - x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 - 1 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2) Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của (Cm) cách đều gốc tọa độ O (ĐH KB – 2007) Bài 18: Cho hàm số: (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. .. 2) Tìm m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O (ĐH KA – 2007) Bài 19: Cho hàm số: (1) (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số (1) ứng với m = −1 2) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450 (ĐH KA-2008) Bài 20: Cho hàm số y = 4x3-6x2... biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M (-1;-9) (ĐH KB-2008) Bài 21: Cho (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý Ebooktoan.com 2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;2) với hệ số góc k ( k >−3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3... thị (C) có 2 điểm phân biết đối xứng nhau qua gốc tọa độ 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 Bài 5: Cho hàm số: (Cm) (ĐH KA – 2003) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1 2) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 6: Cho hàm số: (C) (ĐH KD – 2003) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Tìm m để đường thẳng... Cho hàm số: (C) (ĐH KA – 2004) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên 2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1 Bài 10: Cho hàm số: y = – x2 + CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG (Cm) Trang Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý Ebooktoan.com 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của. .. hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 - 1)x – m3 (Cm) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý Ebooktoan.com Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm (ĐH QG TP HCM KA) Bài 27: Cho hàm số: (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (ĐH QG TP HCM KD) 2) Từ (C) suy ra đồ thị (C1) của hàm số: 3) Dùng (C1) để biện luận theo m số nghiệm của. .. Cho hàm số Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: |yCĐ – yCT| > 8 (ĐS: ) Bài 5: Cho hàm số a) Tìm m để hàm số có cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số c) Tìm m để ymax + ymin = 2 ĐS: VẤN ĐỀ 3 TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC) Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số có 3 điểm uốn thẳng hàng (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C( ,0)) Bài 2: Cho hàm . HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Chương I ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM Nhóm Đạo hàm của các hàm số hợp (u = u(x)) Đạo hàm của các hàm số. c) y = d) y = 3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng) CHỦ ĐIỂM 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn:. điểm cực trị của đồ thị hàm số. (ĐS : y=2x+m+1) Bài 4: Cho hàm số . Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn: |y CĐ – y CT | > 8 (ĐS: ) Bài 5: Cho hàm số a) Tìm m để hàm số có cực